View source for कालमान फिल्टर

{{Short description|Algorithm that estimates unknowns from a series of measurements over time}}
{{Use American English|date=March 2018}}
[[File:Basic concept of Kalman filtering.svg|thumb|400px|कलमन निस्यंदक प्रणाली की अनुमानित स्थिति और अनुमान की भिन्नता या अनिश्चितता का ट्रैक रखता है। अनुमान को एक अवस्था संक्रमण प्रतिरूप और माप का उपयोग करके अद्यतन किया जाता है। <math>\hat{x}_{k\mid k-1}</math> k-वें माप y . से पहले चरण k पर प्रणाली की स्थिति का अनुमान दर्शाता है<sub>''k''</sub> ध्यान में रखा गया है; <math>P_{k \mid k-1}</math> संगत अनिश्चितता है।]]
सांख्यिकी और[[ नियंत्रण सिद्धांत ]]के लिए, कलमन निस्यंदन, जिसे रैखिक द्विघात अनुमान (LQE) के रूप में भी जाना जाता है, और यह एक [[ कलन विधि |कलन विधि]] है जो समय के साथ देखे गए मापों की एक श्रृंखला का उपयोग करता है, जिसमें [[ सांख्यिकीय शोर |सांख्यिकीय रव]] और अन्य अशुद्धियाँ सम्मिलित हैं, और अज्ञात चर के अनुमान उत्पन्न करता हैं, जो अधिक होते हैं। प्रत्येक समय-सीमा के लिए चरों पर एक अकेले एक माप के आधार पर सटीक [[ संयुक्त संभाव्यता वितरण |संयुक्त संभाव्यता वितरण]] का अनुमान लगाकर किया जाता है। एक निस्यंदक का नाम रुडोल्फ ई.कलमन के नाम पर रखा गया है, जो इसके सिद्धांत के प्राथमिक विकासकर्ताओं में से एक थे।

इस अंकीय निस्यंदक को कभी-कभी ''स्ट्रैटोनोविच-कलमन-बुकी निस्यंदक'' कहा जाता है क्योंकि यह सोवियत [[ गणितज्ञ |गणितज्ञ]][[ रुस्लान स्ट्रैटोनोविच ]]द्वारा कुछ पूर्व में विकसित किए गए अधिक सामान्य, अरैखिक निस्यंदक की एक विशेष स्थिति है।<ref>Stratonovich, R. L. (1959). ''Optimum nonlinear systems which bring about a separation of a signal with constant parameters from noise''. Radiofizika, 2:6, pp.&nbsp;892–901.</ref><ref>Stratonovich, R. L. (1959). ''On the theory of optimal non-linear filtering of random functions''. Theory of Probability and Its Applications, 4, pp.&nbsp;223–225.</ref><ref>Stratonovich, R. L. (1960) ''Application of the Markov processes theory to optimal filtering''. Radio Engineering and Electronic Physics, 5:11, pp.&nbsp;1–19.</ref><ref>Stratonovich, R. L. (1960). ''Conditional Markov Processes''. Theory of Probability and Its Applications, 5, pp.&nbsp;156–178.</ref> वास्तव में, कुछ विशेष स्थितिया रैखिक निस्यंदक के समीकरण स्ट्रैटोनोविच के पत्रों में दिखाई दिए, जो 1960 की ग्रीष्म से पूर्व प्रकाशित हुए थे, जब कलमन मॉस्को में एक सम्मेलन के पर्यंत स्ट्रैटोनोविच से भेंट की थी।<ref name="stepanov_on_kalman">{{cite journal |last1=Stepanov |first1=O. A. |title=Kalman filtering: Past and present. An outlook from Russia. (On the occasion of the 80th birthday of Rudolf Emil Kalman) |journal=Gyroscopy and Navigation |date=15 May 2011 |volume=2 |issue=2 |page=105 |doi=10.1134/S2075108711020076 |s2cid=53120402 }}</ref>

कलमन निस्यंदन में कई प्रौद्योगिकीय अनुप्रयोग हैं। वाहनों, विशेष रूप से विमान, अंतरिक्ष यान और जहाजों के[[ गतिशील स्थिति ]] के मार्गदर्शन, नौ संचालन और नियंत्रण के लिए एक सामान्य अनुप्रयोग है। इसके अतिरिक्त, कलमन निस्यंदन एक अवधारणा है जो [[ संकेत का प्रक्रमण | संकेत संसाधन]] और [[ अर्थमिति |अर्थमिति]] जैसे विषयों के लिए उपयोग की जाने वाली [[ समय श्रृंखला |समय श्रृंखला]] विश्लेषण में बहुत अधिक अनुप्रयुक्त होती है। कलमन निस्यंदन भी यंत्रमानववत् [[ गति योजना |गति योजना]] और नियंत्रण के मुख्य विषयों में से एक है और इसका उपयोग [[ प्रक्षेपवक्र अनुकूलन |प्रक्षेपवक्र अनुकूलन]] के लिए किया जा सकता है। कलमन निस्यंदन [[ केंद्रीय तंत्रिका तंत्र |केंद्रीय तंत्रिका तंत्र]] की गतिविधि के नियंत्रण के प्रतिरूप के लिए भी कार्य करता है। प्रेरक  आदेश जारी करने और [[ संवेदी प्रतिक्रिया |संवेदी प्रतिक्रिया]] प्राप्त करने के मध्य समय की देरी के कारण, कलमन निस्यंदक का उपयोग प्रेरक प्रणाली की वर्तमान स्थिति का अनुमान लगाने और अद्यतन आदेश जारी करने के लिए एक यथार्थवादी प्रतिरूप प्रदान करता है। 

कलन विधि दो-चरण प्रक्रिया द्वारा कार्य करते है। पूर्वाकलन चरण के लिए, कलमन निस्यंदक वर्तमान स्थिति चरों के अनुमानों के साथ-साथ उनकी उनकी अनिश्चितताओं का अनुमान लगाता है। एक बार जब आगामी माप के परिणाम (अनिवार्य रूप से कुछ त्रुटि के साथ दूषित, यादृच्छिक रव सहित) देखे जाने के पश्चात, तो इन अनुमानों में [[ भारित माध्य |भारित औसतों]] का उपयोग करके अद्यतन किया जाता है, और अधिक निश्चितता के साथ अनुमानों को अधिक महत्व दिया जाता है। कलन विधि[[ रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) | पुनरावर्ती]] होती है। यह [[ वास्तविक समय नियंत्रण प्रणाली |वास्तविक समय नियंत्रण प्रणाली]] में कार्य कर सकती है, केवल वर्तमान इनपुट माप और पूर्व की गणना की स्थिति और इसकी अनिश्चितता आव्यूह का उपयोग करके; कोई अतिरिक्त पूर्व सूचना की आवश्यकता नहीं है।

कलमन निस्यंदन की इष्टतमता मानती है कि त्रुटियों का [[ सामान्य वितरण |सामान्य वितरण]] होता है। रुडोल्फ ई. कलमन के शब्दों में: संक्षेप में, यादृच्छिक प्रक्रियाओं के विषय में निम्नलिखित धारणाएँ बनाई गई हैं: भौतिक यादृच्छिक घटना को प्राथमिक यादृच्छिक स्रोतों के उत्तेजन गतिशील प्रणालियों के कारण माना जा सकता है। प्राथमिक स्रोतों को शून्य माध्य के साथ स्वतंत्र गॉसियन यादृच्छिक प्रक्रिया मानी जाती है; और गतिशील प्रणालियां रैखिक होंगी। हालांकि गॉसियनिटी की उपेक्षा किए बिना, यदि प्रक्रिया और माप सहप्रसरण ज्ञात हैं, तो कलमन निस्यंदक [[ न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि |न्यूनतम माध्य-वर्ग-त्रुटि]] के अर्थ में सर्वोत्तम संभव[[ रैखिकता | रैखिक]] अनुमानक है। 

विधि के विस्तार और सामान्यीकरण भी विकसित किए गए हैं, जैसे कि [[ विस्तारित कलमन फ़िल्टर |विस्तारित कलमन निस्यंदक]] और असंतुलित कलमन निस्यंदक जो [[ अरेखीय प्रणाली |अरैखिक प्रणालियों]] पर कार्य करते हैं। आधार एक [[ छिपा हुआ मार्कोव मॉडल |गुप्त मार्कोव प्रतिरूप]] है जैसे कि [[ अव्यक्त चर |अव्यक्त चर]] की अवस्था समष्टि निरंतर है और सभी अव्यक्त और देखे गए चर में गॉसियन वितरण हैं। इसके अतिरिक्त, कलमन निस्यंदन का बहु-संवेदक संगलन में सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है, और वितरित या सर्वसम्मति कलमन निस्यंदन विकसित करने के लिए [[ सेंसर नेटवर्क |संवेदक जालक्रम]] वितरित किए। 

== इतिहास ==
निस्यंदन विधि का नाम हंगरी के प्रवासी रूडोल्फ ई. कलमन के नाम पर रखा गया है, हालांकि [[ थोरवाल्ड निकोलाई थिले |थोरवाल्ड निकोलाई थिले]] <ref>{{cite journal |last1=Lauritzen |first1=S.&nbsp;L. |date=December 1981 |title=Time series analysis in 1880. A discussion of contributions made by T.N.&nbsp;Thiele |journal=International Statistical Review |volume=49 |number=3 |pages=319–331 |doi=10.2307/1402616 |jstor=1402616 |quote=He derives a recursive procedure for estimating the regression component and predicting the Brownian motion. The procedure is now known as Kalman filtering.}}</ref><ref>{{cite book |last=Lauritzen |first=S.&nbsp;L. |date=2002 |title=Thiele: Pioneer in Statistics |url=https://books.google.com/books?id=irugmNUwuG4C&q=kalman |location=New York |publisher=[[Oxford University Press]] |page=41 |isbn=978-0-19-850972-1 |author-link=Steffen Lauritzen |quote=He solves the problem of estimating the regression coefficients and predicting the values of the Brownian motion by the method of least squares and gives an elegant recursive procedure for carrying out the calculations. The procedure is nowadays known as ''Kalman filtering''.}}</ref> और [[ पीटर स्वेर्लिंग |पीटर स्वेर्लिंग]] ने पूर्व में भी इसी प्रकार की कलन विधि विकसित की गयी थी। [[ जॉन्स हॉपकिन्स एप्लाइड फिजिक्स लेबोरेटरी |जॉन्स हॉपकिन्स अनुप्रयुक्त भौतिकी प्रयोगशाला]] के रिचर्ड एस बुकी ने सिद्धांत में योगदान दिया, जिससे इसे कभी-कभी कलमन-बुकी निस्यंदन के रूप में भी जाना जाता है। स्टेनली एफ. श्मिट को सामान्यतः कलमन निस्यंदक के प्रथम कार्यान्वयन को विकसित करने का श्रेय दिया जाता है। उन्होंने अनुभव किया कि निस्यंदक को दो अलग-अलग भागो में विभाजित किया जा सकता है, एक भाग संवेदक आउटपुट के मध्य की समयावधि के लिए और दूसरा भाग मापन को सम्मिलित करने के लिए किया जा सकता है।<ref>[http://ieeecss.org/CSM/library/2010/june10/11-HistoricalPerspectives.pdf Mohinder S. Grewal and Angus P. Andrews]</ref> यह कलमन द्वारा [[ नासा एम्स रिसर्च सेंटर |नासा एम्स अनुसंधान केंद्र]] के अभ्यागमन के पर्यंत, श्मिट ने [[ प्रोजेक्ट अपोलो |अपोलो प्रकल्प]] के लिए प्रक्षेपवक्र अनुमान की गैर-रैखिक समस्या के लिए कलमन के विचारों की प्रयोज्यता को देखा गया, जिसके परिणामस्वरूप [[ अपोलो गाइडेंस कंप्यूटर |अपोलो दिशाज्ञान परिकलक]] में इसका समावेश हुआ।

इस कलमन निस्यंदन को सर्वप्रथम स्वेर्लिंग (1958), कलमन (1960) और कलमन और बुकी (1961) द्वारा प्रौद्योगिकी पत्रों में आंशिक रूप से वर्णित और विकसित किया गया था।

{{blockquote|अपोलो परिकलक ने 2k चुम्बकीय कोर RAM और 36k तार रज्जु [...] का उपयोग किया। CPU को ICs [...] से बनाया गया था। घड़ी की गति 100 किलोहर्ट्ज़ [...] से कम थी। तथ्य यह है कि MIT के अभियन्ता इतने छोटे परिकलक में इतने अच्छे सॉफ्टवेयर (कलमैन निस्यंदक के सबसे पहले अनुप्रयोगों में से एक) को संविष्ट करने में सक्षम थे, वास्तव में उल्लेखनीय है।|मैथ्यू रीड द्वारा जैक क्रेंशॉ के साथ साक्षात्कार, TRS-80.org (2009) [http://www.trs-80.org/interview-jack-crenshaw/] }}

अमेरिकी नौसेना के परमाणु प्राक्षेपिकीय प्रक्षेपणास्त्र पनडुब्बियों के दिशाज्ञान प्रणाली के कार्यान्वयन में और अमेरिकी नौसेना की [[ टॉमहॉक मिसाइल |टॉमहॉक प्रक्षेपणास्त्र]] और अमेरिकी वायु सेना की [[ एजीएम-86 एएलसीएम |एजीएम-86 एएलसीएम]] प्रारंभ की गई  जैसे क्रूज प्रक्षेपणास्त्र के मार्गदर्शन और दिशाज्ञान प्रणाली में कलमन निस्यंदक महत्वपूर्ण हैं। उनका उपयोग पुन: प्रयोज्य प्रारंभ वाहनों के मार्गदर्शन, दिशाज्ञान प्रणाली और अंतरिक्ष यान के दृष्टिकोण नियंत्रण और दिशाज्ञान प्रणाली में भी किया जाता है, जो अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष केन्द्रो पर डॉक करते हैं।<ref>{{Cite book|doi=10.2514/6.2003-5445|chapter=GPS/INS Kalman Filter Design for Spacecraft Operating in the Proximity of International Space Station|title=AIAA Guidance, Navigation, and Control Conference and Exhibit|year=2003|last1=Gaylor|first1=David|last2=Lightsey|first2=E. Glenn|isbn=978-1-62410-090-1}}</ref>


== '''गणना''' का अवलोकन ==
कलमन निस्यंदन प्रणाली के गतिशील प्रतिरूप (जैसे, गति के भौतिक नियम), उस प्रणाली के लिए ज्ञात नियंत्रण इनपुट और प्रणाली की अलग-अलग मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए कई अनुक्रमिक माप (जैसे संवेदक से) का उपयोग करता है (इसके [[ राज्य स्थान (नियंत्रण) | अवस्था स्थान (नियंत्रण)]] ) जो केवल एक माप का उपयोग करके प्राप्त अनुमान से उन्नत है। जैसे, यह एक सामान्य संवेदक फ़्यूज़न और डेटा फ़्यूज़न कलन विधि है।

रव संवेदक डेटा, समीकरणों में सन्निकटन जो प्रणाली के विकास का वर्णन करते हैं, और बाहरी कारक जो सभी सीमाओं के लिए जिम्मेदार नहीं हैं, प्रणाली की स्थिति को निर्धारित करना कितना अच्छा है। कलमन निस्यंदक रव संवेदक डेटा और कुछ हद तक यादृच्छिक बाहरी कारकों के कारण अनिश्चितता से प्रभावी ढंग से निपटता है। Kalman निस्यंदक प्रणाली की स्थिति का अनुमान प्रणाली की अनुमानित स्थिति के औसत और भारित माध्य का उपयोग करके नए माप के रूप में उत्पन्न करता है। भार का उद्देश्य यह है कि उन्नत (अर्थात्, छोटे) अनुमानित अनिश्चितता वाले मूल्यों पर अधिक भरोसा किया जाता है। वज़न की गणना [[ सहप्रसरण ]] से की जाती है, जो प्रणाली की स्थिति की भविष्यवाणी की अनुमानित अनिश्चितता का एक उपाय है। भारित औसत का परिणाम एक नया अवस्था अनुमान है जो अनुमानित और मापी गई स्थिति के मध्य स्थित है, और अकेले की तुलना में उन्नत अनुमानित अनिश्चितता है। इस प्रक्रिया को हर समय कदम पर दोहराया जाता है, नए अनुमान और इसके सहसंयोजक के साथ निम्नलिखित पुनरावृत्ति में प्रयुक्त भविष्यवाणी को सूचित करते हैं। इसका मतलब यह है कि कलमन निस्यंदक [[ पुनरावर्ती फ़िल्टर | पुनरावर्ती निस्यंदक]] का कार्य करता है और एक नए अवस्था की गणना करने के लिए प्रणाली की स्थिति के पूरे इतिहास के बजाय केवल अंतिम सर्वोत्तम अनुमान की आवश्यकता होती है।

माप 'निश्चितता-ग्रेडिंग और वर्तमान-अवस्था अनुमान महत्वपूर्ण विचार हैं। कलमन निस्यंदक के [[ लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स) | लब्धि (इलेक्ट्रॉनिक्स)]] के संदर्भ में निस्यंदक की प्रतिक्रिया पर चर्चा करना आम बात है। कलमन-लब्धि माप और वर्तमान-अवस्था अनुमान को दिया गया भार है, और इसे किसी विशेष प्रदर्शन को प्राप्त करने के लिए ट्यून किया जा सकता है। एक उच्च लब्धि के साथ, निस्यंदक सबसे हाल के मापों पर अधिक भार डालता है, और इस प्रकार उनके लिए अधिक प्रतिक्रियात्मक रूप से अनुरूप होता है। कम लब्धि के साथ, निस्यंदक प्रतिरूप की भविष्यवाणियों के अधिक बारीकी से अनुरूप होता है। चरम पर, एक के करीब एक उच्च लब्धि एक अधिक उछल अनुमानित प्रक्षेपवक्र में परिणाम देगा, जबकि शून्य के करीब एक कम लब्धि रव को सुचारू करेगा परन्तु प्रतिक्रिया को कम करेगा।

निस्यंदक के लिए वास्तविक गणना करते समय (जैसा कि नीचे चर्चा की गई है), अवस्था अनुमान और सहप्रसरणों को गणना के एक सेट में सम्मिलित कई आयामों के कारण [[ मैट्रिक्स (गणित) | आव्यूह (गणित)]] में कोडित किया जाता है। यह किसी भी संक्रमण प्रतिरूप या सहप्रसरण में विभिन्न अवस्था चर (जैसे स्थिति, वेग और त्वरण) के मध्य रैखिक संबंधों के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देता है।

== उ'''दाहरण''' आवेदन ==
एक उदाहरण के रूप में, एक माल गाड़ी के सटीक स्थान को निर्धारित करने की समस्या पर विचार करें। माल गाड़ी एक [[ GPS ]] ईकाई से लैस हो सकता है जो कुछ मीटर के भीतर स्थिति का अनुमान प्रदान करता है। जीपीएस अनुमान रव होने की संभावना है; रीडिंग तेजी से 'कूदते' हैं, हालांकि वास्तविक स्थिति के कुछ मीटर के भीतर शेष हैं। इसके अतिरिक्त, चूंकि माल गाड़ी से भौतिकी के नियमों का पालन करने की अपेक्षा की जाती है, इसलिए समय के साथ इसके वेग को एकीकृत करके, पहिया क्रांतियों और स्टीयरिंग व्हील के कोण को ध्यान में रखते हुए इसकी स्थिति का अनुमान लगाया जा सकता है। यह एक ऐसी प्रविधि है जिसे [[ मृत गणना ]] के रूप में जाना जाता है। आम तौर पर, मृत गणना माल गाड़ी की स्थिति का एक बहुत ही सहज अनुमान प्रदान करेगी, परन्तु समय के साथ यह छोटी त्रुटियों के जमा होने के साथ [[ बहाव (दूरसंचार) ]] होगा।

इस उदाहरण के लिए, कलमन निस्यंदक को दो अलग-अलग चरणों में कार्य करने वाला माना जा सकता है: भविष्यवाणी और अद्यतन। भविष्यवाणी के चरण में, माल गाड़ी की पुरानी स्थिति को भौतिक न्यूटन के गति के नियमों (गतिशील या अवस्था संक्रमण प्रतिरूप) के अनुसार संशोधित किया जाएगा। न केवल एक नई स्थिति अनुमान की गणना की जाएगी, बल्कि एक नए सहप्रसरण की भी गणना की जाएगी। शायद सहप्रसरण माल गाड़ी की गति के समानुपाती होता है क्योंकि हम उच्च गति पर मृत गणना स्थिति अनुमान की सटीकता के बारे में अधिक अनिश्चित होते हैं परन्तु कम गति पर स्थिति अनुमान के बारे में बहुत निश्चित होते हैं। अगला, अद्यतन चरण में, माल गाड़ी की स्थिति का माप जीपीएस ईकाई से लिया जाता है। इस माप के साथ कुछ मात्रा में अनिश्चितता आती है, और पिछले चरण की भविष्यवाणी के सापेक्ष इसका सहप्रसरण यह निर्धारित करता है कि नया माप अद्यतन भविष्यवाणी को कितना प्रभावित करेगा। आदर्श रूप से, चूंकि मृत गणना अनुमान वास्तविक स्थिति से दूर हो जाते हैं, जीपीएस मापन को स्थिति अनुमान को वास्तविक स्थिति की ओर वापस खींचना चाहिए, परन्तु इसे रव और तेजी से कूदने के बिंदु पर परेशान नहीं करना चाहिए।

