View source for वर्टेक्स ऑपरेटर बीजगणित

{{Short description|Algebra used in 2D conformal field theories and string theory}}
{{String theory}}

गणित में, शीर्ष संचालक बीजगणित (VOA) एक बीजगणितीय संरचना है जो [[द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] और [[स्ट्रिंग सिद्धांत|स्ट्वलय सिद्धांत]] में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते है। भौतिक अनुप्रयोगों के अतिरिक्त, शीर्ष संचालक बीजगणित विशुद्ध रूप से गणितीय संदर्भों जैसे मोनस्ट्रोस मुन्शीने और ज्यामितीय लैंगलैंड समतुल्यता में उपयोगी प्रतिपादित हुए हैं।

शीर्ष बीजगणितीय से संबंधित धारणा 1986 में [[रिचर्ड बोरचर्ड्स]] द्वारा प्रस्तुत की गई थी, जो [[ इगोर फ्रेनकेल |इगोर फ्रेनकेल]] के कारण एक अनंत-आयामी लाई बीजगणितीय के निर्माण से प्रेरित थी। इस निर्माण के पर्यंत, एक [[फॉक स्पेस|फॉक स्थान]] नियोजित करता है जो जालक सदिश से संलग्न शीर्ष संचालकों की कार्यकलाप को स्वीकार करता है। बोरचर्ड्स ने शीर्ष बीजगणितीय की धारणा को जालक शीर्ष संचालकों के मध्य संबंधों को स्वयंसिद्ध करके तैयार किया, और एक बीजगणितीय संरचना का निर्माण किया जो फ्रेनकेल की विधि का पालन करके नए लाई बीजगणितीय का निर्माण करने की अनुमति देता है।

शीर्ष संचालक बीजगणितीय की धारणा को शीर्ष बीजगणितीय की धारणा को एक रूपांतरण के रूप में प्रस्तुत किया गया था, 1988 में फ्श्रेणीेल, [[जेम्स लेपोव्स्की]] और [[अर्ने म्योरमैन]] द्वारा चन्द्रमा मापांक के निर्माण के लिए उनकी परियोजना के भाग के रूप में, उन्होंने अवलोकन किया कि प्रकृति में दिखाई देने वाले अनेक शीर्ष बीजगणितों में एक उपयोगी अतिरिक्त संरचना (विरासोरो बीजगणितीय की एक क्रिया) होती है, और एक ऊर्जा संचालक के संबंध में एक बाउंड-डाउन प्रॉपर्टी को संतुष्ट करती है। इस अवलोकन से प्रेरित होकर, उन्होंने विरासोरो क्रिया और बाउंड-डाउन प्रॉपर्टी को स्वयंसिद्धि के रूप में जोड़ा था।

अब हमारे पास भौतिकी से इन धारणाओं के लिए पोस्ट-हॉक प्रेरणा है, साथ में स्वयंसिद्धों की अनेक व्याख्याएं हैं जो प्रारंभ में ज्ञात नहीं थीं। शारीरिक रूप से, द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में होलोमार्फिक क्षेत्र सम्मिलन से उत्पन्न होने वाले शीर्ष संचालक सम्मिलन टकराने पर [[ऑपरेटर उत्पाद विस्तार|संचालक उत्पाद विस्तार]] को स्वीकार करते हैं, और ये शीर्ष संचालक बीजगणितीय की परिभाषा में निर्दिष्ट संबंधों को सटीक रूप से संतुष्ट करते हैं। वास्तव में, शीर्ष संचालक बीजगणितीय के स्वयंसिद्ध एक औपचारिक बीजगणितीय व्याख्या हैं, जिसे भौतिक विज्ञानी [[चिरल बीजगणित]], या "चिरल समरूपता के बीजगणित" कहते हैं, जहां ये समरूपता एक दिए गए अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत द्वारा संतुष्ट वार्ड पहचान का वर्णन करती है, जिसमें अनुरूप निश्चरता भी सम्मिलित है। शीर्ष बीजगणित के स्वयंसिद्धों के किसी योगों में बोरचर्ड्स का बाद में एकल क्रमविनिमेय वलयो पर किया गया कार्य, हुआंग, क्रिज़ और किसी द्वारा प्रारंभ किए गए वक्र पर कुछ ऑपरेड्स पर बीजगणितीय, और [[डी-मॉड्यूल|डी-मापांक]] सैद्धांतिक वस्तुएं जिन्हें चिरल बीजगणितीय कहा जाता है, और जिन्हें [[सिकंदर मैं बेटा हो|अलेक्जेंडर बीलिन्सन]] और [[व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड]] द्वारा प्रस्तुत किया गया। संबंधित होने पर, ये चिराल बीजगणितीय भौतिकविदों द्वारा उपयोग किए जाने वाले समान नाम वाली वस्तुओं के समान नहीं हैं।

शीर्ष संचालक बीजगणितीय के महत्वपूर्ण आधारभूत उदाहरणों में जालक वीओएएस (प्रतिरूपण जालक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत), एफिन केएसी-मूडी बीजगणित (वेस-ज़ुमिनो-विटन प्रतिरूप से) के प्रतिनिधित्व द्वारा दिए गए वीओएएस, विरासोरो वीओएएस (अर्थात, VOAs प्रतिनिधित्व के अनुरूप) सम्मिलित हैं,और चन्द्रमा मापांक V♮, जो अपने मॉन्स्टर समरूपता से भिन्न है। ज्यामितीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत और [[गणितीय भौतिकी]] में अधिक परिष्कृत हैं, उदाहरण जैसे कि एफिन डब्ल्यू-बीजगणितीय और जटिल बहुविध पर [[चिराल दे राम परिसर|चिराल डी रम परिसर]] उत्पन्न होते हैं।

== औपचारिक परिभाषा ==

=== शीर्ष बीजगणितीय ===
एक शीर्ष बीजगणितीय आंकड़ों का एक संग्रह है जो कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

==== आँकड़े ====
* एक [[सदिश स्थल|सदिश स्थान]] <math>V</math>, स्थितियों का स्थान कहा जाता है। अंतर्निहित [[क्षेत्र (गणित)|क्षेत्र]] को सामान्यतः [[जटिल संख्या]] के रूप में लिया जाता है, हालांकि बोरचर्ड्स के मूल सूत्रीकरण को यादृच्छिक माध्यम से क्रमविनिमेय वलयो के लिए अनुमति दी जाती है।
* एक पहचान तत्व <math>1\in V</math>,<math>|0\rangle</math> या <math>\Omega</math> एक निर्वात स्थिति इंगित करने के लिए कभी-कभी लिखा जाता है।
* एक [[एंडोमोर्फिज्म]] <math>T:V\rightarrow V</math>, जिसे "अनुवादनन" कहा जाता है (बोरचर्ड्स के मूल सूत्रीकरण में विभाजित ऊर्जाओं की एक प्रणाली <math>T</math> सम्मिलित थी, क्योंकि उन्होंने यह नहीं माना था कि तलस्थ वलय विभाज्य है)।
* एक रैखिक गुणन मानचित्र <math>Y:V\otimes V\rightarrow V((z))</math>, जहां <math>V((z))</math> में गुणांकों के साथ सभी [[औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला]] का स्थान <math>V</math> है। यह संरचना वैकल्पिक रूप से द्विरैखिक उत्पादों के अनंत संग्रह के रूप में प्रस्तुत की जाती है <math> k_n : (u,v) \mapsto u_n (v) = u_n v, \; u_n \in \mathrm{End}(V)</math>, या वाम गुणन मानचित्र के रूप में <math>V\rightarrow \mathrm{End}(V)[[z^{\pm 1}]]</math>, जिसे अवस्था-क्षेत्र समतुल्यता कहा जाता है। प्रत्येक के लिए <math>u\in V</math>, संचालक-मूल्यवान [[औपचारिक वितरण]] <math>Y(u,z)</math> शीर्ष संचालक या क्षेत्र (शून्य पर डाला गया) कहा जाता है, और इसका गुणांक <math>z^{-n-1}</math> संचालिका है, और <math>u_{n}</math> गुणन के लिए मानक अंकन है
::<math>u \otimes v \mapsto Y(u,z)v = \sum_{n \in \mathbf{Z}} u_n v z^{-n-1}</math>

==== सिद्धांत ====
निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को पूर्ण करने के लिए इन आंकड़ों की आवश्यकता होती है:

* पहचान, किसी के लिए <math>u\in V\,,\,Y(1,z)u=u=uz^0</math> और <math>\,Y(u,z)1\in u+zV[[z]]</math> होती है।
* अनुवादनन, <math>T(1)=0</math>, और किसी के लिए <math>u,v\in V</math> होती है,
::<math>[T,Y(u,z)]v = TY(u,z)v - Y(u,z)Tv = \frac{d}{dz}Y(u,z)v</math>
* स्थानीयता (जैकोबी पहचान, या बोरचर्ड्स पहचान), किसी के लिए <math>u,v\in V</math>, एक सकारात्मक [[पूर्णांक]] {{mvar|N}}  उपस्थित है जैसे कि:
::<math> (z-x)^N Y(u, z) Y(v, x) = (z-x)^N Y(v, x) Y(u, z)</math>


===== स्थानीयता स्वयंसिद्ध के समतुल्य सूत्रीकरण =====
स्थानीयता स्वयंसिद्ध के साहित्य में अनेक समतुल्य सूत्र हैं, उदाहरण के लिए, फ्रेंकेल-लेपोव्स्की-मेरमैन ने जैकोबी पहचान की उत्पति की:

:<math>\forall u,v, w \in V : \qquad z^{-1}\delta\left(\frac{y-x}{z}\right)Y(u,x)Y(v,y)w - z^{-1}\delta\left(\frac{-y+x}{z}\right)Y(v,y)Y(u,x)w = y^{-1}\delta\left(\frac{x+z}{y}\right)Y(Y(u,z)v,y)w,</math>
जहाँ हम औपचारिक डेल्टा श्रृंखला को परिभाषित करते हैं:

:<math>\delta\left(\frac{y-x}{z}\right) := \sum_{s \geq 0, r \in \mathbf{Z}} \binom{r}{s} (-1)^s y^{r-s}x^s z^{-r}</math>
बोरचर्ड्स{{sfn|Borcherds|1986}} ने प्रारंभ में निम्नलिखित दो सर्वसमिकाओं का उपयोग किया गया, और हमारे पास उपस्थित किसी भी सदिश u, v, और w, और पूर्णांक m और n के लिए है।

:<math>(u_m (v))_n (w) = \sum_{i \geq 0} (-1)^i \binom{m}{i} \left (u_{m-i} (v_{n+i} (w)) - (-1)^m v_{m+n-i} (u_i (w)) \right)</math>
और
:<math> u_m v=\sum_{i\geq 0}(-1)^{m+i+1}\frac{T^{i}}{i!}v_{m+i}u </math>.

बाद में उन्होंने एक अधिक विस्तृत संस्करण दिया जो समतुल्य है परन्तु उपयोग में सरल है: हमारे पास उपस्थित किसी भी सदिश u, v, और w, और पूर्णांक m, n, और q के लिए है।

:<math>\sum_{i \in \mathbf{Z}} \binom{m}{i} \left(u_{q+i} (v) \right )_{m+n-i} (w) = \sum_{i\in \mathbf{Z}} (-1)^i \binom{q}{i} \left (u_{m+q-i} \left(v_{n+i} (w) \right ) - (-1)^q v_{n+q-i} \left (u_{m+i} (w) \right ) \right)</math>
अंत में, स्थानीयता का औपचारिक कार्य संस्करण है: किसी के लिए <math>u,v,w\in V</math>, एक तत्व है।

:<math>X(u,v,w;z,x) \in V[[z,x]] \left[z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1} \right]</math>
ऐसा है कि <math>Y(u,z)Y(v,x)w</math> और <math>Y(v,x)Y(u,z)w</math>,तथा  <math>X(u,v,w;z,x)</math> में <math>V((z))((x))</math> और <math>V((x))((z))</math> के संगत विस्तार हैं।

=== शीर्ष संचालक बीजगणितीय ===
एक शीर्ष संचालक बीजगणितीय एक शीर्ष बीजगणितीय है जो एक अनुरूप तत्व <math>\omega</math> से सुसज्जित है, जैसे कि शीर्ष संचालक भार दो <math>Y(\omega,z)</math> और <math>L(z)</math> विरासोरो क्षेत्र है:

:<math>Y(\omega, z) = \sum_{n\in\mathbf{Z}} \omega_{n} {z^{-n-1}} = L(z) = \sum_{n\in\mathbf{Z}} L_n z^{-n-2}</math>
और निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करते है:
* <math>[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{1}{12}\delta_{m+n,0}(m^3-m)c\,\mathrm{Id}_V</math>, जहां <math>c</math> एक स्थिरांक है जिसे केंद्रीय आवेश <math>V</math> या कोटि कहा जाता है। विशेष रूप से, इस शीर्ष संचालक के गुणांक और केंद्रीय प्रभार <math>V</math> के साथ विरासोरो बीजगणितीय की एक क्रिया <math>c</math> के साथ संपन्न होती हैं।
* <math>L_0</math> अर्द्ध सरलता से कार्य करता है,और <math>V</math> पूर्णांक इगनवेल्यूज़ के साथ जो नीचे बंधे हुए हैं।
* इगनवेल्यूज़ द्वारा प्रदान की गई श्रेणीकरण के अंतर्गत <math>L_0</math>, गुणन पर <math>V</math> सजातीय इस अर्थ में है कि यदि <math>u</math> और <math>v</math> सजातीय हैं, तो <math>u_n v</math> डिग्री का समरूप है, इसलिये <math>\mathrm{deg}(u)+\mathrm{deg}(v)-n-1</math> है।
* पहचान <math>1</math> डिग्री 0 है, और अनुरूप तत्व <math>\omega</math> डिग्री 2 है।
* <math>L_{-1}=T</math>.

शीर्ष बीजगणितीय का एक समरूपता अंतर्निहित सदिश रिक्त स्थान का एक मानचित्र है जो अतिरिक्त पहचान, अनुवादन और गुणन संरचना का आदर करता है। शीर्ष संचालक बीजगणितीय के समरूपता के कमजोर और प्रभावशाली रूप होते हैं, और यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे अनुरूप सदिश का आदर करते हैं या नहीं करते हैं।

== क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणितीय ==
शीर्ष बीजगणितीय <math>V</math> क्रमविनिमेय है यदि सभी शीर्ष संचालक <math>Y(u,z)</math> एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं। यह सभी उत्पादों की संपत्ति के समान है, <math>Y(u,z)v</math> लाई में <math>V[[z]]</math>, या वह <math>Y(u, z) \in \operatorname{End}[[z]]</math> है। इस प्रकार, क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणित के लिए एक वैकल्पिक परिभाषा वह है जिसमें सभी शीर्ष संचालक होते हैं,जोकि <math>Y(u,z)</math> पर नियमित हैं, इसलिये <math>z = 0</math> है।{{sfn|Frenkel|Ben-Zvi|2001}}

एक क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणितीय को देखते हुए, गुणन की निरंतर सीमाएँ एक क्रमविनिमेय और साहचर्य वलय संरचना के साथ सदिश स्थान प्रदान करती हैं, निर्वात सदिश <math>1</math> एक इकाई है और <math>T</math> एक व्युत्पत्ति है। इसलिए क्रमविनिमेय शीर्ष बीजगणितीय और व्युत्पत्ति के साथ एक क्रमविनिमेय इकाई बीजगणितीय की संरचना के साथ <math>V</math> सज्जित करता है। इसके विपरीत, कोई भी क्रमविनिमेय वलय <math>V</math> व्युत्पत्ति के साथ <math>T</math> एक विहित शीर्ष बीजगणितीय संरचना है, जहां हम, <math>Y(u,z)v=u_{-1}vz^0=uv</math> को व्यवस्थित करते हैं, ताकि <math>Y</math> एक मानचित्र तक ही सीमित है: <math>Y:V \rightarrow \operatorname{End}(V)</math> और <math>u \mapsto u \cdot</math> के साथ बीजगणितीय गुणनफल जो गुणन मानचित्र है। यदि व्युत्पन्न <math>T</math> विलुप्त हो जाता है, तो हम <math>\omega=0</math> डिग्री शून्य में केंद्रित शीर्ष संचालक बीजगणितीय प्राप्त करने के लिए व्यवस्थित कर सकते हैं।

कोई भी परिमित-विम शीर्ष बीजगणितीय क्रमविनिमेय होता है।
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! प्रमाण
|-
|
This follows from the translation axiom. From <math>[T, Y(u,z)] = \partial_z Y(u,z)</math> and expanding the vertex operator as a power series one obtains
<math display = block> \operatorname{ad}T u_n = [T, u_n] = -nu_{n-1}.</math>
Then
<math display = block> \operatorname{ad}T^m u_n = (-1)^m n (n-1) \cdots (n - m + 1) u_{n-m}.</math>
From here, we fix <math>n</math> to always be non-negative. For <math>m > n</math>, we have <math>\operatorname{ad}T^m u_n = 0</math>.
Now since <math>V</math> is finite dimensional, so is <math>\operatorname{End}(V)</math>, and all the <math>u_n</math> are elements of <math>\operatorname{End}(V)</math>. So a finite number of the <math>u_n</math> span the vector subspace of <math>\operatorname{End}(V)</math> spanned by all the <math>u_n</math>. Therefore there's an <math>M</math> such that <math>\operatorname{ad}T^M u_n = 0</math> for all <math>u_n</math>. But also,
<math display = block>\operatorname{ad}T^M u_{M + n} = (-1)^m (M + n + 1)\cdots(n+1)u_n</math>
and the left hand side is zero, while the coefficient in front of <math>u_n</math> is non-zero. So <math>u_n = 0</math>. So <math>Y(u,z)</math> is regular. <math>\square</math>
|} इस प्रकार गैर-अनुक्रमिक शीर्ष बीजगणितीय के सबसे छोटे उदाहरणों के लिए भी महत्वपूर्ण परिचय की आवश्यकता होती है।

== मूल गुण ==
अनुवादन संचालक एक शीर्ष बीजगणितीय में  <math>T</math> उत्पाद संरचना पर अतिसूक्ष्म समरूपता को प्रेरित करता है, और निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

* <math>\,Y(u,z)1=e^{zT}u</math>
* <math>\,Tu=u_{-2}1</math>, इसलिए <math>T</math> द्वारा <math>Y</math> निर्धारित किया जाता है।
* <math>\,Y(Tu,z)=\frac{\mathrm{d}Y(u,z)}{\mathrm{d}z}</math>
* <math>\,e^{xT}Y(u,z)e^{-xT}=Y(e^{xT}u,z)=Y(u,z+x)</math>
* (तिर्यक्-समरूपता) <math>Y(u,z)v=e^{zT}Y(v,-z)u</math>
शीर्ष संचालक बीजगणित के लिए, किसी विरासोरो संचालक समान गुणों को पूर्ण करते हैं:

* <math>\,x^{L_0}Y(u,z)x^{-L_0}=Y(x^{L_0}u,xz)</math>
* <math>\,e^{xL_1}Y(u,z)e^{-xL_1}=Y(e^{x(1-xz)L_1}(1-xz)^{-2L_0}u,z(1-xz)^{-1})</math>
* (अर्ध-समनुरूपता) <math>[L_m, Y(u,z)] = \sum_{k=0}^{m+1} \binom{m+1}{k} z^k Y(L_{m-k}u, z)</math> सभी के लिए <math>m\geq -1</math>.
* (साहचर्य, या कजिन प्रॉपर्टी): किसी के लिए तत्व <math>u,v,w\in V</math> है,

:<math>X(u,v,w;z,x) \in V[[z,x]][z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1}]</math>
परिभाषा में दी गई का भी विस्तार होता है, <math>Y(Y(u,z-x)v,x)w</math> में <math>V((x))((z-x))</math>

शीर्ष बीजगणितीय की सहयोगीता संपत्ति इस तथ्य से अनुसरण करती है कि क्रमविनिमयक <math>Y(u,z)</math> और <math>Y(v,z)</math> की परिमित ऊर्जा को <math>z-x</math> द्वारा नष्ट कर दिया जाता है, अर्थात, कोई इसे औपचारिक डेल्टा क्रिया के व्युत्पादित परिमित रैखिक संयोजन <math>(z-x)</math>, में गुणांक के साथ <math>\mathrm{End}(V)</math> के रूप में विस्तारित कर सकता है। 

पुनर्निर्माण: यदि <math>V</math> एक शीर्ष बीजगणितीय हो, और <math>J_a</math> से संबंधित क्षेत्रों के साथ सदिशों का, <math>J^a(z)\in \mathrm{End}(V)[[z^{\pm 1}]]</math> एक समूह हो। यदि <math>V</math> क्षेत्र के धनात्मक भार गुणांकों (अर्थात, संचालकों के परिमित उत्पाद) में एकपदी द्वारा प्रसारित हुआ है, <math>J^{a}_{n}</math> के लिए कार्यान्वित किया गया <math>1</math>, जहां <math>n</math> ऋणात्मक है), तो हम इस प्रकार के एकपदी के संचालक उत्पाद को क्षेत्र की विभाजित ऊर्जा व्युत्पादित के सामान्य रूप से क्रमित किए गए उत्पाद के रूप में लिख सकते हैं (यहां, सामान्य क्रम का अर्थ है कि बाईं ओर ध्रुवीय प्रतिबंधों को दाईं ओर ले जाया जाता है)। विशेष रूप से,

:<math>Y(J^{a_1}_{n_1+1}J^{a_2}_{n_2+1}...J^{a_k}_{n_k+1}1, z) = :\frac{\partial^{n_1}}{\partial z^{n_1}}\frac{J^{a_1}(z)}{n_1!}\frac{\partial^{n_2}}{\partial z^{n_2}}\frac{J^{a_2}(z)}{n_2!} \cdots \frac{\partial^{n_k}}{\partial z^{n_k}}\frac{J^{a_k}(z)}{n_k!}:</math>
अत्यधिक सामान्यतः, यदि किसी को सदिश स्थान दिया जाता है, एंडोमोर्फिज्म के साथ <math>V</math>,  <math>T</math> और सदिश <math>1</math>, और एक सदिश <math>J^a</math> के एक समुच्चय को निर्धारित करता है। क्षेत्रो का एक समुच्चय <math>J^a(z)\in \mathrm{End}(V)[[z^{\pm 1}]]</math> जो पारस्परिक रूप से स्थानीय हैं, जिनके सकारात्मक भार गुणांक <math>V</math> उत्पन्न होते हैं, और जो पहचान और अनुवादन के प्रतिबंधों को पूर्ण करता है, तो पूर्व सूत्र शीर्ष बीजगणितीय संरचना का वर्णन करता है।

== उदाहरण ==

=== हाइजेनबर्ग शीर्ष संचालक बीजगणितीय ===
गैर-क्रमानुक्रमिक शीर्ष बीजगणितीय का एक मूल उदाहरण श्रेणी 1 मुक्त बोसॉन है, जिसे हाइजेनबर्ग शीर्ष संचालक बीजगणितीय भी कहा जाता है। यह एक सदिश b द्वारा उत्पन्न होता है, इस अर्थ में कि क्षेत्र b(z) = Y(b,z) के गुणांकों को सदिश 1 पर कार्यान्वित करने से, हम एक विस्तरित हुए समुच्चय को प्राप्त करते हैं। अंतर्निहित सदिश स्थान अनंत-चर बहुपद वलय '''C'''[''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,...] है, जहां धनात्मक n के लिए ''Y''(''b'',''z''),का गुणांक b<sub>–n</sub> ''x''<sub>n</sub> द्वारा  गुणन, और ''b''<sub>n</sub> ''x''<sub>n</sub> में आंशिक अवकलज के n गुणन के रूप में कार्य करता है। ''b''<sub>0</sub> के कार्यकलाप शून्य से गुणन है, गति शून्य फॉक प्रतिनिधित्व ''V''<sub>0</sub> का उत्पादन करता है, हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणितीय (''b''<sub>n</sub> द्वारा उत्पन्न पूर्णांक n के लिए, क्रमविनिमय संबंधों के साथ [''b''<sub>n</sub>,''b''<sub>m</sub>]=''n'' δ<sub>n,–m</sub>) का, अर्थात, ''b''<sub>n</sub> द्वारा  विस्तरित किये गए उपबीजावली के साधारण प्रतिनिधित्व, n ≥ 0 से प्रेरित है।

फॉक स्थान ''V''<sub>0</sub> निम्नलिखित पुनर्निर्माण द्वारा शीर्ष बीजगणितीय में बनाया जा सकता है:

:<math>Y( x_{n_1+1}x_{n_2+1}x_{n_3+1}...x_{n_k+1}, z) \equiv \frac{1}{n_1!n_2!..n_k!}:\partial^{n_1}b(z)\partial^{n_2}b(z)...\partial^{n_k}b(z):</math>
जहाँ :..: सामान्य क्रम (अर्थात x में सभी व्युत्पादित को दाईं ओर ले जाना) को दर्शाता है। शीर्ष संचालकों को एक बहुविकल्पीय क्रिया f के कार्यात्मक के रूप में भी लिखा जा सकता है:

:<math> Y[f,z] \equiv :f\left(\frac{b(z)}{0!},\frac{b'(z)}{1!},\frac{b''(z)}{2!},...\right): </math>
यदि हम स्वीकार करते हैं कि f के विस्तार में प्रत्येक पद प्रसामान्य क्रमित है।

श्रेणी 1 मुक्त बोसोन के एन-गुना प्रदिश उत्पाद को लेकर श्रेणी एन मुक्त बोसॉन दिया जाता है। एन-आयामी स्थान में किसी भी सदिश बी के लिए, किसी के पास एक क्षेत्र बी (''z'') होता है, जिसके गुणांक श्रेणी एन हाइजेनबर्ग बीजगणितीय के तत्व होते हैं, जिनके क्रमविनिमय संबंधों में एक अतिरिक्त आंतरिक उत्पाद पद [''b''<sub>n</sub>,''c''<sub>m</sub>]=''n'' (b,c) δ<sub>n,–m</sub> होता है: 

=== विरासोरो शीर्ष संचालक बीजगणितीय<!--'विरासोरो प्रतिबंध', 'विरासोरो शीर्ष प्रचालक बीजगणित', 'विरासोरो शीर्ष प्रचालक बीजगणित' यहां अनुप्रेषित करें-->===
विरासोरो शीर्ष संचालक बीजगणितीय<!--बोल्डफेस प्रति WP:R#PLA-->दो कारणों से महत्वपूर्ण हैं: सर्वप्रथम, शीर्ष संचालक बीजगणितीय में अनुरूप तत्व विरासोरो शीर्ष संचालक बीजगणितीय से समरूपता को प्रेरित करता है, इसलिए वे सिद्धांत में एक सार्वभौमिक भूमिका निभाते हैं। द्वितीय, वे विरासोरो बीजगणितीय के इकाई प्रतिनिधित्व के सिद्धांत से घनिष्ठ रूप से संलग्न हुए हैं, और ये [[अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत]] में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, इकाई विरासोरो न्यूनतम प्रतिरूप इन शीर्ष बीजगणितों के सरल भागफल हैं, और उनके प्रदिश उत्पाद संयुक्त रूप से अधिक जटिल शीर्ष संचालक बीजगणितीय का निर्माण करने का एक माध्यम प्रदान करते हैं।

विरासोरो शीर्ष संचालक बीजगणितीय को विरासोरो बीजगणितीय के एक प्रेरित प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित किया गया है: यदि हम एक केंद्रीय प्रभार सी चयनित करते हैं, तो उपबीजावली '''C'''[z]∂<sub>z</sub> + ''K'' के लिए अद्वितीय एक-आयामी मापांक है। जिसके लिए K cId द्वारा कार्य करता है, और 'C'[z]∂<sub>z</sub> साधारण रूप से कार्य करते है, और इसी प्रेरित मापांक को ''L''<sub>–n</sub> = –z<sup>−n–1</sup>∂<sub>z</sub> में बहुपदों द्वारा विस्तरित किया जाता है, जैसा कि n 1 से अधिक पूर्णांकों पर होता है। मापांक में तब विभाजन कार्य होता है।

