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{{Short description|Generalization of associativity properties}}
गणित में, ऑपेराड एक संरचना है जिसमें एब्स्ट्रैक्ट (संक्षेप) [[ऑपरेशन (गणित)]] होते हैं, प्रत्येक में निश्चित परिमित संख्या में इनपुट और आउटपुट होता है, साथ ही इन ऑपरेशनों को बनाने के प्रकार का विनिर्देश होता है। ओपेरा '''''O''''' दिया गया है <math>O</math> इस समूह पर कंक्रीट ऑपरेशंस के साथ सेट होने के लिए बीजगणित को परिभाषित करता है जो कि संक्षेप [[ऑपरेशन (गणित)|ऑपरेशन]] की तरह ही व्यवहार करता है उदाहरण के लिए, ओपेरा '''''L''''' जैसे '''''L''''' के ऊपर बीजगणित लाई बीजगणित है; अर्थ में '''''L''''' संक्षेप प्रकार से उन ऑपरेशनों को स्कैनकोड करता है जो सभी लाई बीजगणित के लिए सामान्य है।ऑपेराड अपने बीजगणित के लिए [[समूह (गणित)]] के रूप में अपने समूह के प्रतिनिधित्व के लिए है।

== इतिहास ==
ऑपरेशंस [[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में उत्पन्न होते हैं ऑपेराड; 1969 में जे माइकल बोर्डमैन और रेनर एम. वोग्ट<ref>{{Cite journal|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1 November 1968|title=होमोटॉपी-सब कुछ $H$-स्पेस|url=https://www.ams.org/journals/bull/1968-74-06/S0002-9904-1968-12070-1/home.html|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|language=en-US|volume=74|issue=6|pages=1117–1123|doi=10.1090/S0002-9904-1968-12070-1|issn=0002-9904|doi-access=free}}</ref><ref>{{Cite book|last1=Boardman|first1=J. M.|author-link=Michael Boardman|last2=Vogt|first2=R. M.|date=1973|title=टोपोलॉजिकल स्पेस पर होमोटॉपी इनवेरिएंट बीजगणितीय संरचनाएं|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=347|doi=10.1007/bfb0068547|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-06479-4}}</ref> और 1970 मई जे. पीटर मे द्वारा प्रस्तुत लिया गया था।<ref>{{Cite book|last=May|first=J. P.|author-link=J. Peter May|date=1972|title=पुनरावृत्त लूप रिक्त स्थान की ज्यामिति|series=Lecture Notes in Mathematics|language=en-gb|volume=271|doi=10.1007/bfb0067491|issn=0075-8434|isbn=978-3-540-05904-2|citeseerx=10.1.1.146.3172}}</ref> ऑपेराड शब्द मई द्वारा संचालन और मोनड (श्रेणी सिद्धांत) के पोर्टमंतेऊ के रूप में बनाया गया था (और इसलिए भी कि उनकी मां एक ऑपेरा गायक थीं)।<ref>{{Cite web|url=https://www.math.uchicago.edu/~may/PAPERS/mayi.pdf|title=संचालन, बीजगणित और मॉड्यूल|last=May|first=J. Peter|author-link=J. Peter May|website=math.uchicago.edu|page=2|access-date=28 September 2018}}</ref> 90 के दशक की प्रारम्भ में ऑपेराड में रुचि अधिकांशतः नवीनीकृत हो गई थी, जब [[मैक्सिम कोंटेसेविच]], [[विक्टर गिन्ज़बर्ग]] और [[मिखाइल कापरानोव]] की  प्रारंभिक अंतर्दृष्टि के आधार पर पता चला कि तर्कसंगत होमोटोपी सिद्धांत में कुछ द्वंद [[द्वैत (गणित)|(गणित)]] घटनाओं को ऑपेराड के कोज़ुल द्वंद का उपयोग करके समझाया जा सकता है।<ref>{{Cite journal|last1=Ginzburg|first1=Victor|author-link=Victor Ginzburg|last2=Kapranov|first2=Mikhail|date=1994|title=ओपेरा के लिए द्वंद्व शर्ट|url=https://projecteuclid.org/euclid.dmj/1077286744|journal=Duke Mathematical Journal|language=en|volume=76|issue=1|pages=203–272|doi=10.1215/S0012-7094-94-07608-4|issn=0012-7094|mr=1301191|zbl=0855.18006|s2cid=115166937|via=[[Project Euclid]]}}</ref><ref>{{Cite web|url=http://www.numdam.org/item/SB_1994-1995__37__47_0|title=La renaissance des opérades|last=Loday|first=Jean-Louis|author-link=Jean-Louis Loday|year=1996|website=www.numdam.org|series=[[Séminaire Nicolas Bourbaki]]|language=en|mr=1423619|zbl=0866.18007|access-date=27 September 2018}}</ref> इसके बाद से ऑपरेड्स ने कई अनुप्रयोगों को पाया है, जैसे [[जहर कई गुना]] के [[विरूपण परिमाणीकरण]] में, डेलिग्ने अनुमान,<ref name="Deligne">{{cite arXiv|last1=Kontsevich|first1=Maxim|last2=Soibelman|first2=Yan|date=26 January 2000|title=ऑपरेड्स और डेलिग्ने के अनुमान पर बीजगणित की विकृति|eprint=math/0001151}}</ref> या मैक्सिम कोंटसेविच और [[ थॉमस विलवाकर |थॉमस विलवाकर]] के कार्य में [[ग्राफ (असतत गणित)]] होमोलॉजी (गणित) में किया गया है।

== अंतर्ज्ञान ==
:माना X एक समूह है और <math>n\in\N</math> को परिभाषित करता है 
:और <math>P(n):=\{f:X^n\to X\}</math>,

कार्टेशियन प्रोडक्ट से सभी फलन का समूह <math>n</math> की प्रतिरूप <math>X</math> को <math>X</math> है। 

हम इन कार्यों की रचना कर सकते हैं: दिया गया <math>f\in P(n)</math>, <math>f_1\in P(k_1),\ldots,f_n\in P(k_n)</math>, फलन 

