View source for अवलम्बित विकल्प अभिगृहीत

गणित में, अवलम्बित विकल्प का स्वयंसिद्ध, द्वारा निरूपित <math> \mathsf{DC} </math> विकल्प के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है (<math> \mathsf{AC} </math>) जो अभी भी अधिकांश [[वास्तविक विश्लेषण]] विकसित करने के लिए पर्याप्त है। यह 1942 के एक लेख में [[पॉल बर्नेज़]] द्वारा पेश किया गया था जो विश्लेषण को विकसित करने के लिए गणित को उलट देता है जो [[सेट-सैद्धांतिक]] [[स्वयंसिद्ध]] की आवश्यकता होती है।<ref group=lower-alpha>"The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303|s2cid=250344853 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf }} The axiom of dependent choice is stated on p.&nbsp;86.</ref>

== औपचारिक वक्तव्य ==
एक [[सजातीय संबंध]] <math>R</math> पर <math>X</math> यदि प्रत्येक के लिए [[कुल संबंध]] कहा जाता है <math>a \in X,</math> कुछ मौजूद है <math>b \in X</math> ऐसा है कि <math>a\,R~b</math> क्या सच है।

अवलम्बित विकल्प का स्वयंसिद्ध निम्नानुसार कहा जा सकता है:
प्रत्येक गैर-खाली [[सेट (गणित)]] के लिए <math>X</math> और हर कुल संबंध  <math>R</math> पर <math>X,</math> एक क्रम होता है <math>(x_n)_{n \in \N}</math> में <math>X</math> ऐसा है कि
:<math>x_n\, R~x_{n + 1}</math> सभी के लिए <math>n \in \N.</math>
वास्तव में, एक्स<sub>0</sub> एक्स के किसी भी वांछित तत्व के रूप में लिया जा सकता है। (इसे देखने के लिए, एक्स के साथ शुरू होने वाले परिमित अनुक्रमों के सेट पर ऊपर वर्णित स्वयंसिद्ध को लागू करें<sub>0</sub> और जिसमें बाद के पद संबंध में हैं <math>R</math>, एक साथ दूसरे अनुक्रम के इस सेट पर कुल संबंध पहले से एक शब्द जोड़कर प्राप्त किया जा रहा है।)

यदि सेट <math>X</math> ऊपर सभी [[वास्तविक संख्या]]ओं के समुच्चय तक सीमित है, तो परिणामी स्वयंसिद्ध को निरूपित किया जाता है <math>\mathsf{DC}_{\R}. </math>


== प्रयोग ==
इस तरह के स्वयंसिद्ध के बिना भी, किसी के लिए भी <math>n</math>, पहला बनाने के लिए कोई साधारण गणितीय आगमन का उपयोग कर सकता है <math>n</math> ऐसे क्रम की शर्तें।
अवलम्बित विकल्प का स्वयंसिद्ध कहता है कि हम इस तरह से एक संपूर्ण (अनगिनत रूप से अनंत) अनुक्रम बना सकते हैं।

स्वयंसिद्ध <math> \mathsf{DC} </math> का अंश है <math> \mathsf{AC} </math> यदि प्रत्येक चरण पर एक विकल्प बनाना आवश्यक है और यदि उनमें से कुछ विकल्पों को पिछले विकल्पों से स्वतंत्र रूप से नहीं बनाया जा सकता है, तो [[गणनीय सेट]] लंबाई के [[ट्रांसफिनिट रिकर्सन]] द्वारा निर्मित अनुक्रम के अस्तित्व को दिखाने के लिए आवश्यक है।

== समतुल्य कथन ==
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी पर <math> \mathsf{ZF} </math>, <math> \mathsf{DC} </math> पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए बायर श्रेणी प्रमेय के बराबर है।<ref>"The Baire category theorem implies the principle of dependent choices." {{cite journal |author=Blair, Charles E. |year=1977 |title=The Baire category theorem implies the principle of dependent choices |journal=Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. |volume=25 |issue=10 |pages=933–934}}</ref>

यह भी बराबर है <math> \mathsf{ZF} </math> लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के लिए।<ref group="lower-alpha">Moore states that "Principle of Dependent Choices <math>\Rightarrow</math> Löwenheim–Skolem theorem" — that is, <math>\mathsf{DC}</math> implies the Löwenheim–Skolem theorem. ''See'' table {{cite book |last=Moore |first=Gregory H. |year=1982 |title=Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence |page=325 |publisher=Springer |isbn=0-387-90670-3}}</ref><ref>The [[Converse (logic)|converse]] is proved in {{cite book |last1=Boolos |first1=George S. |author1link=George Boolos |last2=Jeffrey |first2=Richard C. |author2link=Richard Jeffrey |year=1989 |title=Computability and Logic |url=https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 |url-access=registration |edition=3rd |pages=[https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 155–156] |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-38026-X }}</ref>

<math> \mathsf{DC} </math> भी बराबर है <math> \mathsf{ZF} </math> इस कथन के साथ कि हर छँटाई पेड़ के साथ <math> \omega </math> स्तरों की एक शाखा (वर्णनात्मक सेट सिद्धांत) (नीचे प्रमाण) है।

आगे, <math> \mathsf{DC} </math> ज़ोर्न लेम्मा के कमजोर रूप के बराबर है; विशेष रूप से <math> \mathsf{DC} </math> इस कथन के समतुल्य है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है, एक अधिकतम तत्व होना चाहिए।<ref name="Wolk 1983">{{citation|title=On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma|first=Elliot S.|last=Wolk |journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]]|volume=26|issue=3|pages=365–367 |year=1983 | doi=10.4153/CMB-1983-062-5 | doi-access=free }}</ref>