== '''प्रौद्योगिकीय''' विवरण और संदर्भ ==
कलमन निस्यंदक एक कुशल पुनरावर्ती निस्यंदक अनुमानक है जो सांख्यिकीय रव माप की एक श्रृंखला से एक [[ रैखिक गतिशील प्रणाली ]] की आंतरिक स्थिति है। इसका उपयोग [[ राडार ]] और [[ कंप्यूटर दृष्टी ]] से लेकर संरचनात्मक मैक्रोइकॉनॉमिक प्रतिरूप के आकलन के लिए [[ अभियांत्रिकी ]] और [[ अर्थमितीय ]] अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला में किया जाता है,<ref>{{cite journal| author1=Ingvar Strid |author2=Karl Walentin |date=April 2009|title=Block Kalman Filtering for Large-Scale DSGE Models |journal=Computational Economics |volume=33 |pages=277–304 |url=http://www.riksbank.se/en/Press-and-published/Published-from-the-Riksbank/Other-reports/Working-Paper-Series/2008/No-224-Block-Kalman-filtering-for-large-scale-DSGE-models/|issue=3| doi=10.1007/s10614-008-9160-4|hdl=10419/81929 |citeseerx=10.1.1.232.3790 |s2cid=3042206 }}</ref><ref>{{cite web|author=Martin Møller Andreasen |year=2008 |title=Non-linear DSGE Models, The Central Difference Kalman Filter, and The Mean Shifted Particle Filter |url=ftp://ftp.econ.au.dk/creates/rp/08/rp08_33.pdf}}</ref> और [[ नियंत्रण सिद्धांत ]] और [[ नियंत्रण प्रणाली ]] इंजीनियरिंग में एक महत्वपूर्ण विषय है। [[ रैखिक-द्विघात नियामक ]] (LQR) के साथ, कलमन निस्यंदक रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रण समस्या (LQG) को हल करता है। कलमन निस्यंदक, रैखिक-द्विघात नियामक, और रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रक ऐसे समाधान हैं जो यकीनन नियंत्रण सिद्धांत की सबसे मूलभूत समस्याएं हैं।

अधिकांश अनुप्रयोगों में, आंतरिक स्थिति कुछ अवलोकन योग्य मापदंडों की तुलना में बहुत बड़ी होती है (इसमें स्वतंत्रता की अधिक डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) होती है) जिन्हें मापा जाता है। हालांकि, माप की एक श्रृंखला के संयोजन से, कलमन निस्यंदक संपूर्ण आंतरिक स्थिति का अनुमान लगा सकता है।

डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के लिए, प्रत्येक अवस्था समीकरण या अवलोकन को एक रैखिक विश्वास प्रकार्य का एक विशेष मामला माना जाता है और कलमन निस्यंदन एक जॉइन-ट्री या मार्कोव श्रृंखला पर रैखिक विश्वास कार्यों के संयोजन का एक विशेष मामला है। अतिरिक्त विधियों में विश्वास निस्यंदन सम्मिलित है जो अवस्था समीकरणों के लिए बेयस या साक्ष्य अद्यतन का उपयोग करती है।

कलमन के मूल सूत्रीकरण से अब तक कलमन निस्यंदक की एक विस्तृत विविधता उपस्थित है - जिसे अब साधारण कलमन निस्यंदक कहा जाता है, कलमन-बुकी निस्यंदक, श्मिट का विस्तारित निस्यंदक, # सूचना निस्यंदक, और विभिन्न प्रकार के वर्ग-रूट निस्यंदक जिन्हें बायरमैन द्वारा विकसित किया गया था। , थॉर्नटन, और कई अन्य। शायद सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला प्रकार का बहुत ही सरल कलमन निस्यंदक चरण-लॉक लूप है, जो अब रेडियो में सर्वव्यापी है, विशेष रूप से आवृत्ति मॉड्यूलेशन (एफएम) रेडियो, टेलीविजन सेट, [[ उपग्रह संचार ]] रिसीवर, बाहरी अंतरिक्ष संचार प्रणाली, और लगभग किसी भी अन्य [[ इलेक्ट्रानिक्स ]]। संचार उपकरण।

== '''अंतर्निहित''' गतिशील प्रणाली प्रतिरूप ==
{{Expand section|date=August 2011}}
कलमन निस्यंदन समय क्षेत्र में विवेकाधीन रैखिक गतिशील प्रणालियों पर आधारित है। वे सामान्य वितरण [[ शोर (भौतिकी) | रव (भौतिकी)]] को सम्मिलित करने वाली त्रुटियों से परेशान [[ रैखिक ऑपरेटर ]]ों पर निर्मित एक मार्कोव श्रृंखला पर तैयार किए गए हैं। लक्ष्य प्रणाली का अवस्था स्थान (नियंत्रण) ब्याज की जमीनी सच्चाई (अभी तक छिपी हुई) प्रणाली विन्यास को संदर्भित करता है, जिसे [[ वास्तविक संख्या ]]ओं के [[ सदिश स्थल ]] के रूप में दर्शाया जाता है। प्रत्येक असतत समय वृद्धि पर, नए अवस्था को उत्पन्न करने के लिए एक रैखिक ऑपरेटर को अवस्था में अनुप्रयुक्त किया जाता है, जिसमें कुछ रव मिश्रित होता है, और वैकल्पिक रूप से प्रणाली पर नियंत्रण से कुछ जानकारी यदि वे ज्ञात हैं। फिर, अधिक रव के साथ मिश्रित एक और रैखिक ऑपरेटर वास्तविक (छिपी हुई) स्थिति से मापने योग्य आउटपुट (अर्थात्, अवलोकन) उत्पन्न करता है। कलमन निस्यंदक को छिपे हुए मार्कोव प्रतिरूप के समान माना जा सकता है, इस अंतर के साथ कि छिपे हुए मार्कोव प्रतिरूप के लिए असतत अवस्था स्थान के विपरीत छिपे हुए अवस्था चर के निरंतर स्थान में मान होते हैं। कलमन निस्यंदक के समीकरणों और छिपे हुए मार्कोव प्रतिरूप के समीकरणों के मध्य एक मजबूत सादृश्य है। रोविस और [[ ज़ब्न जहरमान ]] (1999) में इस और अन्य प्रतिरूपों की समीक्षा दी गई है।<ref>{{cite journal|doi=10.1162/089976699300016674|pmid= 9950734|year= 1999|last1= Roweis|first1= S|title= A unifying review of linear gaussian models|journal= Neural Computation|volume= 11|issue= 2|pages= 305–45|last2= Ghahramani|first2= Z|s2cid= 2590898|url= https://authors.library.caltech.edu/13697/1/ROWnc99.pdf}}</ref> और हैमिल्टन (1994), अध्याय 13.<ref name="hamilton">Hamilton, J. (1994), ''Time Series Analysis'', Princeton University Press. Chapter 13, 'The Kalman Filter'</ref>
एक प्रक्रिया की आंतरिक स्थिति का अनुमान लगाने के लिए कलमन निस्यंदक का उपयोग करने के लिए केवल रव टिप्पणियों का एक क्रम दिया जाता है, किसी को निम्नलिखित ढांचे के अनुसार प्रक्रिया को प्रतिरूप करना चाहिए। इसका मतलब है कि प्रत्येक समय-चरण k के लिए आव्यूह निर्दिष्ट करना, निम्नलिखित:
* 'एफ'<sub>''k''</sub>, अवस्था-संक्रमण प्रतिरूप;
* एच<sub>''k''</sub>, अवलोकन प्रतिरूप;
* क्यू<sub>''k''</sub>, प्रक्रिया रव का सहप्रसरण;
* आर<sub>''k''</sub>, प्रेक्षण रव का सहप्रसरण;
*और कभी कभी बी<sub>''k''</sub>, नियंत्रण-इनपुट प्रतिरूप जैसा कि नीचे वर्णित है; अगर बी<sub>''k''</sub> सम्मिलित है, तो वहाँ भी है
* आप<sub>''k''</sub>, नियंत्रण सदिश, नियंत्रण-इनपुट प्रतिरूप में नियंत्रित इनपुट का प्रतिनिधित्व करता है।

[[File:Kalman filter model 2.svg|right|thumb|631px|कलमन निस्यंदक अंतर्निहित प्रतिरूप। वर्ग आव्यूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। अंडाकार [[ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण ]] का प्रतिनिधित्व करते हैं (माध्य और सहप्रसरण आव्यूह संलग्न के साथ)। बंद मान सदिश स्थान हैं। साधारण स्थितियो के लिए, विभिन्न आव्यूह समय के साथ स्थिर होते हैं, और इस प्रकार सबस्क्रिप्ट का उपयोग नहीं किया जाता है, परन्तु कलमन निस्यंदन उनमें से किसी को भी हर बार कदम परिवर्तित करने की अनुमति देता है।]]
Kalman निस्यंदक प्रतिरूप वास्तविक स्थिति को मानता है जब k अवस्था से (k − 1) के अनुसार विकसित होता है

:<math> \mathbf{x}_k = \mathbf{F}_k \mathbf{x}_{k-1} +\mathbf{B}_k \mathbf{u}_{k} + \mathbf{w}_k </math>
जहांपे
* एफ<sub>''k''</sub> अवस्था संक्रमण प्रतिरूप है जो पिछले अवस्था x . पर अनुप्रयुक्त होता है<sub>''k''−1</sub>;
* बी<sub>''k''</sub> नियंत्रण-इनपुट प्रतिरूप है जो नियंत्रण सदिश u पर अनुप्रयुक्त होता है<sub>''k''</sub>;
* में<sub>''k''</sub> प्रक्रिया रव है, जिसे शून्य माध्य बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से लिया गया माना जाता है, <math>\mathcal{N}</math>, सहप्रसरण आव्यूह के साथ, Q<sub>''k''</sub>: <math>\mathbf{w}_k \sim \mathcal{N}\left(0, \mathbf{Q}_k\right) </math>.

समय k पर एक प्रेक्षण (या माप) 'z'<sub>''k''</sub> वास्तविक अवस्था का x<sub>''k''</sub> के अनुसार बनाया गया है

:<math>\mathbf{z}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k</math>
जहांपे
* एच<sub>''k''</sub> अवलोकन प्रतिरूप है, जो वास्तविक स्थिति स्थान को प्रेक्षित स्थान में मैप करता है और
* वी<sub>''k''</sub> अवलोकन रव है, जिसे सहप्रसरण R . के साथ शून्य माध्य गॉसियन सफेद रव माना जाता है<sub>''k''</sub>: <math>\mathbf{v}_k \sim \mathcal{N}\left(0, \mathbf{R}_k\right) </math>.

प्रारंभिक अवस्था, और प्रत्येक चरण पर रव सदिश {x<sub>0</sub>, में<sub>1</sub>, ..., में<sub>''k''</sub>,  में<sub>1</sub>, ... ,में<sub>''k''</sub>} सभी को पारस्परिक रूप से [[ सांख्यिकीय स्वतंत्रता ]] माना जाता है।

कई रीयल-टाइम डायनेमिक प्रणाली इस प्रतिरूप के पूर्णतया अनुरूप नहीं हैं। वास्तव में, बिना प्रतिरूप की गतिशीलता निस्यंदक के प्रदर्शन को गंभीर रूप से खराब कर सकती है, तब भी जब इसे इनपुट के रूप में अज्ञात स्टोकेस्टिक संकेतों के साथ कार्य करना चाहिए था। इसका कारण यह है कि अनप्रतिरूप्ड डायनामिक्स का प्रभाव इनपुट पर निर्भर करता है, और इसलिए, अनुमान कलन विधि को अस्थिरता में ला सकता है (यह विचलन करता है)। दूसरी ओर, स्वतंत्र श्वेत रव संकेत कलन विधि को विचलन नहीं करेंगे। मापन रव और अनप्रतिरूप गतिकी के मध्य अंतर करने की समस्या एक कठिन है और इसे [[ मजबूत नियंत्रण ]] का उपयोग करते हुए नियंत्रण सिद्धांत की समस्या के रूप में माना जाता है।<ref name="ishihara06">{{cite journal |doi=10.1109/TAC.2006.878741|title=Robust Kalman Filter for Descriptor Systems|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=51|issue=8|pages=1354|year=2006|last1=Ishihara|first1=J.Y.|last2=Terra|first2=M.H.|last3=Campos|first3=J.C.T.|s2cid=12741796}}</ref><ref name="terra14">{{cite journal |doi=10.1109/TAC.2014.2309282|title=Optimal Robust Linear Quadratic Regulator for Systems Subject to Uncertainties|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=59|issue=9|pages=2586–2591|year=2014|last1=Terra|first1=Marco H.|last2=Cerri|first2=Joao P.|last3=Ishihara|first3=Joao Y.|s2cid=8810105}}</ref>


== '''विवरण''' ==
कलमन निस्यंदक एक [[ अनंत आवेग प्रतिक्रिया ]] अनुमानक है। इसका मतलब यह है कि वर्तमान स्थिति के अनुमान की गणना करने के लिए पिछले समय के चरण और वर्तमान माप से केवल अनुमानित स्थिति की आवश्यकता है। बैच अनुमान प्रविधिों के विपरीत, अवलोकनों और/या अनुमानों के इतिहास की आवश्यकता नहीं है। निम्नलिखित में, संकेतन <math>\hat{\mathbf{x}}_{n\mid m}</math> के अनुमान का प्रतिनिधित्व करता है <math>\mathbf{x}</math> समय पर n दिए गए अवलोकन और समय तक सम्मिलित हैं {{nowrap|''m'' ≤ ''n''}}.

निस्यंदक की स्थिति को दो चर द्वारा दर्शाया जाता है:
* <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math>, एक पश्चवर्ती अवस्था का अनुमान समय k पर दिया गया है और इसमें समय k भी सम्मिलित है;
* <math>\mathbf{P}_{k\mid k}</math>, एक पोस्टीरियरी अनुमान सहप्रसरण आव्यूह (अनुमानित सटीकता और अवस्था अनुमान की सटीकता का एक उपाय)।

कलमन निस्यंदक की कलन विधि संरचना [[ अल्फा बीटा फ़िल्टर | अल्फा बीटा निस्यंदक]] के समान होती है। कलमन निस्यंदक को एकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है; हालांकि, इसे प्रायः दो अलग-अलग चरणों के रूप में परिकल्पित किया जाता है: भविष्यवाणी और अद्यतन। भविष्यवाणी चरण वर्तमान समय पर अवस्था का अनुमान लगाने के लिए पिछले टाइमस्टेप से अवस्था अनुमान का उपयोग करता है। इस अनुमानित अवस्था अनुमान को प्राथमिक अवस्था अनुमान के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि, हालांकि यह वर्तमान समय पर अवस्था का अनुमान है, इसमें वर्तमान समय-चरण से अवलोकन जानकारी सम्मिलित नहीं है। अद्यतन चरण में, [[ नवाचार (सिग्नल प्रोसेसिंग) ]] (प्री-फिट अवशिष्ट), अर्थात् वर्तमान एक प्राथमिक भविष्यवाणी और वर्तमान अवलोकन जानकारी के मध्य का अंतर, इष्टतम कलमन लब्धि से गुणा किया जाता है और परिष्कृत करने के लिए पिछले अवस्था अनुमान के साथ जोड़ा जाता है। अवस्था का अनुमान। वर्तमान अवलोकन के आधार पर इस उन्नत अनुमान को पश्चवर्ती अवस्था अनुमान कहा जाता है।

आम तौर पर, दो चरण वैकल्पिक होते हैं, भविष्यवाणी अगले अनुसूचित अवलोकन तक अवस्था को आगे बढ़ाती है, और अद्यतन अवलोकन को सम्मिलित करता है। हालाँकि, यह आवश्यक नहीं है; यदि किसी कारण से कोई अवलोकन अनुपलब्ध है, तो अद्यतन को छोड़ दिया जा सकता है और कई पूर्वानुमान प्रक्रियाएं की जा सकती हैं। इसी तरह, यदि एक ही समय में कई स्वतंत्र अवलोकन उपलब्ध हैं, तो कई अद्यतन प्रक्रियाएं की जा सकती हैं (सामान्यतः विभिन्न अवलोकन आव्यूह 'एच' के साथ)<sub>''k''</sub>).<ref>{{cite journal|last1=Kelly|first1=Alonzo|title=A 3D state space formulation of a navigation Kalman filter for autonomous vehicles|journal=DTIC Document|date=1994|page=13|url=http://apps.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a282853.pdf|archive-url=https://web.archive.org/web/20141230004557/http://www.dtic.mil/dtic/tr/fulltext/u2/a282853.pdf|url-status=live|archive-date=December 30, 2014}} [http://www.frc.ri.cmu.edu/~alonzo/pubs/reports/kalman_V2.pdf 2006 Corrected Version] {{Webarchive|url=https://web.archive.org/web/20170110204109/http://www.frc.ri.cmu.edu/~alonzo/pubs/reports/kalman_V2.pdf |date=2017-01-10 }}</ref><ref>{{cite web|last1=Reid|first1=Ian|last2=Term|first2=Hilary|title=Estimation II|url=http://www.robots.ox.ac.uk/~ian/Teaching/Estimation/LectureNotes2.pdf|website=www.robots.ox.ac.uk|publisher=Oxford University|access-date=6 August 2014}}</ref>


=== भविष्यवाणी ===
{|
|-
| style="width:180pt;" |अनुमानित (प्राथमिकता) अवस्था का अनुमान
| <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} = \mathbf{F}_k\hat{\mathbf{x}}_{k-1\mid k-1} + \mathbf{B}_k \mathbf{u}_{k}</math>
|-
| अनुमानित (प्राथमिकता) सहप्रसरण का अनुमान
| <math>\mathbf{P}_{k\mid k-1} = \mathbf{F}_k \mathbf{P}_{k-1 \mid k-1} \mathbf{F}_k^\textsf{T} + \mathbf{Q}_k</math>
|}


=== नवीनीकरण ===
{|
|-
| style="width:180pt;" | नवाचार या माप पूर्व-फिट अवशिष्ट
| <math>\tilde{\mathbf{y}}_k = \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}</math>
|-
| नवोन्मेष (या पूर्व-फिट अवशिष्ट) सहप्रसरण
| <math>\mathbf{S}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} + \mathbf{R}_k</math>
|-
| इष्टतम कलमन लब्धि
| <math>\mathbf{K}_k = \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1}</math>
|-
| अद्यतित (एक उत्तरवर्ती) अवस्था का अनुमान
| <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k\tilde{\mathbf{y}}_k</math>
|-
| अद्यतनीकृत (एक पश्चवर्ती) सहप्रसरण का अनुमान
| <math>\mathbf{P}_{k|k} = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right) \mathbf{P}_{k|k-1} </math>
|-
| मापन पोस्ट-फिट अवशिष्ट
| <math>\tilde{\mathbf{y}}_{k\mid k} = \mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math>
|}
उपरोक्त अद्यतन (एक पश्चवर्ती) अनुमान सहप्रसरण के लिए सूत्र इष्टतम K<sub>k</sub> लब्धि के लिए मान्य है, जो अवशिष्ट त्रुटि को कम करता है, जिस रूप में यह अनुप्रयोगों में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। सूत्रों का प्रमाण व्युत्पत्ति अनुभाग में मिलता है, जहाँ किसी K<sub>k</sub> के लिए मान्य सूत्र भी दर्शाया गया है।

अद्यतन अवस्था अनुमान को व्यक्त करने का एक अधिक सहज प्रणाली (<math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math>) है:

:<math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k (\mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k)</math>
यह अभिव्यक्ति हमें एक रैखिक प्रक्षेप का स्मरण कराती है, <math>x = (1-t)(a) + t(b)</math> के लिये <math>t</math> [0,1] के मध्य हमारी स्थितियो में:
* <math>t</math> कलमन लब्धि (<math>\mathbf{K}_k</math>) है, एक आव्यूह जो <math>0</math> (संवेदक में उच्च त्रुटि) से <math>I</math> (कम त्रुटि) मान लेता है ।
* <math>a</math> प्रतिरूप से अनुमानित मान है।
* <math>b</math> माप से मान है।
यह व्यंजक अल्फ़ा बीटा निस्यंदक अद्यतन चरण के समान भी है।

