View source for यादृच्छिक मैट्रिक्स

{{Short description|Matrix-valued random variable}}
संभाव्यता सिद्धांत और [[गणितीय भौतिकी]] में, यादृच्छिक आव्यूह [[मैट्रिक्स (गणित)|आव्यूह (गणित)]] है - मूल्यवान यादृच्छिक चर-अर्थात, आव्यूह जिसमें कुछ या सभी तत्व यादृच्छिक चर होते हैं। भौतिक प्रणालियों के कई महत्वपूर्ण गुणों को गणितीय रूप से आव्यूह समस्याओं के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[जाली मॉडल (भौतिकी)]] की तापीय चालकता की गणना जाली के अंदर कण-कण अंतःक्रियाओं के गतिशील आव्यूह से की जा सकती है।

== अनुप्रयोग ==

===भौतिकी ===

[[परमाणु भौतिकी]] में, भारी परमाणुओं के नाभिकों को मॉडल करने के लिए [[यूजीन विग्नर]] द्वारा यादृच्छिक आव्यूह प्रस्तुत किए गए थे।<ref name=wigner>{{harvnb|Wigner|1955}}</ref> विग्नर ने अभिगृहीत किया कि भारी परमाणु नाभिक के स्पेक्ट्रम में रेखाओं के बीच की दूरी यादृच्छिक आव्यूह के [[eigenvalues|आइगेनवैल्यूज़]] के बीच की दूरी के समान होनी चाहिए, और केवल अंतर्निहित विकास के समरूपता वर्ग पर निर्भर होना चाहिए।<ref name=mehta>{{harvnb|Mehta|2004}}</ref> [[भौतिक विज्ञान की ठोस अवस्था]] में, रैंडम मेट्रिसेस मीन फील्ड सन्निकटन | मीन-फील्ड सन्निकटन में बड़े अव्यवस्थित [[हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी)]] के व्यवहार को मॉडल करते हैं।

क्वांटम अराजकता में, बोहिगास-गियानोनी-श्मिट (बीजीएस) अनुमान का प्रमाणित है कि क्वांटम पद्धति के वर्णक्रमीय आंकड़े जिनके मौलिक समकक्ष अराजक व्यवहार प्रदर्शित करते हैं, यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत द्वारा वर्णित हैं।<ref>{{cite journal| last1=Bohigas|first1=O.| last2=Giannoni|first2=M.J.| last3=Schmit|first3=Schmit| title=अराजक क्वांटम स्पेक्ट्रा की विशेषता और स्तर उतार-चढ़ाव कानूनों की सार्वभौमिकता|journal=Phys. Rev. Lett.| year=1984|volume=52|issue=1| pages=1–4| doi=10.1103/PhysRevLett.52.1| bibcode=1984PhRvL..52....1B}}</ref>

[[क्वांटम प्रकाशिकी]] में, मौलिक संगणना पर क्वांटम के लाभ को प्रदर्शित करने के लिए यादृच्छिक एकात्मक मेट्रिसेस द्वारा वर्णित परिवर्तन महत्वपूर्ण हैं (देखें, उदाहरण के लिए, [[बोसोन नमूनाकरण]] मॉडल)।<ref>{{cite journal| last1=Aaronson|first1=Scott| last2=Arkhipov|first2=Alex| title=रैखिक प्रकाशिकी की कम्प्यूटेशनल जटिलता|journal=Theory of Computing |date=2013 |volume=9 |pages=143–252 |doi=10.4086/toc.2013.v009a004 |doi-access=free}}</ref> इसके अतिरिक्त , इस तरह के यादृच्छिक एकात्मक परिवर्तनों को ऑप्टिकल परिपथ घटकों (जो कि [[ बीम फाड़नेवाला |बीम फाड़नेवाला]] स्प्लिटर्स और फेज शिफ्टर्स हैं) में उनके मापदंडों को मैप करके सीधे ऑप्टिकल परिपथ में प्रयुक्त किया जा सकता है।<ref>{{cite journal |last1=Russell|first1=Nicholas |last2=Chakhmakhchyan|first2=Levon | last3=O'Brien|first3=Jeremy |last4=Laing|first4=Anthony |journal=New J. Phys. | title=हार यादृच्छिक एकात्मक मैट्रिसेस की सीधी डायलिंग| date=2017| volume=19|issue=3| pages=033007| doi=10.1088/1367-2630/aa60ed |bibcode=2017NJPh...19c3007R |arxiv=1506.06220 | s2cid=46915633}}</ref>