{| class="wikitable collapsible collapsed"
! style="background: #f5f5f5;" |Proof that <math>\,\mathsf{DC} \iff</math> Every pruned tree with ω levels has a branch
|- style="text-align: left; vertical-align: top; style=" background: white" 
|<math>(\,\Longleftarrow\,)</math> Let <math>R</math> be an entire binary relation on <math>X</math>. The strategy is to define a tree <math>T</math> on <math>X</math> of finite sequences whose neighboring elements satisfy <math>R.</math> Then a branch through <math>T</math> is an infinite sequence whose neighboring elements satisfy <math>R.</math> Start by defining <math>\langle x_0, \dots, x_n\rangle \in T</math> if <math>x_k R\,x_{k+1}</math> for <math>0 \le k < n.</math> Since <math>R</math> is entire, <math>T</math> is a pruned tree with <math>\omega</math> levels. Thus, <math>T</math> has a branch <math>\langle x_0, \dots, x_n, \dots\rangle.</math> So, for all <math>n \ge 0\!:</math> <math>\langle x_0, \dots, x_n, x_{n+1}\rangle \in T,</math> which implies <math>x_nR\,x_{n+1}.</math> Therefore, <math>\mathsf{DC}</math> is true.

<math>(\,\Longrightarrow\,)</math> Let <math>T</math> be a pruned tree on <math>X</math> with <math>\omega</math> levels. The strategy is to define a binary relation <math>R</math> on <math>T</math> so that <math>\mathsf{DC}</math> produces a sequence <math>t_n = \langle x_0, \dots, x_{f(n)} \rangle</math> where <math>t_nR\,t_{n+1}</math> and <math>f(n)</math> is a [[strictly increasing]] function. Then the infinite sequence <math>\langle x_0, \dots, x_k, \dots \rangle</math> is a branch. (This proof only needs to prove this for <math>f(n) = m + n.</math>) Start by defining <math>u\,R\,v</math> if <math>u</math> is an initial subsequence of <math>v,\operatorname{length}(u) > 0,\,</math> and <math>\operatorname{length}(v) =</math> <math>\operatorname{length}(u) + 1.</math> Since <math>T</math> is a pruned tree with <math>\omega</math> levels, <math>R</math> is entire. Therefore, <math>\mathsf{DC}</math> implies that there is an infinite sequence <math>t_n</math> such that <math>t_n\,R\,t_{n+1}.</math> Now <math>t_0 = \langle x_0, \dots, x_m \rangle</math> for some <math>m \ge 0.</math> Let <math>x_{m+n}</math> be the last element of <math>t_n.</math> Then <math>t_n = \langle x_0, \dots, x_m, \dots, x_{m+n} \rangle.</math> For all <math>k \ge 0,</math> the sequence <math>\langle x_0, \dots, x_k \rangle</math> belongs to <math>T</math> because it is an initial subsequence of <math>t_0\, (k \le m)</math> or it is a <math>t_n\, (k \ge m).</math> Therefore, <math>\langle x_0, \dots, x_k, \dots \rangle</math> is a branch.
|}

== अन्य स्वयंसिद्धों के साथ संबंध ==
पूर्ण के विपरीत <math> \mathsf{AC} </math>, <math> \mathsf{DC} </math> साबित करने के लिए अपर्याप्त है (दिया गया <math> \mathsf{ZF} </math>) कि वास्तविक संख्याओं का एक गैर-मापने योग्य|गैर-मापने योग्य सेट है, या यह कि बायर की संपत्ति के बिना या पूर्ण सेट संपत्ति के बिना वास्तविक संख्याओं का एक सेट है। यह इस प्रकार है क्योंकि [[कोकिला मॉडल]] संतुष्ट करता है <math> \mathsf{ZF} + \mathsf{DC} </math>, और इस मॉडल में वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक सेट Lebesgue मापने योग्य है, इसमें Baire गुण है और इसके पास पूर्ण समुच्चय गुण है।

अवलम्बित विकल्प का स्वयंसिद्ध गणनीय विकल्प का स्वयंसिद्ध अर्थ है और सख्ती से मजबूत है।<ref>Bernays proved that the axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice ''See esp.'' p.&nbsp;86 in {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303|s2cid=250344853 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf }}</ref><ref>For a proof that the Axiom of Countable Choice does not imply the Axiom of Dependent Choice ''see'' {{Citation |last=Jech |first=Thomas |authorlink=Thomas Jech |year=1973 |title=The Axiom of Choice |pages=130–131 |publisher=North Holland |isbn=978-0-486-46624-8}}</ref>

ट्रांसफिनिट अनुक्रमों का उत्पादन करने के लिए स्वयंसिद्ध को सामान्य बनाना संभव है। यदि इन्हें मनमाने ढंग से लंबा करने की अनुमति दी जाती है, तो यह विकल्प के पूर्ण स्वयंसिद्ध के बराबर हो जाता है। 

== टिप्पणियाँ ==
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== संदर्भ ==
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* {{cite book |last=Jech |first=Thomas |title=Set Theory |year=2003 |edition=Third Millennium |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=3-540-44085-2 |oclc=174929965 |zbl=1007.03002}}

{{Set theory}}
[[Category: पसंद का स्वयंसिद्ध]] 



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