:<math>f \circ (f_1,\ldots,f_n)\in P(k_1+\cdots+k_n)</math>
निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: दिया गया <math>k_1+\cdots+k_n</math> से तर्क <math>X</math>, हम उन्हें विभाजित करते हैं <math>n</math> ब्लॉक, पहले वाला <math>k_1</math>तर्क, दूसरा <math>k_2</math> तर्क, इत्यादि, और फिर क्रियान्वित करें <math>f_1</math>पहले ब्लॉक के लिए, <math>f_2</math> दूसरे ब्लॉक इत्यादि के लिए है। फिर हम मान '''''X''''' से प्राप्त n मानों की सूचि में f को इस प्रकार क्रियान्वित करते हैं | 

हम तर्कों को भी अनुमति दे सकते हैं, अर्थात हमारे पास [[समूह क्रिया]] है <math>*</math> सममित [[सममित समूह|समूह]] का <math>S_n</math> पर <math>P(n)</math>, द्वारा परिभाषित

:<math>(f*s)(x_1,\ldots,x_n) = f(x_{s^{-1}(1)},\ldots,x_{s^{-1}(n)})</math>
के लिए <math>f\in P(n)</math>, <math>s\in S_n</math> और <math>x_1,\ldots,x_n\in X</math>.

नीचे दी गई सममित ऑपेराड की परिभाषा इन दो आपरेशनों के आवश्यक गुणों को पकड़ती है <math>\circ</math> और <math>*</math>.

== परिभाषा ==

=== गैर-सममित संक्रिया ===
असममित ऑपेराड (कभी-कभी क्रमचय के बिना ऑपेराड कहा जाता है, या गैर-<math>\Sigma</math>या प्लेन ऑपेराड) में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:
* अनुक्रम <math>(P(n))_{n\in\mathbb{N}}</math> समूह के, जिनके तत्व कहलाते हैं<math>n</math>-एरी ऑपरेशन ,
* अवयव <math>1</math> में <math>P(1)</math> पहचान कहते हैं,
* सभी धन पूर्णांक के लिए <math>n</math>, <math display="inline">k_1,\ldots,k_n</math>, संघटन फलन 

:<math>
\begin{align}
\circ: P(n)\times P(k_1)\times\cdots\times P(k_n) & \to P(k_1+\cdots+k_n)\\
(\theta,\theta_1,\ldots,\theta_n) & \mapsto \theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n),
\end{align}
</math>
निम्नलिखित सुसंगतता सिद्धांतों को संतुष्ट करना:
* पहचान: <math>\theta\circ(1,\ldots,1)=\theta=1\circ\theta</math>
* साहचर्य:
:: <math>
\begin{align}
& \theta \circ \Big(\theta_1 \circ (\theta_{1,1}, \ldots, \theta_{1,k_1}), \ldots, \theta_n \circ (\theta_{n,1}, \ldots,\theta_{n,k_n})\Big) \\
= {} & \Big(\theta \circ (\theta_1, \ldots, \theta_n)\Big) \circ (\theta_{1,1}, \ldots, \theta_{1,k_1}, \ldots, \theta_{n,1}, \ldots, \theta_{n,k_n})
\end{align}
</math>


=== सममित ऑपरैड ===
सममित ऑपेराड (अधिकांशतः ऑपरैड कहा जाता है) असममित ऑपेराड है <math>P</math> ऊपर के रूप में, एक साथ सममित समूह <math>S_n</math>पर <math>P(n)</math> के एक समान क्रिया के लिए <math>n\in\N</math>, द्वारा चिह्नित <math>*</math> और संतुष्ट करना है 

*समतुल्यता: क्रमचय दिया गया <math>t\in S_n</math>,
:: <math>
(\theta*t)\circ(\theta_{t(1)},\ldots,\theta_{t(n)}) = (\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))*t'
</math>
::(जहाँ <math>t'</math> दाहिने पक्ष की ओर के अवयव को संदर्भित करता है <math>S_{k_1+\dots+k_n}</math>जो समूह पर कार्य करता है <math>\{1, 2, \dots , k_1+\dots +k_n\}</math> इसे तोड़कर <math>n</math> ब्लॉक, आकार का पहला <math>k_1</math>, आकार का दूसरा <math>k_2</math>, के माध्यम से <math>n</math>वें आकार का ब्लॉक <math>k_n</math>, और फिर इन्हें परमिट करता है <math>n</math> द्वारा ब्लॉक करता है <math>t</math>, प्रत्येक ब्लॉक को जोड़े रखते) |
: और दिया <math>n</math> क्रमचय <math>s_i \in S_{k_i}</math>,
::<math>
\theta\circ(\theta_1*s_1,\ldots,\theta_n*s_n) = (\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))*(s_1,\ldots,s_n)
</math>
::( जहाँ <math>(s_1,\ldots,s_n)</math> के अवयव को दर्शाता है <math>S_{k_1+\dots+k_n}</math>जो इन ब्लॉकों में से पहले <math>s_1</math>परमिट करता है, दूसरा <math>s_2</math>द्वारा, इत्यादि, और उनके सभी क्रम को उपस्थित रखता है)।

इस परिभाषा में क्रमचय क्रियाएं अधिकांश अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण हैं, जिनमें मूल अनुप्रयोग से लेकर लूप स्पेस तक सम्मिलित हैं।

=== आकारिकी ===
ओपेरा की व्याख्या  <math>f:P\to Q</math> यहाँ पर अनुक्रम होते हैं के होते हैं
:<math>(f_n:P(n)\to Q(n))_{n\in\mathbb{N}}</math>
वह:
*पहचान रखता है: <math>f(1)=1</math>
* संरचना को संरक्षित करता है: प्रत्येक एन-आरी ऑपरेशन के लिए <math>\theta</math> और संचालन <math>\theta_1 , \ldots , \theta_n</math>,
:: <math>
f(\theta\circ(\theta_1,\ldots,\theta_n))
= f(\theta)\circ(f(\theta_1),\ldots,f(\theta_n))
</math>
* क्रमचय क्रियाओं को संरक्षित करता है: <math>f(x*s)=f(x)*s</math>.
*ऑपेराड इसलिए [[श्रेणी (गणित)]] बनाते हैं जिसे ओपेर द्वारा निरूपित किया जाता है .