रैंडम आव्यूह सिद्धांत ने [[क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स]] में चिराल डायराक ऑपरेटर के लिए भी आवेदन पाया है,<ref>{{cite journal |vauthors=Verbaarschot JJ, Wettig T |title=क्यूसीडी में रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी और चिराल समरूपता|journal=Annu. Rev. Nucl. Part. Sci. |volume=50|pages=343–410 |year=2000 |doi=10.1146/annurev.nucl.50.1.343 |arxiv = hep-ph/0003017 |bibcode = 2000ARNPS..50..343V |s2cid=119470008}}</ref> दो आयामों में क्वांटम गुरुत्व,<ref>{{cite journal |vauthors=Franchini F, Kravtsov VE |title=यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत में क्षितिज, हॉकिंग विकिरण और ठंडे परमाणुओं का प्रवाह|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=103 |issue=16 |pages=166401|date=October 2009 |pmid=19905710|doi=10.1103/PhysRevLett.103.166401 |bibcode = 2009PhRvL.103p6401F |arxiv = 0905.3533 |s2cid=11122957 }}</ref> [[मेसोस्कोपिक]],<ref>{{cite journal |vauthors=Sánchez D, Büttiker M |title=नॉनलाइनियर मेसोस्कोपिक ट्रांसपोर्ट का चुंबकीय-क्षेत्र विषमता|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=93 |issue=10 |pages=106802 |date=September 2004 |pmid=15447435 |doi=10.1103/PhysRevLett.93.106802 |bibcode=2004PhRvL..93j6802S | arxiv = cond-mat/0404387 |s2cid=11686506 }}</ref> [[स्पिन-ट्रांसफर टॉर्क]],<ref>{{cite journal |vauthors=Rychkov VS, Borlenghi S, Jaffres H, Fert A, Waintal X |title=Spin torque and waviness in magnetic multilayers: a bridge between Valet-Fert theory and quantum approaches |journal=Phys. Rev. Lett. |volume=103 |issue=6 |pages=066602 |date=August 2009 |pmid=19792592|doi=10.1103/PhysRevLett.103.066602|bibcode=2009PhRvL.103f6602R|arxiv = 0902.4360 |s2cid=209013 }}</ref> भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव,<ref>{{cite journal |author=Callaway DJE |title=रैंडम मेट्रिसेस, फ्रैक्शनल स्टैटिस्टिक्स और क्वांटम हॉल इफेक्ट|journal=Phys. Rev. B |volume=43 |issue=10 |pages=8641–8643 |date=April 1991 |pmid=9996505 |doi=10.1103/PhysRevB.43.8641 |bibcode = 1991PhRvB..43.8641C |author-link=David J E Callaway }}</ref> [[एंडरसन स्थानीयकरण]],<ref>{{cite journal |vauthors=Janssen M, Pracz K |title=Correlated random band matrices: localization-delocalization transitions |journal=Phys. Rev. E |volume=61 |issue=6 Pt A |pages=6278–86 |date=June 2000 |pmid=11088301 |doi=10.1103/PhysRevE.61.6278 |arxiv = cond-mat/9911467 |bibcode = 2000PhRvE..61.6278J |s2cid=34140447 }}</ref> [[क्वांटम डॉट्स]],<ref>{{cite journal |vauthors=Zumbühl DM, Miller JB, Marcus CM, Campman K, Gossard AC |title=क्वांटम डॉट्स में स्पिन-ऑर्बिट कपलिंग, एंटीलोकलाइज़ेशन और समानांतर चुंबकीय क्षेत्र|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=89 |issue=27 |pages=276803 |date=December 2002 |pmid=12513231 | doi=10.1103/PhysRevLett.89.276803 |bibcode=2002PhRvL..89A6803Z |arxiv = cond-mat/0208436 |s2cid=9344722 }}</ref> और [[अतिचालक]]<ref>{{cite journal |author=Bahcall SR |title=एक चुंबकीय क्षेत्र में सुपरकंडक्टर्स के लिए रैंडम मैट्रिक्स मॉडल|journal=Phys. Rev. Lett. |volume=77 |issue=26 |pages=5276–5279 |date=December 1996|pmid=10062760|doi=10.1103/PhysRevLett.77.5276|bibcode=1996PhRvL..77.5276B|arxiv = cond-mat/9611136 |s2cid=206326136 }}</ref>



