View source for क्वांटम तर्क

{{Short description|Theory of logic to account for observations from quantum theory}}
{{Quantum mechanics|cTopic=[[Interpretation of quantum mechanics|Interpretations]]}}

[[क्वांटम नींव|परिमाण मूल]] के [[गणितीय तर्क]] और भौतिकी विश्लेषण में, परिमाण तर्क [[क्वांटम यांत्रिकी|परिमाण यांत्रिकी]] की संरचना से प्रेरित [[प्रस्ताव|प्रस्तावों]] के प्रकलन के लिए नियमों का एक समूह है। यह क्षेत्र अपने प्रारम्भिक बिंदु के रूप में [[गैरेट बिरखॉफ]] और जॉन वॉन न्यूमैन का एक अवलोकन लेता है, कि पारम्परिक यांत्रिकी में प्रायोगिक परीक्षणों की संरचना एक [[बूलियन बीजगणित (संरचना)]] बनाती है, लेकिन परिमाण यांत्रिकी में प्रायोगिक परीक्षणों की संरचना बहुत अधिक जटिल संरचना बनाती है।

परिमाण तर्क को सामान्यतः प्रस्तावात्मक अनुमान के लिए सही तर्क के रूप में प्रस्तावित किया गया है, विशेष रूप से दार्शनिक [[हिलेरी पटनम]] द्वारा, कम से कम अपने जीवन में एक बिंदु पर। यह अभिधारणा पुत्नाम के 1968 के समाचार पट्र <nowiki>''</nowiki>तर्क अनुभवजन्य है<nowiki>''</nowiki>? में एक महत्वपूर्ण घटक था जिसमें उन्होंने तर्कवाक्य तर्क के नियमों की ज्ञानमीमांसा की स्थिति का विश्लेषण किया। आधुनिक दार्शनिक तर्क के आधार के रूप में परिमाण तर्क को अस्वीकार करते हैं, क्योंकि इसमें भौतिक सशर्त का अभाव है; एक सामान्य विकल्प रेखीय तर्क की प्रणाली है, जिसमें से परिमाण तर्क एक टुकड़ा है।

गणितीय रूप से, बूलियन बीजगणित के लिए [[वितरण कानून|वितरण नियम]] को दुर्बलन करके परिमाण तर्क तैयार किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक [[ऑर्थोकंप्लीमेंट|ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड जाली]] होता है। परिमाण-यांत्रिक वेधशालाओं और [[जितना राज्य|जितना स्थिति]] को परिमाण संगणनाओं के लिए एक वैकल्पिक [[औपचारिकता (गणित)|वैधिकता (गणित)]] देते हुए या जाली पर कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

== परिचय ==
परिमाण तर्क और [[शास्त्रीय तर्क|पारम्परिक तर्क]] के बीच सबसे उल्लेखनीय अंतर प्रस्तावात्[[मक तर्क]] वितरण नियम की विफलता है:<ref>Peter Forrest, "Quantum logic" in ''[[Routledge Encyclopedia of Philosophy]]'', vol.&nbsp;7, 1998. p.&nbsp;882ff: "[Quantum logic] differs from the standard sentential calculus....The most notable difference is that the distributive laws fail, being replaced by a weaker law known as orthomodularity."</ref>	: p और (q या r) = (p और q) या (p और r),
जहाँ प्रतीक p, q और r प्रस्तावक चर हैं।

यह स्पष्ट करने के लिए कि वितरण नियम विफल क्यों होता है, एक रेखा पर गतिमान एक कण पर विचार करें और (इकाइयों की कुछ प्रणाली का उपयोग करते हुए जहां घटी हुई प्लैंक स्थिरांक 1 है) आइए<ref group="Note">Due to technical reasons, it is not possible to represent these propositions as [[Operator (quantum mechanics)|quantum-mechanical operators]].  They are presented here because they are simple enough to enable intuition, and can be considered as limiting cases of operators that ''are'' feasible.  See {{Slink||Quantum logic as the logic of observables}} ''et seq.'' for details.</ref>
: p = अंतराल {{closed-closed|0, +{{frac|1|6}}}} में कण का संवेग होता है 
: q = कण अंतराल {{closed-closed|−1, 1}} में है 
: r = कण अंतराल {{closed-closed|1, 3}} में है 
हम देख सकते हैं कि:
: p और (q या r) = सत्य
दूसरे शब्दों में, कि कण की स्थिति 0 और +1/6 के बीच संवेग का भारित [[ जितना अध्यारोपण |अधिस्थापन]] है और -1 और +3 के बीच की स्थिति है।

दूसरी ओर, प्रस्ताव p और q और p और r प्रत्येक अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा अनुमत स्थिति और गति के एक साथ मूल्यों पर कड़े प्रतिबंधों का दावा करते हैं (उनमें से प्रत्येक में अनिश्चितता 1/3 है, जो कि न्यूनतम 1 से कम है /2). इसलिए ऐसे कोई स्थिति नहीं हैं जो किसी भी प्रस्ताव का समर्थन कर सकें, और
: (p और q) या (p और r) = असत्य

== इतिहास और आधुनिक आलोचना ==
1932 के अपने पारम्परिक ग्रंथ [[क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव|परिमाण यांत्रिकी की गणितीय नींव]] में, जॉन वॉन न्यूमैन ने कहा कि [[हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] पर [[प्रक्षेपण (गणित)]] को भौतिक अवलोकनों के प्रस्ताव के रूप में देखा जा सकता है; अर्थात संभावित हाँ या ना वाले प्रश्न जो एक प्रेक्षक एक भौतिक प्रणाली की स्थिति के बारे में पूछ सकता है, ऐसे प्रश्न जिन्हें कुछ माप द्वारा सुलझाया जा सकता है।{{sfn|von&nbsp;Neumann|1932}} 1936 के सामाचार पत्र में वॉन न्यूमैन और बिरखॉफ द्वारा इन परिमाण प्रस्तावों में प्रकलन करने के सिद्धांतों को तब परिमाण तर्क कहा गया था।{{sfn|Birkhoff|von&nbsp;Neumann|1936}}