=== अपरिवर्तनीय ===
यदि प्रतिरूप सटीक है, और  <math>\hat{\mathbf{x}}_{0\mid 0}</math> तथा <math>\mathbf{P}_{0\mid 0}</math> के लिए मान प्रारंभिक अवस्था मानो के वितरण को सटीक रूप से दर्शाता है, तोनिम्नलिखित अपरिवर्तनीय संरक्षित हैं:
:<math>\begin{align}
  \operatorname{E}[\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}] &= \operatorname{E}[\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}] = 0 \\
                       \operatorname{E}[\tilde{\mathbf{y}}_k] &= 0
\end{align}</math>
जहां <math>\operatorname{E}[\xi]</math> का [[ अपेक्षित मूल्य |अपेक्षित मान]] <math>\xi</math> है, अर्थात् सभी अनुमानों में शून्य की औसत त्रुटि होती है।

और:
:<math>\begin{align}
    \mathbf{P}_{k\mid k} &= \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}\right) \\
  \mathbf{P}_{k\mid k-1} &= \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}\right) \\
            \mathbf{S}_k &= \operatorname{cov}\left(\tilde{\mathbf{y}}_k\right)
\end{align}</math>
इसलिए सहप्रसरण आव्यूह अनुमानों के सहप्रसरण को सटीक रूप से दर्शाते हैं।

=== रव सहप्रसरण Q<sub>''k''</sub> और R<sub>''k''</sub> का अनुमान ===
रव सहप्रसरण आव्यूह Q<sub>''k''</sub> और आर<sub>''k''</sub> का एक उत्तम अनुमान प्राप्त करने में कठिनाई के कारण कलमन निस्यंदक का व्यावहारिक कार्यान्वयन प्रायः कठिन होता है। डेटा से इन सहप्रसरणों का अनुमान लगाने के लिए व्यापक अन्वेषण किया गया है। ऐसा करने की एक व्यावहारिक प्रणाली [[ स्वतः सहप्रसरण |स्वसहप्रसरण]] न्यूनतम वर्ग (''ALS'') प्रविधि है, जो सहप्रसरण का अनुमान लगाने के लिए नियमित संचालन डेटा के समय-अंतराल स्वसहप्रसरण का उपयोग करता है।<ref>{{cite thesis |url=http://jbrwww.che.wisc.edu/theses/rajamani.pdf |last=Rajamani |first=Murali |type=PhD Thesis |title=Data-based Techniques to Improve State Estimation in Model Predictive Control |location=University of Wisconsin–Madison |date=October 2007 |access-date=2011-04-04 |archive-url=https://web.archive.org/web/20160304194938/http://jbrwww.che.wisc.edu/theses/rajamani.pdf |archive-date=2016-03-04 |url-status=dead }}</ref><ref>{{cite journal |last1=Rajamani |first1=Murali R. |last2=Rawlings |first2=James B. |title=Estimation of the disturbance structure from data using semidefinite programming and optimal weighting |journal=Automatica |volume=45 |issue=1 |pages=142–148 |year=2009 |doi=10.1016/j.automatica.2008.05.032 }}</ref> [[ जीएनयू ऑक्टेव |जीएनयू अष्टक]] और मैटलैब कोड और एएलएस प्रविधि का उपयोग करके रव सहप्रसरण आव्यूह की गणना करने के लिए किया जाता है, जो[[ जीएनयू जनरल पब्लिक लाइसेंस | जीएनयू सामान्य जनता अनुज्ञप्ति]] का उपयोग करके लाइनेतर उपलब्ध है।<ref>{{cite web |url=https://sites.engineering.ucsb.edu/~jbraw/software/als/index.html |title=Autocovariance Least-Squares Toolbox |publisher=Jbrwww.che.wisc.edu |access-date=2021-08-18 }}</ref> क्षेत्र कलमन निस्यंदक (FKF), एक बायेसियन कलन विधि, जो अवस्था, मापदंडों और रव सहप्रसरण के एक साथ आकलन की अनुमति देता है।<ref>{{cite conference |url= https://www.researchgate.net/publication/312029167|title= Field Kalman Filter and its approximation|last1= Bania|first1= P.|last2= Baranowski|first2=J.|publisher=IEEE |date=12 December 2016|pages= 2875–2880|location= Las Vegas, NV, USA|conference= IEEE 55th Conference on Decision and Control (CDC)}}</ref> एफकेएफ कलन विधियों में एक पुनरावर्ती सूत्रीकरण, उत्तम प्रेक्षित अभिसरण और अपेक्षाकृत कम जटिलता है। इस प्रकार यह संसूचन  देता है कि एफकेएफ कलन विधि संभवतः स्वसहप्रसरण न्यूनतम वर्ग विधियों का एक सार्थक विकल्प हो सकता है।

=== इष्टतमता और प्रदर्शन ===
यह सिद्धांत से निम्नानुसार है कि कलमन निस्यंदक उन स्थितियो में इष्टतम रैखिक निस्यंदक है जहां ए) प्रतिरूप वास्तविक प्रणाली से पूरी तरह मेल खाता है, बी) प्रवेश रव सफेद (असंबद्ध) है और सी) रव के सहसंयोजक पूर्णतया ज्ञात हैं। कलमन निस्यंदक का उपयोग करके सहसंबद्ध रव का भी इलाज किया जा सकता है।<ref>{{Cite book|last1=Bar-Shalom|first1=Yaakov|url=http://dx.doi.org/10.1002/0471221279|title=Estimation with Applications to Tracking and Navigation|last2=Li|first2=X.-Rong|last3=Kirubarajan|first3=Thiagalingam|date=2001|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-41655-X|location=New York, USA|pages=319 ff|doi=10.1002/0471221279}}</ref> पिछले दशकों के पर्यंत रव सहसंयोजक अनुमान के लिए कई प्रणाली प्रस्तावित की गयी हैं, जिनमें एएलएस भी सम्मिलित है, जिसका उल्लेख ऊपर के खंड में किया गया है। सहप्रसरणों का अनुमान लगाने के बाद, निस्यंदक के प्रदर्शन का मूल्यांकन करना उपयोगी होता है; अर्थात् क्या अवस्था के आकलन की गुणवत्ता में सुधार संभव है। यदि कलमन निस्यंदक उन्नत विधि से कार्य करता है, तो इनोवेशन सीक्वेंस (आउटपुट प्रेडिक्शन एरर) एक सफेद रव है, इसलिए इनोवेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) की व्हाइटनेस प्रॉपर्टी निस्यंदक के प्रदर्शन को मापती है। इस उद्देश्य के लिए कई अलग-अलग प्रणालियो का उपयोग किया जा सकता है।<ref>Three optimality tests with numerical examples are described in  {{cite book|doi=10.3182/20120711-3-BE-2027.00011|chapter=Optimality Tests and Adaptive Kalman Filter|title=16th IFAC Symposium on System Identification|journal=IFAC Proceedings Volumes|volume=45|issue=16|pages=1523–1528|series=16th IFAC Symposium on System Identification|year=2012|last1=Peter|first1=Matisko|isbn=978-3-902823-06-9}}</ref> यदि रव की शर्तों को गैर-गॉसियन विधि से वितरित किया जाता है, तो निस्यंदक अनुमान के प्रदर्शन का आकलन करने के विधि, जो संभाव्यता असमानताओं या बड़े-प्रतिरूप सिद्धांत का उपयोग करते हैं, साहित्य में जाने जाते हैं।<ref>{{cite journal|doi=10.1016/0005-1098(95)00069-9|title=The Kantorovich inequality for error analysis of the Kalman filter with unknown noise distributions|journal=Automatica|volume=31|issue=10|pages=1513–1517|year=1995|last1=Spall|first1=James C.}}</ref><ref>{{cite journal|doi=10.1109/TAC.2003.821415|title=Use of the Kalman Filter for Inference in State-Space Models with Unknown Noise Distributions|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=49|pages=87–90|year=2004|last1=Maryak|first1=J.L.|last2=Spall|first2=J.C.|last3=Heydon|first3=B.D.|s2cid=21143516}}</ref>


== उदाहरण आवेदन, प्रौद्योगिकीय ==
[[File:kalman.png|thumb|{{color box|black}}{{nbsp}}सत्य; {{color box|green}}{{nbsp}}निस्यंदक्ड प्रक्रिया; {{color box|red}}{{nbsp}}अवलोकन।]]
घर्षण रहित, पटरियों पर चलने वाले एक माल गाड़ी पर विचार करें। प्रारंभ में, माल गाड़ी की स्थिति 0 में स्थिर होती है, परन्तु यह यादृच्छिक अनियंत्रित बलों द्वारा इस प्रकार और उस प्रकार से टकराया जाता है। हम प्रत्येक Δt सेकंड में माल गाड़ी की स्थिति को मापते हैं, परन्तु ये माप सटीक नहीं होते हैं; हम माल गाड़ी की स्थिति और [[ वेग |वेग]] का एक प्रतिरूप बनाए रखना चाहते हैं। हम यहां दर्शाते हैं कि हम उस प्रतिरूप को कैसे प्राप्त करते हैं, जिससे हम अपना कलमन निस्यंदक निर्मित करते हैं।

तब से <math>\mathbf{F}, \mathbf{H}, \mathbf{R}, \mathbf{Q}</math> स्थिर हैं, और उनका समय सूचकांक अवनत कर दिया जाता है।

माल गाड़ी की स्थिति और वेग कोरै खिक अवस्था समष्टि द्वारा वर्णित किया जाता है;
:<math>\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix}
    x \\
    \dot{x}
  \end{bmatrix}
</math>
जहां <math>\dot{x}</math> वेग है, जो समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न है।

हम मानते हैं कि (k − 1) और k समय चरण के मध्य अनियंत्रित बल a<sub>''k''</sub> के निरंतर त्वरण का कारण बनते हैं, सामान्य रूप से माध्य 0 और मानक विचलन  ''σ<sub>a</sub>'' के साथ वितरित किया जाता है। न्यूटन के गति के नियमों से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि
:<math>\mathbf{x}_k = \mathbf{F} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{G} a_k</math>
(<math>\mathbf{B}u</math> शब्द का क्योंकि कोई ज्ञात नियंत्रण इनपुट नहीं हैं। इसके स्थान पर, ''a<sub>k</sub>'' एक अज्ञात इनपुट का प्रभाव है और जहां <math>\mathbf{G}</math> उस प्रभाव को अवस्था सदिश पर अनुप्रयुक्त करता है) 
:<math>\begin{align}
  \mathbf{F} &= \begin{bmatrix}
    1 & \Delta t \\
    0 & 1
  \end{bmatrix} \\[4pt]
  \mathbf{G} &= \begin{bmatrix}
    \frac{1}{2}{\Delta t}^2 \\[6pt]
    \Delta t
  \end{bmatrix}
\end{align}</math>
ताकि
:<math>\mathbf{x}_k = \mathbf{F} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{w}_k</math>
जहां
:<math>\begin{align}
  \mathbf{w}_k &\sim N(0, \mathbf{Q}) \\
    \mathbf{Q} &=
  \mathbf{G}\mathbf{G}^\textsf{T}\sigma_a^2 =
  \begin{bmatrix}
    \frac{1}{4}{\Delta t}^4 & \frac{1}{2}{\Delta t}^3 \\[6pt]
    \frac{1}{2}{\Delta t}^3 & {\Delta t}^2
  \end{bmatrix}\sigma_a^2.
\end{align}</math>
एक आव्यूह <math>\mathbf{Q}</math> पूर्ण श्रेणी नहीं है (यह श्रेणी एक का <math>\Delta t \neq 0</math> है यदि)  वितरण <math>N(0, \mathbf{Q})</math> पूर्णतया निरंतर नहीं है और इसमें कोई संभाव्यता घनत्व फलन नहीं है। इसे व्यक्त करने की एक अन्य प्रणाली, स्पष्ट पतित वितरणों से परिहरण करना है;
:<math>\mathbf{w}_k \sim \mathbf{G} \cdot N\left(0, \sigma_a^2\right). </math>
प्रत्येक समय चरण में, माल गाड़ी की वास्तविक स्थिति का रव माप किया जाता है, मान लें कि माप रव v<sub>''k''</sub> माध्य 0 और मानक विचलन ''σ<sub>z</sub>''के साथ सामान्य रूप से भी वितरित किया जाता है;
:<math>\mathbf{z}_k = \mathbf{H x}_k + \mathbf{v}_k</math>
जहां
:<math>\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} </math>
और
:<math>
  \mathbf{R} = \mathrm{E}\left[\mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^\textsf{T}\right]
             = \begin{bmatrix} \sigma_z^2 \end{bmatrix}
</math>
हम माल गाड़ी की प्रारंभिक स्थिति को पूर्ण सटीकता के साथ स्पष्ट करते हैं, इसलिए हम प्रारंभ करते हैं
:<math>\hat{\mathbf{x}}_{0 \mid 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} </math>
और निस्यंदक को यह सूचित के लिए कि हम सटीक स्थिति और वेग से परिचित हैं, हम इसे एक शून्य सहप्रसरण आव्यूह प्रदान करते हैं:
:<math>\mathbf{P}_{0 \mid 0} = \begin{bmatrix}
    0 & 0 \\
    0 & 0
  \end{bmatrix}
</math>
यदि प्रारंभिक स्थिति और वेग पूर्णतया ज्ञात नहीं हैं, तो सहप्रसरण आव्यूह को इसके विकर्ण पर उपयुक्त भिन्नताओं के साथ प्रारंभ किया जाना चाहिए:
:<math>\mathbf{P}_{0 \mid 0} = \begin{bmatrix}
    \sigma_x^2 & 0 \\
    0          & \sigma_\dot{x}^2
  \end{bmatrix}
</math>
निस्यंदक तब प्रतिरूप में पूर्व से ही उपस्थित सूचना पर प्रथम माप से सूचना को प्राथमिकता देता है।

== स्पर्शोन्मुख रूप ==

सहजता के लिए, मान लें कि नियंत्रण इनपुट <math>\mathbf{u}_k=\mathbf{0}</math> है, तब कलमन निस्यंदक को लिखा जा सकता है:

:<math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \mathbf{F}_k \hat{\mathbf{x}}_{k-1\mid k-1} + \mathbf{K}_k[\mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k \mathbf{F}_k\hat{\mathbf{x}}_{k-1\mid k-1}].</math>
यदि हम एक गैर-शून्य नियंत्रण इनपुट सम्मिलित करते हैं तो एक समान समीकरण प्राप्त होता है। लब्धि आव्यूह <math>\mathbf{K}_k</math> मापन <math>\mathbf{z}_k</math> से स्वतंत्र रूप से विकसित होते हैं। ऊपर से, कलमन लब्धि को अद्यतन करने के लिए आवश्यक चार समीकरण इस प्रकार हैं:

:<math>\begin{align}
  \mathbf{P}_{k\mid k-1} &= \mathbf{F}_k \mathbf{P}_{k-1\mid k-1} \mathbf{F}_k^\textsf{T} + \mathbf{Q}_k, \\
            \mathbf{S}_k &= \mathbf{R}_k + \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T}, \\
            \mathbf{K}_k &= \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1}, \\
         \mathbf{P}_{k|k} &= \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right) \mathbf{P}_{k|k-1}.
\end{align}</math>
चूंकि लब्धि आव्यूह केवल प्रतिरूप पर निर्भर करते हैं, न कि माप पर, उनकी गणना ऑफ़लाइन की जा सकती है। लब्धि आव्यूह का अभिसरण <math>\mathbf{K}_k</math> एक स्पर्शोन्मुख आव्यूह <math>\mathbf{K}_\infty</math> के लिए वालरैंड और डिमाकिस में स्थापित स्थितियों के लिए अनुप्रयुक्त होता है।<ref name=walrandnotes>{{cite book|last1=Walrand|first1=Jean|last2=Dimakis|first2=Antonis|date=August 2006 |title=Random processes in Systems -- Lecture Notes | url=https://people.eecs.berkeley.edu/~wlr/226F06/226a.pdf |pages=69–70}}</ref> अनुरूपण अभिसरण के चरणों की संख्या स्थापित करते हैं। ऊपर वर्णित चलती माल गाड़ी के उदाहरण के लिए <math>\Delta t = 1</math>. और <math>\sigma_a^2=\sigma_z^2 =\sigma_x^2= \sigma_\dot{x}^2=1</math>, अनुरूपण में अभिसरण <math>10</math> पुनरावृत्तियों को दर्शाता है;

स्पर्शोन्मुख लब्धि का उपयोग करना, और मान लिया जाये <math>\mathbf{H}_k</math> तथा <math>\mathbf{F}_k</math> से <math>k</math> स्वतंत्र हैं, और कलमन निस्यंदक एक रेखीय समय-अपरिवर्तनीय निस्यंदक बन जाता है:

:<math>\hat{\mathbf{x}}_{k} = \mathbf{F} \hat{\mathbf{x}}_{k-1} + \mathbf{K}_\infty[\mathbf{z}_k - \mathbf{H}\mathbf{F} \hat{\mathbf{x}}_{k-1}].</math>
स्पर्शोन्मुख लब्धि <math>\mathbf{K}_\infty</math>, यदि यह उपस्थित है, तो उपगामी अवस्था सहप्रसरण <math>\mathbf{P}_\infty</math> के लिए निम्नलिखित असतत रिकाटी समीकरण को हल करके गणना की जा सकती है:<ref name=walrandnotes/>

:<math>\mathbf{P}_\infty = \mathbf{F}\left(\mathbf{P}_\infty - \mathbf{P}_\infty \mathbf{H}^\textsf{T} \left(\mathbf{H}\mathbf{P}_\infty\mathbf{H}^\textsf{T} + \mathbf{R}\right) ^{-1} \mathbf{H}\mathbf{P}_\infty\right) \mathbf{F}^\textsf{T} + \mathbf{Q}.</math>
स्पर्शोन्मुख लब्धि की गणना पूर्व की भाति की की जा सकती है।

:<math>\mathbf{K}_\infty = \mathbf{P}_\infty \mathbf{H}^\textsf{T} \left( \mathbf{R} + \mathbf{H} \mathbf{P}_\infty \mathbf{H}^\textsf{T} \right) ^{-1}.</math>


== व्युत्पत्ति ==
{{More citations needed section|date=दिसंबर 2010}}
कलमन निस्यंदक को गत डेटा पर संचालित [[ सामान्यीकृत कम से कम वर्ग |सामान्यीकृत न्यूनतम वर्ग]] विधि के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।<ref>Sant, Donald T. "Generalized least squares applied to time varying parameter models." Annals of Economic and Social Measurement, Volume 6, number 3. NBER, 1977. 301-314. [https://www.nber.org/system/files/chapters/c10557/c10557.pdf Online Pdf]</ref>


=== पश्चवर्ती अनुमान सहप्रसरण आव्यूह प्राप्त करना ===
त्रुटि सहप्रसरण '''P'''<sub>''k'' | ''k''</sub> पर हमारे अपरिवर्तनीय से प्रारंभ करना, उपरोक्तानुसार 
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}\right)</math>
की परिभाषा में स्थानापन्न <math>\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}</math>
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left[\mathbf{x}_k - \left(\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1} + \mathbf{K}_k\tilde{\mathbf{y}}_k\right)\right]</math>
और स्थानापन्न  <math>\tilde{\mathbf{y}}_k</math>
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \left[\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1} + \mathbf{K}_k\left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right)\right]\right)</math>
तथा <math>\mathbf{z}_k</math>
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \left[\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1} + \mathbf{K}_k\left(\mathbf{H}_k\mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right)\right]\right)</math>
और त्रुटि सदिश को एकत्र करके हम प्राप्त करते हैं
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left[\left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right) - \mathbf{K}_k \mathbf{v}_k\right]</math>
चूंकि माप त्रुटि v<sub>''k''</sub> अन्य स्थितियों के साथ असंबंधित है, और यह निर्मित करता है
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left[\left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right)\right] + \operatorname{cov}\left[\mathbf{K}_k \mathbf{v}_k\right]</math>
सहप्रसरण आव्यूह के गुणों से यह निर्मित करता है
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)\operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right)\left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)^\textsf{T} + \mathbf{K}_k\operatorname{cov}\left(\mathbf{v}_k\right)\mathbf{K}_k^\textsf{T}</math>
जो, '''P'''<sub>''k'' | ''k''−1</sub> पर हमारे अपरिवर्तनीय का उपयोग करते हुए और '''R'''<sub>''k''</sub> की परिभाषा का निर्माण हो जाता है
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right) \mathbf{P}_{k \mid k - 1} \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{R}_k \mathbf{K}_k^\textsf{T}</math>
यह सूत्र (कभी-कभी सहप्रसरण अद्यतन समीकरण के जोसफ रूप के रूप में भी प्रचारित है),  '''K'''<sub>''k''</sub> के किसी भी मान के लिए मान्य है।इससे यह ज्ञात होता है कि यदि K<sub>''k''</sub> इष्टतम कलमन लब्धि है, इसे और सरल बनाया जा सकता है जैसा कि नीचे दर्शाया गया है।