=== गणितीय आँकड़े और संख्यात्मक विश्लेषण ===

बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में, जॉन विशरट (सांख्यिकीविद्) द्वारा यादृच्छिक मेट्रिसेस प्रस्तुत किए गए, जिन्होंने बड़े नमूनों के सहप्रसरण मेट्रिसेस का अनुमान लगाने की मांग की।<ref name=wishart>{{harvnb|Wishart|1928}}</ref> [[Chernoff बाध्य|चेरनॉफ़ बाध्य]], [[बर्नस्टीन असमानताएँ (संभाव्यता सिद्धांत)]] -, और होफ़डिंग की असमानता-प्रकार की असमानताओं को सामान्यतः तब शक्तिशाली किया जा सकता है जब यादृच्छिक [[हर्मिटियन मैट्रिक्स|हर्मिटियन आव्यूह]] के परिमित योग के अधिकतम ईजेनवेल्यू पर प्रयुक्त किया जाता है।<ref>{{cite journal | last=Tropp | first=J.|title=रैंडम मेट्रिसेस के योग के लिए उपयोगकर्ता के अनुकूल टेल बाउंड|journal=Foundations of Computational Mathematics |year=2011 |doi=10.1007/s10208-011-9099-z|volume=12 | issue=4| pages=389–434 |arxiv=1004.4389| s2cid=17735965}}</ref> [[संख्यात्मक विश्लेषण]] में, [[जॉन वॉन न्यूमैन]] और [[हरमन गोल्डस्टाइन]] के काम के बाद से यादृच्छिक आव्यूह का उपयोग किया गया है<ref name="vng">{{harvnb|von Neumann|Goldstine|1947}}</ref> [[मैट्रिक्स गुणन|आव्यूह गुणन]] जैसे संचालन में संगणना त्रुटियों का वर्णन करने के लिए। चूंकि यादृच्छिक प्रविष्टियां एल्गोरिदम के पारंपरिक सामान्य इनपुट हैं, यादृच्छिक आव्यूह वितरण से जुड़े [[माप की एकाग्रता]] का अर्थ है कि यादृच्छिक आव्यूह एल्गोरिदम के इनपुट स्थान के बड़े हिस्से का परीक्षण नहीं करेंगे।<ref name="er">{{harvnb|Edelman|Rao|2005}}</ref>


===[[संख्या सिद्धांत]]===

संख्या सिद्धांत में, [[रीमैन जीटा [[एल समारोह|एल फलन]] ]] (और अन्य एल-फ़ंक्शंस) के शून्यों का वितरण कुछ यादृच्छिक मैट्रिसेस के आइगेनवैल्यूज़ के वितरण द्वारा तैयार किया गया है।<ref>{{cite journal| last=Keating|first=Jon|title=रीमैन जेटा-फंक्शन और क्वांटम चाओलॉजी| journal=Proc. Internat. School of Phys. Enrico Fermi |year=1993 | volume=CXIX| pages=145–185| doi=10.1016/b978-0-444-81588-0.50008-0| isbn=9780444815880}}</ref> कनेक्शन की खोज सबसे पहले [[ह्यूग मोंटगोमरी (गणितज्ञ)]] और फ्रीमैन जे डायसन ने की थी। यह हिल्बर्ट-पोल्या अनुमान से जुड़ा है।