[[जॉर्ज मैके]] ने अपनी 1963 की पुस्तक (जिसे परिमाण यांत्रिकी की गणितीय नींव भी कहा जाता है) में, परिमाण तर्क को एक ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड जाली की संरचना के रूप में स्वयंसिद्ध करने का प्रयास किया, और माना कि एक भौतिक अवलोकन योग्य को परिमाण प्रस्ताव के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। हालांकि मैके की प्रस्तुति अभी भी मानती है कि [[orthocomplemented जाली|ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड जाली]] एक वियोज्य अंतरिक्ष हिल्बर्ट अंतरिक्ष के [[बंद सेट|बंद सम्मुच्चय]] रैखिक उप-स्थानों का जाली (क्रम) है,{{sfn|Mackey|1963}} [[कॉन्स्टेंटाइन पिरोन]], गुंथर लुडविग और अन्य ने बाद में स्वयंसिद्धीकरण विकसित किए जो एक अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान नहीं मानते हैं।<ref>Piron:
* C. Piron, "Axiomatique quantique" (in French), ''Helvetica Physica Acta'' vol.&nbsp;37, 1964.  DOI:&nbsp;[http://doi.org/10.5169/seals-113494 10.5169/seals-113494].
* {{harvnb|Piron|1976}}.
Ludwig:
* Günther Ludwig, "[https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF01653647.pdf Attempt of an Axiomatic Foundation of Quantum Mechanics and More General Theories]"&nbsp;II, ''Commun. Math. Phys.'', vol.&nbsp;4, 1967.  pp.&nbsp;331-348.  
* {{harvnb|Ludwig|1954}}
</ref>

[[हंस रीचेनबैक]] के हाल ही में [[सामान्य सापेक्षता]] के बचाव से प्रेरित होकर, दार्शनिक हिलेरी पुतनाम ने 1968 और 1975 में दो पत्रों में मैके के काम को लोकप्रिय बनाया,{{sfn|Maudlin|2005}} जिसमें उन्होंने अपने सह-लेखक, भौतिक विज्ञानी [[डेविड फिंकेलस्टीन]] को इस विचार के लिए जिम्मेदार ठहराया कि परिमाण मापन से जुड़ी विसंगतियां तर्क की विफलता से उत्पन्न होती हैं।{{sfn|Putnam|1969}} पुटनाम ने [[क्वांटम माप|परिमाण माप]]न की समस्या में छिपे-चर सिद्धांत या [[वेवफंक्शन पतन]] के लिए एक संभावित विकल्प विकसित करने की आशा की, लेकिन ग्लीसन का प्रमेय इस लक्ष्य के लिए गंभीर कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है।{{sfn|Maudlin|2005}}{{sfn|Wilce}} बाद में, पुत्नाम ने अपने विचारों को वापस ले लिया, यद्यपि बहुत कम धूमधाम से,{{sfn|Maudlin|2005}} परन्तु हानि हो चुकी थी। जबकि बिरखॉफ़ और वॉन न्यूमैन के मूल कार्य ने केवल परिमाण यांत्रिकी की [[कोपेनहेगन व्याख्या]] से जुड़ी गणनाओं को व्यवस्थित करने का प्रयास किया था, शोधकर्ताओं का एक समूह अब उभर आया था, वह या तो यह उम्मीद कर रहा था कि परिमाण तर्क एक व्यवहार्य छिपा-चर सिद्धांत प्रदान करेगा, या इसकी आवश्यकता को कम करेगा।<ref>{{wikicite|T.&nbsp;A. Brody, "On Quantum Logic", ''Foundations of Physics'', vol.&nbsp;14, no.&nbsp;5, 1984.  pp.&nbsp;409-430.|ref={{harvid|Brody|1984}}}}</ref> उनका काम निष्फल प्रमाणित हुआ, और अब खराब प्रतिष्ठा में है।{{sfn|Bacciagaluppi|2009}}

अधिकांश दार्शनिक परिमाण तर्क को पारम्परिक तर्क का अनाकर्षक प्रतियोगी मानते हैं। यह स्पष्ट नहीं है कि परिमाण तर्क, तर्क की एक प्रक्रिया का वर्णन करने के अर्थ में एक तर्क है, जो परिमाण उपकरणों द्वारा किए गए मापों को सारांशित करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक भाषा के विपरीत है।{{sfn|Maudlin|2005|p=159-161}}{{sfn|Brody|1984}} (हालांकि, दूसरों का तर्क है कि वे तर्क हैं और सभी प्रामाणिक शर्तों को पूरा करते हैं, तर्कशास्त्रियों को एक अमूर्त वस्तु को तर्क कहने की आवश्यकता होती है।<ref>{{cite book |last1=Chiara |first1=Maria Luisa Dalla |author-link1=Maria Luisa Dalla Chiara |last2=Giuntini |first2=Roberto |last3=Greechie |first3=Richard |date=2004 |title=Reasoning in Quantum Theory: Sharp and Unsharp Quantum Logics |url=https://link.springer.com/book/10.1007/978-94-017-0526-4 |publisher=Springer Dordrecht |page=267 |doi=10.1007/978-94-017-0526-4 |isbn=978-94-017-0526-4 |quote=Why quantum logics? Simply because "quantum logics are there!" They seem to be deeply incorporated in the abstract structures generated by QT. Quantum logics are, without any doubt, logics. As we have seen, they satisfy all the canonical conditions that the present community of logicians require in order to call a given abstract object a logic. A question that has been often discussed concerns the compatibility between quantum logic and the mathematical formalism of quantum theory, based on classical logic. Is the quantum physicist bound to a kind of "logical schizophrenia"? At first sight, the copresence of different logics in one and the same theory may give a sense of uneasiness. However, the splitting of the basic logical operations (negation, conjunction, disjunction,...) into different connectives with different meanings and uses is now a well accepted logical phenomenon, that admits consistent descriptions. Classical and quantum logic turn out to apply to different sublanguages of quantum theory, that must be carefully distinguished.}}</ref>) विशेष रूप से, विज्ञान के आधुनिक दार्शनिक तर्क देते हैं कि परिमाण तर्क भौतिक विज्ञान की समस्याओं को ठीक से हल करने के स्थान पर भौतिकी में अनसुलझी समस्याओं के लिए आध्यात्मिक कठिनाइयों को स्थानापन्न करने का प्रयास करता है।{{sfn|Brody|1984|pp=428-429}} [[टिम मौडलिन]] लिखते हैं कि परिमाण तर्क माप समस्या को हल करता है | [माप] समस्या को स्तिथि के लिए असंभव बनाकर हल करता है।{{sfn|Maudlin|2005|p=174}}