:<math>Tr_V q^{L_0} = \sum_{n \in \mathbf{R}} \dim V_n q^n = \prod_{n \geq 2} (1-q^n)^{-1}</math>

इस स्थान में एक शीर्ष संचालक बीजगणितीय संरचना है, जहाँ शीर्ष संचालक द्वारा परिभाषित किया गया है:

:<math>Y(L_{-n_1-2}L_{-n_2-2}...L_{-n_k-2}|0\rangle,z) \equiv \frac{1}{n_1!n_2!..n_k!}:\partial^{n_1}L(z)\partial^{n_2}L(z)...\partial^{n_k}L(z):</math>
और <math>\omega = L_{-2}|0\rangle</math> में तथ्य यह है कि विरासोरो क्षेत्र एल (''z'') स्वयं के संबंध में स्थानीय है, इसके स्व-क्रमविनिमयक के सूत्र से घटाया जा सकता है:

<math>[L(z),L(x)] =\left(\frac{\partial}{\partial x}L(x)\right)w^{-1}\delta \left(\frac{z}{x}\right)-2L(x)x^{-1}\frac{\partial}{\partial z}\delta \left(\frac{z}{x}\right)-\frac{1}{12}cx^{-1}\left(\frac{\partial}{\partial z}\right)^3\delta \left(\frac{z}{x}\right)</math>

जहाँ c [[केंद्रीय प्रभार]] है।

केंद्रीय आवेश c के विरासोरो शीर्ष बीजगणितीय से किसी किसी शीर्ष बीजगणितीय के शीर्ष बीजगणित समरूपता को देखते हुए, ω के प्रतिरूप से जुड़ा शीर्ष संचालक स्वचालित रूप से विरासोरो संबंधों को संतुष्ट करता है, अर्थात, ω का प्रतिरूप एक अनुरूप सदिश है। इसके विपरीत, शीर्ष बीजगणितीय में कोई भी अनुरूप सदिश कुछ विरासोरो शीर्ष संचालक बीजगणितीय से एक विशिष्ट शीर्ष बीजगणितीय समरूपता को प्रेरित करता है।

विरासोरो शीर्ष संचालक बीजगणितीय सरल होते हैं, अतिरिक्त इसके कि जब c का रूप 1–6(''p''–''q'')<sup>2</sup>/''pq'' होता है, तो सह अभाज्य पूर्णांक p,q 1 से दृढ़ता से अधिक होता है, और यह Kac के निर्धारक सूत्र से होता है। इन असाधारण स्थितियों में, एक अद्वितीय अधिकतम आदर्श होता है, और संबंधित भागफल को न्यूनतम प्रतिरूप कहा जाता है। जब p = q+1, शीर्ष बीजगणितीय विरासोरो के इकाई निरूपण होते हैं, और उनके मापांक असतत श्रृंखला निरूपण के रूप में जाने जाते हैं। वे भाग में अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं क्योंकि वे असामान्य रूप से विनयशील हैं, और छोटे पी के लिए, वे महत्वपूर्णता पर प्रसिद्ध [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]] प्रणालियों के अनुरूप होते हैं, उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी महत्वपूर्ण ईज़िंग प्रतिरूप, त्रि-महत्वपूर्ण ईज़िंग प्रतिरूप,आदि। फ्यूजन नियमों से संबंधित [[वेइकांग वांग]] के कार्य से,{{sfn|Wang|1993}} संलयन , हमारे पास इकाई न्यूनतम प्रतिरूप की प्रदिश श्रेणियों का पूर्ण विवरण है। उदाहरण के लिए, जब c=1/2 (Ising) होता है, तो निम्नतम L के साथ तीन अलघुकरणीय मापांक ''L''<sub>0</sub>- भार 0, 1/2, और 1/16 होते हैं, और इसका संलयन वलय '''Z'''[''x'',''y'']/(''x''<sup>2</sup>–1, ''y''<sup>2</sup>–''x''–1, ''xy''–''y'') होता है।

=== एफिन शीर्ष बीजगणितीय ===
हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणितीय को एक अनट्विस्टेड एफिन केएसी-मूडी लाइ बीजगणितीय (अर्थात, एक परिमित-आयामी सरल लाई बीजगणितीय पर लूप बीजगणितीय का सार्वभौमिक [[केंद्रीय विस्तार (गणित)]]), के साथ परिवर्तित होकर एक निर्वात प्रतिनिधित्व का निर्माण उसी तरह से कर सकता है, जैसे मुक्त बोसॉन शीर्ष बीजगणितीय का निर्माण किया जाता है। यह बीजगणितीय वेस-ज़ुमिनो-विटन प्रतिरूप के वर्तमान बीजगणितीय के रूप में उत्पन्न होता है, जो उस विसंगति को उत्पन्न करता है जिसे केंद्रीय विस्तार रूप में व्याख्या किया जाता है।

ठोस रूप से, केंद्रीय विस्तार को वापस कर्षण रहा है:

:<math>0 \to \mathbb{C} \to \hat{\mathfrak{g}} \to \mathfrak{g}[t,t^{-1}] \to 0</math>
समावेशन के साथ <math>\mathfrak{g}[t] \to \mathfrak{g}[t,t^{-1}]</math> एक विभाजित विस्तार उत्पन्न करता है, और निर्वात मापांक बाद के एक आयामी प्रतिनिधित्व से प्रेरित होता है, जिस पर एक केंद्रीय आधार तत्व कुछ चयन किये गए स्थिरांक द्वारा कार्य करता है जिसे स्तर कहा जाता है। चूंकि केंद्रीय तत्वों को परिमित प्रकार के लाई बीजगणितीय <math>\mathfrak{g}</math> पर अपरिवर्तनीय आंतरिक उत्पादों के साथ पहचाना जा सकता है, जोकि एक सामान्यतः स्तर को सामान्य करता है ताकि [[ मारक रूप |मारक रूप]] में दोहरे [[कॉक्सेटर संख्या]] का स्तर दोगुना हो। समतुल्य रूप से, स्तर एक आंतरिक उत्पाद देता है जिसके लिए सबसे लंबी जड़ का मानदंड 2 है। यह लूप बीजगणितीय सम्मेलन के समान है, जहां स्तरों को केवल संलग्न हुए सुगठित लाई समूहों के तृतीय सह समरूपता द्वारा पृथक किया जाता है।

परिमित प्रकार लाई बीजगणितीय के एक आधार ''J''<sup>a</sup> का चयन कर, ''ए''क केंद्रीय तत्व K के साथ ''J''<sup>a</sup><sub>''n''</sub> = ''J''<sup>a</sup>  मिलकर J का उपयोग करके एफिन लाई बीजगणितीय के आधार का निर्माण कर सकते है। पुनर्निर्माण के द्वारा, क्षेत्र के व्युत्पादित के सामान्य आदेशित उत्पादों द्वारा शीर्ष संचालकों का वर्णन कर सकते हैं:

:<math>J^a(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty J^a_n z^{-n-1} = \sum_{n=-\infty}^\infty (J^a t^n) z^{-n-1}.</math>
जब स्तर गैर-महत्वपूर्ण होता है, अर्थात, आंतरिक उत्पाद [[ मारक रूप |मारक रूप]] का आधा नहीं होता है, तो निर्वात प्रतिनिधित्व में एक अनुरूप तत्व होता है, जो [[सुगवारा निर्माण]] द्वारा दिया जाता है।{{efn|The history of the Sugawara construction is complicated, with several attempts required to get the formula correct.[https://mathoverflow.net/q/16406]}} दोहरे आधारों के किसी भी विकल्प के लिए ''J''<sup>a</sup>, ''J''<sub>a</sub> स्तर 1 आंतरिक उत्पाद के संबंध में, अनुरूप तत्व है:

:<math>\omega = \frac{1}{2(k+h^\vee)} \sum_a J_{a,-1} J^a_{-1} 1</math>
और एक शीर्ष संचालक बीजगणितीय उत्पन्न करता है जिसका केंद्रीय प्रभार <math>k \cdot \dim \mathfrak{g}/(k+h^\vee)</math> है। महत्वपूर्ण स्तर पर, अनुरूप संरचना नष्ट हो जाती है, क्योंकि भाजक शून्य है, परन्तु एक सीमा लेकर n ≥ –1 के लिए संचालक ''L<sub>n</sub>'' का उत्पादन कर सकता है, क्योंकि k महत्वपूर्णता तक पहुंचता है।

इस निर्माण को श्रेणी 1 मुक्त बोसोन के लिए कार्य करने के लिए परिवर्तित किया जा सकता है। वास्तव में, विरासोरो सदिश एक-पैरामीटर श्रेणी ω<sub>''s''</sub> = 1/2 ''x''<sub>1</sub><sup>2</sup> + ''s'' ''x''<sub>2</sub> बनाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप शीर्ष संचालक बीजगणितीय को केंद्रीय प्रभार 1−12''s''<sup>2</sup> के साथ प्रदान किया जाता है। जब s = 0, हमारे पास श्रेणीबद्ध आयाम के लिए निम्न सूत्र होता है:

:<math>Tr_V q^{L_0} = \sum_{n \in \mathbf{Z}} \dim V_n q^n = \prod_{n \geq 1} (1-q^n)^{-1}</math>
इसे [[ विभाजन कार्य (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) |विभाजन कार्य]] के लिए [[ जनरेटिंग फ़ंक्शन |उत्पादक कार्यात्मक]] के रूप में जाना जाता है, और इसे ''q''<sup>1/24</sup> गुना भार का −1/2 मापांकर रूप 1/η ([[डेडेकाइंड और फंक्शन]]) के रूप में भी लिखा जाता है। श्रेणी एन मुक्त बोसोन में विरासोरो सदिश का एन पैरामीटर वर्ग है, और जब वे पैरामीटर शून्य होते हैं, तो स्वरूप  ''q<sup>n</sup>''<sup>/24</sup> गुना भार −n/2 मापांकर रूप η<sup>−''n''</sup> होता है।

=== शीर्ष संचालक बीजगणितीय एक सम जालक द्वारा परिभाषित ===
जालक शीर्ष बीजगणितीय निर्माण शीर्ष बीजगणितीय को परिभाषित करने के लिए मूल प्रेरणा थी। इसका निर्माण जालक सदिशों के संगत मुक्त बोसोन के लिए अलघुकरणीय मापांकों का योग और उनके मध्य परस्पर गुणन संचालकों को निर्दिष्ट करके गुणन संक्रिया को परिभाषित किया गया है। अर्थात यदि {{math|Λ}} एक समान जालक है,और जालक शीर्ष बीजगणित {{math|''V''<sub>Λ</sub>}} मुक्त बोसोनिक मापांक में विघटित होता है:

:<math>V_\Lambda \cong \bigoplus_{\lambda \in \Lambda} V_\lambda</math>
जालक शीर्ष बीजगणितीय कैनोनिक रूप से जालक के स्थान पर [[यूनिमॉड्यूलर जाली|अभिन्न जालक]] के युग्म आवरण से संलग्न होते हैं। जबकि इस प्रकार के प्रत्येक जालक में समरूपता तक एक अद्वितीय जालक शीर्ष बीजगणितीय होता है, शीर्ष बीजगणितीय निर्माण क्रियात्मक नहीं होता है, क्योंकि जालक स्वाकारिता में उत्तोलन करने में अस्पष्टता होती है।{{sfn|Borcherds|1986}}

प्रश्न में युग्म आवरण एकल रूप से निम्नलिखित नियम द्वारा समरूपता तक निर्धारित किए जाते हैं: तत्वों का जालक सदिश {{math|''α'' ∈ Λ}} के लिए {{mvar|±e<sub>α</sub>}} का रूप होता है (अर्थात,  {{math|Λ}} के लिए एक मानचित्र होता है, जो α को {{mvar|e<sub>α</sub>}} में भेज रहा है जो संकेतों को भूल जाता है), और गुणा संबंधों, eαeβ = (-1)(α,β)eβeα को संतुष्ट करता है। इसका वर्णन करने का एक और माध्यम यह है एक भी जालक Λ दिया गया है, तो वहाँ एक अद्वितीय (कोबाउंड्री तक) सामान्यीकृत चक्र ε(α, β) है, जिसमें मान ±1 ऐसा है जैसे कि (−1)(α,β) = ε(α, β) ε(β, α), जहां सामान्यीकरण की स्थिति यह है कि ε(α, 0) = ε(0, α) = 1 सभी α ∈ Λ के लिए। यह चक्रीय क्रम 2 के एक समूह द्वारा Λ के एक केंद्रीय विस्तार को प्रेरित करता है, और हम आधार eα (α ∈ Λ) के साथ एक व्यावर्तित समूह वलय Cε[Λ] प्राप्त करते हैं और गुणन नियम eαeβ = ε(α, β)eα+β- ε पर चक्रीय स्थिति वलय की संबद्धता सुनिश्चित करते है।<sup>{{sfn|Kac|1998}}

फॉक स्थान में V<sub>λ</sub> सबसे कम भार वाले सदिश {{mvar|v<sub>λ</sub>}} से जुड़ा शीर्ष संचालक है: 

:<math>Y(v_\lambda,z) = e_\lambda :\exp \int \lambda(z): = e_\lambda z^\lambda \exp \left (\sum_{n<0} \lambda_n \frac{z^{-n}}{n} \right )\exp \left (\sum_{n>0} \lambda_n \frac{z^{-n}}{n} \right ),</math>
जहां {{mvar|z<sup>λ</sup>}} रेखीय मानचित्र के लिए एक संक्षिप्त लिपि है जो α-फॉक स्थान {{mvar|V<sub>α</sub>}} के किसी भी तत्व को एकपदी के लिए {{math|''z''<sup>(''λ'',''α'')</sup>}} तक ले जाता है। फ़ॉक स्थान के किसी तत्वों के लिए शीर्ष संचालक को पुनर्निर्माण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

जैसा कि मुक्त बोसोन की स्थिति में, किसी के पास सदिश स्थान {{math|Λ ⊗ '''C'''}} के एक तत्व s द्वारा दिए गए अनुरूप सदिश का विकल्प होता है, परन्तु प्रतिबंध यह है कि अतिरिक्त फॉक रिक्त स्थान में पूर्णांक ''L''<sub>0</sub> इगनवेल्यूज़ s के विकल्प को बाधित करता है। एक अलौकिक आधार के लिए {{mvar|x<sub>i</sub>}}, सदिश 1/2 ''x''<sub>i,1</sub><sup>2</sup> + ''s''<sub>2</sub> को संतुष्ट करना चाहिए, {{math|(''s'', ''λ'') ∈ '''Z'''}} सभी λ ∈ Λ के लिए, अर्थात, s द्विक जालक में स्थित है।

यदि जालक {{math|Λ}} इसके स्थिर सदिश (उन संतोषजनक (α, α) = 2) द्वारा उत्पन्न होते है, और किसी भी दो स्थिर सदिश को स्थिर सदिश की एक श्रृंखला से जोड़ा जाता है, जिसमें निरंतर आंतरिक उत्पाद गैर-शून्य होते हैं, तो शीर्ष संचालक बीजगणितीय स्तर एक पर समान सरल अद्वितीय सरल रूप से सज्जित सरल लाई बीजगणितीय के एफिन केएसी-मूडी बीजगणितीय के निर्वात मापांक का अद्वितीय सरल भागफल है। इसे फ्रेनकेल-केएसी (या इगोर फ्रेनकेल-विक्टर केसी-[[ ग्रीम सहगल | ग्रीम सहगल]]) निर्माण के रूप में जाना जाता है, और यह  द्विक अनुनाद प्रतिरूप में टैचियन के [[ सर्जियो फुबिनो |सर्जियो फुबिनो]] और [[गेब्रियल विनीशियन]] द्वारा जो पूर्व के निर्माण पर आधारित है। किसी विशेषताओं के अतिरिक्त, स्थिर सदिश के अनुरूप शीर्ष संचालकों के शून्य प्रणाली अंतर्निहित सरल लाई बीजगणितीय का निर्माण करते हैं, जो मूल रूप से [[ जैक्स स्तन |जैक्स स्तन]] के कारण प्रस्तुति से संबंधित है। विशेष रूप से, सभी एडीई प्रकार के लाई समूहों का निर्माण सीधे उनके स्थिर जालक से प्राप्त होता है और यह सामान्यतः 248-आयामी समूह ''E''<sub>8</sub> के निर्माण का सबसे सरल माध्यम माना जाता है।{{sfn|Kac|1998}}{{sfn|Frenkel|Lepowsky|Meurman|1988}}

=== अतिरिक्त उदाहरण ===
* [[राक्षस शीर्ष बीजगणित|मॉन्स्टर शीर्ष बीजगणितीय]] <math>V^\natural</math> (जिसे कल्पना मापांक भी कहा जाता है), अपरूप कल्पना अनुमानों के बोरचर्ड्स के प्रमाण की कुंजी, 1988 में फ्रेंकेल, लेपोव्स्की और मेउरमैन द्वारा निर्मित की गई थी। यह उल्लेखनीय है क्योंकि इसका विभाजन कार्य मापांक अपरिवर्तनीय j-744 है, और इसका समरूपता समूह सबसे बड़ा विकीर्ण सरल समूह है, जिसे [[राक्षस समूह|मॉन्स्टर]] [[राक्षस समूह|समूह]] के रूप में जाना जाता है। मूल में जोंक जालक को प्रतिबिंबित करके प्रेरित 2 समरूपता के क्रम से जोंक जालक VOA की परिक्रमा करके इसका निर्माण किया गया है। यही, एक व्यावर्तित मापांक के साथ जोंक जालक VOA का प्रत्यक्ष योग बनाता है, और एक प्रेरित प्रत्यावर्तन के अंतर्गत निश्चित बिंदुओं को लेता है। फ्रेंकेल, लेपोव्स्की और मेउरमैन ने 1988 में अनुमान लगाया था कि <math>V^\natural</math> सेंट्रल प्रभार 24 और विभाजन कार्यात्मक j-744 के साथ अद्वितीय होलोमार्फिक शीर्ष संचालक बीजगणितीय है। यह अनुमान अभी भी प्रारम्भ है।
* चिराल डी रम जटिल: मलिकोव, शेचटमैन, और वेनट्रोब ने दर्शाया कि स्थानीयकरण की एक विधि द्वारा, एक बीसी βγ (बोसोन-फर्मियन सुपरक्षेत्र) प्रणाली को एक समतल जटिल बहुविध से जोड़ा जा सकता है। पूलीओं के इस परिसर में एक विशिष्ट अंतर है, और वैश्विक सह-विज्ञान एक शीर्ष उपबीजावली है। बेन-ज़्वी, हेलुआनी और स्ज़ेज़ेस्नी ने दर्शाया कि अनेक गुना होने पर एक रिमेंनियन मीट्रिक एक ''N'' = 2 सुपरकॉन्फॉर्मल संरचना को प्रेरित करता है, जिसे ''N'' = 2 संरचना में प्रचारित किया जाता है यदि मीट्रिक काहलर और रिक्की-फ्लैट है, और एक हाइपरकेहलर ''N'' = 4 संरचना एक एन को प्रेरित करती है। बोरिसोव और लिबगॉबर ने दर्शाया कि चिराल डी रम के सह समरूपता से अनेक गुना सुगठित जटिल बहुविध के दो-चर अण्डाकार जीन प्राप्त कर सकते हैं- यदि अनेक गुना कैलाबी-यॉ है, तो यह जीनस एक शक्तिहीन [[जैकोबी रूप]] है।{{sfnp|Borisov|Libgober|2000}}

