View source for ज्यामितीय माप सिद्धांत

{{short description|Study of geometric properties of sets through measure theory}}
गणित में, ज्यामितीय माप सिद्धांत (जीएमटी) माप (गणित) के माध्यम से [[सेट (गणित)]] (आमतौर पर [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] में) के [[ज्यामिति]] गुणों का अध्ययन है। यह गणितज्ञों को [[ अंतर ज्यामिति ]] से टूल को [[ सतह (टोपोलॉजी) ]] के एक बहुत बड़े वर्ग तक विस्तारित करने की अनुमति देता है जो कि आवश्यक रूप से [[अलग करने योग्य कई गुना]] नहीं हैं।

== इतिहास ==

ज्यामितीय माप सिद्धांत पठार की समस्या ([[जोसेफ पठार]] के नाम पर रखा गया) को हल करने की इच्छा से पैदा हुआ था, जो पूछता है कि क्या हर चिकनी बंद वक्र के लिए <math>\mathbb{R}^3</math> सभी सतहों के बीच कम से कम [[क्षेत्र]] की एक सतह ([[टोपोलॉजी]]) मौजूद है जिसकी [[सीमा (टोपोलॉजी)]] दिए गए वक्र के बराबर है। ऐसी सतहें [[साबुन फिल्म]]ों की नकल करती हैं।

1760 में [[जोसेफ लुइस लाग्रेंज]] द्वारा प्रस्तुत किए जाने के बाद से यह समस्या खुली हुई थी। यह 1930 के दशक में [[जेसी डगलस]] और टिबोर राडो द्वारा कुछ टोपोलॉजी प्रतिबंधों के तहत स्वतंत्र रूप से हल किया गया था। 1960 में [[हर्बर्ट फेडरर]] और [[वेंडेल फ्लेमिंग]] ने करंट (गणित) के सिद्धांत का उपयोग किया, जिसके साथ वे भौगोलिक प्रतिबंधों के बिना उन्मुख पठार की समस्या [[गणितीय विश्लेषण]] को हल करने में सक्षम थे, इस प्रकार ज्यामितीय माप सिद्धांत की शुरुआत हुई। बाद में फ्रेडरिक जे. अल्मग्रेन, जूनियर के बाद [[जीन टेलर]] ने पठार के नियमों को उस तरह की विलक्षणताओं के लिए सिद्ध किया जो इन अधिक सामान्य साबुन फिल्मों और साबुन के बुलबुले समूहों में हो सकती हैं।

== महत्वपूर्ण धारणाएँ ==

निम्नलिखित वस्तुएं ज्यामितीय माप सिद्धांत में केंद्रीय हैं:
* हॉसडॉर्फ माप और हॉसडॉर्फ आयाम
* सुधार योग्य सेट सेट (या रेडॉन उपाय), जो कम से कम संभव नियमितता के साथ सेट (गणित) हैं जो अनुमानित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान को स्वीकार करने के लिए आवश्यक हैं।
* अनुमानित स्पर्शरेखा, घनत्व, प्रक्षेपण आदि के अस्तित्व के माध्यम से सुधारात्मकता की विशेषता।
* ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन, [[यह एक सेट है]], केकया सेट#बेसिकोविच नीडल सेट
* समान सुधारात्मकता
* मीट्रिक रिक्त स्थान (उपसमुच्चय) की सुधारात्मकता और एकसमान सुधारात्मकता, उदा. SubRiemannian manifolds, Carnot समूह, हाइजेनबर्ग समूह, आदि।
* एकवचन अभिन्न, फूरियर रूपांतरण, फ्रॉस्टमैन उपायों, हार्मोनिक उपायों आदि के संबंध
* [[सपाट अभिसरण]] # इंटीग्रल धाराएं, [[ उन्मुखता ]] मैनिफोल्ड्स की अवधारणा का एक सामान्यीकरण, संभवतः मैनिफोल्ड # मैनिफोल्ड विथ बाउंड्री।
* फ्लैट चेन, [[[[कई गुना]]]] की अवधारणा का एक वैकल्पिक सामान्यीकरण, संभवतः सीमा के साथ कई गुना # कई गुना।
* [[कैसीओपोली सेट]] (स्थानीय रूप से परिमित [[परिधि]] के सेट के रूप में भी जाना जाता है), कई गुना की अवधारणा का एक सामान्यीकरण जिस पर [[विचलन प्रमेय]] लागू होता है।
* विविधताओं की गणना से पठार प्रकार न्यूनीकरण की समस्या
निम्नलिखित प्रमेय और अवधारणाएँ भी केंद्रीय हैं:

* [[क्षेत्र सूत्र (ज्यामितीय माप सिद्धांत)]], जो एकीकरण में [[प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण]] की अवधारणा को सामान्य करता है।
* कोरिया सूत्र, जो फूबिनी के प्रमेय को ज्यामितीय माप सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत और अनुकूलित करता है।
* [[आइसोपेरिमेट्रिक असमानता]], जो बताती है कि किसी दिए गए क्षेत्र के लिए सबसे छोटी संभव परिधि एक गोल वृत्त की है।
* समतल अभिसरण, जो कई गुना अभिसरण की अवधारणा को सामान्य करता है।