=== अन्य श्रेणियों में ===
अब तक ऑपेराड को सिर्फ समूह के [[श्रेणी सिद्धांत]] में ही माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी भी [[सममित मोनोइडल श्रेणी]] सी में ऑपेराड को परिभाषित करना संभव है। ऐसे में प्रत्येक <math>P(n)</math> सी की ऑब्जेक्ट है, रचना <math>\circ</math> व्याख्या है <math>P(n)\otimes P(k_1)\otimes\cdots\otimes P(k_n) \to P(k_1+\cdots+k_n)</math> सी में (जहां <math>\otimes</math> मोनोइडल श्रेणी के टेंसर उत्पाद को दर्शाता है), और सममित समूह तत्वों की क्रियाएं सी में समरूपता द्वारा दी जाती हैं।

कार्टेशियन प्रोडक्ट द्वारा दिए गए मोनोइडल प्रोडक्ट के साथ सामान्य उदाहरण [[टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान|टोपोलॉजिकल स्पेस]] और निरंतर मैप की श्रेणी है। इस कथन में, टोपोलॉजिकल ऑपेराड स्पेस (समूह के विपरीत) के अनुक्रम द्वारा दिया जाता है <math>\{ P(n) \}_{n \ge 0}</math>. ऑपेराड के संरचना मैप (सममित समूहों की रचना और क्रियाएं) को तब निरंतर माना जाता है। परिणाम को टोपोलॉजिकल ऑपेराड कहा जाता है। इसी मैप,ऑपेराड के आकारिकी की परिभाषा में, यह मान लेना आवश्यक होगा कि इसमें प्रकार  सम्मिलित मैप निरंतर हैं।

ऑपेराड को परिभाषित करने के लिए अन्य सामान्य सेटिंग्स में सम्मिलित हैं, उदाहरण के लिए,[[ क्रमविनिमेय अंगूठी | क्रमविनिमेय रिंग]], [[चेन कॉम्प्लेक्स]], ग्रुपोइड्स (या यहां तक कि श्रेणियों की श्रेणी), [[कोलजेब्रा]], [[मॉड्यूल (गणित)|मॉड्यूल (गणित) इत्यादि हैं]]।

=== बीजगणित की परिभाषा ===
क्रमविनिमेय वलय R को  दिया गया है हम आर R से अत्यधिक मॉड्यूल की श्रेणी आर-मॉड पर विचार करते हैं। आर पर ऑपेराड को[[ मोनॉइड वस्तु | मोनॉइड ऑब्जेक्ट]] के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>(T, \gamma, \eta)</math> [[एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी]] में आर-मॉड (यह मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है) कुछ परिमित स्थिति को संतुष्ट करता है।उदाहरण के लिए, बहुपद एंडोफंक्टर्स की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट आर-मॉड ऑपेराड है।<ref name=Deligne />इसी प्रकार, सममित ऑपेराड को एस-ऑब्जेक्ट की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathbb{S}</math>-ऑब्जेक्ट्स, जहां <math>\mathbb{S}</math> मतलब सममित समूह है।<ref>{{cite arXiv|last1=Jones|first1=J. D. S.|last2=Getzler|first2=Ezra|date=8 March 1994|title=डबल लूप स्पेस के लिए ऑपरेड्स, होमोटॉपी बीजगणित और पुनरावृत्त इंटीग्रल|eprint=hep-th/9403055|language=en}}</ref> संयोजी प्रजातियों की श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट परिमित  समूहों में ऑपेराड है।

उपरोक्त अर्थ में ऑपेराड को कभी-कभी सामान्यीकृत रिंग के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, निकोलाई ड्यूरोव अपने सामान्यीकृत रिंगों को एंडोफंक्टर्स की मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड ऑब्जेक्ट्स के रूप में परिभाषित करता है। समूह जो फ़िल्टर्ड कोलिमिट्स के साथ चलता है।<ref>N. Durov, New approach to Arakelov geometry, University of Bonn, PhD thesis, 2007; [http://www.arxiv.org/abs/0704.2030 arXiv:0704.2030].</ref> यह वलय का सामान्यीकरण है क्योंकि प्रत्येक साधारण वलय R मोनाड को परिभाषित करता है <math>\Sigma_R: \textbf{Set} \to \textbf{Set}</math> जो फ्री मॉड्यूल है | फ्री आर-मॉड्यूल के अंतर्निहित समूह को समूह एक्स भेजता है  जो <math>R^{(X)}</math>X द्वारा उत्पन्न होता है।

== स्वयंसिद्धों को समझना ==

=== साहचर्य स्वयंसिद्ध ===
 
साहचर्य का अर्थ है कि ऑपेराड का संयोजन साहचर्य है (कार्यक्रम <math>\circ</math> साहचर्य है), श्रेणी सिद्धांत में स्वयंसिद्ध के अनुरूप है <math>f \circ (g \circ h) = (f \circ g) \circ h</math>; इसका अर्थ यह नहीं है कि ऑपेराड स्वयं ऑपेराड के रूप में साहचर्य हैं। नीचे साहचर्य ऑपेराड के साथ तुलना करें।

ऑपेराड सिद्धांत में सहयोगीता का अर्थ है कि व्यंजक [[अभिव्यक्ति (गणित)|(गणित)]] को छोड़े गए रचनाओं से अस्पष्टता के बिना संचालन सम्मिलित किया जा सकता है, जैसे संचालन के लिए सहयोगीता प्रोडक्ट्स को छोड़े गए कोष्ठकों से अस्पष्टता के बिना लिखे जाने की अनुमति देती है।

उदाहरण के लिए, यदि <math>\theta</math> बाइनरी ऑपरेशन है, जिसे लिखा जाता है <math>\theta(a,b)</math> या <math>(ab)</math>. जिससे <math>\theta</math> सहयोगी हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।

