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गणित में, अवलम्बित विकल्प का सिद्धांत, <math> \mathsf{DC} </math> द्वारा निरूपित विकल्प के सिद्धांत (<math> \mathsf{AC} </math>) का कमजोर रूप है जो अभी भी अधिकांश [[वास्तविक विश्लेषण]] विकसित करने के लिए पर्याप्त है। यह 1942 के लेख में [[पॉल बर्नेज़]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था जो विश्लेषण को विकसित करने के लिए गणित को उलट देता है जो [[सेट-सैद्धांतिक|समुच्चय-सैद्धांतिक]] सिद्धांत की आवश्यकता होती है।<ref group=lower-alpha>"The foundation of analysis does not require the full generality of set theory but can be accomplished within a more restricted frame." {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303|s2cid=250344853 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf }} The axiom of dependent choice is stated on p.&nbsp;86.</ref>

== औपचारिक वक्तव्य ==
<math>X</math> पर [[सजातीय संबंध]] <math>R</math> को कुल संबंध कहा जाता है यदि प्रत्येक <math>a \in X,</math> के लिए कुछ <math>b \in X</math> उपस्थित है जैसे कि <math>a\,R~b</math> सच है।

अवलम्बित विकल्प का सिद्धांत निम्नानुसार कहा जा सकता है:

प्रत्येक गैर-खाली [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] के लिए <math>X</math> और हर कुल संबंध <math>R</math> पर <math>X,</math> एक क्रम होता है <math>(x_n)_{n \in \N}</math> में <math>X</math> ऐसा है कि
:<math>x_n\, R~x_{n + 1}</math> सभी के लिए <math>n \in \N.</math>
वास्तव में, ''x''<sub>0</sub> ''X'' के किसी भी वांछित तत्व के रूप में लिया जा सकता है। (इसे देखने के लिए, ''x''<sub>0</sub> से प्रारंभ होने वाले परिमित अनुक्रमों के समुच्चय के ऊपर बताए गए सिद्धांत को प्रयुक्त करें और जिसमें बाद के शब्द संबंध <math>R</math>, एक साथ दूसरे अनुक्रम के इस समुच्चय पर कुल संबंध पहले से एक शब्द जोड़कर प्राप्त किया जा रहा है।)

यदि उपरोक्त समुच्चय <math>X</math> सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय तक सीमित है, तो परिणामी अभिगृहीत को <math>\mathsf{DC}_{\R}. </math> द्वारा निरूपित किया जाता है
== प्रयोग ==
इस तरह के सिद्धांत के बिना भी, किसी के लिए भी <math>n</math>, पहला बनाने के लिए कोई साधारण गणितीय आगमन का उपयोग कर सकता है <math>n</math> ऐसे क्रम की शर्तें।

अवलम्बित विकल्प का सिद्धांत कहता है कि हम इस तरह से संपूर्ण (अनगिनत रूप से अनंत) अनुक्रम बना सकते हैं।

सिद्धांत <math> \mathsf{DC} </math> का अंश है <math> \mathsf{AC} </math> यदि प्रत्येक चरण पर विकल्प बनाना आवश्यक है और यदि उनमें से कुछ विकल्पों को पिछले विकल्पों से स्वतंत्र रूप से नहीं बनाया जा सकता है, तो [[गणनीय सेट|गणनीय समुच्चय]] लंबाई के [[ट्रांसफिनिट रिकर्सन]] द्वारा निर्मित अनुक्रम के अस्तित्व को दिखाने के लिए आवश्यक है।

== समतुल्य कथन ==
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय थ्योरी पर <math> \mathsf{ZF} </math>, <math> \mathsf{DC} </math> पूर्ण मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए बायर श्रेणी प्रमेय के बराबर है।<ref>"The Baire category theorem implies the principle of dependent choices." {{cite journal |author=Blair, Charles E. |year=1977 |title=The Baire category theorem implies the principle of dependent choices |journal=Bull. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Math. Astron. Phys. |volume=25 |issue=10 |pages=933–934}}</ref>