== मापांक ==
साधारण वलयों के प्रकार, शीर्ष बीजगणितीय मापांक या प्रतिनिधित्व की धारणा को स्वीकार करते हैं। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में मापांक एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जहां उन्हें प्रायः क्षेत्रक कहा जाता है। भौतिकी साहित्य में एक मानक धारणा यह है कि एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का पूर्ण [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष|हिल्बर्ट स्थान]] बाएँ-चलने वाले और दाएँ-चलने वाले क्षेत्रों के प्रदिश उत्पादों के योग में विघटित हो जाता है:

:<math>\mathcal{H} \cong \bigoplus_{i \in I} M_i \otimes \overline{M_i}</math>
यही, एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में बाएं और दाहिनी ओर चलने वाली चिरल समरूपता का एक शीर्ष संचालक बीजगणितीय होता है, और किसी दिए गए दिशा में चलने वाले क्षेत्रक संबंधित शीर्ष संचालक बीजगणितीय के लिए मापांक होते हैं।

गुणन Y के साथ एक शीर्ष बीजगणितीय V दिया गया है, और एक V-मापांक एक सदिश स्थान M है जो क्रिया ''Y''<sup>M</sup>: ''V'' ⊗ ''M'' → ''M''((''z'')) से सुसज्जित है, जो निम्नलिखित प्रतिबंधों को पूर्ण करता है: 

: (पहचान) ''Y''<sup>M</sup>(1,z) = Id<sub>M</sub>
: (साहचर्य, या जैकोबी सर्वसमिका) किसी भी u, v ∈ V, w ∈ M के लिए एक अवयव है

:<math>X(u,v,w;z,x) \in M[[z,x]][z^{-1}, x^{-1}, (z-x)^{-1}]</math>
ऐसा है कि ''Y''<sup>M</sup>(''u'',''z'')''Y''<sup>M</sup>(''v'',''x'')''w'' और ''Y''<sup>M</sup>(''Y''(''u'',''z''–''x'')''v'',''x'')''w'' के संगत विस्तार हैं, ''M''((''z''))((''x'')) और ''M''((''x''))((''z''–''x'')) में, समतुल्य रूप से, निम्नलिखित जैकोबी पहचान रखते है:

:<math>z^{-1}\delta\left(\frac{y-x}{z}\right)Y^M(u,x)Y^M(v,y)w - z^{-1}\delta\left(\frac{-y+x}{z}\right)Y^M(v,y)Y^M(u,x)w = y^{-1}\delta\left(\frac{x+z}{y}\right)Y^M(Y(u,z)v,y)w.</math>
शीर्ष बीजगणितीय के मापांक एक [[एबेलियन श्रेणी]] बनाते हैं। शीर्ष संचालक बीजगणितीय के साथ कार्य करते समय, पूर्व परिभाषा को [[कमजोर मॉड्यूल|शक्तिहीन मापांक]] नाम दिया गया है, और अतिरिक्त स्थिति को पूर्ण करने के लिए वी-मापांक की आवश्यकता होती है जो कि ज़ेड के प्रत्येक सहसमुच्चय में नीचे ''L''<sub>0</sub> परिमित-आयामी आइगेनस्पेस और ईजेनवैल्यूज़ के साथ अर्धसूत्रीय रूप से कार्य करता है। हुआंग, लेपोव्स्की, मियामोटो और झांग के {{citation needed|date=जनवरी 2023}} कार्यो को सामान्यता के विभिन्न स्तरों पर दर्शाया है कि शीर्ष संचालक बीजगणितीय के मापांक एक संलयन प्रदिश उत्पाद संचालन को स्वीकार करते हैं, और एक [[ब्रेडेड टेंसर श्रेणी|ब्रेडेड प्रदिश श्रेणी]] बनाते हैं।

जब वी-मॉड्यूल की श्रेणी अर्ध-सरल होती है जिसमें सूक्ष्म रूप से कई अलघुकरणीय वस्तुएं होती हैं, तो शीर्ष संचालक बीजगणितीय वी को तर्कसंगत कहा जाता है। तर्कसंगत शीर्ष संचालक बीजगणितीय एक अतिरिक्त परिमितता परिकल्पना को संतुष्ट करता है (झू की ''C''<sub>2-</sub>संबद्धता की स्थिति के रूप में जाना जाता है) विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार करने के लिए जाने जाते हैं, और उन्हें "नियमित" कहा जाता है। उदाहरण के लिए, झू के 1996 के मापांकर अपरिवर्तनीयता प्रमेय का अनुरोध है कि नियमित वीओए के मापांक के वर्ण ''SL''<sub>2</sub>('''Z''') के सदिश-मूल्यवान प्रतिनिधित्व का निर्माण करते हैं। विशेष रूप से, यदि कोई VOA  ''होलोमार्फिक''  है, अर्थात इसकी प्रतिनिधित्व श्रेणी सदिश रिक्त स्थान के समान है, तो इसका विभाजन कार्य ''SL<sub>2</sub>('''Z''')'' एक स्थिर तक अपरिवर्तनीय है। हुआंग ने दर्शाया कि एक नियमित वीओए के मापांक की श्रेणी एक मापांकर प्रदिश श्रेणी है, और इसके संलयन नियम [[वर्लिंडे सूत्र]] को संतुष्ट करते हैं।

हमारे प्रथम उदाहरण से जुड़ने के लिए, श्रेणी 1 मुक्त बोसोन के अलघुकरणीय मापांक फॉक स्थान ''V''<sub>λ</sub> द्वारा कुछ निश्चित गति के साथ λ दिए गए हैं, अर्थात, हाइजेनबर्ग लाइ बीजगणितीय के प्रेरित प्रतिनिधित्व, जहां तत्व ''b''<sub>0</sub> λ द्वारा अदिश गुणन द्वारा कार्य करते है। जहां स्थान को '''C'''[''x''<sub>1</sub>,''x''<sub>2</sub>,...]''v''<sub>λ</sub>के रूप में लिखा जा सकता है, जहां ''v''<sub>λ</sub> एक एकल भू-अवस्था सदिश है। मापांक श्रेणी अर्ध-सरल नहीं है, क्योंकि कोई एबेलियन लाइ बीजगणित के प्रतिनिधित्व को प्रेरित कर सकता है जहां ''b''<sub>0</sub> एक नॉनट्रियल [[जॉर्डन ब्लॉक]] द्वारा कार्य करता है। श्रेणी एन मुक्त बोसोन के लिए, जटिल एन-आयामी स्थान में प्रत्येक सदिश λ के लिए एक अलघुकरणीय मापांक ''V''<sub>λ</sub> है। प्रत्येक सदिश ''b'' ∈ C<sup>n</sup> संचालक ''b''<sub>0</sub> देता है, और फॉक स्थान ''V''<sub>λ</sub> संपत्ति से भिन्न है कि प्रत्येक ''b''<sub>0</sub> आंतरिक उत्पाद (''b'', λ) द्वारा अदिश गुणन के रूप में कार्य करते है।

साधारण वलयो के विपरीत, शीर्ष बीजगणितीय एक समरूपता से संलग्न व्यावर्तित हुए मापांक की धारणा को स्वीकार करते हैं। क्रम N के एक समरूपता σ के लिए, क्रिया का रूप V ⊗ M → M((z<sup>1/N</sup>)) हैं, निम्नलिखित [[मोनोड्रोमी]] स्थिति के साथ: यदि u ∈ V σ u = exp(2πik/N)u को संतुष्ट करता है , तो u<sub>n</sub> = 0 जब तक n n+k/N ∈ 'Z' को संतुष्ट नहीं करता है (विशेषज्ञों के मध्य संकेतों के विषयों में कुछ असहमति है)। ज्यामितीय रूप से, व्यावर्तित हुए मापांक को बीजगणितीय वक्र पर एक शाखायुक्त [[गैलोज़ कवर|गैलोज़ आवरण]] के साथ जोड़ा जा सकता है। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत साहित्य में, व्यावर्तित हुए मापांक को [[मुड़ क्षेत्र|व्यावर्तित क्षेत्र]] कहा जाता है, और [[orbifold|ऑर्बिफोल्ड]] स्ट्रिंग सिद्धांत से घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है।