फिर जो सामान्य तौर पर लिखा जाता है <math>((ab)c)</math> स्पष्ट प्रकार से <math>\theta \circ (\theta,1)</math> के रूप में  लिखा जाता है। यह भेजता है <math>(a,b,c)</math> को <math>(ab,c)</math> (आवेदन करना <math>\theta</math> पहले दो पर, और तीसरे पर पहचान), और फिर <math>\theta</math> बाईं ओर गुणा करता है <math>ab</math> द्वारा <math>c</math>. पेड़ के रूप में चित्रित करने पर यह स्पष्ट हो जाता है:

[[File:OperadTreeCompose1.svg|रचना से पहले पेड़]]जो एक 3-एरी ऑपरेशन देता है:

[[File:OperadTreeCompose2.svg|रचना के बाद वृक्ष]]
{{Clear}}

चूँकि, व्यंजक, <math>(((ab)c)d)</math> प्राथमिक अस्पष्ट है: इसका यदि अर्थ हो सकता है <math>\theta \circ ((\theta,1) \circ ((\theta,1),1))</math>, यदि आंतरिक रचनाएँ पहले की जाती हैं, या इसका    अर्थ हो सकता है <math>(\theta \circ (\theta,1)) \circ ((\theta,1),1)</math>, यदि बाहरी रचनाएँ पहले की जाती हैं (संचालन दाएं से बाएं पढ़े जाते हैं)। लिखना <math>x=\theta, y=(\theta,1), z=((\theta,1),1)</math>, यह है <math>x \circ (y \circ z)</math> बनाम <math>(x \circ y) \circ z</math>. यही है, पेड़ में लंबवत कोष्ठक अनुपस्थित हैं:

[[File:OperadTreeCompose3.svg|रचना से पहले पेड़]]यदि संचालन की शीर्ष दो पंक्तियों को पहले बनाया जाता है (पर ऊपर की ओर कोष्ठक लगाता है <math>(ab)c\ \ d</math> पंक्ति; आंतरिक रचना पहले करता है), निम्नलिखित परिणाम:

[[File:OperadTreeCompose4.svg|बीच का पेड़]]जो तब 4-एरी ऑपरेशन के लिए स्पष्ट प्रकार से मूल्यांकन करता है। एनोटेटेड व्यंजक के रूप में:
:<math>\theta_{(ab)c\cdot d} \circ ((\theta_{ab \cdot c},1_d) \circ ((\theta_{a\cdot b},1_c),1_d))</math>

[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]यदि संचालन की निचली दो पंक्तियों को पहले बनाया जाता है (नीचे की ओर कोष्ठक डालता है <math>ab\quad c\ \ d</math> पंक्ति; पहले बाहरी रचना करता है), निम्नलिखित परिणाम:

[[File:OperadTreeCompose6.svg|बीच का पेड़]]जो तब 4-एरी ऑपरेशन उत्पन्न करने के लिए स्पष्ट प्रकार से मूल्यांकन करता है:

[[File:OperadTreeCompose5.svg|रचना के बाद वृक्ष]]साहचर्य का   यह है कि ये एक ही परिणाम देते हैं, और इस प्रकार यह अभिव्यक्ति <math>(((ab)c)d)</math> असंदिग्ध है।

=== पहचान स्वयंसिद्ध ===
पहचान स्वयंसिद्ध (बाइनरी ऑपरेशन के लिए) एक पेड़ में कल्पना की जा सकती है:

[[Image:OperadIdentityAxiom.svg|एक ओपेरा में पहचान का स्वयंसिद्ध]]जिसका अर्थ है कि प्राप्त तीन ऑपरेशन समान हैं: पहचान के साथ पूर्व या बाद की रचना से कोई फर्क नहीं पड़ता। श्रेणियों के लिए, <math>1 \circ 1 = 1</math> पहचान स्वयंसिद्ध का एक परिणाम है।

== उदाहरण ==

आकारिकी समूह और ऑपेराड बीजगणित में संचालित होता है ऊपर दिए गए अनुभव पर अनुभाग में दिए गए सबसे आकारिकी ऑपेराड हैं। किसी भी समूह के लिए <math>X</math>, हम <math>\mathcal{End}_X </math> सभी फलन से मिलकर <math>X^n\to X</math>आकारिकी ऑपेराड प्राप्त करते हैं। ये ऑपेराड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे ऑपेराड बीजगणित को परिभाषित करने के लिए कार्य करते हैं। यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, ऑपेराड  बीजगणित <math>\mathcal{O}</math> है <math>X</math> समूह द्वारा दिया जाता और ऑपेराड व्याख्या <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_X</math> है। सरल प्रकार से, इस प्रकार की व्याख्या के प्रत्येक संक्षेप संचालन को बदल देता है <math>\mathcal{O}(n)</math> ठोस में <math>n</math> समूह एन-एरी ऑपरेशन <math>X</math> है। '''''O''''' पर ऑपेराड बीजगणित इस प्रकार '''''X''''' पर ठोस संचालन के साथ समूह '''''X''''' होता है जो ऑपेराड '''''O''''' द्वारा स्पष्ट प्रकार से निर्दिष्ट नियमों का पालन करता है।    

