View source for डायमंड सिद्धांत

गणित में, और विशेष रूप से स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में, हीरा सिद्धांत {{math|◊}} {{harvtxt|जेन्सन|1972}} में [[रोनाल्ड जेन्सेन]] द्वारा भेंट किया गया, [[संयोजन सिद्धांत]] है जो रचनात्मक ब्रह्मांड ({{math|''एल''}}) में है और इसका तात्पर्य सातत्य परिकल्पना से है। जेन्सेन ने हीरे के सिद्धांत को अपने प्रमाण से निकाला कि [[निर्माण की स्वयंसिद्धता]] ({{math|''V'' {{=}} ''L''}}) का तात्पर्य सुस्लिन वृक्ष के अस्तित्व से है।

== परिभाषाएँ ==
हीरा सिद्धांत {{math|◊}} का कहना हैं कि एक {{vanchor|◊-अनुक्रम}} उपस्थित है, सेट का परिवार {{math|''A<sub>α</sub>'' ⊆ ''α''}} के लिए {{math|''α'' < ''ω''<sub>1</sub>}} ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए {{math|''A''}} प्रथम बेशुमार क्रमसूचक |ω<sub>1</sub>के समुच्चय {{math|''α''}} साथ {{math|''A'' ∩ ''α'' {{=}} ''A<sub>α</sub>''}} में स्थिर है {{math|''ω''<sub>1</sub>}}.

हीरा सिद्धांत के कई समतुल्य रूप हैं। एक कहता है कि गणनीय संग्रह है {{math|'''A'''<sub>''α''</sub>}} के सबसेट का {{math|''α''}} प्रत्येक गणनीय अध्यादेश के लिए {{math|''α''}} ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए {{math|''A''}} का {{math|''ω''<sub>1</sub>}} स्थिर उपसमुच्चय है {{math|''C''}} का {{math|''ω''<sub>1</sub>}} ऐसा कि सभी के लिए {{math|''α''}} में {{math|''C''}} अपने पास {{math|''A'' ∩ ''α'' ∈ '''A'''<sub>''α''</sub>}} और {{math|''C'' ∩ ''α''  ∈ '''A'''<sub>''α''</sub>}}. एक अन्य समतुल्य रूप बताता है कि सेट उपस्थित हैं {{math|''A''<sub>''α''</sub> ⊆ ''α''}} के लिए {{math|''α'' < ''ω''<sub>1</sub>}} ऐसा कि किसी भी उपसमुच्चय के लिए {{mvar|''A''}} का {{mvar|''ω''<sub>1</sub>}} कम से कम एक अनंत है {{mvar|''α''}} साथ {{mvar|''A'' ∩ ''α'' {{=}} ''A''<sub>''α''</sub>}}.

अधिक सामान्यतः, किसी दिए गए [[बुनियादी संख्या]] के लिए {{math|''κ''}} और स्थिर सेट {{math|''S'' ⊆ ''κ''}}, कथन {{math|◊<sub>''S''</sub>}} (कभी-कभी लिखा जाता है {{math|◊(''S'')}} या {{math|◊<sub>''κ''</sub>(''S'')}}) कथन है कि एक क्रम है {{math|⟨''A<sub>α</sub>'' : ''α'' ∈ ''S''⟩}} ऐसा है कि

* प्रत्येक {{math|''A<sub>α</sub>'' ⊆ ''α''}}
* हर एक के लिए {{math|''A'' ⊆ ''κ''}}, {{math|{''α'' ∈ ''S'' : ''A'' ∩ ''α'' {{=}} ''A<sub>α</sub>''<nowiki>}</nowiki>}} में स्थिर है {{math|''κ''}}
सिद्धांत {{math|◊<sub>''ω''<sub>1</sub></sub>}} वैसा ही है जैसा कि {{math|◊}}.

हीरा-प्लस सिद्धांत {{math|◊<sup>+</sup>}} बताता है कि एक {{math|◊<sup>+</sup>}}-अनुक्रम उपस्थित है, दूसरे शब्दों में गणनीय संग्रह {{math|'''A'''<sub>''α''</sub>}} के सबसेट का {{math|''α''}} प्रत्येक गणनीय क्रमिक α के लिए जैसे कि किसी भी सबसेट के लिए {{math|''A''}} का {{math|''ω''<sub>1</sub>}} बंद असीमित उपसमुच्चय है {{math|''C''}} का {{math|''ω''<sub>1</sub>}} ऐसा कि सभी के लिए {{math|''α''}} में {{math|''C''}} अपने पास {{math|''A'' ∩ ''α'' ∈ '''A'''<sub>''α''</sub>}} और {{math|''C'' ∩ ''α'' ∈ '''A'''<sub>''α''</sub>}}.