=== सैद्धांतिक तंत्रिका विज्ञान ===

सैद्धांतिक तंत्रिका विज्ञान के क्षेत्र में, मस्तिष्क में न्यूरॉन्स के बीच सिनैप्टिक कनेक्शन के नेटवर्क को मॉडल करने के लिए यादृच्छिक मेट्रिसेस का तेजी से उपयोग किया जाता है। रैंडम कनेक्टिविटी आव्यूह वाले न्यूरोनल नेटवर्क के डायनेमिक मॉडल को अराजकता के लिए चरण संक्रमण प्रदर्शित करने के लिए दिखाया गया था<ref>{{cite journal| last=Sompolinsky|first=H. |author2=Crisanti, A. |author3=Sommers, H. |title=यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क में अराजकता|journal=Physical Review Letters|date=July 1988|volume=61|issue=3|pages=259–262|doi=10.1103/PhysRevLett.61.259|pmid=10039285|bibcode = 1988PhRvL..61..259S }}</ref> जब अन्तर्ग्रथनी भार का प्रसरण अनंत प्रणाली आकार की सीमा पर महत्वपूर्ण मान को पार कर जाता है। यादृच्छिक आव्यूह पर परिणाम यह भी दिखाते हैं कि यादृच्छिक- आव्यूह मॉडल की गतिशीलता कारण कनेक्शन शक्ति के प्रति असंवेदनशील है। इस के अतिरिक्त , उतार-चढ़ाव की स्थिरता कनेक्शन शक्ति भिन्नता पर निर्भर करती है<ref>{{cite journal|last=Rajan|first=Kanaka|author2=Abbott, L. |title=तंत्रिका नेटवर्क के लिए रैंडम मेट्रिसेस का आइगेनवैल्यू स्पेक्ट्रा| journal=Physical Review Letters| date=November 2006|volume=97|issue=18| pages=188104 |doi=10.1103/PhysRevLett.97.188104 | pmid=17155583 |bibcode = 2006PhRvL..97r8104R }}</ref><ref>{{cite journal|last=Wainrib|first=Gilles|author2=Touboul, Jonathan |title=यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क की सामयिक और गतिशील जटिलता|journal=Physical Review Letters |date=March 2013|volume=110|issue=11 |doi=10.1103/PhysRevLett.110.118101 | arxiv = 1210.5082 |bibcode = 2013PhRvL.110k8101W |pmid=25166580|page=118101|s2cid=1188555}}</ref> और समकालिकता का समय नेटवर्क टोपोलॉजी पर निर्भर करता है।<ref>{{cite journal |last=Timme|first=Marc |author2=Wolf, Fred |author3=Geisel, Theo |title=नेटवर्क तुल्यकालन के लिए टोपोलॉजिकल स्पीड लिमिट| journal=Physical Review Letters| date=February 2004|volume=92 | issue=7| doi=10.1103/PhysRevLett.92.074101|arxiv = cond-mat/0306512 |bibcode = 2004PhRvL..92g4101T |pmid=14995853 |page=074101|s2cid=5765956}}</ref><ref>{{cite journal |last1=Muir|first1=Dylan | last2=Mrsic-Flogel|first2=Thomas |title=तंत्रिका नेटवर्क के लिए मॉड्यूलर और स्थानिक संरचना के साथ अर्ध-यादृच्छिक मेट्रिसेस के लिए ईजेनस्पेक्ट्रम सीमा|journal=Phys. Rev. E|date=2015|volume=91 |issue=4 |page=042808 |doi=10.1103/PhysRevE.91.042808|pmid=25974548|bibcode = 2015PhRvE..91d2808M |url=http://edoc.unibas.ch/41441/1/20160120100936_569f4ed0ddeee.pdf}}</ref>


=== [[इष्टतम नियंत्रण]] ===

इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में, समय के माध्यम से एन राज्य चर का विकास किसी भी समय अपने स्वयं के मूल्यों और के नियंत्रण चर के मूल्यों पर निर्भर करता है। रैखिक विकास के साथ, गुणांक के आव्यूह राज्य समीकरण (विकास के समीकरण) में दिखाई देते हैं। कुछ समस्याओं में इन मैट्रिसेस में पैरामीटर के मान निश्चित रूप से ज्ञात नहीं होते हैं, इस स्थितियों में राज्य समीकरण में रैंडम मैट्रिसेस होते हैं और समस्या को [[स्टोकेस्टिक नियंत्रण]] में से के रूप में जाना जाता है।<ref>{{cite book |last=Chow |first=Gregory P. |year=1976 |title=गतिशील आर्थिक प्रणालियों का विश्लेषण और नियंत्रण|location=New York |publisher=Wiley |isbn=0-471-15616-7 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Turnovsky |first=Stephen |year=1976 |title=Optimal stabilization policies for stochastic linear systems: The case of correlated multiplicative and additive disturbances |journal=[[Review of Economic Studies]] |volume=43 |issue=1 |pages=191–194 |jstor=2296741 |doi=10.2307/2296614 }}</ref><ref>{{cite journal |last=Turnovsky |first=Stephen |year=1974 |title=इष्टतम आर्थिक नीतियों की स्थिरता गुण|journal=American Economic Review |volume=64 |issue=1 |pages=136–148 |jstor=1814888 }}</ref> स्टोचैस्टिक मैट्रिसेस के साथ [[रैखिक-द्विघात नियंत्रण]] के स्थितियों में महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि [[निश्चितता तुल्यता सिद्धांत]] प्रयुक्त नहीं होता है: जबकि [[गुणक अनिश्चितता]] के अभाव में ( अर्थात , केवल योगात्मक अनिश्चितता के साथ) द्विघात हानि फलन के साथ इष्टतम नीति के साथ मेल खाता है यदि अनिश्चितता को नजरअंदाज कर दिया गया तो क्या तय किया जाएगा, राज्य समीकरण में यादृच्छिक गुणांक होने पर इष्टतम नीति भिन्न हो सकती है।