=== कलमन लब्धि व्युत्पत्ति ===
कलमन निस्यंदक एक [[ न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि ]] अनुमानक है। पश्चवर्ती अवस्था अनुमान में त्रुटि है
:<math>\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}</math>
हम इस सदिश के परिमाण के वर्ग के अपेक्षित मान को कम करना चाहते हैं, <math>\operatorname{E}\left[\left\|\mathbf{x}_{k} - \hat{\mathbf{x}}_{k|k}\right\|^2\right]</math>. यह पोस्टीरियरी अनुमान सहप्रसरण आव्यूह के [[ ट्रेस (मैट्रिक्स) | ट्रेस (आव्यूह)]] को कम करने के बराबर है <math> \mathbf{P}_{k|k} </math>. उपरोक्त समीकरण में शर्तों का विस्तार करने और एकत्रित करने से, हम प्राप्त करते हैं:
:<math>\begin{align}
  \mathbf{P}_{k\mid k} & = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{K}_k^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} + \mathbf{R}_k\right) \mathbf{K}_k^\textsf{T} \\[6pt]
                       &= \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{K}_k^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k\mathbf{K}_k^\textsf{T}
\end{align}</math>
ट्रेस को कम किया जाता है जब लब्धि आव्यूह के संबंध में इसका [[ मैट्रिक्स कैलकुलस | आव्यूह कैलकुलस]] शून्य होता है। आव्यूह कैलकुलस का उपयोग करना#पहचान और सम्मिलित आव्यूह की समरूपता हम पाते हैं कि
:<math>\frac{\partial \; \operatorname{tr}(\mathbf{P}_{k\mid k})}{\partial \;\mathbf{K}_k} = -2 \left(\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1}\right)^\textsf{T} + 2 \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k = 0.</math>
K . के लिए इसे हल करना<sub>''k''</sub> कलमन लब्धि प्राप्त करता है:
:<math>\begin{align}
  \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k &= \left(\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1}\right)^\textsf{T} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \\
   \Rightarrow \mathbf{K}_k &= \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1}
\end{align}</math>
यह लब्धि, जिसे इष्टतम कलमन लब्धि के रूप में जाना जाता है, वह है जो उपयोग किए जाने पर न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि अनुमान उत्पन्न करता है।

=== पश्च त्रुटि सहप्रसरण सूत्र का सरलीकरण ===
पोस्टीरियरी एरर कॉन्वर्सिस की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्र को सरल बनाया जा सकता है जब कलमन गेन ऊपर व्युत्पन्न इष्टतम मूल्य के बराबर हो। हमारे कलमन गेन फॉर्मूले के दोनों पक्षों को दाईं ओर 'S' से गुणा करने पर<sub>''k''</sub>K<sub>''k''</sub><sup>टी</sup>, यह इस प्रकार है
:<math>\mathbf{K}_k \mathbf{S}_k \mathbf{K}_k^\textsf{T} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{K}_k^\textsf{T}</math>
पोस्टीरियर एरर कॉन्वर्सिस के लिए हमारे विस्तारित फॉर्मूले का जिक्र करते हुए,
:<math> \mathbf{P}_{k\mid k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1}  - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{K}_k^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k \mathbf{K}_k^\textsf{T}</math>
हम पाते हैं कि अंतिम दो शर्तें रद्द कर दी गई हैं
:<math> \mathbf{P}_{k\mid k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k\mid k-1}.</math>
यह सूत्र कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है और इस प्रकार लगभग सदैव व्यवहार में उपयोग किया जाता है, परन्तु यह केवल इष्टतम लब्धि के लिए सही है। यदि अंकगणितीय परिशुद्धता असामान्य रूप से कम है जिससे [[ संख्यात्मक स्थिरता ]] के साथ समस्याएं उत्पन्न होती हैं, या यदि एक गैर-इष्टतम कलमन लब्धि जानबूझकर उपयोग किया जाता है, तो यह सरलीकरण अनुप्रयुक्त नहीं किया जा सकता है; उपरोक्त व्युत्पन्न (जोसेफ फॉर्म) के रूप में एक पश्चवर्ती त्रुटि सहप्रसरण सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए।

== संवेदनशीलता विश्लेषण ==
{{More citations needed section|date=December 2010}}
कलमन निस्यंदन समीकरण अवस्था का अनुमान प्रदान करते हैं <math>\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}</math> और इसकी त्रुटि सहप्रसरण <math>\mathbf{P}_{k\mid k}</math> पुनरावर्ती रूप से। अनुमान और इसकी गुणवत्ता प्रणाली पैरामीटर और अनुमानक को इनपुट के रूप में खिलाए गए रव आंकड़ों पर निर्भर करती है। यह खंड निस्यंदक के लिए सांख्यिकीय इनपुट में अनिश्चितताओं के प्रभाव का विश्लेषण करता है।<ref name=anderson>{{cite book|last1= Anderson|first1= Brian D. O.|last2=Moore|first2=John B.|year=1979 |title=Optimal Filtering |publisher=[[Prentice Hall]]|place=New York|pages=129–133|isbn= 978-0-13-638122-8}}</ref> विश्वसनीय आँकड़ों या रव सहप्रसरण आव्यूह के सही मूल्यों के अभाव में <math>\mathbf{Q}_{k}</math> तथा <math>\mathbf{R}_k</math>, भावाभिव्यक्ति
:<math>\mathbf{P}_{k\mid k} = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k\right)\mathbf{P}_{k\mid k-1}\left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k\right)^\textsf{T} + \mathbf{K}_k\mathbf{R}_k\mathbf{K}_k^\textsf{T}</math>
अब वास्तविक त्रुटि सहप्रसरण प्रदान नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, <math>\mathbf{P}_{k \mid k} \neq E\left[\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}\right)^\textsf{T}\right]</math>. अधिकांश वास्तविक समय के अनुप्रयोगों में, कलमन निस्यंदक को डिज़ाइन करने में उपयोग किए जाने वाले कॉन्वर्सिस मैट्रिसेस वास्तविक (सच्चे) रव कॉन्वर्सिस मैट्रिसेस से भिन्न होते हैं।{{citation needed|date=December 2010}} यह संवेदनशीलता विश्लेषण आकलन त्रुटि सहप्रसरण के व्यवहार का वर्णन करता है जब रव सहप्रसरणों के साथ-साथ प्रणाली आव्यूह <math>\mathbf{F}_k</math> तथा <math>\mathbf{H}_k</math> निस्यंदक में इनपुट के रूप में फीड किए गए गलत हैं। इस प्रकार, संवेदनशीलता विश्लेषण अनुमानक को गलत निर्दिष्ट सांख्यिकीय और पैरामीट्रिक इनपुट के लिए अनुमानक की मजबूती (या संवेदनशीलता) का वर्णन करता है।

यह चर्चा सांख्यिकीय अनिश्चितताओं के स्थितियो में त्रुटि संवेदनशीलता विश्लेषण तक सीमित है। यहाँ वास्तविक रव सहप्रसरणों को द्वारा दर्शाया गया है <math>\mathbf{Q}^a_k</math> तथा <math>\mathbf{R}^a_k</math> क्रमशः, जबकि अनुमानक में प्रयुक्त डिज़ाइन मान हैं <math>\mathbf{Q}_k</math> तथा <math>\mathbf{R}_k</math> क्रमश। वास्तविक त्रुटि सहप्रसरण द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\mathbf{P}_{k \mid k}^a</math> तथा <math>\mathbf{P}_{k \mid k}</math> Kalman निस्यंदक द्वारा गणना के रूप में Riccati चर के रूप में जाना जाता है। कब <math>\mathbf{Q}_k \equiv \mathbf{Q}^a_k</math> तथा <math>\mathbf{R}_k \equiv \mathbf{R}^a_k</math>, इस का मतलब है कि <math>\mathbf{P}_{k \mid k} = \mathbf{P}_{k \mid k}^a</math>. वास्तविक त्रुटि सहप्रसरण की गणना करते समय <math>\mathbf{P}_{k \mid k}^a = E\left[\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}\right)\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}\right)^\textsf{T}\right] </math>, के लिए प्रतिस्थापन <math>\widehat{\mathbf{x}}_{k \mid k}</math> और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि <math>E\left[\mathbf{w}_k\mathbf{w}_k^\textsf{T}\right] = \mathbf{Q}_k^a</math> तथा <math>E\left[\mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^\textsf{T}\right] = \mathbf{R}_k^a</math>, के लिए निम्नलिखित पुनरावर्ती समीकरणों का परिणाम है <math>\mathbf{P}_{k \mid k}^a</math> :
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k-1}^a = \mathbf{F}_k\mathbf{P}_{k-1 \mid k-1}^a \mathbf{F}_k^\textsf{T} + \mathbf{Q}_k^a </math>
तथा
:<math>\mathbf{P}_{k \mid k}^a = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)\mathbf{P}_{k \mid k-1}^a \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{R}_k^a \mathbf{K}_k^\textsf{T}</math>
गणना करते समय <math>\mathbf{P}_{k \mid k}</math>, डिज़ाइन द्वारा निस्यंदक परोक्ष रूप से मानता है कि <math>E\left[\mathbf{w}_k \mathbf{w}_k^\textsf{T}\right] = \mathbf{Q}_k</math> तथा <math>E\left[\mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^\textsf{T}\right] = \mathbf{R}_k</math>. के लिए पुनरावर्ती व्यंजक <math>\mathbf{P}_{k \mid k}^a</math> तथा <math>\mathbf{P}_{k \mid k}</math> की उपस्थिति को छोड़कर समान हैं <math>\mathbf{Q}_k^a</math> तथा <math>\mathbf{R}_k^a</math> प्रारुप मानो के स्थान पर <math>\mathbf{Q}_k</math> तथा <math>\mathbf{R}_k</math> क्रमश। कलमन निस्यंदक प्रणाली की मजबूती का विश्लेषण करने के लिए शोध किए गए हैं।<ref>Jingyang Lu.  [https://ieeexplore.ieee.org/document/6916211, "False information injection attack on dynamic state estimation in multi-sensor systems"], Fusion 2014</ref>


== वर्गमूल रूप ==
कलमन निस्यंदक के साथ एक समस्या इसकी संख्यात्मक स्थिरता है। यदि प्रक्रिया रव सहप्रसरण Q<sub>''k''</sub> छोटा है, राउंड-ऑफ त्रुटि प्रायः एक छोटे सकारात्मक eigenvalue को ऋणात्मक संख्या के रूप में गणना करने का कारण बनती है। यह अवस्था सहसंयोजक आव्यूह पी [[ सकारात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स | सकारात्मक-अर्ध-परिमित आव्यूह]] के संख्यात्मक प्रतिनिधित्व को प्रस्तुत करता है, जबकि इसका वास्तविक रूप [[ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित आव्यूह]] | सकारात्मक-निश्चित है।

धनात्मक निश्चित आव्यूहों में गुण होता है कि उनके पास एक त्रिभुजाकार आव्यूह होता है जो एक आव्यूह P = S·S . का वर्गमूल होता है<sup>टी</सुप>. इसे [[ चोल्स्की गुणनखंड ]] कलन विधिका उपयोग करके कुशलता से गणना की जा सकती है, परन्तु इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि यदि सहप्रसरण को इस रूप में रखा जाता है, तो इसका कभी भी ऋणात्मक विकर्ण या असममित नहीं हो सकता है। एक समान रूप, जो आव्यूह [[ वर्गमूल ]] द्वारा आवश्यक कई वर्गमूल संचालन से बचा जाता है, फिर भी वांछनीय संख्यात्मक गुणों को संरक्षित करता है, यू-डी अपघटन रूप है, पी = यू · डी · यू<sup>T</sup>, जहां U एक [[ इकाई त्रिकोणीय मैट्रिक्स | इकाई त्रिकोणीय आव्यूह]] (इकाई विकर्ण के साथ) है, और D एक विकर्ण आव्यूह है।

दोनों के मध्य, U-D फ़ैक्टराइज़ेशन समान मात्रा में भंडारण का उपयोग करता है, और कुछ हद तक कम गणना, और सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला वर्गमूल रूप है। (सापेक्ष दक्षता पर प्रारंभिक साहित्य कुछ हद तक भ्रामक है, क्योंकि यह माना जाता है कि वर्गमूल विभाजनों की तुलना में अधिक समय लेने वाले थे,<ref name=thornton />{{rp|69}} जबकि 21वीं सदी के कंप्यूटरों पर वे थोड़े अधिक महंगे हैं।)

कलमन भविष्यवाणी के लिए कुशल एल्गोरिदम और वर्गमूल रूप में अद्यतन चरणों को जी जे बीरमैन और सी एल थॉर्नटन द्वारा विकसित किया गया था।<ref name=thornton>{{cite thesis|title=Triangular Covariance Factorizations for Kalman Filtering |url=https://ntrs.nasa.gov/citations/19770005172 |type=PhD |first=Catherine L. |last=Thornton |date=15 October 1976|id=NASA Technical Memorandum 33-798 |publisher=[[NASA]] }}</ref><ref name="bierman" />

एलडीएल अपघटन|एल·डी·एल<sup>T</sup> इनोवेशन कॉन्वर्सिस आव्यूह S . का अपघटन<sub>k</sub> एक अन्य प्रकार के संख्यात्मक रूप से कुशल और मजबूत वर्गमूल निस्यंदक का आधार है।<ref name=barshalom>{{cite book|last1=Bar-Shalom|first1= Yaakov|last2=Li|first2=X. Rong|last3=Kirubarajan|first3=Thiagalingam |date=July 2001 |title=Estimation with Applications to Tracking and Navigation |publisher=[[John Wiley & Sons]]|place=New York|isbn =978-0-471-41655-5  |pages=308–317}}</ref> कलन विधिLU अपघटन के साथ शुरू होता है जैसा कि रैखिक बीजगणित पैकेज ([[ LAPACK ]]) में अनुप्रयुक्त किया गया है। इन परिणामों को आगे L·D·L . में विभाजित किया गया है<sup>एक सममित गैर-एकवचन आव्यूह के लिए गोलब और वैन लोन (एल्गोरिदम 4.1.2) द्वारा दी गई विधियों के साथ संरचना।<ref name=golub>{{cite book|last1=Golub |first1=Gene H. |first2=Charles F. |last2=Van Loan |year=1996|title=Matrix Computations|publisher=[[Johns Hopkins University]]|edition=Third|page=139|isbn =978-0-8018-5414-9 |place =Baltimore, Maryland|series=Johns Hopkins Studies in the Mathematical Sciences}}</ref> कोई भी एकवचन सहप्रसरण आव्यूह पिवट तत्व है ताकि पहला विकर्ण विभाजन [[ उलटा मैट्रिक्स | उलटा आव्यूह]] और [[ शर्त संख्या ]] | अच्छी तरह से वातानुकूलित हो। पिवोटिंग कलन विधि को इनोवेशन कॉन्वर्सिस आव्यूह के किसी भी हिस्से को सीधे देखे गए अवस्था-चर H . के अनुरूप बनाए रखना चाहिए<sub>k</sub>·एक्स<sub>k|k-1</sub> जो सहायक टिप्पणियों के साथ जुड़े हुए हैं
आप<sub>k</sub>. एल · डी · एल<sup>t</sup> वर्गमूल निस्यंदक को अवलोकन सदिश के [[ ओर्थोगोनलाइज़ेशन ]] की आवश्यकता होती है।<ref name="bierman" /><ref name="barshalom" />यह हिघम (2002, पृष्ठ 263) में विधि 2 का उपयोग करके सहायक चरों के लिए सहप्रसरण आव्यूह के व्युत्क्रम वर्गमूल के साथ किया जा सकता है।<ref name=higham>{{cite book|first=Nicholas J. |last=Higham|year=2002|title=Accuracy and Stability of Numerical Algorithms|edition=Second|isbn =978-0-89871-521-7|page=680|publisher=[[Society for Industrial and Applied Mathematics]]|place =Philadelphia, PA}}</ref>


== समानांतर रूप ==
कलमन निस्यंदक केंद्रीय प्रसंस्करण इकाइयों (सीपीयू) पर अनुक्रमिक डेटा प्रोसेसिंग के लिए कुशल है, परन्तु अपने मूल रूप में यह [[ ग्राफिक्स प्रसंस्करण इकाइयाँ ]] (जीपीयू) जैसे समानांतर आर्किटेक्चर पर अक्षम है। हालांकि, सरक्का (2021) में सूत्रीकरण का उपयोग करके एक सहयोगी ऑपरेटर के संदर्भ में निस्यंदक-अपडेट रूटीन को व्यक्त करना संभव है।<ref name=parallel>{{cite journal | author = Särkkä, S.| author2 = Ángel F. García-Fernández | year = 2021 | title = Temporal Parallelization of Bayesian Smoothers | journal = IEEE Transactions on Automatic Control | volume = 66 | issue = 1 | pages = 299–306 | doi = 10.1109/TAC.2020.2976316 | arxiv = 1905.13002 | s2cid = 213695560 }}</ref> निस्यंदक समाधान तब एक [[ उपसर्ग योग ]] कलन विधिके उपयोग से प्राप्त किया जा सकता है जिसे GPU पर कुशलता से अनुप्रयुक्त किया जा सकता है।<ref name=prefix-nvida>{{cite web |url=https://developer.nvidia.com/gpugems/gpugems3/part-vi-gpu-computing/chapter-39-parallel-prefix-sum-scan-cuda |title=Parallel Prefix Sum (Scan) with CUDA |author=<!--Not stated--> |website=developer.nvidia.com/ |access-date=2020-02-21 |quote=The scan operation is a simple and powerful parallel primitive with a broad range of applications. In this chapter we have explained an efficient implementation of scan using CUDA, which achieves a significant speedup compared to a sequential implementation on a fast CPU, and compared to a parallel implementation in OpenGL on the same GPU. Due to the increasing power of commodity parallel processors such as GPUs, we expect to see data-parallel algorithms such as scan to increase in importance over the coming years.}}</ref> यह कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है <math>O(N)</math> समय चरणों की संख्या में <math>O(\log(N))</math>.

== [[ पुनरावर्ती बायेसियन अनुमान ]] से संबंध ==
कलमन निस्यंदक को सबसे सरल [[ गतिशील बायेसियन नेटवर्क ]] में से एक के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। Kalman निस्यंदक आने वाले माप और गणितीय प्रक्रिया प्रतिरूप का उपयोग करके समय के साथ अवस्थाों के वास्तविक मूल्यों के अनुमानों की गणना करता है। इसी तरह, पुनरावर्ती बायेसियन अनुमान आने वाले माप और एक गणितीय प्रक्रिया प्रतिरूप का उपयोग करके समय के साथ एक अज्ञात संभाव्यता घनत्व प्रकार्य (पीडीएफ) के घनत्व अनुमान की गणना करता है।<ref>{{cite journal|first1=C. Johan |last1=Masreliez|first2= R D|last2= Martin |year=1977|title=Robust Bayesian estimation for the linear model and robustifying the Kalman filter|journal= IEEE Transactions on Automatic Control|volume= 22|issue= 3|pages= 361–371|doi=10.1109/TAC.1977.1101538|author-link1= C. Johan Masreliez}}</ref>
पुनरावर्ती बायेसियन अनुमान में, वास्तविक स्थिति को एक अप्रमाणित [[ मार्कोव प्रक्रिया ]] माना जाता है, और माप एक छिपे हुए मार्कोव प्रतिरूप (HMM) के देखे गए अवस्था हैं।
[[File:HMM Kalman Filter Derivation.svg|center|हिडन मार्कोव प्रतिरूप]]
मार्कोव की धारणा के कारण, वास्तविक अवस्था पहले के सभी अवस्थाों से सशर्त रूप से स्वतंत्र है, जो तत्काल पिछले अवस्था को दिया गया है।
:<math>p(\mathbf{x}_k\mid \mathbf{x}_0,\dots,\mathbf{x}_{k-1}) = p(\mathbf{x}_k\mid \mathbf{x}_{k-1})</math>
इसी तरह, k-वें टाइमस्टेप पर माप केवल वर्तमान स्थिति पर निर्भर है और वर्तमान स्थिति को देखते हुए अन्य सभी अवस्थाों से सशर्त रूप से स्वतंत्र है।
:<math>p(\mathbf{z}_k\mid\mathbf{x}_0,\dots,\mathbf{x}_k) = p(\mathbf{z}_k\mid \mathbf{x}_k )</math>
इन मान्यताओं का उपयोग करते हुए, छिपे हुए मार्कोव प्रतिरूप के सभी अवस्थाों में संभाव्यता वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
:<math>p\left(\mathbf{x}_0, \dots, \mathbf{x}_k, \mathbf{z}_1, \dots, \mathbf{z}_k\right) = p\left(\mathbf{x}_0\right)\prod_{i=1}^k p\left(\mathbf{z}_i \mid \mathbf{x}_i\right)p\left(\mathbf{x}_i \mid \mathbf{x}_{i-1}\right)</math>
हालांकि, जब अवस्था x का अनुमान लगाने के लिए एक कलमन निस्यंदक का उपयोग किया जाता है, तो ब्याज की संभाव्यता वितरण वर्तमान समय-चरण तक माप पर वातानुकूलित वर्तमान अवस्थाों से जुड़ा होता है। यह पिछले अवस्थाों को हाशिए पर रखकर और माप सेट की संभावना से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

इसका परिणाम "भविष्यवाणी" और "अपडेट" चरणों में होता है, जो संभावित रूप से लिखे गए कलमन निस्यंदक के चरण होते हैं। पूर्वानुमानित स्थिति से संबद्ध प्रायिकता वितरण, (''k'' − 1)-वें टाइमस्टेप से ''k''-वें और संक्रमण से जुड़े संभाव्यता वितरण के उत्पादों का योग (अभिन्न) है पिछली स्थिति से जुड़े संभाव्यता वितरण, हर संभव से अधिक <math>x_{k-1}</math>.