=== वेक्टर रिक्त स्थान में एंडोमोर्फिज्म ऑपरैड और ऑपरैड अलजेब्रा ===
यदि के [[क्षेत्र (गणित)]] है, तो हम के पर परिमित- विमीय सदिश समष्टियों की श्रेणी पर विचार कर सकते हैं; यह के पर साधारण [[टेंसर उत्पाद]] का उपयोग करके मोनोइडल श्रेणी बन जाती है। हम इस श्रेणी में आकारिकी ऑपरेशंस को निम्नानुसार परिभाषित कर सकते हैं। चलो वी परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस हो आकारिकी ऑपेराड  <math>\mathcal{End}_V = \{ \mathcal{End}_V(n) \}</math> वी के होते हैं<ref>{{cite journal|last1=Markl|first1=Martin|year=2006|title=ऑपरेशंस और प्रोप|journal=Handbook of Algebra|volume=5|issue=1|pages=87–140|doi=10.1016/S1570-7954(07)05002-4|arxiv=math/0601129 |isbn=9780444531018|s2cid=3239126}} Example 2</ref>
# <math>\mathcal{End}_V(n)</math> = रैखिक मानचित्रों का स्थान <math>V^{\otimes n} \to V</math>,
# (रचना) दिया गया <math>f\in\mathcal{End}_V(n)</math>, <math>g_1\in\mathcal{End}_V(k_1)</math>, ..., <math>g_n\in\mathcal{End}_V(k_n)</math>, उनकी रचना मानचित्र द्वारा दी गई है  <math>V^{\otimes k_1} \otimes \cdots \otimes V^{\otimes k_n} \ \overset{g_1 \otimes \cdots \otimes g_n}\longrightarrow \ V^{\otimes n} \ \overset{f}\to \ V</math>,
# (पहचान) में पहचान तत्व <math>\mathcal{End}_V(1)</math> पहचान मानचित्र है <math>\operatorname{id}_V</math>,
# (सममित समूह क्रिया) <math>S_n</math> <math>V^{\otimes n}</math> में टेंसर के घटकों की अनुमति देकर <math>\mathcal{End}_V(n)</math> पर कार्य करता है। 

यदि <math>\mathcal{O}</math> ऑपेराड है, के-रैखिक ऑपेराड बीजगणितीय ओवर <math>\mathcal{O}</math> परिमित- विमीय वेक्टर स्पेस वी ओवर के और ऑपेराड व्याख्या द्वारा दिया जाता है <math>\mathcal{O} \to \mathcal{End}_V</math>; यह वी पर ठोस बहुरेखीक ऑपरेशंस को निर्दिष्ट करने की मात्रा है जो <math>\mathcal{O}</math> के ऑपरेशंस की तरह व्यवहार करती है. (ऑपेराड्स और ऑपेराड बीजगणित और रिंग्स और मॉड्यूल के बीच समानता पर ध्यान दें: रिंग आर पर मॉड्यूल एबेलियन समूह एम द्वारा रिंग <math>R \to \operatorname{End}(M)</math> समरूपता के साथ दिया जाता है)  

अनुप्रयोगों के आधार पर, उपरोक्त की विविधताएं संभव हैं: उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी में, उनके बीच वेक्टर स्पेस और टेंसर प्रोडक्ट्स के विपरीत      उनके बिच टोपोलॉजिकल स्पेस और कार्टेशियन प्रोडक्ट का उपयोग किया जाता है।

=== थोड़ा कुछ ओपेरा ===
[[Image:Composition in the little discs operad.svg|thumb|छोटे 2-डिस्क ऑपरैड में ऑपेरडिक रचना, पाठ में समझाया गया है।|300x300px]]छोटा 2-डिस्क ऑपेराड सामयिक ऑपेराड है जहां <math>P(n)</math> की [[यूनिट डिस्क]] के अंदर n डिसजॉइंट [[डिस्क (गणित)]] की ऑर्डर की गई सूचियाँ सम्मिलित हैं <math>\R^2</math> मूल पर केन्द्रित है। सममित समूह छोटे डिस्क की सूची को क्रमपरिवर्तन करके ऐसे विन्यास पर कार्य करता है। छोटी डिस्क के लिए ऑपेराड रचना को साथ में दाईं ओर दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, जहां अवयव  <math>\theta\in P(3)</math> अवयव <math>(\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(2)\times P(3)\times P(4)</math> के साथ बना है और <math>\theta \circ (\theta_1,\theta_2,\theta_3)\in P(9)</math> के विन्यास को सिकोड़ कर प्राप्त किया <math>\theta_i</math> और इसे i-th डिस्क में सम्मिलित किया जाता है <math>\theta</math>, <math>i=1,2,3</math> के लिए किया जाता है। 

समान प्रकार से, <math>\R^n</math> यूनिट बॉल के अंदर असम्बद्ध एन-बॉल्स के विन्यास पर विचार करके छोटे एन-डिस्क ऑपेराड को परिभाषित कर सकता है <ref>Giovanni Giachetta, Luigi Mangiarotti, [[Sardanashvily|Gennadi Sardanashvily]] (2005) ''Geometric and Algebraic Topological Methods in Quantum Mechanics,'' {{isbn|981-256-129-3}}, [https://books.google.com/books?id=fLbisfrkWpoC&pg=PA474 pp. 474,475]</ref>. मुख्य प्रकार  से छोटे एन-क्यूब्स ऑपेराड या छोटे अंतराल ऑपेराड (प्रारम्भ में छोटे एन-क्यूब्स पीआरओ (श्रेणी सिद्धांत) कहा जाता है) को [[माइकल बोर्डमैन]] और [[रेनर वोग्ट]] द्वारा इसी तरह परिभाषित किया गया था, असम्बद्ध अक्ष-संरेखित एन-के विन्यास के संदर्भ में किया गया था। यूनिट [[ अतिविम |अतिविमय]] के अंदर [[ अतिविम |विमय]] हाइपरक्यूब्स (एन-[[ अतिविम |विमय]] इंटरवल (गणित))।<ref>{{Cite book|title=स्वयंसिद्ध, समृद्ध और प्रेरक समरूपता सिद्धांत|last=Greenlees|first=J. P. C.|publisher=Springer Science & Business Media|year=2002|isbn=978-1-4020-1834-3|series=Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on स्वयंसिद्ध, समृद्ध और प्रेरक समरूपता सिद्धांत|location=Cambridge, [[United Kingdom]]|pages=154–156}}</ref> बाद में इसे मई तक सामान्य कर दिया गया था <ref>{{cite journal | last1 = May | first1 = J. P. | year = 1977 | title = अनंत लूप अंतरिक्ष सिद्धांत| url = http://projecteuclid.org/DPubS?verb=Display&version=1.0&service=UI&handle=euclid.bams/1183538891&page=record| journal = Bull. Amer. Math. Soc. | volume = 83 | issue = 4| pages = 456–494 | doi=10.1090/s0002-9904-1977-14318-8| doi-access = free }}</ref> छोटे उत्तल निकायों के लिए ऑपेराड और छोटी डिस्क छोटे उत्तल निकायों से प्राप्त लोककथाओं का कथन है।<ref>{{Cite arXiv |eprint=math/9803156 |title=ग्राफ्टिंग बोर्डमैन के चेरी के पेड़ क्वांटम फील्ड थ्योरी के लिए|last1=Stasheff |first1=Jim |year=1998}}</ref>