{{Quote frame|परिमाण तर्क के घोड़े को इतना पीटा गया है, कोड़े मारे गए हैं, और इतनी बुरी तरह से मरा गया है कि ... सवाल यह नहीं है कि घोड़ा फिर से उठेगा, यह है: दुनिया में यह घोड़ा पहले स्थान पर कैसे आया ? परिमाण तर्क की कहानी एक होनहार विचार के खराब होने की कहानी नहीं है, बल्कि यह एक बुरे विचार के निरंतर पीछा करने की कहानी है। ...कई, दार्शनिक और भौतिक विज्ञानी आश्वस्त हो गए हैं कि तर्क में परिवर्तन (और सबसे नाटकीय रूप से, शास्त्रीय तर्क की अस्वीकृति) किसी तरह परिमाण सिद्धांत को समझने में मदद करेगा, या किसी तरह परिमाण सिद्धांत द्वारा हमें सुझाया या मजबूर किया गया है। लेकिन परिमाण तर्क, इसके कई अवतारों और विविधताओं के माध्यम से, तकनीकी रूप और व्याख्या दोनों में, माल कभी नहीं दिया है।|मॉडलिन|[[#{{harvid|Maudlin|2005}}|हिलेरी पूनम]]|pp.&nbsp;184-185}}

परिमाण तर्क तर्कशास्त्रियों के बीच एक अत्यंत तर्कहीन काउंटरएक्साम्पल के रूप में सीमित उपयोग में रहता है (दल्ला चियारा और गिउंटिनी: परिमाण तर्क क्यों? सिर्फ इसलिए कि 'परिमाण तर्क हैं!')।{{sfn|Dalla&nbsp;Chiara|Giuntini|2002}} हालांकि परिमाण तर्क के लिए केंद्रीय अंतर्दृष्टि [[वर्गीकरण]] के लिए एक अंतर्ज्ञान पंप के रूप में गणितीय लोककथा बनी हुई है, चर्चा कदाचित ही कभी परिमाण तर्क का उल्लेख करती है।<ref>[[Terry Tao]], "[https://terrytao.wordpress.com/2021/11/07/venn-and-euler-type-diagrams-for-vector-spaces-and-abelian-groups/ Venn and Euler type diagrams for vector spaces and abelian groups]" on ''What's New'' (blog), 2021.</ref>



== बीजगणितीय संरचना ==
परिमाण तर्क को प्रस्तावों के सिद्धांत के रूप में स्वयंसिद्ध किया जा सकता है जो निम्नलिखित पहचानों को मापांक करता है:{{sfn|Megill|2019}}
* <nowiki>a{{=}¬¬a</nowiki>
* ∨ क्रम[[विनिमेय]] और साहचर्य है।
* एक अधिकतम तत्व ⊤, और किसी भी b के लिए ⊤ {{=}}b∨¬b है।
* a∨¬(¬a∨b){{=}}a।

(¬ [[निषेध (तर्क)]] के लिए पारंपरिक संकेतन है, ∨ [[या (तर्क)]] के लिए संकेतन, और ∧ [[और (तर्क)]] के लिए संकेतन है।)

कुछ लेखक [[ऑर्थोमॉड्यूलर जाली]] तक सीमित हैं, जो अतिरिक्त रूप से ऑर्थोमॉड्यूलर नियम को पूरा करते हैं:
* <nowiki>अगर ⊤{{=}¬(¬a∨¬b)∨¬(a∨b) फिर a</nowiki>{{=}}b।

(⊤ [[सच|सत्यता]] के लिए पारंपरिक संकेतन है और ⊥ [[धोखे|असत्यता]] के लिए पारंपरिक संकेतन है।)

वैकल्पिक फॉर्मूलेशन में [[प्राकृतिक कटौती|प्राकृतिक निगमन]] के माध्यम से व्युत्पन्न प्रस्ताव सम्मिलित हैं,{{sfn|Dalla&nbsp;Chiara|Giuntini|2002}} [[गणना का पालन करें|अनुवर्ती कलन]] <ref>{{cite journal | jstor  = 44084050 | author1=N.J. Cutland |author2= P.F. Gibbins | title=A regular sequent calculus for Quantum Logic in which ∨ and ∧ are dual | journal=Logique et Analyse |series=Nouvelle Série | volume=25 | number=99 | pages=221–248 | date=Sep 1982 }}</ref><ref>
* {{cite journal | author=Hirokazu Nishimura | title=Proof theory for minimal quantum logic I | journal=International Journal of Theoretical Physics | volume=33 | number=1 | pages=103–113 | date=Jan 1994 |bibcode = 1994IJTP...33..103N |doi = 10.1007/BF00671616 | s2cid=123183879 }}
* {{cite journal | author=Hirokazu Nishimura | title=Proof theory for minimal quantum logic II | journal=International Journal of Theoretical Physics | volume=33 | number=7 | pages=1427–1443 | date=Jul 1994 | doi=10.1007/bf00670687| bibcode=1994IJTP...33.1427N | s2cid=189850106 }}</ref> या विश्लेषणात्मक झांकी प्रणाली की विधि है।<ref>{{cite conference|url=http://www.kr.tuwien.ac.at/staff/tompits/papers/tableaux-99.pdf |author1=Uwe Egly |author2=Hans Tompits |title=क्वांटम लॉजिक में जेंटजन-लाइक मेथड्स|conference=8th Int. Conf. on Automated Reasoning with Analytic Tableaux and Related Methods (TABLEAUX) |publisher=[[SUNY Albany]] | year=1999 |citeseerx=10.1.1.88.9045 }}</ref> अपेक्षाकृत विकसित प्रमाण सिद्धांत के बावजूद, परिमाण तर्क को [[निर्णायकता (तर्क)]] के रूप में नहीं जाना जाता है।{{sfn|Megill|2019}}

== परिमाण तर्क वेधशालाओं के तर्क के रूप में ==
इस लेख के शेष भाग में माना गया है कि पाठक हिल्बर्ट स्पेस पर स्व-संलग्न संचालक के [[वर्णक्रमीय सिद्धांत]] से परिचित है। हालांकि, मुख्य विचारों को परिमित-आयामी स्तिथि में समझा जा सकता है।