:<math>p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right) = \int p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{x}_{k-1}\right) p\left(\mathbf{x}_{k-1} \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right)\, d\mathbf{x}_{k-1}</math>
समय t के लिए निर्धारित माप है
:<math>\mathbf{Z}_t = \left\{\mathbf{z}_1, \dots, \mathbf{z}_t\right\}</math>
अद्यतन का संभाव्यता वितरण माप की संभावना और अनुमानित स्थिति के उत्पाद के समानुपाती होता है।
:<math>p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{Z}_k\right) = \frac{p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right)}{p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right)}</math>
भाजक
:<math>p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right) = \int p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right)\, d\mathbf{x}_k</math>
एक सामान्यीकरण शब्द है।

शेष संभाव्यता घनत्व कार्य हैं
:<math>\begin{align}
      p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{x}_{k-1}\right) &= \mathcal{N}\left(\mathbf{F}_k\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{Q}_k\right) \\
          p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) &= \mathcal{N}\left(\mathbf{H}_k\mathbf{x}_k, \mathbf{R}_k\right) \\
  p\left(\mathbf{x}_{k-1} \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right) &= \mathcal{N}\left(\hat{\mathbf{x}}_{k-1}, \mathbf{P}_{k-1}\right)
\end{align}</math>
पिछले टाइमस्टेप पर पीडीएफ को अनुमानित स्थिति और सहप्रसरण माना जाता है। यह उचित है क्योंकि, इष्टतम अनुमानक के रूप में, कलमन निस्यंदक माप का सर्वोत्तम उपयोग करता है, इसलिए पीडीएफ <math>\mathbf{x}_k</math> माप दिया गया <math>\mathbf{Z}_k</math> कलमन निस्यंदक अनुमान है।

== सीमांत संभावना ==
ऊपर वर्णित पुनरावर्ती बायेसियन व्याख्या से संबंधित, कलमन निस्यंदक को एक [[ जनरेटिव मॉडल | जनरेटिव प्रतिरूप]] के रूप में देखा जा सकता है, अर्थात, यादृच्छिक अवलोकनों की एक धारा उत्पन्न करने की प्रक्रिया 'z' = ('z')<sub>0</sub>, साथ<sub>1</sub>, साथ<sub>2</sub>, ...). विशेष रूप से, प्रक्रिया है

# एक छिपी हुई स्थिति का प्रतिरूप लें <math>\mathbf{x}_0</math> गॉसियन पूर्व वितरण से <math>p\left(\mathbf{x}_0\right) = \mathcal{N}\left(\hat{\mathbf{x}}_{0 \mid 0}, \mathbf{P}_{0 \mid 0}\right)</math>.
# एक अवलोकन का प्रतिरूप लें <math>\mathbf{z}_0</math> अवलोकन प्रतिरूप से <math>p\left(\mathbf{z}_0 \mid \mathbf{x}_0\right) = \mathcal{N}\left(\mathbf{H}_0\mathbf{x}_0, \mathbf{R}_0\right)</math>.
# के लिये <math>k = 1, 2, 3, \ldots</math>, करना
## अगले छिपे हुए अवस्था का प्रतिरूप लें <math>\mathbf{x}_k</math> संक्रमण प्रतिरूप से <math>p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{x}_{k-1}\right) = \mathcal{N}\left(\mathbf{F}_k \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B}_k\mathbf{u}_k, \mathbf{Q}_k\right).</math>
## एक अवलोकन का प्रतिरूप लें <math>\mathbf{z}_k</math> अवलोकन प्रतिरूप से <math>p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) = \mathcal{N}\left(\mathbf{H}_k\mathbf{x}_k, \mathbf{R}_k\right).</math>
इस प्रक्रिया में छिपे हुए मार्कोव प्रतिरूप के समान संरचना है, अतिरिक्त इसके कि असतत स्थिति और अवलोकनों को गॉसियन वितरण से प्रतिरूप निरंतर चर के साथ परिवर्तित कर दिया जाता है।

कुछ अनुप्रयोगों में, यह संभावना की गणना करने के लिए उपयोगी है कि दिए गए मापदंडों (पूर्व वितरण, संक्रमण और अवलोकन प्रतिरूप, और नियंत्रण इनपुट) के साथ एक कलमन निस्यंदक एक विशेष मनाया संकेत उत्पन्न करेगा। इस संभाव्यता को [[ सीमांत संभावना ]] के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह छिपे हुए अवस्था चर के मूल्यों को एकीकृत (हाशिए पर) करता है, इसलिए इसे केवल देखे गए सिग्नल का उपयोग करके गणना की जा सकती है। सीमांत संभावना विभिन्न पैरामीटर विकल्पों का मूल्यांकन करने के लिए उपयोगी हो सकती है, या [[ बायेसियन मॉडल तुलना | बायेसियन प्रतिरूप तुलना]] का उपयोग करके अन्य प्रतिरूपों के खिलाफ कलमन निस्यंदक की तुलना करने के लिए उपयोगी हो सकती है।

पुनरावर्ती निस्यंदन गणना के साइड इफेक्ट के रूप में सीमांत संभावना की गणना करना सीधा है। श्रृंखला नियम (प्रायिकता) द्वारा, संभावना को पिछले अवलोकनों में दिए गए प्रत्येक अवलोकन की संभावना के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है,
:<math>p(\mathbf{z}) = \prod_{k=0}^T p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{z}_{k-1}, \ldots, \mathbf{z}_0\right)</math>,

और क्योंकि कलमन निस्यंदक एक मार्कोव प्रक्रिया का वर्णन करता है, पिछली टिप्पणियों से सभी प्रासंगिक जानकारी वर्तमान स्थिति अनुमान में निहित है <math>\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{P}_{k \mid k-1}.</math> इस प्रकार सीमांत संभावना द्वारा दी गई है
:<math>\begin{align}
  p(\mathbf{z}) &= \prod_{k=0}^T \int p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{z}_{k-1}, \ldots,\mathbf{z}_0\right) d\mathbf{x}_k\\
                &= \prod_{k=0}^T \int \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_k; \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k, \mathbf{R}_k\right) \mathcal{N}\left(\mathbf{x}_k; \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{P}_{k \mid k-1}\right) d\mathbf{x}_k\\
                &= \prod_{k=0}^T \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_k;  \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{R}_k + \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k \mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T}\right)\\
                &= \prod_{k=0}^T \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_k;  \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{S}_k\right),
\end{align}</math>
अर्थात्, गॉसियन घनत्व का एक उत्पाद, प्रत्येक एक अवलोकन z . के घनत्व के अनुरूप है<sub>''k''</sub> वर्तमान निस्यंदन वितरण के तहत <math>\mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{S}_k</math>. इसे आसानी से एक साधारण पुनरावर्ती अद्यतन के रूप में परिकलित किया जा सकता है; हालांकि, [[ अंकगणितीय अंतर्प्रवाह ]] से बचने के लिए, व्यावहारिक कार्यान्वयन में सामान्यतः लॉग सीमांत संभावना की गणना करना वांछनीय होता है <math>\ell = \log p(\mathbf{z})</math> बजाय। कन्वेंशन को अपनाना <math>\ell^{(-1)} = 0</math>, यह पुनरावर्ती अद्यतन नियम के माध्यम से किया जा सकता है
:<math>\ell^{(k)} = \ell^{(k-1)} - \frac{1}{2} \left(\tilde{\mathbf{y}}_k^\textsf{T} \mathbf{S}^{-1}_k \tilde{\mathbf{y}}_k + \log \left|\mathbf{S}_k\right| + d_y\log 2\pi \right),</math>
जहांपे <math>d_y</math> माप सदिश का आयाम है।<ref>{{Cite book|last=Lütkepohl|first= Helmut|title=Introduction to Multiple Time Series Analysis|publisher= Springer-Verlag Berlin |location=Heidelberg|year= 1991|page=435}}</ref>
एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग जहां अवलोकनों की ऐसी (लॉग) संभावना (निस्यंदक पैरामीटर दिए गए) का उपयोग किया जाता है, बहु-लक्ष्य ट्रैकिंग है। उदाहरण के लिए, एक वस्तु ट्रैकिंग परिदृश्य पर विचार करें जहां अवलोकन की एक धारा इनपुट है, हालांकि, यह अज्ञात है कि दृश्य में कितनी वस्तुएं हैं (या, वस्तुओं की संख्या ज्ञात है परन्तु एक से अधिक है)। ऐसे परिदृश्य के लिए, यह अज्ञात हो सकता है कि किस वस्तु द्वारा कौन से अवलोकन/माप उत्पन्न किए गए थे। एक बहु परिकल्पना ट्रैकर (एमएचटी) आम तौर पर अलग-अलग ट्रैक एसोसिएशन परिकल्पनाएं बनाएगा, जहां प्रत्येक परिकल्पना को एक कलमन निस्यंदक (रैखिक गॉसियन स्थितियो के लिए) के रूप में माना जा सकता है, जिसमें परिकल्पित वस्तु से जुड़े मापदंडों का एक विशिष्ट सेट होता है। इस प्रकार, विचाराधीन विभिन्न परिकल्पनाओं के लिए टिप्पणियों की संभावना की गणना करना महत्वपूर्ण है, जैसे कि सबसे अधिक संभावना पाई जा सकती है।

== सूचना निस्यंदक ==
{{More citations needed section|date=April 2016}}
सूचना निस्यंदक, या प्रतिलोम सहप्रसरण निस्यंदक में, अनुमानित सहप्रसरण और अनुमानित स्थिति को क्रमशः फ़िशर सूचना आव्यूह और फ़िशर सूचना सदिश द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
:<math>\begin{align}
        \mathbf{Y}_{k \mid k} &= \mathbf{P}_{k \mid k}^{-1} \\
  \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k} &= \mathbf{P}_{k \mid k}^{-1}\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}
\end{align}</math>
इसी तरह अनुमानित सहप्रसरण और अवस्था के समान सूचना प्रपत्र हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
:<math>\begin{align}
        \mathbf{Y}_{k \mid k-1} &= \mathbf{P}_{k \mid k-1}^{-1} \\
  \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k-1} &= \mathbf{P}_{k \mid k-1}^{-1}\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}
\end{align}</math>
जैसा कि माप सहप्रसरण और माप सदिश है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
:<math>\begin{align}
  \mathbf{I}_k &= \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{R}_k^{-1} \mathbf{H}_k \\
  \mathbf{i}_k &= \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{R}_k^{-1} \mathbf{z}_k
\end{align}</math>
सूचना अद्यतन अब एक तुच्छ राशि बन गया है।<ref name=terejanu>{{cite web|title=Discrete Kalman Filter Tutorial |author=Gabriel T. Terejanu |date=2012-08-04 |access-date=2016-04-13 |url=https://cse.sc.edu/~terejanu/files/tutorialKF.pdf}}</ref>
:<math>\begin{align}
        \mathbf{Y}_{k \mid k} &= \mathbf{Y}_{k \mid k-1} + \mathbf{I}_k \\
  \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k} &= \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k-1} + \mathbf{i}_k
\end{align}</math>
सूचना निस्यंदक का मुख्य लब्धि यह है कि एन माप को हर समय कदम पर केवल उनकी सूचना आव्यूह और सदिश को जोड़कर निस्यंदक किया जा सकता है।
:<math>\begin{align}
        \mathbf{Y}_{k \mid k} &= \mathbf{Y}_{k \mid k-1} + \sum_{j=1}^N \mathbf{I}_{k,j} \\
  \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k} &= \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k-1} + \sum_{j=1}^N \mathbf{i}_{k,j}
\end{align}</math>
सूचना निस्यंदक की भविष्यवाणी करने के लिए सूचना आव्यूह और सदिश को उनके अवस्था अंतरिक्ष समकक्षों में वापस परिवर्तित किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से सूचना स्थान भविष्यवाणी का उपयोग किया जा सकता है।<ref name=terejanu />:<math>\begin{align}
                 \mathbf{M}_k &=
    \left[\mathbf{F}_k^{-1}\right]^\textsf{T} \mathbf{Y}_{k-1 \mid k-1} \mathbf{F}_k^{-1} \\
                 \mathbf{C}_k &=
    \mathbf{M}_k \left[\mathbf{M}_k + \mathbf{Q}_k^{-1}\right]^{-1} \\
                   \mathbf{L}_k &=
    \mathbf{I} - \mathbf{C}_k \\
        \mathbf{Y}_{k \mid k-1} &=
    \mathbf{L}_k \mathbf{M}_k \mathbf{L}_k^\textsf{T} +
    \mathbf{C}_k \mathbf{Q}_k^{-1} \mathbf{C}_k^\textsf{T} \\
  \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k-1} &=
    \mathbf{L}_k \left[\mathbf{F}_k^{-1}\right]^\textsf{T} \hat{\mathbf{y}}_{k-1 \mid k-1}
\end{align}</math>


== फिक्स्ड-लैग स्मूथ ==
{{More citations needed section|date=दिसंबर 2010}}
इष्टतम फिक्स्ड-लैग स्मूथ का इष्टतम अनुमान प्रदान करता है <math>\hat{\mathbf{x}}_{k-N \mid  k}</math> किसी निश्चित अंतराल के लिए <math>N</math> से माप का उपयोग करना <math>\mathbf{z}_1</math> प्रति <math>\mathbf{z}_k</math>.<ref>{{cite book|last1=Anderson|first1=Brian D. O.|last2=Moore|first2=John B.|title=Optimal Filtering|date=1979|publisher=Prentice Hall, Inc.|location=Englewood Cliffs, NJ|isbn=978-0-13-638122-8|pages=176–190}}</ref> इसे एक संवर्धित अवस्था के माध्यम से पिछले सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और निस्यंदक का मुख्य समीकरण निम्नलिखित है:
:<math>
 \begin{bmatrix}
  \hat{\mathbf{x}}_{t \mid t} \\
  \hat{\mathbf{x}}_{t-1 \mid t} \\
  \vdots \\
  \hat{\mathbf{x}}_{t-N+1 \mid t} \\
 \end{bmatrix}
 =
 \begin{bmatrix}
  \mathbf{I} \\
  0 \\
  \vdots \\
  0 \\
 \end{bmatrix}
 \hat{\mathbf{x}}_{t \mid t-1}
 +
 \begin{bmatrix}
  0          & \ldots & 0 \\
  \mathbf{I} & 0      & \vdots \\
  \vdots     & \ddots & \vdots \\
  0          & \ldots & \mathbf{I} \\
 \end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
  \hat{\mathbf{x}}_{t-1 \mid t-1} \\
  \hat{\mathbf{x}}_{t-2 \mid t-1} \\
  \vdots \\
  \hat{\mathbf{x}}_{t-N+1 \mid t-1} \\
 \end{bmatrix}
 +
 \begin{bmatrix}
  \mathbf{K}^{(0)} \\
  \mathbf{K}^{(1)} \\
  \vdots \\
  \mathbf{K}^{(N-1)} \\
 \end{bmatrix}
 \mathbf{y}_{t \mid t-1}
</math>
जहांपे:
* <math> \hat{\mathbf{x}}_{t \mid t-1} </math> एक मानक Kalman निस्यंदक के माध्यम से अनुमानित है;
* <math> \mathbf{y}_{t \mid t-1} = \mathbf{z}_t - \mathbf{H}\hat{\mathbf{x}}_{t \mid t-1} </math> मानक कलमन निस्यंदक के अनुमान को ध्यान में रखते हुए उत्पादित नवाचार है;
* बहुत से <math> \hat{\mathbf{x}}_{t-i \mid t} </math> साथ <math> i = 1, \ldots, N-1 </math> नए चर हैं; अर्थात्, वे मानक कलमन निस्यंदक में प्रकट नहीं होते हैं;
* लब्धि की गणना निम्नलिखित योजना के माध्यम से की जाती है:
*:<math>
  \mathbf{K}^{(i+1)} =
  \mathbf{P}^{(i)} \mathbf{H}^\textsf{T}
  \left[
    \mathbf{H} \mathbf{P} \mathbf{H}^\textsf{T} + \mathbf{R}
  \right]^{-1}
</math>
:तथा
::<math>
    \mathbf{P}^{(i)} =
    \mathbf{P}
    \left[
      \left(
        \mathbf{F} - \mathbf{K} \mathbf{H}
      \right)^\textsf{T}
    \right]^i
  </math>
:जहांपे <math> \mathbf{P} </math> तथा <math> \mathbf{K} </math> भविष्यवाणी त्रुटि सहप्रसरण और मानक कलमन निस्यंदक के लब्धि हैं (अर्थात, <math> \mathbf{P}_{t \mid t-1} </math>)

यदि अनुमान त्रुटि सहप्रसरण को परिभाषित किया जाता है ताकि
:<math>
\mathbf{P}_i :=
    E \left[
      \left(
        \mathbf{x}_{t-i} - \hat{\mathbf{x}}_{t-i \mid t}
      \right)^{*}
      \left(
        \mathbf{x}_{t-i} - \hat{\mathbf{x}}_{t-i \mid t}
       \right)
       \mid
       z_1 \ldots z_t
    \right],
</math>
तो हमारे पास अनुमान पर सुधार है <math> \mathbf{x}_{t-i} </math> द्वारा दिया गया है:
:<math>
  \mathbf{P} - \mathbf{P}_i =
  \sum_{j = 0}^i
  \left[
    \mathbf{P}^{(j)} \mathbf{H}^\textsf{T}
    \left(
      \mathbf{H} \mathbf{P} \mathbf{H}^\textsf{T} + \mathbf{R}
    \right)^{-1}
    \mathbf{H} \left( \mathbf{P}^{(i)} \right)^\textsf{T}
  \right]
</math>


== फिक्स्ड-इंटरवल स्मूथर्स ==
इष्टतम निश्चित-अंतराल स्मूथ का इष्टतम अनुमान प्रदान करता है <math>\hat{\mathbf{x}}_{k \mid  n}</math> (<math>k < n</math>) एक निश्चित अंतराल से माप का उपयोग करना <math>\mathbf{z}_1</math> प्रति <math>\mathbf{z}_n</math>. इसे कलमन स्मूथिंग भी कहा जाता है। सामान्य उपयोग में कई चौरसाई एल्गोरिदम हैं।

=== राउच-तुंग-स्ट्रीबेल ===
रॉच-तुंग-स्ट्रीबेल (आरटीएस) स्मूथ निश्चित अंतराल चौरसाई के लिए एक कुशल दो-पास कलन विधिहै।<ref>{{cite journal | last1 = Rauch | first1 =  H.E. | last2 = Tung | first2 = F. | last3 = Striebel | first3 = C. T. | title = Maximum likelihood estimates of linear dynamic systems | journal = AIAA Journal| volume = 3 | issue = 8 | pages = 1445–1450 | date=August 1965 | doi = 10.2514/3.3166 | bibcode =    1965AIAAJ...3.1445.}}</ref>
फॉरवर्ड पास नियमित कलमन निस्यंदक कलन विधि के समान है। ये निस्यंदक किए गए ए-प्राथमिक और ए-पोस्टीरियर स्टेट अनुमान <math>\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}</math>, <math>\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}</math> और सहप्रसरण <math>\mathbf{P}_{k \mid k-1}</math>, <math>\mathbf{P}_{k \mid k}</math> बैकवर्ड पास ([[ रेट्रोडिक्शन ]] के लिए) में उपयोग के लिए सहेजे जाते हैं।

बैकवर्ड पास में, हम सुचारू अवस्था अनुमानों की गणना करते हैं <math>\hat{\mathbf{x}}_{k \mid n}</math> और सहप्रसरण <math>\mathbf{P}_{k \mid n}</math>. हम अंतिम समय चरण से शुरू करते हैं और निम्नलिखित पुनरावर्ती समीकरणों का उपयोग करके समय में पीछे की ओर बढ़ते हैं:
:<math>\begin{align}
  \hat{\mathbf{x}}_{k \mid n} &= \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k} + \mathbf{C}_k \left(\hat{\mathbf{x}}_{k+1 \mid n} - \hat{\mathbf{x}}_{k+1 \mid k}\right) \\
        \mathbf{P}_{k \mid n} &= \mathbf{P}_{k \mid k} + \mathbf{C}_k \left(\mathbf{P}_{k+1 \mid n} - \mathbf{P}_{k+1 \mid k}\right) \mathbf{C}_k^\textsf{T}
\end{align}</math>
जहांपे
:<math>\mathbf{C}_k = \mathbf{P}_{k \mid k} \mathbf{F}_{k+1}^\textsf{T} \mathbf{P}_{k+1 \mid k}^{-1}.</math>