=== जड़ वाले पेड़ ===
ग्राफ थ्योरी में, जड़ वाले पेड़ प्राकृतिक ऑपेराड बनाते हैं। यहाँ, <math>P(n)</math> n पत्तों वाले सभी जड़ वाले वृक्षों का समुच्चय है, जहाँ पत्तियाँ 1 से n तक क्रमांकित हैं। समूह <math>S_n</math> लीफ लेबल्स को क्रमपरिवर्तन करके इस समूह पर कार्य  करता है। ऑपरेटिव रचना <math>T\circ (S_1,\ldots,S_n)</math> के i-वें पत्ते को बदलकर दिया जाता है <math>T</math> i-वें पेड़ की जड़ से <math>S_i</math>, के लिए <math>i=1,\ldots,n</math>, इस प्रकार n पेड़ों को संलग्न करना <math>T</math> और एक बड़ा पेड़ बनाते हैं, जिसकी जड़ को जड़ के समान ही लिया जाता है <math>T</math> और जिनकी पत्तियाँ क्रम से क्रमांकित हैं।

=== स्विस-चिज ऑपेराड ===


''स्विस-चीज़ ऑपेराड''  दो-रंग का टोपोलॉजिकल ऑपेराड है, जो इकाई एन-सेमीडिस्क और एन के अंदर डिसजॉइंट एन-क्रमपरिवर्तन डिस्क (गणित) के विन्यास  के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। '-डायमेंशनल सेमीडिस्क, इकाई सेमीडिस्क के आधार पर केंद्रित है और इसके भीतर अधिवेशन है। ऑपेराडिक रचना इकाई  डिस्क के अंदर छोटी डिस्क के ग्लूइंग विन्यास से दूसरी इकाई सेमीडिस्क में छोटी डिस्क और यूनिट सेमीडिस्क के अंदर छोटी डिस्क और विन्यास से दूसरी यूनिट सेमीडिस्क में आती है।

स्विस-''चीज़ ऑपेराड''  को अलेक्जेंडर ए वोरोनोव द्वारा परिभाषित किया गया था।<ref>{{Cite book|title=स्विस-पनीर ओपेरा|last=Voronov|first=Alexander A.|publisher=AMS|year=1999|isbn=978-0-8218-7829-3|series=Contemporary Mathematics|location=Baltimore, Maryland, [[United States]]|pages=365–373}}</ref> इसका उपयोग मैक्सिम कोंटेसेविच द्वारा डेलिग्ने अनुमान के स्विस-''चीज़''  संस्करण को तैयार करने के लिए किया गया था। होशचाइल्ड कोहोलॉजी पर डेलिग्ने का अनुमान में किया गया था।<ref>{{cite journal | last1 = Kontsevich | first1 = Maxim | year = 1999 | title = विरूपण परिमाणीकरण में संचालन और मकसद| url = https://link.springer.com/article/10.1023/A:1007555725247| journal = Lett. Math. Phys. | volume = 48 | pages = 35–72 | doi=10.1023/A:1007555725247 | arxiv = math/9904055 | bibcode = 1999math......4055K | s2cid = 16838440 }}</ref> कोन्टसेविच का अनुमान [[ पो मैं |पो मैं]], [[इगोर क्रिज़]] और अलेक्जेंडर ए वोरोनोव द्वारा आंशिक रूप से सिद्ध किया गया था<ref>{{cite journal | last1 = Hu | first1 = Po | last2 = Kriz | first2 = Igor | last3 = Voronov | first3 = Alexander A. | year = 2006 | title = कोंटसेविच के होशचाइल्ड कोहोलॉजी अनुमान पर| journal = Compositio Mathematica | volume = 142 | issue = 1| pages = 143–168 | doi=10.1112/S0010437X05001521 | doi-access = free }}</ref> और फिर पूरी तरह से [[जस्टिन थॉमस (गणितज्ञ)]] द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref>{{cite journal | last1 = Thomas | first1 = Justin | year = 2016 | title = Kontsevich का स्विस पनीर अनुमान| url = https://projecteuclid.org/euclid.gt/1510858920| journal = Geom. Topol. | volume = 20 | issue = 1| pages = 1–48 | doi = 10.2140/gt.2016.20.1 | arxiv = 1011.1635 | s2cid = 119320246 }}</ref>


=== साहचर्य संक्रिया ===
ऑपेराड के उदाहरणों का अन्य वर्ग बीजगणितीय संरचनाओं की संरचनाओं पर अधिकार कर रहा है, जैसे साहचर्य बीजगणित, क्रमविनिमेय बीजगणित और लाई बीजगणित है। इनमें से प्रत्येक को बाइनरी ऑपरेशंस द्वारा उत्पन्न इन तीनों में से प्रत्येक में सूक्ष्म प्रकार से प्रस्तुत ऑपेराड के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, साहचर्य ऑपेराड बाइनरी ऑपरेशंस द्वारा उत्पन्न सममित ऑपेराड है <math>\psi</math>, केवल इस अवस्था पर आधारित है  
:<math>\psi\circ(\psi,1)=\psi\circ(1,\psi).</math>
यह स्थिति बाइनरी ऑपरेशन की साहचर्यता से मिलता है <math>\psi</math>; लिखना <math>\psi(a,b)</math> गुणात्मक प्रकार से, उपरोक्त स्थिति <math>(ab)c = a(bc)</math> है। ऑपेराड की इस साहचर्यता को संघटन की साहचर्यता के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए जो किसी ऑपेराड में धारण करती है; ऊपर साहचर्य का सूक्ति देखें।