== शीर्ष संचालक बीजगणितीय ==
अंतर्निहित सदिश स्थान को एक सुपरस्थान (अर्थात, एक Z/2Z-वर्गीकृत सदिश स्थान) होने की अनुमति देकर <math> V=V_+\oplus V_-</math>) एक शीर्ष बीजगणित के रूप में एक ही आँकड़े द्वारा एक शीर्ष उपबीजावली को परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें 1, ''V''<sub>+</sub> और ''T'' एक समान संचालक है। स्वयंसिद्ध अनिवार्य रूप से समान हैं, परन्तु स्थानीयता स्वयंसिद्ध, या समकक्ष योगों में से एक में उपयुक्त संकेतों को सम्मिलित करना चाहिए। अर्थात्, यदि a और b सजातीय हैं, तो Y(a,z)Y(b,w) की तुलना εY(b,w)Y(a,z) से की जाती है, जहां ε -1 है यदि a और b दोनों विषम और 1अन्यथा हैं। यदि इसके अतिरिक्त ''V''<sub>2</sub> के सम भाग में एक विरासोरो तत्व ω है, और सामान्य स्तरीकरण प्रतिबंध संतुष्ट हैं, तो V को शीर्ष संचालक उपबीजावली कहा जाता है।

सबसे सरल उदाहरणों में से एक एकल मुक्त फ़र्मियन ψ द्वारा उत्पन्न शीर्ष संचालक उपबीजावली है। विरासोरो प्रतिनिधित्व के रूप में, इसका केंद्रीय प्रभार 1/2 है, और सबसे कम भार 0 और 1/2 के प्रभार मापांक के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। कोई इसे द्विघात स्थान ''t''<sup>1/2</sup>'''C'''[''t'',''t''<sup>−1</sup>](''dt'')<sup>1/2</sup> पर अवशेष युग्मन के साथ पर क्लिफोर्ड बीजगणित के स्पिन प्रतिनिधित्व के रूप में वर्णित कर सकते है। शीर्ष संचालक उपबीजावली  होलोमार्फिक है, इस अर्थ में कि सभी मापांक स्वयं के प्रत्यक्ष योग हैं, अर्थात, मापांक श्रेणी सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी के समान है।

मुक्त फर्मिऑन के प्रदिश वर्ग को मुक्त आवेशित फर्मिऑन कहा जाता है, और बोसोन-फर्मिऑन समतुल्यता द्वारा, यह विषम जालक Z से संलग्न जालक शीर्ष उपबीजावली के लिए समरूप है।{{sfn|Kac|1998}} इस समतुल्यता का उपयोग डेट-जिंबो-काशीवारा-मिवा द्वारा गैर-रैखिक पीडीई के [[केपी पदानुक्रम]] के लिए [[सॉलिटन]] समाधान बनाने के लिए किया गया है।

== सुपरकॉन्फॉर्मल संरचनाएं ==
विरासोरो बीजगणितीय में कुछ [[सुपरसिमेट्री|अति सममित विस्तार]] है, जो स्वाभाविक रूप से [[सुपरकॉन्फॉर्मल फील्ड थ्योरी|सुपरकॉन्फॉर्मल क्षेत्र सिद्धांत]] और [[ सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत |सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत]] में दिखाई देते हैं। N=1, 2, और 4 [[सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित|सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणितीय]] का विशेष महत्व है।

एक [[ supercurve |सुपरकर्व]] (एक समान स्थानीय निर्देशांक z और N विषम स्थानीय निर्देशांक θ<sub>1</sub>,...,θ<sub>N</sub> के साथ) के अतिसूक्ष्म  होलोमार्फिक सुपरकॉन्फॉर्मल रूपांतरण एक सुपर-प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश ''T''(z, θ<sub>1</sub>, ..., θ<sub>N</sub>)  के गुणांकों द्वारा उत्पन्न होते हैं।

जब ''N''=1, टी में विरासोरो क्षेत्र ''L''(''z'') द्वारा दिया गया अनन्य भाग होता है, और यहां तक कि एक क्षेत्र द्वारा दिया गया भाग भी होता है,

:<math>G(z) = \sum_n G_n z^{-n-3/2}</math>
रूपांतरण संबंधों के अधीन

* <math>[G_m,L_n] = (m-n/2)G_{m+n}</math>
* <math>[G_m,G_n] = (m-n)L_{m+n} + \delta_{m,-n} \frac{4m^2+1}{12}c</math>
संचालक उत्पादों की समरूपता का अन्वेषण करके, यह प्राप्त करता है कि क्षेत्र जी के लिए दो संभावनाएं हैं: सूचकांक एन या तो सभी पूर्णांक हैं, और [[रामोंड बीजगणित]] उत्पन्न करते हैं, या सभी आधे-पूर्णांक, नेवू-श्वार्ज़ बीजगणितीय उत्पन्न करते हैं। इन बीजगणितों में केंद्रीय इकाई की असतत श्रृंखला निरूपण है।

:<math>\hat{c} = \frac{2}{3}c = 1-\frac{8}{m(m+2)} \quad m \geq 3</math>
और 3/2 से अधिक सभी c  इकाई प्रतिनिधित्व, सबसे कम भार h के साथ केवल h≥ 0 द्वारा नेवू-श्वार्ज़ और h ≥ c/24 द्वारा रामोंड के लिए विवश है।

केंद्रीय आवेश c वाले शीर्ष संचालक बीजगणितीय V में N=1 सुपरकॉन्फॉर्मल सदिश 3/2 भार का एक विषम तत्व τ ∈ V है, जैसे कि-
:<math>Y(\tau,z) = G(z) = \sum_{m \in \mathbb{Z}+1/2} G_n z^{-n-3/2},</math>
''G''<sub>−1/2</sub>τ = ω, और G(z) के गुणांक केंद्रीय आवेश c पर N=1 नेवू-श्वार्ज़ बीजगणित की एक क्रिया उत्पन्न करते हैं।

N=2 सुपरसिममेट्री के लिए, एक सम क्षेत्र ''L''(''z'') और ''J''(''z''), और विषम क्षेत्र ''G''<sup>+</sup>(z) और ''G''<sup>−</sup>(z) प्राप्त करता है। क्षेत्र J(z) हाइजेनबर्ग बीजगणितीय (भौतिकविदों द्वारा U(1) वर्तमान के रूप में वर्णित) की एक क्रिया उत्पन्न करते है। रामोंड और नेवू-श्वार्ज़ N=2 सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणितीय दोनों हैं, और यह इस बात पर निर्भर करता है कि जी क्षेत्रों पर अनुक्रमण अभिन्न है या अर्ध-अभिन्न है। हालांकि, यू (1) वर्तमान समरूपी सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणितीय के एक-पैरामीटर श्रेणी को रामोंड और नेवू-श्वार्टज़ के मध्य प्रक्षेपित करते है, और संरचना के इस विरूपण को वर्णक्रमीय प्रवाह के रूप में जाना जाता है। इकाई निरूपण केंद्रीय आवेश c = 3-6 / m के साथ पूर्णांक m कम से कम 3 के लिए असतत श्रृंखला द्वारा दिया जाता है, और c> 3 के लिए सबसे कम की एक निरंतरता है।

शीर्ष संचालक बीजगणितीय पर N=2 सुपरकॉन्फॉर्मल संरचना विषम तत्वों का युग्म है, τ<sup>+</sup>, τ<sup>−</sup> भार 3/2, और भार 1 का एक सम तत्व μ ऐसा है कि τ<sup>±</sup> ''G''<sup>±</sup>(z), और μ J(z) उत्पन्न करता है।

N=3 और 4 के, इकाई प्रतिनिधित्व में केवल असतत श्रेणी में केंद्रीय शुल्क होता है, क्रमशः ''c''=3''k''/2 और 6k के साथ, क्योंकि k धनात्मक पूर्णांक से अधिक होता है।