<math> \mathbf{x}_{k \mid k}</math> टाइमस्टेप का ए-पोस्टीरियरी स्टेट अनुमान है <math>k</math> तथा <math>\mathbf{x}_{k+1 \mid k}</math> टाइमस्टेप का एक प्राथमिकता वाला अवस्था अनुमान है <math>k + 1</math>. यही संकेतन सहप्रसरण पर अनुप्रयुक्त होता है।

=== संशोधित ब्रायसन-फ्रेज़ियर स्मूथ ===
आरटीएस कलन विधि का एक विकल्प संशोधित ब्रायसन-फ्रेज़ियर (एमबीएफ) निश्चित अंतराल है जो बीरमैन द्वारा विकसित किया गया है।<ref name=bierman>{{cite journal | last = Bierman | first =  G.J. | title = Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation | year = 1977 | bibcode = 1977fmds.book.....B | journal = Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation }}</ref> यह एक बैकवर्ड पास का भी उपयोग करता है जो कलमन निस्यंदक फ़ॉरवर्ड पास से सहेजे गए डेटा को संसाधित करता है। पिछड़े पास के समीकरणों में पुनरावर्ती सम्मिलित है
डेटा की गणना जो प्रत्येक अवलोकन समय पर सुचारू अवस्था और सहप्रसरण की गणना के लिए उपयोग की जाती है।

पुनरावर्ती समीकरण हैं
:<math>\begin{align}
    \tilde{\Lambda}_k &= \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1} \mathbf{H}_k + \hat{\mathbf{C}}_k^\textsf{T} \hat{\Lambda}_k \hat{\mathbf{C}}_k \\
  \hat{\Lambda}_{k-1} &= \mathbf{F}_k^\textsf{T}\tilde{\Lambda}_k\mathbf{F}_k \\
      \hat{\Lambda}_n &= 0 \\
    \tilde{\lambda}_k &=  -\mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1} \mathbf{y}_k + \hat{\mathbf{C}}_k^\textsf{T} \hat{\lambda}_k \\
  \hat{\lambda}_{k-1} &= \mathbf{F}_k^\textsf{T}\tilde{\lambda}_k \\
      \hat{\lambda}_n &= 0
\end{align}</math>
जहांपे <math>\mathbf{S}_k</math> अवशिष्ट सहप्रसरण है और <math>\hat{\mathbf{C}}_k = \mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k</math>. चिकनी अवस्था और सहप्रसरण तब समीकरणों में प्रतिस्थापन द्वारा पाया जा सकता है
:<math>\begin{align}
  \mathbf{P}_{k \mid n} &= \mathbf{P}_{k \mid k} - \mathbf{P}_{k \mid k}\hat{\Lambda}_k\mathbf{P}_{k \mid k} \\
  \mathbf{x}_{k \mid n} &= \mathbf{x}_{k \mid k} - \mathbf{P}_{k \mid k}\hat{\lambda}_k
\end{align}</math>
या
:<math>\begin{align}
  \mathbf{P}_{k \mid n} &= \mathbf{P}_{k \mid k-1} - \mathbf{P}_{k \mid k-1}\tilde{\Lambda}_k\mathbf{P}_{k \mid k-1} \\
  \mathbf{x}_{k \mid n} &= \mathbf{x}_{k \mid k-1} - \mathbf{P}_{k \mid k-1}\tilde{\lambda}_k.
\end{align}</math>
MBF का एक महत्वपूर्ण लब्धि यह है कि इसमें सहप्रसरण आव्यूह का व्युत्क्रम खोजने की आवश्यकता नहीं होती है।

=== न्यूनतम-विचरण चिकना ===
न्यूनतम-विचरण चिकना सर्वोत्तम संभव त्रुटि प्रदर्शन प्राप्त कर सकता है, बशर्ते कि प्रतिरूप रैखिक हों, उनके पैरामीटर और रव आंकड़े ठीक से ज्ञात हों।<ref>{{cite journal | last = Einicke | first =  G.A. | title = Optimal and Robust Noncausal Filter Formulations | journal =  IEEE Transactions on Signal Processing| volume = 54 | issue = 3 | pages = 1069–1077 | date=March 2006 | bibcode = 2006ITSP...54.1069E | doi = 10.1109/TSP.2005.863042 | s2cid = 15376718 }}</ref> यह स्मूथ इष्टतम गैर-कारण [[ विनीज़ फ़िल्टर | विनीज़ निस्यंदक]] का एक समय-भिन्न अवस्था-स्थान सामान्यीकरण है।

आसान गणना दो पासों में की जाती है। आगे की गणना में एक कदम आगे का भविष्यवक्ता सम्मिलित होता है और इसके द्वारा दिया जाता है
:<math>\begin{align}
  \hat{\mathbf{x}}_{k+1 \mid k} &= (\mathbf{F}_k - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k)\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} + \mathbf{K}_k\mathbf{z}_k \\
                       \alpha_k &= -\mathbf{S}_k^{-\frac{1}{2}}\mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} + \mathbf{S}_k^{-\frac{1}{2}}\mathbf{z}_k
\end{align}</math>
उपरोक्त प्रणाली को व्युत्क्रम वीनर-हॉप कारक के रूप में जाना जाता है। बैकवर्ड रिकर्सन उपरोक्त फॉरवर्ड प्रणाली का जोड़ है। पिछड़ा पास का परिणाम <math>\beta_k</math> समय-उलट पर आगे के समीकरणों को संचालित करके गणना की जा सकती है <math>\alpha_k</math> और परिणाम को उलटने का समय। आउटपुट अनुमान के स्थितियो में, सुचारू अनुमान द्वारा दिया जाता है
:<math>\hat{\mathbf{y}}_{k \mid N} = \mathbf{z}_k - \mathbf{R}_k\beta_k</math>
इस न्यूनतम-विचरण चिकनी पैदावार का कारण भाग लेना
:<math>\hat{\mathbf{y}}_{k \mid k} = \mathbf{z}_k - \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^{-\frac{1}{2}} \alpha_k</math>
जो न्यूनतम-विचरण कलमन निस्यंदक के समान है। उपरोक्त समाधान आउटपुट अनुमान त्रुटि के विचरण को कम करते हैं। ध्यान दें कि रॉच-तुंग-स्ट्रीबेल चिकनी व्युत्पत्ति मानती है कि अंतर्निहित वितरण गॉसियन हैं, जबकि न्यूनतम-विचरण समाधान नहीं हैं। अवस्था के अनुमान और इनपुट अनुमान के लिए इष्टतम स्मूथर्स का निर्माण इसी तरह किया जा सकता है।

उपरोक्त स्मूथ का निरंतर-समय संस्करण में वर्णित है।<ref>{{cite journal | last = Einicke | first =  G.A. | title = Asymptotic Optimality of the Minimum-Variance Fixed-Interval Smoother | journal =  IEEE Transactions on Signal Processing| volume = 55 | issue = 4 | pages = 1543–1547 | date=April 2007 | bibcode = 2007ITSP...55.1543E | doi = 10.1109/TSP.2006.889402 | s2cid = 16218530 }}</ref><ref>{{cite journal | last1 = Einicke | first1 =  G.A. | last2 = Ralston | first2 = J.C. | last3 = Hargrave | first3 = C.O. | last4 = Reid | first4 = D.C. | last5 = Hainsworth | first5 = D.W. | title = Longwall Mining Automation. An Application of Minimum-Variance Smoothing | journal = IEEE Control Systems Magazine | volume = 28 | issue = 6 |pages=28–37 |doi=10.1109/MCS.2008.929281 | date=December 2008 | s2cid = 36072082 }}</ref>
उम्मीद-अधिकतमकरण एल्गोरिदम को न्यूनतम-विचरण निस्यंदक और स्मूथर्स के भीतर अज्ञात अवस्था-अंतरिक्ष मापदंडों के अनुमानित अधिकतम संभावना अनुमानों की गणना करने के लिए नियोजित किया जा सकता है। प्रायः अनिश्चितता समस्या धारणाओं के भीतर रहती है। रिकाटी समीकरण में एक सकारात्मक निश्चित शब्द जोड़कर अनिश्चितताओं को समायोजित करने वाला एक चिकना प्रारुप किया जा सकता है।<ref>{{cite journal | last = Einicke | first =  G.A. | title = Asymptotic Optimality of the Minimum-Variance Fixed-Interval Smoother | journal = IEEE Transactions on Automatic Control | volume = 54 | issue = 12 | pages = 2904–2908 | date=December 2009 | bibcode = 2007ITSP...55.1543E | doi = 10.1109/TSP.2006.889402 | s2cid = 16218530 }}</ref>
ऐसे मामलों में जहां प्रतिरूप नॉनलाइनियर हैं, स्टेपवाइज रेखीयकरण न्यूनतम-विचरण निस्यंदक और स्मूथ रिकर्सन (विस्तारित कलमन निस्यंदन) के भीतर हो सकता है।

== आवृत्ति-भारित कलमन निस्यंदक ==
1930 के दशक में फ्लेचर और मुनसन द्वारा विभिन्न आवृत्तियों पर रवयों की धारणा पर अग्रणी शोध किया गया था। उनके कार्य ने औद्योगिक रव और श्रवण हानि की जांच के भीतर मापे गए रव स्तरों को भारित करने का एक मानक प्रणाली बनाया। फ़्रीक्वेंसी वेटिंग का उपयोग तब से निस्यंदक और कंट्रोलर डिज़ाइन के भीतर किया गया है ताकि रुचि के बैंड के भीतर प्रदर्शन का प्रबंधन किया जा सके।

सामान्यतः, एक फ़्रीक्वेंसी शेपिंग प्रकार्य का उपयोग एक निर्दिष्ट फ़्रीक्वेंसी बैंड में त्रुटि वर्णक्रमीय घनत्व की औसत शक्ति को भारित करने के लिए किया जाता है। होने देना <math>\mathbf{y} - \hat{\mathbf{y}}</math> एक पारंपरिक कलमन निस्यंदक द्वारा प्रदर्शित आउटपुट अनुमान त्रुटि को निरूपित करें। इसके अतिरिक्त, चलो <math>\mathbf{W}</math> एक कारण आवृत्ति भार हस्तांतरण समारोह को निरूपित करें। इष्टतम समाधान जो के विचरण को कम करता है <math>\mathbf{W}\left(\mathbf{y} - \hat{\mathbf{y}}\right)</math> केवल निर्माण करने से उत्पन्न होता है <math>\mathbf{W}^{-1} \hat{\mathbf{y}}</math>.

का प्रारुप <math>\mathbf{W}</math> खुला प्रश्न बना हुआ है। आगे बढ़ने का एक प्रणाली एक ऐसी प्रणाली की पहचान करना है जो अनुमान त्रुटि और सेटिंग उत्पन्न करती है <math>\mathbf{W}</math> उस प्रणाली के व्युत्क्रम के बराबर।<ref>{{cite journal | last = Einicke | first =  G.A. | title = Iterative Frequency-Weighted Filtering and Smoothing Procedures | journal = IEEE Signal Processing Letters | volume = 21 | issue = 12 | pages = 1467–1470 | date=December 2014 | doi = 10.1109/LSP.2014.2341641 |bibcode = 2014ISPL...21.1467E | s2cid = 13569109 }}</ref> बढ़े हुए निस्यंदक क्रम की कीमत पर माध्य-वर्ग त्रुटि सुधार प्राप्त करने के लिए इस प्रक्रिया को पुनरावृत्त किया जा सकता है। स्मूथर्स पर भी यही प्रविधि अनुप्रयुक्त की जा सकती है।

== [[ अरेखीय फिल्टर | अरेखीय निस्यंदक]] ==
मूल कलमन निस्यंदक एक रेखीय धारणा तक सीमित है। हालाँकि, अधिक जटिल प्रणालियाँ नॉनलाइनियर निस्यंदक हो सकती हैं। गैर-रैखिकता को या तो प्रक्रिया प्रतिरूप या अवलोकन प्रतिरूप के साथ या दोनों के साथ जोड़ा जा सकता है।

गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए कलमन निस्यंदक के सबसे सामान्य प्रकार विस्तारित कलमन निस्यंदक और अनसेंटेड कलमन निस्यंदक हैं। किस निस्यंदक का उपयोग करने की उपयुक्तता प्रक्रिया और अवलोकन प्रतिरूप के गैर-रैखिकता सूचकांकों पर निर्भर करती है।<ref>{{Cite journal|last1=Biswas|first1=Sanat K.|last2=Qiao|first2=Li|last3=Dempster|first3=Andrew G.|date=2020-12-01|title=A quantified approach of predicting suitability of using the Unscented Kalman Filter in a non-linear application|url=http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0005109820304398|journal=Automatica|language=en|volume=122|pages=109241|doi=10.1016/j.automatica.2020.109241|s2cid=225028760|issn=0005-1098}}</ref>


=== विस्तारित कलमन निस्यंदक ===
{{Main|Extended Kalman filter}}
विस्तारित कलमन निस्यंदक (ईकेएफ) में, अवस्था संक्रमण और अवलोकन प्रतिरूप को अवस्था के रैखिक कार्य नहीं होने चाहिए, बल्कि इसके बजाय गैर-रेखीय कार्य हो सकते हैं। ये फंक्शन [[ विभेदक कार्य ]] टाइप के होते हैं।
:<math>\begin{align}
  \mathbf{x}_k &= f(\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{u}_k) + \mathbf{w}_k \\
  \mathbf{z}_k &= h(\mathbf{x}_k) + \mathbf{v}_k
\end{align}</math>
प्रकार्य f का उपयोग पिछले अनुमान से अनुमानित स्थिति की गणना करने के लिए किया जा सकता है और इसी तरह प्रकार्य h का उपयोग अनुमानित स्थिति से अनुमानित माप की गणना करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, f और h सीधे सहप्रसरण पर अनुप्रयुक्त नहीं किए जा सकते। इसके बजाय आंशिक डेरिवेटिव ([[ जैकोबियन मैट्रिक्स | जैकोबियन आव्यूह]] ) के एक आव्यूह की गणना की जाती है।

प्रत्येक समय पर जैकोबियन का मूल्यांकन वर्तमान पूर्वानुमानित अवस्थाओं के साथ किया जाता है। इन आव्यूह का उपयोग कलमन निस्यंदक समीकरणों में किया जा सकता है। यह प्रक्रिया अनिवार्य रूप से वर्तमान अनुमान के आसपास नॉनलाइनियर प्रकार्य को रैखिक करती है।

=== अनसेंटेड कलमन निस्यंदक ===
जब अवस्था संक्रमण और अवलोकन प्रतिरूप-अर्थात, भविष्यवाणी और अद्यतन कार्य करता है <math>f</math> तथा <math>h</math>-अत्यधिक अरेखीय, विस्तारित कलमन निस्यंदक विशेष रूप से खराब प्रदर्शन दे सकता है।<ref name="JU97">{{cite book
 | author1 = Julier, Simon J.
 | author2 = Uhlmann, Jeffrey K.
 | year = 1997
 | title = Signal Processing, Sensor Fusion, and Target Recognition VI
 | volume = 3
 | pages = 182–193
 | chapter-url = http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/Julier1997_SPIE_KF.pdf
 | access-date = 2008-05-03
 | bibcode = 1997SPIE.3068..182J
 | doi=10.1117/12.280797
 | series=Proceedings of SPIE
 | citeseerx=10.1.1.5.2891
| chapter = New extension of the Kalman filter to nonlinear systems
 | s2cid = 7937456
 | editor1-last = Kadar
 | editor1-first = Ivan
 }}</ref> इसका कारण यह है कि सहप्रसरण अंतर्निहित अरेखीय प्रतिरूप के रेखीयकरण के माध्यम से प्रचारित किया जाता है। अनसेंटेड कलमन निस्यंदक (यूकेएफ)<ref name="JU97" />माध्य के आसपास प्रतिरूप बिंदुओं (जिन्हें सिग्मा पॉइंट कहा जाता है) का एक न्यूनतम सेट चुनने के लिए एक नियतात्मक प्रतिरूपकरण प्रविधि का उपयोग करता है जिसे [[ सुगंधित परिवर्तन ]]|अनसेंटेड ट्रांसफ़ॉर्मेशन (UT) के रूप में जाना जाता है। सिग्मा बिंदुओं को फिर गैर-रेखीय कार्यों के माध्यम से प्रचारित किया जाता है, जिससे एक नया माध्य और सहप्रसरण अनुमान बनता है। परिणामी निस्यंदक इस बात पर निर्भर करता है कि UT के रूपांतरित आँकड़ों की गणना कैसे की जाती है और सिग्मा बिंदुओं के किस सेट का उपयोग किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नए यूकेएफ का निर्माण एक सुसंगत विधि से करना सदैव संभव है।<ref>{{Cite journal|last1=Menegaz|first1=H. M. T.|last2=Ishihara|first2=J. Y.|last3=Borges|first3=G. A.|last4=Vargas|first4=A. N.|date=October 2015|title=A Systematization of the Unscented Kalman Filter Theory|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=60|issue=10|pages=2583–2598|doi=10.1109/tac.2015.2404511|issn=0018-9286|hdl=20.500.11824/251|s2cid=12606055|hdl-access=free}}</ref> कुछ प्रणालियों के लिए, परिणामी यूकेएफ सही माध्य और सहप्रसरण का अधिक सटीक अनुमान लगाता है।<ref name="GH2012">{{cite journal
 | author  = Gustafsson, Fredrik
 | author2 = Hendeby, Gustaf
 | year    = 2012
 | title   = Some Relations Between Extended and Unscented Kalman Filters
 | journal = IEEE Transactions on Signal Processing
 | volume  = 60
 | issue = 2
 | pages   = 545–555
 | doi     = 10.1109/tsp.2011.2172431
 | bibcode= 2012ITSP...60..545G
 | s2cid = 17876531
 | url = http://urn.kb.se/resolve?urn=urn:nbn:se:liu:diva-75272
 }}</ref> इसे [[ मोंटे कार्लो नमूनाकरण | मोंटे कार्लो प्रतिरूपकरण]] या पश्च आँकड़ों के [[ टेलर श्रृंखला ]] विस्तार के साथ सत्यापित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, यह प्रविधि स्पष्ट रूप से जैकोबियन की गणना करने की आवश्यकता को निष्काषित कर देती है, जो जटिल कार्यों के लिए अपने आप में एक कठिन कार्य हो सकता है (अर्थात्, जटिल डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है यदि विश्लेषणात्मक रूप से किया जाता है या संख्यात्मक रूप से किया जाता है तो कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा होता है), यदि असंभव नहीं है (यदि वे कार्य हैं भिन्न नहीं)।

==== सिग्मा अंक ====
एक यादृच्छिक सदिश के लिए <math>\mathbf{x}=(x_1, \dots, x_L)</math>, सिग्मा बिंदु सदिश का कोई भी सेट है
:<math> \{\mathbf{s}_0,\dots, \mathbf{s}_N \}=\bigl\{\begin{pmatrix} s_{0,1}& s_{0,2}&\ldots& s_{0,L} \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} s_{N,1}& s_{N,2}&\ldots& s_{N,L} \end{pmatrix}\bigr\}</math>
के साथ जिम्मेदार

* पहले क्रम के वजन <math>W_0^a, \dots, W_N^a</math> वह पूरा
# <math> \sum_{j=0}^N W_j^a=1 </math> # सभी के लिए <math>i=1, \dots, L</math>: <math> E[x_i]=\sum_{j=0}^N W_j^a s_{j,i} </math>
* दूसरे क्रम के वजन <math>W_0^c, \dots, W_N^c</math> वह पूरा
# <math> \sum_{j=0}^N W_j^c=1 </math> #सभी जोड़ियों के लिए <math> (i,l) \in \{1,\dots, L\}^2: E[x_ix_l]=\sum_{j=0}^N W_j^c s_{j,i}s_{j,l} </math>.