=== [[शास्त्रीय यांत्रिकी|पारम्परिक यांत्रिकी]] का तर्क ===
पारम्परिक यांत्रिकी के [[हैमिल्टनियन यांत्रिकी]] योगों में तीन अवयव हैं: पारम्परिक यांत्रिकी, वेधशालाएँ और [[गतिकी (यांत्रिकी)]]। R<sup>3</sup> में गतिमान एकल कण के सरलतम स्तिथि में, अवस्था समष्टि स्थिति-गति स्थान R<sup>6</sup> है। एक अवलोकनीय अवस्था समष्टि पर कुछ वास्तविक-मूल्यवान प्रकार्य f है। वेधशालाओं के उदाहरण एक कण की स्थिति, संवेग या ऊर्जा हैं। पारम्परिक प्रणालियों के लिए, मान f(x), जो कि किसी विशेष प्रणाली अवस्था x के लिए f का मान है, f की माप की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है 

पारम्परिक प्रणाली से संबंधित प्रस्ताव प्रपत्र के मूल कथनों से उत्पन्न होते हैं

: f के मापन से कुछ वास्तविक संख्याओं a, b के लिए अंतराल [a, b] में एक मान

पारंपरिक अंकगणितीय संचालन और [[सीमा (गणित)]] के माध्यम से प्राप्त होता है। यह पारम्परिक प्रणालियों में प्रस्तावों के इस लक्षण वर्णन से आसानी से अनुसरण करता है कि संबंधित तर्क अवस्था अंतरिक्ष के बोरेल उपसमुच्चय के बूलियन बीजगणित (संरचना) के समान है। इस प्रकार वे पारम्परिक तर्क प्रस्‍थापना संबंधी तर्क (जैसे डी मॉर्गन के नियम) के नियमों का पालन करते हैं, जिसमें [[बूलियन ऑपरेटर (बूलियन बीजगणित)|बूलियन संचालक (बूलियन बीजगणित)]] के अनुरूप यूनियन और प्रतिच्छेदन के सम्मुच्चय संचालन होते हैं और शाब्दिक आपादन (अनुमान का नियम) के अनुरूप उपसमुच्चय सम्मिलित होते हैं।

वास्तव में, एक मजबूत दावा सच है: उन्हें असीमित तर्क {{Math|''L''<sub>&omega;<sub>1</sub>,&omega;</sub>}} का पालन करना चाहिए।

हम इन टिप्पणियों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं: पारम्परिक प्रणाली की प्रस्ताव प्रणाली एक विशिष्ट ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेशन संचालन के साथ एक जाली है: मिलने और जुड़ने के जाली संचालन क्रमशः प्रतिच्छेदन और सम्मुच्चय संघ हैं। ऑर्थोकंप्लिमेंटेशन संचालन पूरक सम्मुच्चय है। इसके अलावा, यह जाली क्रमिक रूप से पूर्ण है, इस अर्थ में कि कोई भी अनुक्रम {e<sub>''i''</sub>}<sub>''i''</sub> जाली के तत्वों की कम से कम ऊपरी सीमा होती है, विशेष रूप से सम्मुच्चय-सैद्धांतिक संघ: <math display="block"> \operatorname{LUB}(\{E_i\}) = \bigcup_{i=1}^\infty E_i\text{.} </math>


=== एक परिमाण यांत्रिक प्रणाली की प्रस्तावित जाली ===
वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत परिमाण यांत्रिकी के हिल्बर्ट स्पेस फॉर्मूलेशन में, हिल्बर्ट स्थल h पर कुछ (संभवतः अबाधित) सघन रूप से परिभाषित स्व-आसन्न संचालक a द्वारा एक भौतिक प्रेक्षण योग्य का प्रतिनिधित्व किया जाता है। a में एक वर्णक्रमीय अपघटन है, जो एक प्रक्षेपण-मूल्यवान है उपाय e 'r' के बोरेल सबसम्मुच्चय पर परिभाषित किया गया है। विशेष रूप से, 'R' पर किसी भी बंधे हुए बोरेल फलन f के लिए, संचालकों के लिए f का निम्नलिखित विस्तार किया जा सकता है:

:<math> f(A) = \int_{\mathbb{R}} f(\lambda) \, d \operatorname{E}(\lambda).</math>
स्तिथि में f एक अंतराल [a, b] का सूचक कार्य है, संचालक f (a) ईजेनवेल्यू के साथ a के [[सामान्यीकृत ईजेनवेक्टर]] के उप-स्थान पर एक स्व-संलग्न प्रक्षेपण है {{closed-closed|''a'',''b''}}. उस उप-स्थान की व्याख्या पारम्परिक प्रस्ताव के परिमाण समधर्मी के रूप में की जा सकती है
* A का मापन अंतराल [a, b] में एक मान देता है।

यह पारम्परिक यांत्रिकी में प्रस्तावों के ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जाली के लिए निम्नलिखित परिमाण यांत्रिक प्रतिस्थापन का सुझाव देता है, अनिवार्य रूप से मैकी का स्वयंसिद्ध VII:

* परिमाण यांत्रिक प्रणाली के प्रस्ताव एच के बंद उप-स्थानों की जाली के अनुरूप हैं; एक प्रस्ताव V की उपेक्षा आयतीय पूरक V<sup>⊥ है।

परिमाण प्रस्तावों का स्थान Q भी क्रमिक रूप से पूर्ण है: कोई भी जोड़ीदार असंयुक्त अनुक्रम {V<sub>''i''</sub>}<sub>''i''</sub> q के तत्वों की कम से कम ऊपरी सीमा है। यहाँ W<sub>1</sub> की असम्बद्धता और w<sub>2</sub> मतलब w<sub>2</sub> W<sub>1</sub> की एक उपसमष्टि है। {''V<sub>i</sub>''}<sub>''i''</sub> की सबसे कम ऊपरी सीमा बंद आंतरिक प्रत्यक्ष योग है