== गुण और उपस्थित ==
{{harvtxt|जेन्सन|1972}} दिखाया कि हीरा सिद्धांत {{math|◊}} सुस्लिन वृक्षों के अस्तित्व को दर्शाता है। उन्होंने यह भी दिखाया {{math|[[V=L|''V'' {{=}} ''L'']]}} हीरा-प्लस सिद्धांत का तात्पर्य है, जो हीरा सिद्धांत का तात्पर्य है, जिसका अर्थ है निरंतर परिकल्पना। विशेष रूप से हीरा सिद्धांत और हीरा-प्लस सिद्धांत दोनों जेडएफसी के स्वयंसिद्धों की [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)]] हैं। भी {{math|[[clubsuit|♣]] + सीएच}} तात्पर्य {{math|◊}}, बूत [[सहारों शेलाह]] गावे मॉडल्स ऑफ़ {{math|♣ + ¬ सीएच}}, इसलिए {{math|◊}} और {{math|♣}} समतुल्य नहीं हैं (किंतु, {{math|♣}} से कमजोर है {{math|◊}}).

हीरा सिद्धांत {{math|◊}} कुरेपा वृक्ष के अस्तित्व का अर्थ नहीं है, किंतु मजबूत {{math|◊<sup>+</sup>}} सिद्धांत, ◊ सिद्धांत और कुरेपा वृक्ष के अस्तित्व दोनों को दर्शाता है।

{{harvtxt|एकमन|वीवर|2004}} उपयोग किया गया {{math|◊}} सी*-बीजगणित बनाने के लिए |{{math|''C''*}}- बीजगणित नाइमार्क की समस्या के [[प्रति उदाहरण]] के रूप में कार्य करता है।

सभी कार्डिनल्स के लिए {{math|''κ''}} और [[स्थिर उपसमुच्चय]] {{math|''S'' ⊆ ''κ''<sup>+</sup>}}, {{math|◊<sub>''S''</sub>}} रचनात्मक ब्रह्मांड में रखता है। {{harvtxt|शेला|2010}} के लिए सिद्ध किया {{math|''κ'' > ℵ<sub>0</sub>}}, {{math|◊<sub>''κ''<sup>+</sup></sub>(''S'')}} से अनुसरण करता है {{math|2<sup>''κ''</sup> {{=}} ''κ''<sup>+</sup>}} स्थिर के लिए {{math|''S''}} जिसमें कोफ़िनलिटी के अध्यादेश सम्मिलित नहीं हैं {{math|''κ''}}.

शेलाह ने दिखाया कि हीरे का सिद्धांत व्हाइटहेड समस्या को हल करता है, जिसका अर्थ है कि व्हाइटहेड की हर समस्या मुक्त है।

== यह भी देखें ==
* [[ZFC से स्वतंत्र बयानों की सूची|जेडएफसी से स्वतंत्र बयानों की सूची]]
* एल में कथन सत्य | कथन सत्य में {{mvar|एल}}

== संदर्भ ==
{{refbegin|30em}}
*{{cite journal |last1=Akemann |first1=Charles |last2=Weaver |first2=Nik |year=2004 |title=Consistency of a counterexample to Naimark's problem |journal=[[Proceedings of the National Academy of Sciences]] |doi=10.1073/pnas.0401489101 |mr=2057719 |pmid=15131270 |pmc=419638 |arxiv=math.OA/0312135 |bibcode=2004PNAS..101.7522A |volume=101 |issue=20 |pages=7522–7525|doi-access=free }}
*{{cite journal |last1=Jensen |first1=R. Björn |year=1972 |title=The fine structure of the constructible hierarchy |journal=Annals of Mathematical Logic |doi=10.1016/0003-4843(72)90001-0 |doi-access=free |mr=0309729 |volume=4 |issue=3 |pages=229–308}}
*{{cite book |last=Rinot |first=Assaf |year=2011 |title=Set theory and its applications |chapter=Jensen's diamond principle and its relatives |series=Contemporary Mathematics |publisher=AMS |location=Providence, RI |isbn=978-0-8218-4812-8 |mr=2777747 |arxiv=0911.2151 |bibcode=2009arXiv0911.2151R |volume=533 |pages=125–156 |url=http://papers.assafrinot.com/?num=s01}}
*{{cite journal |last=Shelah |first=Saharon |author-link=Saharon Shelah |year=1974 |title=Infinite Abelian groups, Whitehead problem and some constructions |journal=[[Israel Journal of Mathematics]] |doi=10.1007/BF02757281 |doi-access=free |s2cid=123351674 |mr=0357114 |volume=18 |issue=3 |pages=243–256}}
*{{cite journal |last=Shelah |first=Saharon |author-link=Saharon Shelah |year=2010 |title=Diamonds |journal=[[Proceedings of the American Mathematical Society]] |doi=10.1090/S0002-9939-10-10254-8 |doi-access=free |volume=138 |issue=6 |pages=2151–2161}}
{{refend}}
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