के लिए सिग्मा अंक और भार का एक सरल विकल्प <math>\mathbf{x}_{k-1\mid k-1}</math> यूकेएफ कलन विधि में है
:<math>\begin{align}
\mathbf{s}_0&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1}\\
-1&<W_0^a=W_0^c<1\\
\mathbf{s}_j&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1} + \sqrt{\frac{L}{1-W_0}} \mathbf{A}_j, \quad j=1, \dots, L\\
\mathbf{s}_{L+j}&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1} - \sqrt{\frac{L}{1-W_0}} \mathbf{A}_j, \quad j=1, \dots, L\\
W_j^a&=W_j^c=\frac{1-W_0}{2L}, \quad j=1, \dots, 2L
\end{align}
</math>
जहांपे <math>\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1}</math> का औसत अनुमान है <math>\mathbf{x}_{k-1\mid k-1}</math>. सदिश <math>\mathbf{A}_j</math> का jth कॉलम है <math>\mathbf{A}</math> जहांपे <math>\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}=\mathbf{AA}^\textsf{T}</math>. सामान्यतः, <math>\mathbf{A}</math> के [[ चोल्स्की अपघटन ]] के माध्यम से प्राप्त किया जाता है <math>\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}</math>. कुछ सावधानी से निस्यंदक समीकरण समीकरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है कि <math>\mathbf{A}</math> की मध्यवर्ती गणना के बिना सीधे मूल्यांकन किया जाता है <math>\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}</math>. इसे स्क्वायर-रूट अनसेंटेड कलमन निस्यंदक के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite journal |last1=Van der Merwe |first1=R. |last2=Wan |first2=E.A. |title=The square-root unscented Kalman filter for state and parameter-estimation |journal=2001 IEEE International Conference on Acoustics, Speech, and Signal Processing. Proceedings (Cat. No.01CH37221) |date=2001 |volume=6 |pages=3461–3464 |doi=10.1109/ICASSP.2001.940586|isbn=0-7803-7041-4 |s2cid=7290857 }}</ref>
माध्य मान का भार, <math>W_0</math>, मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

एक अन्य लोकप्रिय मानकीकरण (जो उपरोक्त को सामान्य करता है) है
:<math>\begin{align}
\mathbf{s}_0&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1}\\
W_0^a&= \frac{\alpha^2\kappa-L}{\alpha^2\kappa}\\
W_0^c&= W_0^a + 1-\alpha^2+\beta \\
\mathbf{s}_j&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1} + \alpha\sqrt{\kappa} \mathbf{A}_j, \quad j=1, \dots, L\\
\mathbf{s}_{L+j}&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1} - \alpha\sqrt{\kappa} \mathbf{A}_j, \quad j=1, \dots, L\\
W_j^a&=W_j^c=\frac{1}{2\alpha^2\kappa}, \quad j=1, \dots, 2L.
\end{align}
</math>

<math>\alpha</math> तथा <math>\kappa</math> सिग्मा बिंदुओं के प्रसार को नियंत्रित करें।  <math>\beta</math> के वितरण से संबंधित है <math>x</math>.

उपयुक्त मूल्य हाथ में समस्या पर निर्भर करते हैं, परन्तु एक विशिष्ट सिफारिश है <math>\alpha = 10^{-3}</math>, <math>\kappa = 1</math>, तथा <math>\beta = 2</math>. हालांकि, का एक बड़ा मूल्य <math>\alpha</math> (जैसे,  <math>\alpha = 1</math>) वितरण के प्रसार और संभावित गैर-रैखिकताओं को उन्नत ढंग से पकड़ने के लिए फायदेमंद हो सकता है।<ref>{{Cite journal|doi=10.5281/zenodo.44386|url=https://github.com/sbitzer/UKF-exposed |title=The UKF exposed: How it works, when it works and when it's better to sample |year=2016 |last1=Bitzer |first1=S. }}</ref> यदि . का सही वितरण <math>x</math> गॉसियन है, <math>\beta = 2</math> इष्टतम है।<ref>{{Cite book|doi=10.1109/ASSPCC.2000.882463|chapter-url=http://www.lara.unb.br/~gaborges/disciplinas/efe/papers/wan2000.pdf |chapter=The unscented Kalman filter for nonlinear estimation |title=Proceedings of the IEEE 2000 Adaptive Systems for Signal Processing, Communications, and Control Symposium (Cat. No.00EX373) |pages=153 |year=2000 |last1=Wan |first1=E.A. |last2=Van Der Merwe |first2=R. |isbn=978-0-7803-5800-3 |citeseerx=10.1.1.361.9373 |s2cid=13992571 }}</ref>


==== भविष्यवाणी ====
ईकेएफ के साथ, यूकेएफ भविष्यवाणी का उपयोग यूकेएफ अपडेट से स्वतंत्र रूप से किया जा सकता है, एक रैखिक (या वास्तव में ईकेएफ) अपडेट के संयोजन में, या इसके विपरीत।

माध्य और सहप्रसरण के अनुमानों को देखते हुए, <math> \hat\mathbf{x}_{k-1\mid k-1}</math> तथा <math>\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}</math>, एक प्राप्त करता है <math> N = 2L+1 </math> सिग्मा अंक जैसा कि ऊपर अनुभाग में वर्णित है। सिग्मा बिंदुओं को संक्रमण फलन f के माध्यम से प्रचारित किया जाता है।
:<math>\mathbf{x}_{j} = f\left(\mathbf{s}_{j}\right) \quad j = 0, \dots, 2L </math>.

प्रचारित सिग्मा बिंदुओं को अनुमानित माध्य और सहप्रसरण उत्पन्न करने के लिए तौला जाता है।
:<math>\begin{align}
   \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^a \mathbf{x}_j \\
         \mathbf{P}_{k \mid k-1} &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^c \left(\mathbf{x}_j - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}\right)\left(\mathbf{x}_j - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}\right)^\textsf{T}+\mathbf{Q}_k
\end{align}</math>
जहांपे <math>W_j^a</math> मूल सिग्मा बिंदुओं के प्रथम-क्रम भार हैं, और <math>W_j^c</math> दूसरे क्रम के भार हैं। साँचा <math> \mathbf{Q}_k </math> संक्रमण रव का सहप्रसरण है, <math>\mathbf{w}_k</math>.

==== अपडेट ====
भविष्यवाणी अनुमानों को देखते हुए <math>\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}</math> तथा <math>\mathbf{P}_{k \mid k-1}</math>, का एक नया सेट <math>N = 2L+1</math> सिग्मा अंक <math>\mathbf{s}_0, \dots, \mathbf{s}_{2L}</math> इसी प्रथम-क्रम भार के साथ <math> W_0^a,\dots W_{2L}^a</math> और दूसरे क्रम के वजन <math>W_0^c,\dots, W_{2L}^c</math> परिकलित।<ref>{{cite journal |last1=Sarkka |first1=Simo |title=On Unscented Kalman Filtering for State Estimation of Continuous-Time Nonlinear Systems |journal=IEEE Transactions on Automatic Control |date=September 2007 |volume=52 |issue=9 |pages=1631–1641 |doi=10.1109/TAC.2007.904453}}</ref> ये सिग्मा बिंदु मापन प्रकार्य के माध्यम से रूपांतरित होते हैं <math>h</math>.
:<math> \mathbf{z}_j=h(\mathbf{s}_j), \,\, j=0,1, \dots, 2L </math>.

फिर रूपांतरित बिंदुओं के अनुभवजन्य माध्य और सहप्रसरण की गणना की जाती है।
:<math>\begin{align}
  \hat{\mathbf{z}} &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^a \mathbf{z}_j \\[6pt]
  \hat{\mathbf{S}}_k &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^c (\mathbf{z}_j-\hat{\mathbf{z}})(\mathbf{z}_j-\hat{\mathbf{z}})^\textsf{T} + \mathbf{R}_k
\end{align}</math>
जहांपे <math>\mathbf{R}_k</math> अवलोकन रव का सहप्रसरण आव्यूह है, <math>\mathbf{v}_k</math>. इसके अतिरिक्त, क्रॉस कॉन्वर्सिस आव्यूह की भी आवश्यकता है
:<math>\begin{align}
  \mathbf{C_{xz}} &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^c (\mathbf{x}_j-\hat\mathbf{x}_{k|k-1})(\mathbf{z}_j-\hat\mathbf{z})^\textsf{T}.
\end{align}</math>
कलमन लब्धि है
: <math>\begin{align}
  \mathbf{K}_k=\mathbf{C_{xz}}\hat{\mathbf{S}}_k^{-1}.
\end{align}</math>
अद्यतन माध्य और सहप्रसरण अनुमान हैं
:<math>
\begin{align}
\hat\mathbf{x}_{k\mid k}&=\hat\mathbf{x}_{k|k-1}+\mathbf{K}_k(\mathbf{z}_k-\hat\mathbf{z})\\
\mathbf{P}_{k\mid k}&=\mathbf{P}_{k\mid k-1}-\mathbf{K}_k\hat{\mathbf{S}}_k\mathbf{K}_k^\textsf{T}.
\end{align}
</math>


=== भेदभावपूर्ण कलमन निस्यंदक ===
जब अवलोकन प्रतिरूप <math>p(\mathbf{z}_k\mid\mathbf{x}_k)</math> अत्यधिक गैर-रेखीय और/या गैर-गॉसियन है, यह बेयस के नियम और अनुमान को अनुप्रयुक्त करने के लिए फायदेमंद साबित हो सकता है
:<math>
p(\mathbf{z}_k\mid\mathbf{x}_k) \approx 
\frac{p(\mathbf{x}_k\mid\mathbf{z}_k)}{p(\mathbf{x}_k)}
</math>
जहांपे <math>p(\mathbf{x}_k\mid\mathbf{z}_k) \approx \mathcal{N}(g(\mathbf{z}_k),Q(\mathbf{z}_k))</math> अरेखीय कार्यों के लिए <math>g,Q</math>. यह दिए गए अवलोकनों के लिए गुप्त अवस्थाों के लिए एक [[ भेदभावपूर्ण मॉडल | भेदभावपूर्ण प्रतिरूप]] के साथ मानक कलमन निस्यंदक के जनरेटिव विनिर्देश को प्रतिस्थापित करता है।

एक [[ स्थिर प्रक्रिया ]] के तहत अवस्था प्रतिरूप
:<math>
\begin{align}
p(\mathbf{x}_1) &= \mathcal{N}(0, \mathbf{T}), \\
p(\mathbf{x}_k\mid\mathbf{x}_{k-1}) &= 
\mathcal{N}(\mathbf{F}\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{C}),
\end{align}
</math>
जहांपे <math>\mathbf{T}= \mathbf{F}\mathbf{T}\mathbf{F}^\intercal + \mathbf{C}</math>, यदि
:<math>
p(\mathbf{x}_k\mid\mathbf{z}_{1:k}) \approx \mathcal{N}(\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}, \mathbf{P}_{k|k-1}),
</math>
फिर एक नया अवलोकन दिया <math>\mathbf{z}_k</math>, यह इस प्रकार है कि<ref name="Bur20">{{cite journal |last1=Burkhart |first1=Michael C. |last2=Brandman |first2=David M. |last3=Franco |first3=Brian |last4=Hochberg |first4=Leigh |last5=Harrison |first5=Matthew T. |title=The Discriminative Kalman Filter for Bayesian Filtering with Nonlinear and Nongaussian Observation Models |journal=Neural Computation |date=2020 |volume=32 |issue=5 |pages=969–1017 |doi=10.1162/neco_a_01275 |pmid=32187000 |pmc=8259355 |s2cid=212748230 |access-date=26 March 2021 | url=https://direct.mit.edu/neco/article/32/5/969/95592/The-Discriminative-Kalman-Filter-for-Bayesian}}</ref>
:<math>
p(\mathbf{x}_{k+1}\mid\mathbf{z}_{1:k+1}) \approx \mathcal{N}(\hat{ \mathbf{x}}_{k+1|k}, \mathbf{P}_{k+1|k})
</math>
जहांपे
:<math>
\begin{align}
\mathbf{M}_{k+1} &= \mathbf{F}\mathbf{P}_{k|k-1}\mathbf{F}^\intercal + \mathbf{C}, \\
\mathbf{P}_{k+1|k} &= (\mathbf{M}_{k+1}^{-1} + Q(\mathbf{z}_k)^{-1} - \mathbf{T}^{-1})^{-1}, \\
\hat{\mathbf{x}}_{k+1|k} &= \mathbf{P}_{k+1|k} (\mathbf{M}_{k+1}^{-1}\mathbf{F}\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{P}_{k+1|k}^{-1}g(\mathbf{z}_k) ).
\end{align}
</math>
ध्यान दें कि इस सन्निकटन की आवश्यकता है <math> Q(\mathbf{z}_k)^{-1} - \mathbf{T}^{-1} </math> सकारात्मक-निश्चित होना; इस स्थितियो में कि ऐसा नहीं है,
:<math>
\mathbf{P}_{k+1|k} = (\mathbf{M}_{k+1}^{-1} + Q(\mathbf{z}_k)^{-1})^{-1}
</math>
के स्थान पर प्रयोग किया जाता है। ऐसा उपागम विशेष रूप से तब उपयोगी सिद्ध होता है जब प्रेक्षणों की विमाएँ गुप्त अवस्थाओं की तुलना में बहुत अधिक होती हैं<ref name="Bur19">{{cite thesis |last1=Burkhart |first1=Michael C. |title=A Discriminative Approach to Bayesian Filtering with Applications to Human Neural Decoding |date=2019 |publisher=Brown University |location=Providence, RI, USA |doi=10.26300/nhfp-xv22 |url=https://doi.org/10.26300/nhfp-xv22 |access-date=26 March 2021}}</ref> और उन बिल्ड निस्यंदक का उपयोग किया जा सकता है जो अवलोकन प्रतिरूप में गैर-स्थिरता के लिए विशेष रूप से मजबूत हैं।<ref name="Bra18">{{cite journal |last1=Brandman |first1=David M. |last2=Burkhart |first2=Michael C. |last3=Kelemen |first3=Jessica |last4=Franco |first4=Brian |last5=Harrison |first5=Matthew T. |last6=Hochberg |first6=Leigh R. |title=Robust Closed-Loop Control of a Cursor in a Person with Tetraplegia using Gaussian Process Regression |journal=Neural Computation |date=2018 |volume=30 |issue=11 |pages=2986–3008 |doi=10.1162/neco_a_01129 |pmid=30216140 |pmc=6685768 |url=https://direct.mit.edu/neco/article/30/11/2986/8418/Robust-Closed-Loop-Control-of-a-Cursor-in-a-Person |access-date=26 March 2021}}</ref>


== अनुकूली कलमन निस्यंदक ==
अनुकूली कलमन निस्यंदक प्रक्रिया की गतिशीलता के अनुकूल होने की अनुमति देते हैं जो प्रक्रिया प्रतिरूप में प्रतिरूपिंग नहीं करते हैं <math>\mathbf{F}(t)</math>, जो उदाहरण के लिए एक पैंतरेबाज़ी लक्ष्य के संदर्भ में होता है जब ट्रैकिंग के लिए एक स्थिर वेग (कम क्रम) कलमन निस्यंदक नियोजित होता है।<ref>{{Cite book|last1=Bar-Shalom|first1=Yaakov|url=http://dx.doi.org/10.1002/0471221279|title=Estimation with Applications to Tracking and Navigation|last2=Li|first2=X.-Rong|last3=Kirubarajan|first3=Thiagalingam|date=2001|publisher=John Wiley & Sons, Inc.|isbn=0-471-41655-X|location=New York, USA|pages=421 ff|doi=10.1002/0471221279}}</ref>


== कलमन-बुकी निस्यंदक ==
कलमन-बुकी निस्यंदन (रिचर्ड स्नोडेन बुकी के नाम पर) Kalman निस्यंदन का एक निरंतर समय संस्करण है।<ref>Bucy, R.S. and Joseph, P.D., ''Filtering for Stochastic Processes with Applications to Guidance,'' John Wiley & Sons, 1968; 2nd Edition, AMS Chelsea Publ., 2005. {{isbn|0-8218-3782-6}}</ref><ref>Jazwinski, Andrew H., ''Stochastic processes and filtering theory,'' Academic Press, New York, 1970. {{isbn|0-12-381550-9}}</ref>
यह अवस्था अंतरिक्ष प्रतिरूप पर आधारित है
:<math>\begin{align}
  \frac{d}{dt}\mathbf{x}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t) \\
              \mathbf{z}(t) &= \mathbf{H}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{v}(t)
\end{align}</math>
जहांपे <math>\mathbf{Q}(t)</math> तथा <math>\mathbf{R}(t)</math> दो सफेद रव शर्तों की तीव्रता (या, अधिक सटीक: पावर स्पेक्ट्रल घनत्व - पीएसडी - मैट्रिसेस) का प्रतिनिधित्व करते हैं <math>\mathbf{w}(t)</math> तथा <math>\mathbf{v}(t)</math>, क्रमश।

निस्यंदक में दो अंतर समीकरण होते हैं, एक अवस्था अनुमान के लिए और एक सहप्रसरण के लिए:
:<math>\begin{align}
  \frac{d}{dt}\hat{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{F}(t)\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{K}(t) \left(\mathbf{z}(t) - \mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t)\right) \\
        \frac{d}{dt}\mathbf{P}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t) + \mathbf{P}(t)\mathbf{F}^\textsf{T}(t) + \mathbf{Q}(t) - \mathbf{K}(t)\mathbf{R}(t)\mathbf{K}^\textsf{T}(t)
\end{align}</math>
जहां कलमन लब्धि दिया जाता है
:<math>\mathbf{K}(t) = \mathbf{P}(t)\mathbf{H}^\textsf{T}(t)\mathbf{R}^{-1}(t)</math>
ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति में <math>\mathbf{K}(t)</math> अवलोकन रव का सहप्रसरण <math>\mathbf{R}(t)</math> एक ही समय में भविष्यवाणी त्रुटि (या नवाचार) के सहप्रसरण का प्रतिनिधित्व करता है <math>\tilde{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{z}(t) - \mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t)</math>; ये सहप्रसरण केवल निरंतर समय की स्थिति में समान होते हैं।<ref>{{cite journal|pages= 646–655|doi=10.1109/TAC.1968.1099025|title=An innovations approach to least-squares estimation--Part I: Linear filtering in additive white noise|journal=IEEE Transactions on Automatic Control|volume=13|issue=6|year=1968|last1=Kailath|first1=T.}}</ref>
असतत-समय कलमन निस्यंदन की भविष्यवाणी और अद्यतन चरणों के मध्य अंतर निरंतर समय में उपस्थित नहीं है।

सहप्रसरण के लिए दूसरा अवकल समीकरण, [[ रिकाटी समीकरण ]] का एक उदाहरण है।  कलमन-बुकी निस्यंदक के गैर-रेखीय सामान्यीकरण में निरंतर समय विस्तारित Kalman निस्यंदक सम्मिलित है।

== हाइब्रिड कलमन निस्यंदक ==
अधिकांश भौतिक प्रणालियों को निरंतर-समय के प्रतिरूप के रूप में दर्शाया जाता है जबकि डिजिटल प्रोसेसर के माध्यम से अवस्था के आकलन के लिए असतत-समय माप प्रायः किए जाते हैं। इसलिए, प्रणाली प्रतिरूप और माप प्रतिरूप द्वारा दिया जाता है
:<math>\begin{align}
  \dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t),
           &\mathbf{w}(t) &\sim N\left(\mathbf{0}, \mathbf{Q}(t)\right) \\
         \mathbf{z}_k &= \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k,
           &\mathbf{v}_k  &\sim N(\mathbf{0},\mathbf{R}_k)
\end{align}</math>
जहांपे
:<math>\mathbf{x}_k = \mathbf{x}(t_k)</math>.