=== मानक शब्दार्थ ===
परिमाण तर्क का मानक शब्दार्थ यह है कि परिमाण तर्क एक वियोज्य समष्टि हिल्बर्ट समष्टि या [[पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष]] में [[प्रोजेक्शन ऑपरेटर|प्रक्षेप संचालक]] का तर्क है, जहाँ एक प्रेक्षणीय p [[egenspace|आइगेनस्पेस]] से जुड़ा होता है जिसके लिए p (जब मापा जाता है) का [[eigenvalue|आइगेनवैल्यू]] 1 होता है। वहाँ से ,
* ¬p, p का आयतीय पूरक है (चूँकि उन अवस्थाओं के लिए, p, P(p) = 0 के प्रेक्षण की प्रायिकता),
* p∧q, p और q का प्रतिच्छेदन है, और
* p∨q = ¬(¬p∧¬q) अवस्थाों को संदर्भित करता है कि परिमाण अध्यारोपण p और q है।





इस शब्दार्थ में अच्छी संपत्ति है कि प्री-हिल्बर्ट समष्टि पूरा हो गया है (अर्थात, हिल्बर्ट) अगर और केवल अगर प्रस्ताव ऑर्थोमॉड्यूलर नियम को संतुष्ट करते हैं, तो परिणाम सोलर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।<ref>{{harvnb|Dalla Chiara|Giuntini|2002}} and {{harvnb|de&nbsp;Ronde|Domenech|Freytes}}.  Despite suggestions otherwise in Josef Jauch, ''Foundations of Quantum Mechanics'', Addison-Wesley Series in Advanced Physics; Addison-Wesley, 1968, this property cannot be used to deduce a vector space structure, because it is not peculiar to (pre-)Hilbert spaces.  An analogous claim holds in most [[Category (math)|categories]]; see John Harding, "[https://www.ams.org/journals/tran/1996-348-05/S0002-9947-96-01548-6/S0002-9947-96-01548-6.pdf Decompositions in Quantum Logic]," ''Transactions of the AMS'', vol.&nbsp;348, no.&nbsp;5, 1996.  pp.&nbsp;1839-1862.</ref> परिमाण तर्क के ऑर्थोमॉड्यूलर संकेतार्थविज्ञान और संकेतार्थविज्ञान के कारण है,<ref>{{harvnb|Kalmbach|1974}} and {{harvnb|Kalmbach|1983}}</ref> एक पूर्णता प्रमेय है और यह कटौती प्रमेय के लिए विफल रहता है।
<ref name="ka2">{{Cite book|title= क्वांटम लॉजिक में वर्तमान मुद्दे|last=Kalmbach|first=G.|publisher=Plenum Press|year=1981|editor-last=Beltrametti|editor-first=E.|chapter= Orthomodular Logic as a Hilbert Type Calculus|pages=333–340}}</ref>

यद्यपि परिमाण तर्क का अधिकांश विकास मानक शब्दार्थ से प्रेरित है, यह बाद वाले की विशेषता नहीं है; उस जाली से संतुष्ट अतिरिक्त गुण हैं जिन्हें परिमाण तर्क में रखने की आवश्यकता नहीं है।{{sfn|Dalla&nbsp;Chiara|Giuntini|2002}}

== पारम्परिक तर्क के साथ अंतर ==
q की संरचना पारम्परिक प्रस्ताव प्रणाली के आंशिक क्रम संरचना के साथ अंतर को तुरंत इंगित करती है। पारम्परिक स्तिथि में, एक प्रस्ताव p दिया गया है, समीकरण
:⊤=p∨q और
: ⊥=p∧q
बिल्कुल एक समाधान है, अर्थात् p के सम्मुच्चय-सैद्धांतिक पूरक। अनुमानों की जाली के स्तिथि में उपरोक्त समीकरणों के असीमित रूप से कई समाधान हैं (p के किसी भी बंद, बीजगणितीय पूरक इसे हल करते हैं; इसे ऑर्थोकोम्प्लीमेंट होने की आवश्यकता नहीं है)।

अधिक सामान्यतः, [[मूल्यांकन (तर्क)]] में परिमाण तर्क में असामान्य गुण होते हैं। { ⊥, ⊤} में [[ कुल कार्य |कुल कार्य]] [[जाली समरूपता]] को स्वीकार करने वाला एक ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड लैटिस बूलियन होना चाहिए। निस्यंदन संपत्ति के साथ अधिकतम आंशिक समरूपता q का अध्ययन करना एक मानक समाधान है:
:अगर a≤b और q(a)=⊤, फिर q(b)=⊤.{{sfn|Bacciagaluppi|2009}}

=== वितरण की विफलता ===
परिमाण तर्क में अभिव्यंजना संकेतार्थविज्ञान का उपयोग करके वेधशालाओं का वर्णन करते हैं जो पारम्परिक तर्क जैसा दिखता है। हालांकि, पारम्परिक तर्क के विपरीत, वितरण नियम a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) विफल हो जाता है जब परिमाण यांत्रिकी में वेधशालाओं की असंगति, जैसे स्थिति और गति के साथ काम करते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि यह माप प्रणाली को प्रभावित करता है, और यह माप कि क्या एक संयोजन धारण करता है, यह नहीं मापता है कि कौन से संयोजन सत्य हैं।

उदाहरण के लिए, एक साधारण एक-आयामी कण पर विचार करें जिसे x द्वारा दर्शाया गया है और p द्वारा संवेग है, और वेधशालाओं को परिभाषित करें:
* a - |p| ≤ 1 (कुछ इकाइयों में)
* b - x <0
* c - x ≥ 0

अब, स्थिति और संवेग एक दूसरे के फूरियर रूपांतर हैं, और एक [[कॉम्पैक्ट समर्थन|सुसंहत समर्थन]] के साथ एक वर्ग-एकीकृत गैर-शून्य फलन का [[फूरियर रूपांतरण]] संपूर्ण कार्य है और इसलिए इसमें गैर-पृथक शून्य नहीं हैं। इसलिए, ऐसा कोई तरंग फलन नहीं है जो संवेग स्थान में सामान्यीकरण योग्य तरंग फलन है और ठीक x ≥ 0 पर गायब हो जाता है। इस प्रकार, a ∧ b और इसी तरह a ∧ c असत्य हैं, इसलिए (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) असत्य है। हालांकि, a ∧ (b ∨ c) एक के बराबर है, जो निश्चित रूप से गलत नहीं है (ऐसे अवस्था हैं जिनके लिए यह एक व्यवहार्य परिमाण माप है)। इसके अलावा यदि कण की गतिकी के लिए प्रासंगिक हिल्बर्ट स्थान केवल संवेग को 1 से अधिक नहीं मानता है, तो एक सत्य है।