साहचर्य ऑपेराड में, प्रत्येक <math>P(n)</math> सममित समूह <math>S_n</math>द्वारा दिया गया है जिस पर <math>S_n</math> सही गुणन द्वारा कार्य करता है। समग्र <math>\sigma \circ (\tau_1, \dots, \tau_n)</math> के अनुसार ब्लॉक में <math>\sigma</math> इसके इनपुट की अनुमति देता है, और <math>\tau_i</math>उपयुक्त के अनुसार ब्लॉकों के भीतर है। 

साहचर्य ऑपेराड पर बीजगणित सही प्रकार से अर्धसमूह होते हैं: एकल द्विआधारी साहचर्य ऑपेराड के साथ समूह होते हैं। साहचर्य ऑपेराड पर के-रैखिक बीजगणित वास्तव में साहचर्य बीजगणित हैं | 

=== टर्मिनल सममित संक्रिया ===
टर्मिनल सममित ऑपेराड वह ऑपेराड है जिसमें प्रत्येक एन के लिए प्रत्येक एन-आरी ऑपरेशन होता है <math>S_n</math>नगण्य क्रिया है। इस ऑपेराड पर बीजगणित क्रमविनिमेय अर्धसमूह हैं; के-रेखीय बीजगणित क्रमविनिमेय साहचर्य के-बीजगणित हैं।

===ब्रेड समूहों से संचालित होता है===
इसी प्रकार, अप-<math>\Sigma</math>ऑपेराड जिसके लिए प्रत्येक पी(एन) आर्टिन ब्रेड समूह B<sub>n</sub> द्वारा दिया गया है। इसके अतिरिक्त, यह अप-<math>\Sigma</math>ऑपेराड में ब्रेडेड ऑपेराड की संरचना होती है, जो ऑपेराड की धारणा को सममित से ब्रेड समूहों तक सामान्यीकृत करती है।

=== रेखीय बीजगणित ===
रेखीय बीजगणित में, वास्तविक वेक्टर स्पेस को ऑपेराड के ऊपर बीजगणित माना जा सकता है <math>\R^\infty</math> सभी [[रैखिक संयोजन|रैखिक संयोजनों]] की तरह है। <math>\R^\infty(n)=\R^n</math> के लिए <math>n\in\N</math> इस ऑपेराड द्वारा परिभाषित किया गया है, <math>S_n</math> क्रमचय घटकों के उचित कदम के साथ, और संरचना <math>\vec{x}\circ (\vec{y_1},\ldots,\vec{y_n})</math> वैक्टर के संयोजन द्वारा दिया गया <math>x^{(1)}\vec{y_1},\ldots,x^{(n)}\vec{y_n}</math>, जहाँ <math>\vec{x}=(x^{(1)},\ldots, x^{(n)})\in\R^n</math> है। सदिश <math>\vec{x}=(2,3,-5,0,\dots)</math> है। उदाहरण के लिए गुणांक 2,3,-5,0,... के साथ  रैखिक संयोजन बनाने के संचालन को प्रदर्शित करता है।

यह दृष्टिकोण इस धारणा को औपचारिक रूप देता है कि रैखिक संयोजन सदिश स्थान पर सबसे सामान्य प्रकार का ऑपरेशन है - यह कहना कि सदिश स्थान रैखिक संयोजनों के ऑपेराड पर बीजगणित है, ठीक इसी प्रकार यह कथन है कि सदिश स्थान में सभी संभव बीजगणितीय ऑपेराड रैखिक संयोजन है। सदिश जोड़ और अदिश गुणन के संबंधित ऑपेराड सभी रैखिक संयोजनों के ऑपेराड के लिए [[जनरेटिंग सेट|जनरेटिंग समूह]] हैं, जबकि रैखिक संयोजन ऑपेराड सदिश स्थान पर सभी संभावित संचालनों को सांकेतिक प्रकार से एनकोड करता है।

इसी प्रकार, अफ्फिन संयोजनों, [[शंक्वाकार संयोजन|शंक्वाकार संयोजनों]] और [[उत्तल संयोजन|उत्तल संयोजनों]] को उप-ऑपेराड के अनुरूप माना जा सकता है जहां सदिश <math>\vec{x}</math> के पदों का योग 1 है, सभी पद क्रमशः अऋणात्मक या दोनों हैं। रेखांकन प्रकार से, इनफिनिट अफ्फिन इनफिनिट हाइपरप्लेन, हाइपर-ऑक्टेंट इनफिनिट और सिम्प्लेक्स हैं। यह औपचारिकता करता है कि <math>\R^n</math> होने का क्या अर्थ है या मानक सिम्पलेक्स मॉडल स्पेस है, और इस प्रकार के टिप्पणियां जैसे कि प्रत्येक बाध्य [[उत्तल पॉलीटॉप]] सिंप्लेक्स की इमेज  है। यहां सबऑपराड्स अत्यधिक प्रतिबंधित ऑपेराड और इस प्रकार अधिक सामान्य सिद्धांतों के अनुरूप हैं।

=== क्रमविनिमेय-अंगूठी संकार्य और झूठ संकार्य ===
क्रमविनिमेय-रिंग ऑपेराड है जिसका बीजगणितीय क्रमविनिमेय वलय है। यह <math>P(n)=\Z[x_1,\ldots,x_n]</math> द्वारा परिभाषित किया गया है, <math>S_n</math> उचित कदम के साथ और चर के लिए बहुपदों (पुनः क्रमांकित चर के साथ) को प्रतिस्थापित करके दी गई ऑपेरैडिक रचना है। समान ऑपरैड को परिभाषित किया जा सकता है जिसका बीजगणित कुछ निश्चित आधार क्षेत्र पर साहचर्य, क्रमविनिमेय बीजगणित हैं। इस ऑपरैड का कॉसज़ुल-डुअल लाइ ऑपरैड है (जिसका बीजगणित लाइबीजगणित है), और इसके विपरीत है।