== उदाहरण ==

उत्तल पिंड K और L के n-आयामी आयतन के लिए ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता,

:<math>\mathrm{vol} \big( (1 - \lambda) K + \lambda L \big)^{1/n} \geq (1 - \lambda) \mathrm{vol} (K)^{1/n} + \lambda \, \mathrm{vol} (L)^{1/n},</math>
एक ही पृष्ठ पर सिद्ध किया जा सकता है और जल्दी से शास्त्रीय आइसोपेरिमेट्रिक असमानता पैदा करता है। ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता भी आंकड़ों में एंडरसन के प्रमेय की ओर ले जाती है। ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता का प्रमाण आधुनिक माप सिद्धांत से पहले का है; माप सिद्धांत और लेबेस्गु एकीकरण के विकास ने ज्यामिति और विश्लेषण के बीच संबंध बनाने की अनुमति दी, इस हद तक कि ब्रून-मिन्कोव्स्की असमानता के एक अभिन्न रूप में प्रीकोपा-लेइंडलर असमानता के रूप में जाना जाता है, ज्यामिति लगभग पूरी तरह से अनुपस्थित लगती है।

== यह भी देखें ==
* कैकियोपोली सेट
* कोरिया सूत्र
* वर्तमान (गणित)
* हर्बर्ट फेडरर
* ऑसगूड वक्र

==संदर्भ==
*{{Citation
| last =  Federer
| first = Herbert
| author-link = Herbert Federer
| last2 = Fleming
| first2 = Wendell H.
| author2-link = 
| title = Normal and integral currents
| journal = [[Annals of Mathematics]]
| series = II
| volume = 72
| issue = 4
| pages = 458–520
| year = 1960
| doi = 10.2307/1970227
| mr = 0123260 
| zbl = 0187.31301
| jstor =  1970227}}. The first paper of [[Herbert Federer|Federer]] and Fleming illustrating their approach to the theory of perimeters based on the theory of [[current (mathematics)|currents]].
* {{citation
| last = Federer
| first = Herbert
| authorlink = Herbert Federer
| title = Geometric measure theory
| publisher = Springer-Verlag New York Inc.
| location = New York
| year = 1969
| pages = xiv+676
| isbn = 978-3-540-60656-7
|mr=0257325
| series = series Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften
| volume = Band 153 }}
*{{citation|first=H. |last=Federer|title=Colloquium lectures on geometric measure theory|journal=  Bull. Amer. Math. Soc. |volume= 84 |issue= 3  |year=1978|pages= 291–338
|doi=10.1090/S0002-9904-1978-14462-0|doi-access=free}}
* {{citation 
| last=Fomenko 
| first=Anatoly T.
| authorlink = Anatoly Fomenko 
| title=Variational Principles in Topology (Multidimensional Minimal Surface Theory) 
| publisher = Springer, Kluwer Academic Publishers
| year =  1990
| series =  Mathematics and its Applications (Book 42)
| isbn = 978-0792302308 }}
* {{citation 
| last=Gardner 
| first=Richard J. 
| title=The Brunn-Minkowski inequality 
| journal=Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 
| volume=39 
| issue=3 
| year=2002 
| pages=355&ndash;405 (electronic) 
| issn = 0273-0979 
|mr=1898210
| doi=10.1090/S0273-0979-02-00941-2| doi-access=free 
}}
* {{citation 
| last=Mattila 
| first=Pertti 
| authorlink = Pertti Mattila
| title = Geometry of Sets and Measures in Euclidean Spaces
| publisher = Cambridge University Press
| location = London
| year = 1999
| pages = 356
| isbn = 978-0-521-65595-8 }}
* {{citation
| last = Morgan
| first = Frank
| authorlink = Frank Morgan (mathematician)
| title = Geometric measure theory: A beginner's guide
| edition = Fourth
| publisher = Academic Press Inc.
| location = San Diego, California
| year = 2009
| pages = viii+249
| isbn = 978-0-12-374444-9
|mr=2455580 }}
*{{citation
 | last = Taylor | first = Jean E. | authorlink = Jean Taylor
 | issue = 3
 | journal = Annals of Mathematics |series=Second Series
 | mr = 0428181
 | pages = 489–539
 | title = The structure of singularities in soap-bubble-like and soap-film-like minimal surfaces
 | volume = 103
 | year = 1976 | doi=10.2307/1970949| jstor = 1970949 }}.
*{{eom|title=Geometric measure theory|first=T.C. |last=O'Neil}}


==बाहरी संबंध==
* [http://www.mathematik.uni-kl.de/~peter/gmt.html Peter Mörters' GMT page]
* [http://mcs.open.ac.uk/tcon2/gmt.htm Toby O'Neil's GMT page with references]
[[Category: माप सिद्धांत]] 



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[[Category:Created On 17/03/2023]]