अधिक समझने के लिए, p<sub>1</sub> और p<sub>2</sub> कण तरंग फलन के क्रमशः x <0 और x ≥ 0 के प्रतिबंध के लिए गति हो (प्रतिबंध के बाहर तरंग फलन शून्य के साथ)। माना |p|↾<sub>&gt;1</sub> |p| का प्रतिबंध मोमेंटा के लिए है जो (पूर्ण मूल्य में)> 1 हैं।

(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) |p वाले अवस्थाों के अनुरूप है<sub>1</sub>|↾<sub>&gt;1</sub> = | p<sub>2</sub>|↾<sub>&gt;1</sub> = 0 (यह तब भी लागू होता है जब हम p को अलग तरह से परिभाषित करते हैं ताकि ऐसी अवस्थाओं को संभव बनाया जा सके; साथ ही, a ∧ b |p के अनुरूप है<sub>1</sub>|↾<sub>&gt;1</sub>= 0 और p<sub>2</sub>=0)। एक संचालक के रूप में, p = p<sub>1</sub>+ p<sub>2</sub>, और अशून्य | p<sub>1</sub>|↾<sub>&gt;1</sub> और | p<sub>2</sub>|↾<sub>&gt;1</sub> शून्य उत्पन्न करने के लिए हस्तक्षेप कर सकता है |p|↾<sub>&gt;1</sub>। ऐसा हस्तक्षेप परिमाण तर्क और परिमाण यांत्रिकी की समृद्धि की कुंजी है।

== परिमाण माप से संबंध ==

=== मैके वेधशाला ===
एक ऑर्थोकम्प्लीमेंट q दिया गया है, एक मैकी प्रेक्षणीय φ 'r' से q के बोरेल उपसमुच्चय के ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड लैटिस से एक संख्येय योगात्मक उपाय है। प्रतीकों में, इसका मतलब है कि किसी भी अनुक्रम के लिए {s<sub>''i''</sub>}<sub>''i''</sub> R के जोड़ीदार असंयुक्त बोरेल उपसमुच्चय का, {φ(''S''<sub>''i''</sub>)}<sub>''i''</sub> जोड़ीदार आयतीय प्रस्ताव (q के तत्व) हैं और

:<math> \varphi\left(\bigcup_{i=1}^\infty S_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(S_i). </math>
समतुल्य रूप से, मैके प्रेक्षणीय r पर एक प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय है।

प्रमेय ([[वर्णक्रमीय प्रमेय]]) यदि'' q ''हिल्बर्ट 'h' के बंद उप-स्थानों की जाली है, तो मैके वेधशालाओं और 'h' पर सघन रूप से परिभाषित स्व-संबद्ध संचालकों के बीच एक विशेषण पत्राचार है।

=== परिमाण संभाव्यता उपाय ===
{{Main|ग्लीसन की प्रमेय|परिमाण सांख्यिकीय यांत्रिकी}}

एक परिमाण संभाव्यता माप एक फलन P है जिसे Q पर [0,1] में मानों के साथ परिभाषित किया गया है जैसे कि P(⊥)=0, P(⊤)=1 और यदि {E<sub>''i''</sub>}<sub>''i''</sub> q के जोड़ीदार आयतीय तत्वों का अनुक्रम निम्न है
:<math> \operatorname{P}\!\left(\bigvee_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \operatorname{P}(E_i). </math>
हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उपस्थानों पर प्रत्येक परिमाण प्रायिकता माप एक [[घनत्व मैट्रिक्स|घनत्व आव्यूह]] से प्रेरित होता है - अनुरेख 1 का एक [[सकारात्मक संचालिका]] (रैखिक बीजगणित)।  

औपचारिक रूप से,
: '''प्रमेय,'''<ref>[[Andrew Gleason|A. Gleason]], "Measures on the Closed Subspaces of a Hilbert Space", ''Indiana University Mathematics Journal'', vol.&nbsp;6, no.&nbsp;4, 1957.  pp.&nbsp;885-893.  DOI:&nbsp;[http://dx.doi.org/10.1512/iumj.1957.6.56050 10.1512/iumj.1957.6.56050].  Reprinted in ''The Logico-Algebraic Approach to Quantum Mechanics'', University of Western Ontario Series in Philosophy of Science 5a, ed.&nbsp;C.&nbsp;A. Hooker; D. Riedel, c.&nbsp;1975-1979.  pp.&nbsp;123-133.</ref> मान लीजिए q कम से कम 3 जटिल आयाम के एक वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उपस्थानों की जाली है। फिर q पर किसी भी परिमाण संभाव्यता माप p के लिए एक अद्वितीय [[ट्रेस क्लास|अनुरेखण वर्ग]] संचालक s उपस्थित है जैसे कि <math display="block">\operatorname{P}(E) = \operatorname{Tr}(S E)</math> q में किसी भी स्व-संलग्न प्रक्षेपण e के लिए।

== अन्य तर्क से संबंध ==
परिमाण तर्क रैखिक तर्क में अंतः स्थापित होता है<ref name="linear">Vaughan Pratt, "[http://boole.stanford.edu/pub/ql.pdf Linear logic for generalized quantum mechanics]," in ''Workshop on Physics and Computation (PhysComp '92)'' proceedings.  See also the discussion at [[#{{harvid|nLab}}|''n''Lab]], [http://ncatlab.org/nlab/revision/quantum%20logic/42 Revision 42], which cites G.D. Crown, "On some orthomodular posets of vector bundles," ''Journ. of Natural Sci. and Math.'', vol.&nbsp;15 issue 1-2: pp.&nbsp;11–25, 1975.</ref> और [[ मॉडल तर्क |निश्चयमात्रक तर्कशास्त्र]] B।{{sfn|Dalla&nbsp;Chiara|Giuntini|2002}}

परिमाण प्रस्तावों के किसी भी सम्मुच्चय के ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जाली को बूलियन बीजगणित में अंतः स्थापित किया जा सकता है, जो पारम्परिक तर्क के लिए उपयुक्त है।<ref>Jeffery Bub and William Demopoulos, "The Interpretation of Quantum Mechanics," in ''[https://archive.org/details/logicalepistemol0000unse Logical and Epistemological Studies in Contemporary Physics]'', Boston Studies in the Philosophy of Science 13, ed.&nbsp;Robert&nbsp;S. Cohen and Marx&nbsp;W. Wartofsky; D.&nbsp;Riedel, 1974.  pp.&nbsp;92-122.  DOI:&nbsp;[http://dx.doi.org/10.1007/978-94-010-2656-7 10.1007/978-94-010-2656-7].  {{ISBN|978-94-010-2656-7}}.</ref>