=== प्रारंभ ===
:<math>\hat{\mathbf{x}}_{0 \mid 0} = E\left[\mathbf{x}(t_0)\right], \mathbf{P}_{0 \mid 0} = \operatorname{Var}\left[\mathbf{x}\left(t_0\right)\right]</math>


=== भविष्यवाणी ===
:<math>\begin{align}
                  \dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) &= \mathbf{F}(t) \hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t)
    \text{, with } \hat{\mathbf{x}}\left(t_{k-1}\right) = \hat{\mathbf{x}}_{k-1 \mid k-1} \\
  \Rightarrow \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} &= \hat{\mathbf{x}}\left(t_k\right) \\
          \dot{\mathbf{P}}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t) + \mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^\textsf{T} + \mathbf{Q}(t)
    \text{, with } \mathbf{P}\left(t_{k-1}\right) = \mathbf{P}_{k-1 \mid k-1} \\
        \Rightarrow \mathbf{P}_{k \mid k-1} &= \mathbf{P}\left(t_k\right)
\end{align}</math>
भविष्यवाणी समीकरण माप से अद्यतन किए बिना निरंतर-समय कलमन निस्यंदक से प्राप्त होते हैं, अर्थात्, <math> \mathbf{K}(t) = 0 </math>. पिछले चरण में अनुमान के बराबर प्रारंभिक मूल्य के साथ अंतर समीकरणों के एक सेट को हल करके अनुमानित अवस्था और सहप्रसरण की गणना की जाती है।

[[ रैखिक समय अपरिवर्तनीय ]] प्रणालियों के स्थितियो में, निरंतर समय की गतिशीलता को [[ मैट्रिक्स घातांक | आव्यूह घातांक]] का उपयोग करके एक असतत समय प्रणाली में पूर्णतया विसर्जित किया जा सकता है।

=== अपडेट ===
:<math>\begin{align}
                 \mathbf{K}_k &= \mathbf{P}_{k \mid k-1}\mathbf{H}_k^\textsf{T} \left(\mathbf{H}_k\mathbf{P}_{k \mid k-1}\mathbf{H}_k^\textsf{T} + \mathbf{R}_k\right)^{-1} \\
  \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k} &= \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} + \mathbf{K}_k\left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}\right) \\
        \mathbf{P}_{k \mid k} &= \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k\right)\mathbf{P}_{k \mid k-1}
\end{align}</math>
अद्यतन समीकरण असतत-समय कलमन निस्यंदक के समान हैं।

== विरल संकेतों की पुनर्प्राप्ति के लिए परिवर्त्य ==
परंपरागत कलमन निस्यंदक को विरल, संभवतः गतिशील,रव अवलोकनों से संकेतों की पुनर्प्राप्ति के लिए भी नियोजित किया गया है। हाल ही में कार्य<ref>{{cite book|doi=10.1109/ICIP.2008.4711899|chapter=Kalman filtered Compressed Sensing|title=2008 15th IEEE International Conference on Image Processing|pages=893–896|year=2008|last1=Vaswani|first1=Namrata|author1-link= Namrata Vaswani |isbn=978-1-4244-1765-0|arxiv=0804.0819|s2cid=9282476}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Methods for sparse signal recovery using Kalman filtering with embedded pseudo-measurement norms and quasi-norms|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=58|issue=4|pages=2405–2409|doi=10.1109/TSP.2009.2038959|year=2010|last1=Carmi|first1=Avishy|last2=Gurfil|first2=Pini|last3=Kanevsky|first3=Dimitri|bibcode=2010ITSP...58.2405C|s2cid=10569233}}</ref><ref>{{Cite journal|title=Dynamic Iterative Pursuit|journal=IEEE Transactions on Signal Processing|volume=60|issue=9|pages=4967–4972|doi=10.1109/TSP.2012.2203813|year=2012|last1=Zachariah|first1=Dave|last2=Chatterjee|first2=Saikat|last3=Jansson|first3=Magnus|arxiv=1206.2496|bibcode=2012ITSP...60.4967Z|s2cid=18467024}}</ref> संकुचित संवेदन/प्रतिरूपकरण के सिद्धांत से धारणाओं का उपयोग करते है, जैसे कि प्रतिबंधित समदूरीकता गुण और संबंधित संभाव्य पुनर्प्राप्ति विषय, आंतरिक रूप से निम्न-आयामी प्रणालियों में विरल अवस्था का क्रमिक रूप से अनुमान लगाने के लिए है।

== गाउसीय प्रक्रम से संबंध ==
चूंकि रैखिक गॉसियन अवस्था समष्टि प्रतिरूप गाउसीय प्रक्रियाओं की ओर ले जाते हैं, इसलिए कलमन निस्यंदक को गाउसीय प्रक्रम प्रतिगमन के लिए अनुक्रमिक समाधानकर्ता के रूप में देखा जा सकता है।<ref>{{cite arXiv|last1=Särkkä|first1=Simo|last2=Hartikainen|first2=Jouni|last3=Svensson|first3=Lennart|last4=Sandblom|first4=Fredrik|date=2015-04-22|title=On the relation between Gaussian process quadratures and sigma-point methods|class=stat.ME|eprint=1504.05994}}</ref>


== अनुप्रयोग ==
{{Div col|colwidth=20em}}
* प्रवृति और शीर्षक संदर्भ प्रणाली
* [[ स्वचालित यंत्र ]]
* [[ विद्युत बैटरी ]] [[ प्रभार की अवस्था]] (SoC) अनुमान<ref>{{cite journal|doi=10.1016/j.jpowsour.2007.04.011|title=A novel combined battery model for state-of-charge estimation in lead-acid batteries based on extended Kalman filter for hybrid electric vehicle applications|journal=Journal of Power Sources|volume=174|issue=1|pages=30–40|year=2007|last1=Vasebi|first1=Amir|last2=Partovibakhsh|first2=Maral|last3=Bathaee|first3=S. Mohammad Taghi|bibcode=2007JPS...174...30V}}</ref><ref>{{cite journal|doi=10.1016/j.enconman.2007.05.017|title=Predicting state of charge of lead-acid batteries for hybrid electric vehicles by extended Kalman filter|journal=Energy Conversion and Management|volume=49|pages=75–82|year=2008|last1=Vasebi|first1=A.|last2=Bathaee|first2=S.M.T.|last3=Partovibakhsh|first3=M.}}</ref>
* मस्तिष्क-परिकलक अंतराफलक<ref name="Bur20" /><ref name="Bra18" /><ref name="Bur19" />
* अराजक संकेत
* [[ कण संसूचक ]] में [[ आवेशित कणों ]] का अनुसरण और शीर्ष अन्वायोजन<ref>{{cite journal |journal= Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A |volume=262 |issue=2–3 |year=1987 |pages=444–450 |title=Application of Kalman filtering to track and vertex fitting |first=R. |last=Fruhwirth |bibcode=1987NIMPA.262..444F |doi=10.1016/0168-9002(87)90887-4 }}</ref>
* परिकलक दृष्टि में वस्तुओं का अनुसरण
* नौवहन में गतिशील स्थिति
*[[ अर्थशास्त्र ]], विशेष रूप से [[ वृहत् अर्थशास्त्र ]], [[ समय श्रृंखला विश्लेषण ]], और अर्थमिति<ref>{{cite book |last=Harvey |first=Andrew C. |chapter=Applications of the Kalman filter in econometrics |title=Advances in Econometrics |editor-first=Truman |editor-last=Bewley |editor-link=Truman Bewley |location=New York |publisher=Cambridge University Press |year=1994 |isbn=978-0-521-46726-1 |pages=[https://archive.org/details/advancesineconom00iiecon/page/285 285f] |chapter-url=https://archive.org/details/advancesineconom00iiecon/page/285 }}</ref>
*[[ जड़त्वीय मार्गदर्शन प्रणाली ]]
* [[ नाभिकीय औषधि ]] - एकल फोटॉन उत्सर्जन गणना टोमोग्राफी छवि प्रत्यावर्तन<ref>{{Cite journal|pages=102–109|doi=10.1109/42.276148|pmid=18218487|title=Two-dimensional restoration of single photon emission computed tomography images using the Kalman filter|journal=IEEE Transactions on Medical Imaging|volume=13|issue=1|year=1994|last1=Boulfelfel|first1=D.|last2=Rangayyan|first2=R.M.|last3=Hahn|first3=L.J.|last4=Kloiber|first4=R.|last5=Kuduvalli|first5=G.R.}}</ref>
*[[ कक्षा निर्धारण ]]
* ऊर्जा व्यवस्था की स्थिति का अनुमान
* [[ रडार अनुपथक ]]
* [[ उपग्रह नौकानयन प्रणाली ]]
* [[ भूकंप विज्ञान ]]<ref>{{cite journal|bibcode=2008AGUFM.G43B..01B|title=Fusion of High-Rate GPS and Seismic Data: Applications to Early Warning Systems for Mitigation of Geological Hazards|journal=AGU Fall Meeting Abstracts|volume=43|pages=G43B–01|last1=Bock|first1=Y.|last2=Crowell|first2=B.|last3=Webb|first3=F.|last4=Kedar|first4=S.|last5=Clayton|first5=R.|last6=Miyahara|first6=B.|year=2008}}</ref>
* एसी चालक चर-आवृत्ति ड्राइव का संवेदक रहित नियंत्रण
* [[ एक साथ स्थानीयकरण और मानचित्रण ]]
* [[ भाषण में वृद्धि ]]
* [[ दृश्य ओडोमेट्री ]]
* [[ मौसम की भविष्यवाणी ]]
* [[ दिशानिर्देशन प्रणाली ]]
* [[ 3 डी मॉडलिंग ]]
* [[ संरचनात्मक स्वास्थ्य अनुवीक्षण ]]
* [[ मानव संवेदीप्रेरक प्रसंस्करण ]]<ref>{{cite journal |journal= Neural Networks|volume=9 |issue=8 |pages=1265–1279 |title=Forward Models for Physiological Motor Control |last1=Wolpert |first1=D. M. |last2=Miall |first2=R. C. |pmid=12662535 |year=1996 |doi=10.1016/S0893-6080(96)00035-4}}</ref>
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== यह भी देखें ==
{{div col|colwidth=30em}}
* अल्फा बीटा निस्यंदक
* [[ व्युत्क्रम-विचरण भार ]]
*[[ सहप्रसरण अंतरायोजी ]]
* डेटा समीकरण
* [[ कलमान निस्यंदक समूहन ]]
* विस्तारित कलमन निस्यंदक
* [[ स्थिर कलमन निस्यंदक ]]
* [[ निस्यंदन समस्या (प्रसंभाव्य प्रक्रियाएं) ]]
* [[ सामान्यीकृत निस्यंदन ]]
* [[ अपरिवर्तनीय विस्तारित कलमन निस्यंदक ]]
* [[ कर्नेल अनुकूली निस्यंदक ]]
* मासरेलीज़ की प्रमेय
* गतिमान क्षितिज अनुमान
* [[ कण निस्यंदक ]] अनुमानक
*[[ पीआईडी नियंत्रक ]]
* भविष्यवक्ता-सुधारक विधि
* पुनरावर्ती न्यूनतम वर्ग निस्यंदक
* श्मिट-कलमैन निस्यंदक
*[[ पृथक्करण सिद्धांत ]]
* [[ सर्पण प्रणाली नियंत्रण ]]
* [[ अवस्था-संक्रमण आव्यूह ]]
* [[ प्रसंभाव्य अंतर समीकरण ]]
* [[ कलमन निस्यंदक स्विच करना ]]
* [[ एक साथ अनुमान और मॉडलिंग ]]
{{div col end}}


== संदर्भ ==
{{reflist|30em}}




== अग्रिम पठन ==
{{further cleanup|date=June 2015}}
{{refbegin|30em}}
* {{cite book | author = Einicke, G.A. | year = 2019 | title = Smoothing, Filtering and Prediction: Estimating the Past, Present and Future (2nd ed.) | publisher = Amazon Prime Publishing | isbn = 978-0-6485115-0-2 }}
* {{cite journal | author = Jinya Su |author2=Baibing Li | author3=Wen-Hua Chen | year = 2015| title = On existence, optimality and asymptotic stability of the Kalman filter with partially observed inputs|doi=10.1016/j.automatica.2014.12.044 | journal = Automatica | volume = 53| pages = 149–154| doi-access = free }}
* {{cite book | author = Gelb, A. | year = 1974 | title = Applied Optimal Estimation | publisher = MIT Press }}
* {{cite journal|author=Kalman, R.E. |year=1960 |title=A new approach to linear filtering and prediction problems |journal=Journal of Basic Engineering |volume=82 |issue=1 |pages=35–45 |url=http://www.elo.utfsm.cl/~ipd481/Papers%20varios/kalman1960.pdf |access-date=2008-05-03 |doi=10.1115/1.3662552 |url-status=dead |archive-url=https://web.archive.org/web/20080529105724/http://www.elo.utfsm.cl/~ipd481/Papers%20varios/kalman1960.pdf |archive-date=2008-05-29 }}
* {{cite journal | author = Kalman, R.E. |author2=Bucy, R.S. | year = 1961 | title = New Results in Linear Filtering and Prediction Theory |journal=Journal of Basic Engineering |volume=83 |pages=95–108 |citeseerx=10.1.1.361.6851 |doi=10.1115/1.3658902 }}
* {{cite book | author = Harvey, A.C. | year = 1990 | title = Forecasting, Structural Time Series Models and the Kalman Filter | publisher = Cambridge University Press | isbn = 9780521405737|url=https://books.google.com/books?id=Kc6tnRHBwLcC}}
* {{cite journal | author = Roweis, S. |author2=Ghahramani, Z. | author-link2 = Zoubin Ghahramani| year = 1999 | title = A Unifying Review of Linear Gaussian Models | journal = Neural Computation | volume = 11 | issue = 2 | pages = 305–345 | doi = 10.1162/089976699300016674 | pmid = 9950734 |s2cid=2590898 |url=https://authors.library.caltech.edu/13697/1/ROWnc99.pdf }}
* {{cite book | author = Simon, D. | year = 2006 | title = Optimal State Estimation: Kalman, H Infinity, and Nonlinear Approaches | publisher = Wiley-Interscience | url = http://academic.csuohio.edu/simond/estimation/ }}
* {{cite journal | author = [[Kevin Warwick|Warwick, K]]. | year = 1987 | title = Optimal observers for ARMA models | journal = International Journal of Control | volume = 46 | issue = 5 | pages = 1493–1503 | doi = 10.1080/00207178708933989 }}
* {{cite book | author = Bierman, G.J. | year = 1977 | title = Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation | journal = Mathematics in Science and Engineering | volume = 128 | isbn =  978-0-486-44981-4 | publisher = Dover Publications | location = Mineola, N.Y. }}
* {{cite book | author = Bozic, S.M. | year = 1994 | title = Digital and Kalman filtering | publisher = Butterworth–Heinemann }}
* {{cite book | author = Haykin, S. | year = 2002 | title = Adaptive Filter Theory | publisher = Prentice Hall }}
* {{cite book | author = Liu, W. | author2 = Principe, J.C. and Haykin, S. | year = 2010 | title = Kernel Adaptive Filtering: A Comprehensive Introduction | publisher = John Wiley }}
* {{cite book | author = Manolakis, D.G. | year = 1999 | title = Statistical and Adaptive signal processing | publisher = Artech House }}
* {{cite book | author = Welch, Greg |author2=Bishop, Gary | year = 1997 | title = SIGGRAPH '97 Proceedings of the 24th annual conference on Computer graphics and interactive techniques | chapter-url = http://www.cs.unc.edu/~welch/media/pdf/scaat.pdf | pages = 333–344 | isbn = 978-0-89791-896-1 | doi = 10.1145/258734.258876 | publisher = ACM Press/Addison-Wesley Publishing Co | chapter = SCAAT: incremental tracking with incomplete information |s2cid=1512754 }}
* {{cite book | first=Andrew H.  |last= Jazwinski | year = 1970 | title = Stochastic Processes and Filtering | publisher = [[Academic Press]] | location=New York | series = Mathematics in Science and Engineering | page=376 | isbn=978-0-12-381550-7 }}
* {{cite book | first=Peter S. |last=Maybeck | year = 1979 | title = Stochastic Models, Estimation, and Control | publisher = [[Academic Press]] | location=New York | isbn = 978-0-12-480701-3 | volume = 141-1 | series = Mathematics in Science and Engineering|chapter=Chapter 1|chapter-url=http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/media/pdf/maybeck_ch1.pdf }}
* {{cite book | author = Moriya, N. | year = 2011 | title = Primer to Kalman Filtering: A Physicist Perspective | publisher = [[Nova Science Publishers, Inc.]] | location=New York | isbn =  978-1-61668-311-5 }}
* {{cite book | author = Dunik, J. |author2=Simandl M. |author3=Straka O.  | year = 2009 | title = 15th IFAC Symposium on System Identification, 2009|doi=10.3182/20090706-3-FR-2004.00061 | place = France | pages = 372–377|chapter-url=https://www.researchgate.net/publication/216411106 |series=15th IFAC Symposium on System Identification, 2009 |isbn=978-3-902661-47-0 |chapter=Methods for Estimating State and Measurement Noise Covariance Matrices: Aspects and Comparison }}
* {{cite book | first1=Charles K. |last1=Chui |first2=Guanrong |last2=Chen | year = 2009 | title = Kalman Filtering with Real-Time Applications | publisher = [[Springer Science+Business Media|Springer]] | location=New York | isbn = 978-3-540-87848-3 | volume = 17 | series = Springer Series in Information Sciences | edition = 4th | page=229 }}
* {{cite journal | author = Spivey, Ben | author2 = Hedengren, J. D. and Edgar, T. F. | journal = Industrial & Engineering Chemistry Research | volume = 49 | issue = 17 | year = 2010 | title = Constrained Nonlinear Estimation for Industrial Process Fouling | pages = 7824–7831 | doi = 10.1021/ie9018116 }}
* {{cite book|title= Linear Estimation|publisher=Prentice–Hall|location= NJ|year=2000| isbn= 978-0-13-022464-4|author1 = Thomas Kailath|author2 = Ali H. Sayed|author3=Babak Hassibi|author-link1=Thomas Kailath|author-link2=Ali H. Sayed|author-link3=Babak Hassibi}}
* {{cite book|authors= [[Ali H. Sayed]]|title= Adaptive Filters|publisher= Wiley|location= NJ|year= 2008|isbn= 978-0-470-25388-5}}
{{refend}}


== बाहरी संबंध ==
{{external links|date=June 2015}}
* [http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/kalmanPaper.html A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems], by R. E. Kalman, 1960
* [https://github.com/rlabbe/Kalman-and-Bayesian-Filters-in-Python Kalman and Bayesian Filters in Python]. Open source Kalman filtering textbook.
*[http://www.bzarg.com/p/how-a-kalman-filter-works-in-pictures/ How a Kalman filter works, in pictures]. Illuminates the Kalman filter with pictures and colors
* [http://www.eng.tau.ac.il/~liptser/lectures1/lect6.pdf ''Kalman–Bucy Filter''], a derivation of the Kalman–Bucy Filter
* {{YouTube|d0D3VwBh5UQ|MIT Video Lecture on the Kalman filter}}
* [https://github.com/piercus/kalman-filter Kalman filter in Javascript]. Open source Kalman filter library for node.js and the web browser.
* [http://www.cs.unc.edu/~tracker/media/pdf/SIGGRAPH2001_CoursePack_08.pdf An Introduction to the Kalman Filter], SIGGRAPH 2001 Course, Greg Welch and Gary Bishop
* [http://www.cs.unc.edu/~welch/kalman/ Kalman Filter] webpage, with many links
*[https://thekalmanfilter.com/kalman-filter-explained-simply/ Kalman Filter Explained Simply], Step-by-Step Tutorial of the Kalman Filter with Equations
* {{Cite journal|url=http://www.siam.org/pdf/news/362.pdf|title=Kalman filters used in Weather models|journal=SIAM News|volume=36|issue=8|date=October 2003|access-date=2007-01-27|archive-url=https://web.archive.org/web/20110517044040/http://www.siam.org/pdf/news/362.pdf|archive-date=2011-05-17|url-status=dead}}
* {{cite journal |doi=10.1021/ie034308l|title=Critical Evaluation of Extended Kalman Filtering and Moving-Horizon Estimation|journal=Industrial & Engineering Chemistry Research|volume=44|issue=8|pages=2451|year=2005|last1=Haseltine|first1=Eric L.|last2=Rawlings|first2=James B.}}
* [http://netlib.org/a/esl.tgz Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library]: Corresponds to the code in the research monograph "Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation" originally published by Academic Press in 1977. Republished by Dover.
* [http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/32537 Matlab Toolbox implementing parts of Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library]: UD / UDU' and LD / LDL' factorization with associated time and measurement updates making up the Kalman filter.
* [http://eia.udg.es/~qsalvi/Slam.zip Matlab Toolbox of Kalman Filtering applied to Simultaneous Localization and Mapping]: Vehicle moving in 1D, 2D and 3D
* [https://web.archive.org/web/20160304042652/http://www.cnel.ufl.edu/~weifeng/publication.htm The Kalman Filter in Reproducing Kernel Hilbert Spaces] A comprehensive introduction.
* [http://www.mathfinance.cn/kalman-filter-finance-revisited/ Matlab code to estimate Cox–Ingersoll–Ross interest rate model with Kalman Filter]: Corresponds to the paper "estimating and testing exponential-affine term structure models by kalman filter" published by Review of Quantitative Finance and Accounting in 1999.
* [https://web.archive.org/web/20140226174212/http://www.data-assimilation.net/Tools/AssimDemo/?method=KF Online demo of the Kalman Filter]. Demonstration of Kalman Filter (and other data assimilation methods) using twin experiments.
* {{cite journal |doi=10.3390/s110808164 |pmid=22164069|pmc=3231703|pages=1251–1259|title=FPGA-Based Multimodal Embedded Sensor System Integrating Low- and Mid-Level Vision|journal=Sensors|volume=11|issue=12|year=2011|last1=Botella|first1=Guillermo|last2=Martín h.|first2=José Antonio|last3=Santos|first3=Matilde|last4=Meyer-Baese|first4=Uwe|bibcode=2011Senso..11.8164B|doi-access=free}}
* [http://www.mathworks.com/discovery/kalman-filter.html Examples and how-to on using Kalman Filters with MATLAB] A Tutorial on Filtering and Estimation
* [http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=1565&do=blog&id=851754 Explaining Filtering (Estimation) in One Hour, Ten Minutes, One Minute, and One Sentence]  by Yu-Chi Ho
*Simo Särkkä (2013). "Bayesian Filtering and Smoothing". ''Cambridge University Press.'' Full text available on author's webpage https://users.aalto.fi/~ssarkka/.

{{control theory}}
{{satellite navigation systems}}
{{Authority control}}