यह <math> \mathsf{ZF} </math> से लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के बराबर भी है<ref group="lower-alpha">Moore states that "Principle of Dependent Choices <math>\Rightarrow</math> Löwenheim–Skolem theorem" — that is, <math>\mathsf{DC}</math> implies the Löwenheim–Skolem theorem. ''See'' table {{cite book |last=Moore |first=Gregory H. |year=1982 |title=Zermelo's Axiom of Choice: Its origins, development, and influence |page=325 |publisher=Springer |isbn=0-387-90670-3}}</ref><ref>The [[Converse (logic)|converse]] is proved in {{cite book |last1=Boolos |first1=George S. |author1link=George Boolos |last2=Jeffrey |first2=Richard C. |author2link=Richard Jeffrey |year=1989 |title=Computability and Logic |url=https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 |url-access=registration |edition=3rd |pages=[https://archive.org/details/computabilitylog0000bool_c7g3/page/155 155–156] |publisher=Cambridge University Press |isbn=0-521-38026-X }}</ref>

<math> \mathsf{DC} </math> इस कथन के <math> \mathsf{ZF} </math> के बराबर भी है कि <math> \omega </math> स्तरों वाले प्रत्येक प्रूनेड ट्री की शाखा (वर्णनात्मक समुच्चय सिद्धांत) होती है (नीचे प्रमाण)।

आगे, <math> \mathsf{DC} </math> ज़ोर्न लेम्मा के कमजोर रूप के बराबर है; विशेष रूप से <math> \mathsf{DC} </math> इस कथन के समतुल्य है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है, यह अधिकतम तत्व होना चाहिए।<ref name="Wolk 1983">{{citation|title=On the principle of dependent choices and some forms of Zorn's lemma|first=Elliot S.|last=Wolk |journal=[[Canadian Mathematical Bulletin]]|volume=26|issue=3|pages=365–367 |year=1983 | doi=10.4153/CMB-1983-062-5 | doi-access=free }}</ref>

इसके अतिरिक्त <math> \mathsf{DC} </math> ज़ोर्न के लेम्मा एक कमजोर रूप के बराबर है, विशेष रूप से <math> \mathsf{DC} </math> इस कथन के बराबर है कि कोई भी आंशिक क्रम जैसे कि प्रत्येक सुव्यवस्थित श्रृंखला परिमित और परिमित है यह अधिकतम तत्व होना चाहिए।

{| class="wikitable collapsible collapsed"
! style="background: #f5f5f5;" |Proof that <math>\,\mathsf{DC} \iff</math> Every pruned tree with ω levels has a branch
|- style="text-align: left; vertical-align: top; style=" background: white" 
|<math>(\,\Longleftarrow\,)</math> Let <math>R</math> be an entire binary relation on <math>X</math>. The strategy is to define a tree <math>T</math> on <math>X</math> of finite sequences whose neighboring elements satisfy <math>R.</math> Then a branch through <math>T</math> is an infinite sequence whose neighboring elements satisfy <math>R.</math> Start by defining <math>\langle x_0, \dots, x_n\rangle \in T</math> if <math>x_k R\,x_{k+1}</math> for <math>0 \le k < n.</math> Since <math>R</math> is entire, <math>T</math> is a pruned tree with <math>\omega</math> levels. Thus, <math>T</math> has a branch <math>\langle x_0, \dots, x_n, \dots\rangle.</math> So, for all <math>n \ge 0\!:</math> <math>\langle x_0, \dots, x_n, x_{n+1}\rangle \in T,</math> which implies <math>x_nR\,x_{n+1}.</math> Therefore, <math>\mathsf{DC}</math> is true.