== सीमाएं ==
हालांकि परिमाण तर्क के कई उपचार मानते हैं कि अंतर्निहित जाली ऑर्थोमॉड्यूलर होनी चाहिए, ऐसे तर्क कई अन्योन्यकारी परिमाण प्रणाली को संचलन नहीं कर सकते हैं। फाउलिस और रान्डेल के कारण एक उदाहरण में, परिमित-आयामी हिल्बर्ट मॉडल के साथ ऑर्थोमॉड्यूलर प्रस्ताव हैं जिनकी जोड़ी कोई ऑर्थोमॉड्यूलर प्रतिरूप स्वीकार नहीं करती है।{{sfn|Wilce}}

परिमाण तर्क कोई उचित भौतिक सशर्त स्वीकार नहीं करता है; कोई भी [[तार्किक संयोजक]] जो एक निश्चित तकनीकी अर्थ में संयोजक की एकरसता है, प्रस्तावों के वर्ग को बूलियन बीजगणित (संरचना) में कम कर देता है।<ref>{{cite journal | url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/BF00733278.pdf | doi=10.1007/BF00733278 | title=क्वांटम लॉजिक पर दोबारा गौर किया गया| year=1991 | last1= Román| first1=L. | last2=Rumbos | first2=B. | journal=Foundations of Physics | volume=21 | issue=6 | pages=727–734 | bibcode=1991FoPh...21..727R | s2cid=123383431 }}</ref> नतीजतन, परिमाण तर्क समय बीतने का प्रतिनिधित्व करने के लिए संघर्ष करता है।<ref name=linear /> एक संभावित समाधान 1970 और 1980 के दशक के अंत में [[व्याचेस्लाव बेलावकिन]] द्वारा विकसित बेलावकिन समीकरण का सिद्धांत है।<ref>
* {{cite journal
 | author = V. P. Belavkin
 | title = Optimal quantum filtration of Makovian signals [In Russian]
 | journal = Problems of Control and Information Theory
 | volume = 7
 | number = 5
 | pages = 345–360
 | year = 1978
}}
* {{cite journal
 | author = V. P. Belavkin
 | title = Quantum stochastic calculus and quantum nonlinear filtering
 | journal = Journal of Multivariate Analysis
 | volume = 42
 | number = 2
 | year = 1992
 | pages = 171–201
 | doi = 10.1016/0047-259X(92)90042-E
 | arxiv = math/0512362| s2cid = 3909067
 }}</ref><ref name=Bouten2009>{{cite journal
 |author1=Luc Bouten |author2=Ramon van Handel |author3=Matthew R. James | title = A discrete invitation to quantum filtering and feedback control
 | journal = SIAM Review
 | volume = 51
 |issue=2 | pages = 239–316
 | year = 2009
 | doi = 10.1137/060671504
 | arxiv = math/0606118
|bibcode = 2009SIAMR..51..239B |s2cid=10435983 }}</ref> हालांकि, यह ज्ञात है कि प्रणाली BV, रैखिक तर्क का एक गहरा निष्कर्ष टुकड़ा है जो परिमाण तर्क के बहुत करीब है, और स्वेच्छाचारी [[कारण ग्राफ|यादृच्छिक आलेख]] को नियंत्रित कर सकता है।<ref>Richard Blute, Alessio Guglielmi, Ivan&nbsp;T. Ivanov, Prakash Panangaden, Lutz Straßburger, "A Logical Basis for Quantum Evolution and Entanglement" in ''Categories and Types in Logic, Language, and Physics: Essays Dedicated to Jim Lambek on the Occasion of His 90th Birthday''; Springer, 2014.  pp.&nbsp;90-107.  DOI:&nbsp;[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-54789-8_6 10.1007/978-3-642-54789-8_6].  HAL&nbsp;[https://hal.inria.fr/hal-01092279/ 01092279].</ref>


== यह भी देखें ==
{{cols|colwidth=26em}}
* [[स्वानुशासित तर्क]]
* [[एचपीओ औपचारिकता]] (अस्थायी परिमाण तर्क के लिए एक दृष्टिकोण)
* रैखिक तर्क
* [[परिमाण यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण]]
* [[बहु-मूल्यवान तर्क]]
* [[परिमाण बायेसियनवाद]]
* परिमाण अनुभूति
* [[परिमाण प्रासंगिकता]]
* [[परिमाण क्षेत्र सिद्धांत]]
* [[परिमाण संभावना]]
* [[अर्ध-सेट सिद्धांत]]
* सोलर प्रमेय
* [[सदिश तर्क]]
{{colend}}