== फ्री ऑपरेशंस ==
विशिष्ट बीजगणितीय निर्माण (जैसे, फ्री बीजगणित निर्माण) को ऑपेराड तक बढ़ाया जा सकता है। समुच्चय<sup>''S''n</sup> उस श्रेणी को निरूपित करें जिसकी ऑब्जेक्ट समूह पर  होता है जिस पर समूह <math>S_n</math>कार्य करता है। फिर नगण्य करक है ओपेर, जो ऑपेराड सामान्यतः नगण्य हो जाता है | सहायक फ़ैक्टर्स का निर्माण संभव है <math>\Gamma: \prod_{n\in\N} \mathbf{Set}^{S_n}\to \mathsf{Oper}</math> इस नगण्य कारक के लिए (यह फ्री कारक की सामान्य परिभाषा है)। संचालन ई के संकलन को देखते हुए, <math>\Gamma(E)</math> ई पर फ्री ऑपेरड है।

समूह या रिंग की तरह, नि: शुल्क निर्माण जनरेटर और संबंधों के संदर्भ में ओपेरा को व्यक्त करने की अनुमति देता है। ओपेरा के मुक्त प्रदर्शित <math>\mathcal{O}</math> द्वारा, हमारा अर्थ लिखना है <math>\mathcal{O}</math> मुफ्त ओपेरा के भागफल के रूप में <math>\mathcal{F} = \Gamma(E)</math> जहां ई के जनरेटर का वर्णन करता है <math>\mathcal{O}</math> और अधिरूपता की मूल  <math>\mathcal{F} \to \mathcal{O}</math> संबंधों का वर्णन करता है।

ए (सममित) ऑपेराड <math>\mathcal{O} = \{ \mathcal{O}(n) \}</math> द्विघात कहा जाता है यदि इसकी मुक्त प्रस्तुति है जैसे कि <math>E = \mathcal{O}(2)</math> जनरेटर है और संबंध इसमें निहित है <math>\Gamma(E)(3)</math>.<ref>{{cite journal | last1 = Markl | first1 = Martin| year = 2006 |  title = Operads and PROPs | journal = Handbook of Algebra | volume = 5 | pages = 87–140|  doi = 10.1016/S1570-7954(07)05002-4  | isbn = 9780444531018| s2cid = 3239126}} Definition 37</ref>


== होमोटॉपी थ्योरी में ऑपरेशंस ==
{{expand section|date=December 2018}}
स्टैशेफ़ (2004) में, स्टैशेफ़ लिखते हैं:
:ऑपेराड होमोटॉपी की सही धारणा वाली श्रेणियों में विशेष रूप से महत्वपूर्ण और उपयोगी होते हैं, जहां वे उच्च समरूपता के पदानुक्रम को व्यवस्थित करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

== यह भी देखें ==
* प्रो (श्रेणी सिद्धांत)
* [[एक ओपेरा पर बीजगणित]]
* [[उच्च-क्रम संचालित]]
* ई∞-संचालन
* [[छद्म बीजगणित]]
* [[बहुश्रेणी]]

==टिप्पणियाँ==
{{reflist|group=note}}




===उद्धरण===
{{Reflist}}


==संदर्भ==

*{{Cite book
 | author = Tom Leinster
 | year = 2004
 | title = Higher Operads, Higher Categories
 | publisher = Cambridge University Press
 | isbn = 978-0-521-53215-0
 | arxiv = math/0305049
| bibcode = 2004hohc.book.....L
 }}
*{{Cite book
 | author = Martin Markl, [[Steve Shnider]], [[Jim Stasheff]]
 | year = 2002
 | title = Operads in Algebra, Topology and Physics
 | publisher = American Mathematical Society
 | isbn = 978-0-8218-4362-8
 | url = https://www.ams.org/bookstore?fn=20&arg1=survseries&item=SURV-96
}}
* {{Cite arXiv
| last = Markl
| first = Martin
| date = June 2006
| title = Operads and PROPs
| eprint = math/0601129
}}
* {{Cite journal
   | last = Stasheff
   | first = Jim | author-link = Jim Stasheff
   | title = What Is...an Operad?
   | journal = [[Notices of the American Mathematical Society]]
   |date=June–July 2004
   | volume = 51
   | issue = 6
   | pages =630–631
   | url = https://www.ams.org/notices/200406/what-is.pdf
   | access-date = 17 January 2008
}}
*{{Citation | last1=Loday | first1=Jean-Louis | last2=Vallette | first2=Bruno |author-link=Jean-Louis Loday| title= Algebraic Operads | url=http://www-irma.u-strasbg.fr/~loday/PAPERS/LodayVallette.pdf | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften  | isbn=978-3-642-30361-6 | year=2012 | volume=346}}
*{{Citation | last=Zinbiel | first=Guillaume W. |author-link=Jean-Louis Loday| editor2-last=Guo | editor2-first=Li | editor1-last=Bai | editor1-first=Chengming | editor3-last=Loday | editor3-first=Jean-Louis | title=Operads and universal algebra | series =  Nankai Series in Pure, Applied Mathematics and Theoretical Physics  | isbn=9789814365116 | year=2012 | volume=9 | chapter=Encyclopedia of types of algebras 2010 | arxiv=1101.0267 | pages=217–298 | bibcode=2011arXiv1101.0267Z }}
*{{Citation|last=Fresse|first=Benoit|title=Homotopy of Operads and Grothendieck-Teichmüller Groups|series=Mathematical Surveys and Monographs|publisher=[[American Mathematical Society]]|isbn=978-1-4704-3480-9|mr=3643404|zbl=1373.55014|date=17 May 2017}}
*Miguel A. Mendéz (2015). ''Set Operads in Combinatorics and Computer Science''. SpringerBriefs in Mathematics. {{ISBN|978-3-319-11712-6}}.
*Samuele Giraudo (2018). ''Nonsymmetric Operads in Combinatorics''. Springer International Publishing. {{ISBN|978-3-030-02073-6}}.


== बाहरी संबंध ==
*{{nlab|id=operad}} 
*https://golem.ph.utexas.edu/category/2011/05/an_operadic_introduction_to_en.html
[[Category: सार बीजगणित]] [[Category: श्रेणी सिद्धांत]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 01/03/2023]]