<math>(\,\Longrightarrow\,)</math> Let <math>T</math> be a pruned tree on <math>X</math> with <math>\omega</math> levels. The strategy is to define a binary relation <math>R</math> on <math>T</math> so that <math>\mathsf{DC}</math> produces a sequence <math>t_n = \langle x_0, \dots, x_{f(n)} \rangle</math> where <math>t_nR\,t_{n+1}</math> and <math>f(n)</math> is a [[strictly increasing]] function. Then the infinite sequence <math>\langle x_0, \dots, x_k, \dots \rangle</math> is a branch. (This proof only needs to prove this for <math>f(n) = m + n.</math>) Start by defining <math>u\,R\,v</math> if <math>u</math> is an initial subsequence of <math>v,\operatorname{length}(u) > 0,\,</math> and <math>\operatorname{length}(v) =</math> <math>\operatorname{length}(u) + 1.</math> Since <math>T</math> is a pruned tree with <math>\omega</math> levels, <math>R</math> is entire. Therefore, <math>\mathsf{DC}</math> implies that there is an infinite sequence <math>t_n</math> such that <math>t_n\,R\,t_{n+1}.</math> Now <math>t_0 = \langle x_0, \dots, x_m \rangle</math> for some <math>m \ge 0.</math> Let <math>x_{m+n}</math> be the last element of <math>t_n.</math> Then <math>t_n = \langle x_0, \dots, x_m, \dots, x_{m+n} \rangle.</math> For all <math>k \ge 0,</math> the sequence <math>\langle x_0, \dots, x_k \rangle</math> belongs to <math>T</math> because it is an initial subsequence of <math>t_0\, (k \le m)</math> or it is a <math>t_n\, (k \ge m).</math> Therefore, <math>\langle x_0, \dots, x_k, \dots \rangle</math> is a branch.
|}

== अन्य सिद्धांतों के साथ संबंध ==
पूर्ण <math> \mathsf{AC} </math> के विपरीत , <math> \mathsf{DC} </math> यह सिद्ध करने के लिए अपर्याप्त है (दिया गया <math> \mathsf{ZF} </math>) कि वास्तविक संख्याओं का गैर-मापने योग्य समुच्चय है, या यह कि बायर की संपत्ति के बिना या पूर्ण समुच्चय संपत्ति के बिना वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। यह इस प्रकार है क्योंकि [[कोकिला मॉडल|सोलोवे मॉडल]] <math> \mathsf{ZF} + \mathsf{DC} </math> संतुष्ट करता है और इस मॉडल में वास्तविक संख्याओं का प्रत्येक समुच्चय लेबेसेग मापने योग्य है, इसमें बायर गुण है और इसके पास पूर्ण समुच्चय गुण है।

अवलम्बित विकल्प का सिद्धांत गणनीय विकल्प का सिद्धांत अर्थ है यह और सख्ती से शक्तिशाली है।<ref>Bernays proved that the axiom of dependent choice implies the axiom of countable choice ''See esp.'' p.&nbsp;86 in {{cite journal |last=Bernays |first=Paul |year=1942 |series=A system of axiomatic set theory |title=Part&nbsp;III. Infinity and enumerability. Analysis. |journal=Journal of Symbolic Logic |volume=7 |issue=2 |pages=65–89 |mr=0006333 |doi=10.2307/2266303 |jstor=2266303|s2cid=250344853 |url=http://doc.rero.ch/record/290936/files/S0022481200064185.pdf }}</ref><ref>For a proof that the Axiom of Countable Choice does not imply the Axiom of Dependent Choice ''see'' {{Citation |last=Jech |first=Thomas |authorlink=Thomas Jech |year=1973 |title=The Axiom of Choice |pages=130–131 |publisher=North Holland |isbn=978-0-486-46624-8}}</ref>

ट्रांसफिनिट अनुक्रमों का उत्पादन करने के लिए सिद्धांत को सामान्य बनाना संभव है। यदि इन्हें इच्छानुसार से लंबा करने की अनुमति दी जाती है, तो यह विकल्प के पूर्ण सिद्धांत के बराबर हो जाता है। 

== टिप्पणियाँ ==
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== संदर्भ ==
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* {{cite book |last=Jech |first=Thomas |title=Set Theory |year=2003 |edition=Third Millennium |publisher=[[Springer-Verlag]] |isbn=3-540-44085-2 |oclc=174929965 |zbl=1007.03002}}

{{Set theory}}
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