==टिप्पणियाँ==
{{reflist|group=Note}}




=== उद्धरण ===
{{reflist|2}}


== अग्रिम पठन ==



===ऐतिहासिक कार्य ===
: कालानुक्रमिक रूप से व्यवस्थित
* {{wikicite|J. von&nbsp;Neumann, ''Mathematical Foundations of Quantum Mechanics'', trans.&nbsp;Robert&nbsp;T. Beyer, ed.&nbsp;Nicholas&nbsp;A. Wheeler; Princeton University Press, 2018 (original&nbsp;1932).  pp.&nbsp;160-164.  [[JSTOR]]&nbsp;[https://www.jstor.org/stable/j.ctt1wq8zhp j.ctt1wq8zhp].  [https://archive.org/details/mathematicalfoun0000vonn 1955 edition] available at the [[Internet Archive]].|ref={{harvid|von Neumann|1932}}}}
* {{wikicite|[[Garrett Birkhoff|G. Birkhoff]] and [[John von Neumann|J. von&nbsp;Neumann]], "[http://www.fulviofrisone.com/attachments/article/451/the%20logic%20of%20quantum%20mechanics%201936.pdf The Logic of Quantum Mechanics]," ''Annals of Mathematics'', series II, vol. 37, issue 4, pp.&nbsp;823–843, 1936.  JSTOR&nbsp;[https://www.jstor.org/stable/pdf/1968621.pdf 1968621].  DOI [http://dx.doi.org/10.2307/1968621 10.2307/1968621].  |ref={{harvid|Birkhoff|von Neumann|1936}}}}
* {{wikicite|[[George Mackey|G. Mackey]], ''[https://archive.org/details/mathematicalfoun0000unse_t7f9 Mathematical Foundations of Quantum Mechanics]'', W.&nbsp;A.&nbsp;Benjamin, 1963.  HathiTrust&nbsp;[https://hdl.handle.net/2027/mdp.39015001329567 2027/mdp.39015001329567].|ref={{harvid|Mackey|1963}}}}
* {{wikicite|[[Hilary Putnam|H. Putnam]], ''Is Logic Empirical?'', Boston Studies in the Philosophy of Science V, ed.&nbsp;Robert&nbsp;S. Cohen and Marx&nbsp;W. Wartofsky, 1969.|ref={{harvid|Putnam|1969}}}}
* {{wikicite|[[Gudrun Kalmbach|G.Kalmbach]] ''Orthomodular Logic as a Hilbert Type Calculus'', in Current Issues in Quantum Logic, Plenum Press, New York, ed. E. Beltrametti et al., 1981, pp.&nbsp; 333-340|ref={{harvid|Ka2}}}}
* {{wikicite|[[Gudrun Kalmbach|G.Kalmbach]] ''Orthomodular Lattices'', Academic Press, London, 1983|ref={{harvid|Kalmbach|1983}}}}
* {{wikicite|[[Gudrun Kalmbach|G.Kalmbach]] ''Orthomodular Logic'', Z. Logik und Grundl. Math., vol. 20, 1974, pp.&nbsp; 395-406.|ref={{harvid|Kalmbach|1974}}}}

===आधुनिक दार्शनिक दृष्टिकोण===
* {{wikicite|Guido Bacciagaluppi, "[http://perso.ens-lyon.fr/jacques.jayez/Cours/Logique_Classique/Handbook_of_Quantum_Logic_2009.pdf Is Logic Empirical?]", in ''Handbook of Quantum Logic and Quantum Structures: Quantum Logic'', ed.&nbsp;K. Engesser, D.&nbsp;M. Gabbay, and D. Lehmann; Elsevier, 2009.  pp.&nbsp;49-78.|ref={{harvid|Bacciagaluppi|2009}}}}
* {{wikicite|[[Tim Maudlin]], "The Tale of Quantum Logic" in ''[https://archive.org/details/HilaryPutnam-ContemporaryPhilosophyInFocus Hilary Putnam]''; [[Cambridge University Press]] "Contemporary Philosophy in Focus" series, 2005.  DOI:&nbsp;[http://dx.doi.org/10.1017/CBO9780511614187.006 10.1017/CBO9780511614187.006] {{ISBN|9780521012546}}.|ref={{harvid|Maudlin|2005}}}}
* {{IEP|qu-logic|Quantum Logic in Historical and Philosophical Perspective|author-first1=C.|author-last1=de&nbsp;Ronde|author-first2=G.|author-last2=Domenech|author-first3=H.|author-last3=Freytes}}
* {{cite SEP |url-id=qt-quantlog |title=क्वांटम तर्क और संभाव्यता सिद्धांत|last=Wilce |first=Alexander}}

=== गणितीय अध्ययन ===
* {{wikicite|[[Maria Luisa Dalla Chiara|M.&nbsp;L. Dalla&nbsp;Chiara]] and R.&nbsp;Giuntini, "[https://core.ac.uk/download/pdf/25303784.pdf Quantum Logics]", in ''Handbook of Philosophical Logic'', vol.&nbsp;6, D.&nbsp;Gabbay and F.&nbsp;Guenthner, (eds.), Kluwer, 2002.  arXiv&nbsp;[https://arxiv.org/abs/quant-ph/0101028 quant-ph/0101028].|ref={{harvid|Dalla Chiara|Giuntini|2002}}}}
* {{wikicite|Norman Megill, [http://us.metamath.org/qleuni/mmql.html Quantum Logic Explorer] at [[Metamath]], 2019.|ref={{harvid|Megill|2019}}}}
* एन पपनिकोलाउ, [http://wrap.warwick.ac.uk/61398/7/WRAP_cs-rr-416.pdf रीजनिंग फॉर्मली अबाउट परिमाण प्रणाली्स: एन ओवरव्यू] , एसीएम सिगेक्ट न्यूज, 36(3), 2005। pp। 51-66। r्क्सिव [https://arxiv.org/abs/cs/0508005 cs/0508005]।

=== परिमाण नींव ===
* डी. कोहेन, एन इंट्रोडक्शन टू हिल्बर्ट स्पेस एंड परिमाण तर्क, स्प्रिंगर-वेरलाग, 1989. एलीमेंट्री एंड वेल-इलस्ट्रेटेड; उन्नत स्नातक के लिए उपयुक्त।
* {{wikicite|Günther Ludwig, ''Der Grundlagen der Quantenmechanik'' (in German), Springer, 1954.  The definitive work.  Released in English as: <ul><li>Günther Ludwig, ''[https://archive.org/details/foundations-of-quantum-mechanics-i-g.-ludwig-c.-a.-hein Foundations of Quantum Mechanics]'', vol.&nbsp;1, trans.&nbsp;Carl&nbsp;A. Hein; Springer-Verlag, 1983.</li><li>Günther Ludwig, ''An Axiomatic Basis for Quantum Mechanics'', vol.&nbsp;1: "Derivation of Hilbert Space Structure", trans.&nbsp;Leo&nbsp;F. Boron, ed.&nbsp;Karl Just; Springer, 1985.  DOI:&nbsp;[http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-70029-3 10.1007/978-3-642-70029-3].  {{ISBN|978-3-642-70029-3}}.</li></ul>|ref={{harvid|Ludwig|1954}}}}  
* {{wikicite|{{nlab|id=quantum+logic|title=Quantum Logic}}|ref={{harvid|nLab}}}}
* {{wikicite|[[Constantin Piron|C. Piron]], ''Foundations of Quantum Physics'',  W.&nbsp;A.&nbsp;Benjamin, 1976.|ref={{harvid|Piron|1976}}}}

{{DEFAULTSORT:Quantum Logic}}

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