== अतिरिक्त निर्माण ==
* नियत बिन्दु उपबीजावली: एक शीर्ष संचालक बीजगणितीय पर समरूपता समूह की एक क्रिया को देखते हुए, निश्चित सदिश की उपबीजावली भी एक शीर्ष संचालक बीजगणितीय है। 2013 में, मियामोटो ने प्रतिपादित किया कि दो महत्वपूर्ण परिमित गुण, अर्थात् झू की स्थिति C<sub>2</sub> और नियमितता, परिमित हल करने योग्य समूह क्रियाओं के तहत निश्चित बिंदु लेते समय संरक्षित हैं।
* वर्तमान विस्तार: एक शीर्ष संचालक बीजगणितीय और अभिन्न अनुरूप भार के कुछ मापांक दिए गए हैं, और कोई भी अनुकूल परिस्थितियों में प्रत्यक्ष योग पर एक शीर्ष संचालक बीजगणित संरचना का वर्णन कर सकते है। जालक शीर्ष बीजगणितीय इसका एक मानक उदाहरण है, उदाहरणों कि किसी एक श्रेणी वीओए को तैयार किया जाता है, जो ईज़िंग प्रतिरूप के प्रदिश उत्पादों से प्रारंभ होता है, और ऐसे मापांक जोड़ता है जो उपयुक्त रूप से कूट के अनुरूप होते हैं।
* ऑर्बिफोल्ड्स: एक होलोमार्फिक वीओए पर कार्य करने वाले एक परिमित चक्रीय समूह को देखते हुए, यह अनुमान लगाया जाता है कि एक दूसरे होलोमार्फिक वीओए का निर्माण अलघुकरणीय ट्विस्टेड मापांक से जुड़कर और एक प्रेरित समरूपता के अंतर्गत निश्चित बिंदुओं को लेकर किया जा सकता है, जब तक कि ट्विस्टेड मापांक में उपयुक्त अनुरूप भार हो। यह विशेष परिस्तिथियों में सत्य माना जाता है, उदाहरण के लिए, जालक वीओएएस पर अभिनय करने वाले अधिकतम 3 आदेशों के समूह है।
* सह समुच्चय निर्माण (गोडार्ड, केंट, और ओलिव के कारण): केंद्रीय आवेश c के शीर्ष संचालक बीजगणितीय V और सदिश के एक व्यवस्थित S को देखते हुए, कम्प्युटैंट C (V, S) को सदिश v के उप-स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। S से आने वाले सभी क्षेत्रों के साथ परिवर्तन, अर्थात, जैसे कि Y(s,z)v ∈<nowiki></nowiki> <nowiki></nowiki>Vz सभी s ∈ S के लिए है। यह Y, T, और पहचान से विरासत में मिली पहचान के साथ एक उपबीजावली V, और यदि S केंद्रीय आवेश ''c''<sub>S</sub> का VOA है, कम्यूटेंट केंद्रीय प्रभार ''c''–''c''<sub>S</sub> का VOA है, उदाहरण के लिए, स्तर k+1 पर SU(2) को दो SU(2) बीजगणित के प्रदिश उत्पाद में k और 1 के स्तर पर निहित करने से p=k+2, q=k+3, और विरासोरो असतत श्रृंखला प्राप्त होती है। इसका उपयोग 1980 के दशक में उनके अस्तित्व को प्रतिपादित करने के लिए किया गया था। पुनः से SU(2) के साथ, स्तर k+2 को स्तर k और स्तर 2 के प्रदिश उत्पाद में निहित करने से N=1 सुपरकॉन्फॉर्मल असतत श्रृंखला प्राप्त होती है।
* बीआरएसटी न्यूनीकरण: किसी भी डिग्री 1 सदिश v संतोषजनक ''v''<sub>0</sub><sup>2</sup>=0 के लिए, इस संचालक की सह समरूपता में श्रेणीकृत शीर्ष उपबीजावली संरचना है। अधिक सामान्यतः, कोई भी भार 1 क्षेत्र का उपयोग कर सकता है, जिसका अपशिष्ट वर्ग शून्य है। सामान्य विधि फ़र्मियन के साथ प्रदिश है, क्योंकि तब एक विहित अंतर होता है। एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति क्वांटम ड्रिनफेल्ड-सोकोलोव कमी है जो एफिन केएसी-मूडी बीजगणितीय पर कार्यान्वित होता है ताकि एफिन डब्ल्यू-बीजगणितीय को डिग्री 0 सह समरूपता के रूप में प्राप्त किया जा सके। ये डब्ल्यू बीजगणित भी स्क्रीनिंग संचालकों के आधार द्वारा दिए गए मुक्त बोसोन के शीर्ष सबलजेब्रस के रूप में निर्माण को स्वीकार करते हैं।

== संबंधित बीजगणितीय संरचनाएं ==
* यदि कोई शीर्ष बीजगणितीय में ओपीई के केवल एकल भाग पर विचार करता है, तो वह लाई अनुरूप बीजगणितीय की परिभाषा पर पहुंचता है। चूंकि प्रायः ओपीई के एकल भाग के साथ ही संबंध होता है, यह लाई अनुरूप बीजगणितीय को अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक वस्तु बनाता है। ओपीई के नियमित भाग को अज्ञात शीर्ष बीजगणितीय से [[झूठ अनुरूप बीजगणित|लाई अनुरूप बीजगणित]] तक एक प्रकार्यक है, और इसमें एक बायां जोड़ है, जिसे सार्वभौमिक शीर्ष बीजगणितीय प्रकार्यक कहा जाता है। एफिन केएसी-मूडी बीजगणितीय और विरासोरो शीर्ष बीजगणितीय के निर्वात मापांक सार्वभौमिक शीर्ष बीजगणितीय हैं, और विशेष रूप से, पृष्ठभूमि सिद्धांत विकसित होने के पश्चात उन्हें बहुत संक्षेप में वर्णित किया जा सकता है।
* साहित्य में शीर्ष बीजगणितीय की धारणा के अनेक सामान्यीकरण हैं। कुछ मंद सामान्यीकरणों में मोनोड्रोमी की अनुमति देने के लिए क्षेत्र के स्वयंसिद्ध को शक्तिहीन करना सम्मिलित है, उदाहरण के लिए, डोंग और लेपोव्स्की के एबेलियन आपस में बंधे हुए बीजगणितीय हैं। श्रेणीबद्ध सदिश रिक्त स्थान के ब्रेडेड प्रदिश श्रेणी में स्थूलतः शीर्ष बीजगणितीय वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है, ठीक उसी प्रकार जैसे सुपर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी में एक शीर्ष उपबीजावली ऐसी वस्तु है। अधिक जटिल सामान्यीकरण क्यू-विरूपण और क्वांटम समूहों के प्रतिनिधित्व से संबंधित हैं, जैसे कि फ्रेनकेल-रेशेतिखिन, ईटिंगोफ़-काज़दान और ली के कार्य में संबंधित हैं।
* बेइलिन्सन और ड्रिनफेल्ड ने चिरल बीजगणितीय की एक शीफ-सैद्धांतिक धारणा प्रस्तुत की जो शीर्ष बीजगणितीय की धारणा की निकटता से संबंधित है, परन्तु किसी भी दृश्य ऊर्जा श्रृंखला का उपयोग किए बिना परिभाषित किया गया है। एक [[बीजगणितीय वक्र]] X को देखते हुए, X पर एक चिरल बीजगणितीय एक ''D''<sub>X</sub>- मापांक ''A'' है। एक गुणन <math>j_*j^*(A \boxtimes A) \to \Delta_* A</math> X×X जो एक सहयोगी स्थिति को संतुष्ट करता है। उन्होंने गुणनखंड बीजगणितीय की एक समतुल्य धारणा भी प्रस्तुत की जो कि वक्र के सभी परिमित उत्पादों पर क्वासिकोहेरेंट शेव्स की एक प्रणाली है, साथ में एक अनुकूलता की स्थिति जिसमें विभिन्न विकर्णों के पूरक के लिए बाधा सम्मिलित हैं। एफिन रेखा पर किसी भी अनुवादन-समतुल्य चिरल बीजगणितीय को एक बिंदु पर फाइबर ले कर शीर्ष बीजगणितीय के साथ पहचाना जा सकता है, और किसी भी शीर्ष संचालक बीजगणितीय को समतल बीजगणितीय वक्र पर चिरल बीजगणितीय को संलग्न करने का एक प्राकृतिक माध्यम है।

== यह भी देखें ==
* संचालिका बीजगणित

== टिप्पणियाँ ==
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===उद्धरण===
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== स्रोत ==
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*{{citation| title = Vertex algebras, Kac-Moody algebras, and the Monster
 | last = Borcherds | first = Richard | year = 1986
 | author-link = Richard Borcherds
 | journal = [[Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America]]
 | volume = 83 | issue = 10 | pages = 3068–3071
 | bibcode = 1986PNAS...83.3068B | doi = 10.1073/pnas.83.10.3068 | pmc = 323452 | pmid = 16593694
| doi-access = free }}
*{{citation| title = Elliptic genera of toric varieties and applications to mirror symmetry
 | last1 = Borisov | first1 = Lev A.
 | last2 = Libgober | first2 = Anatoly
 | author2-link = Anatoly Libgober
 | journal = [[Inventiones Mathematicae]]
 | year = 2000 | volume = 140 | issue = 2 | pages = 453–485
 | arxiv = math/9904126 | doi = 10.1007/s002220000058 | bibcode = 2000InMat.140..453B | mr = 1757003
| s2cid = 8427026 }}
*{{citation| title = Vertex algebras and Algebraic Curves
 | last1 = Frenkel | first1 = Edward
 | last2 = Ben-Zvi | first2 = David
 | author1-link = Edward Frenkel
 | year = 2001
 | publisher = American Mathematical Society
 | number = 88
 | series = Mathematical Surveys and Monographs
 | isbn = 0-8218-2894-0
}}
*{{citation| title = Vertex operator algebras and the Monster
 | last1 = Frenkel | first1 = Igor
 | last2 = Lepowsky | first2 = James
 | last3 = Meurman | first3 = Arne
 | author1-link = Igor Frenkel
 | author2-link = James Lepowsky
 | year = 1988
 | publisher = Academic Press
 | volume = 134 | series = Pure and Applied Mathematics
 | isbn = 0-12-267065-5
}}
*{{citation| title = Vertex algebras for beginners | edition = 2nd
 | last = Kac | first = Victor | year = 1998
 | author-link = Victor Kac
 | publisher = [[American Mathematical Society]]
 | volume = 10 | series = University Lecture Series
 | isbn = 0-8218-1396-X
}}
*{{citation| title = Rationality of Virasoro vertex operator algebras
 | last = Wang | first = Weiqiang | year = 1993
 | author-link = Weiqiang Wang
 | journal =  International Mathematics Research Notices
 | volume =  1993| issue = 7 | page = 197 | doi=10.1155/S1073792893000212
| doi-access = free }}
*{{citation| title = Introduction to vertex operator superalgebras and their modules
 | last = Xu | first = Xiaoping | year = 1998
 | publisher = Springer
 | isbn = 079235242-4
}}
{{refend}}

{{String theory topics|state=collapsed}}

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श्रेणी:झूठे बीजगणित
श्रेणी:गैर-सहयोगी बीजगणित


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