=== [[कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी]] ===

कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी में, मॉडल पद्धति के भौतिकी के बारे में ज्ञान की कमी के कारण ज्ञान संबंधी अनिश्चितताएं कम्प्यूटेशनल मॉडल से जुड़े गणितीय ऑपरेटरों को जन्म देती हैं, जो निश्चित अर्थ में कमी हैं। इस तरह के ऑपरेटरों में अनमॉडेल्ड फिजिक्स से जुड़े कुछ गुणों का अभाव होता है। जब ऐसे ऑपरेटरों को कम्प्यूटेशनल सिमुलेशन करने के लिए अलग किया जाता है, तो उनकी त्रुटिहीन लापता भौतिकी द्वारा सीमित होती है। गणितीय ऑपरेटर की इस कमी की भरपाई करने के लिए, मॉडल पैरामीटर को यादृच्छिक बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है, गणितीय ऑपरेटर पर विचार करना आवश्यक है जो यादृच्छिक है और इस प्रकार कम्प्यूटेशनल मॉडल के परिवारों को उम्मीद में उत्पन्न कर सकता है कि इनमें से लापता को पकड़ लेता है भौतिक विज्ञान। इस अर्थ में रैंडम मेट्रिसेस का उपयोग किया गया है,<ref>{{Cite journal|last=Soize|first=C.|date=2000-07-01|title=संरचनात्मक गतिशीलता में कम मैट्रिक्स मॉडल के लिए यादृच्छिक अनिश्चितताओं का एक गैर पैरामीट्रिक मॉडल|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/abs/pii/S0266892099000284|journal=Probabilistic Engineering Mechanics|language=en|volume=15|issue=3|pages=277–294|doi=10.1016/S0266-8920(99)00028-4|issn=0266-8920}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Soize|first=C.|date=2005-04-08|title=Random matrix theory for modeling uncertainties in computational mechanics
|url=https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0045782504003962|journal=Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering|language=en|volume=194|issue=12–16|pages=1333–1366|doi=10.1016/j.cma.2004.06.038|s2cid=58929758 |issn=1879-2138}}</ref> कंपन ध्वनिक, तरंग प्रसार, सामग्री विज्ञान, द्रव यांत्रिकी, गर्मी हस्तांतरण, आदि में अनुप्रयोगों के साथ।

== गॉसियन पहनावा ==
सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला यादृच्छिक आव्यूह संभाव्यता वितरण गॉसियन पहनावा है।

गॉसियन एकात्मक पहनावा <math>\text{GUE}(n)</math> गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है
<math display="block"> \frac{1}{Z_{\text{GUE}(n)}} e^{- \frac{n}{2} \mathrm{tr} H^2} </math>
के स्थान पर <math>n \times n</math> [[हर्मिटियन मेट्रिसेस]] <math>H = (H_{ij})_{i,j=1}^n</math>. यहाँ

<math>Z_{\text{GUE}(n)} = 2^{n/2} \pi^{\frac{1}{2}n^2} </math> सामान्यीकरण स्थिरांक है, इसलिए चुना जाता है जिससे घनत्व का समाकल के बराबर हो। एकात्मक शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि वितरण एकात्मक संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय है। गॉसियन एकात्मक पहनावा मॉडल हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में समय-उलट समरूपता का अभाव है।

'गॉसियन ऑर्थोगोनल पहनावा' <math>\text{GOE}(n)</math> गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है
<math display="block"> \frac{1}{Z_{\text{GOE}(n)}} e^{- \frac{n}{4} \mathrm{tr} H^2} </math>
n × n वास्तविक सममित आव्यूहों के स्थान पर H = (H<sub>''ij''</sub>){{su|b=''i'',''j''=1|p=''n''}}. इसका वितरण ऑर्थोगोनल संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और यह हैमिल्टनियों को समय-उलट समरूपता के साथ मॉडल करता है।

गाऊसी सहानुभूतिपूर्ण पहनावा <math>\text{GSE}(n)</math> गॉसियन माप द्वारा घनत्व के साथ वर्णित किया गया है
<math display="block"> \frac{1}{Z_{\text{GSE}(n)}} e^{- n \mathrm{tr} H^2} </math>
n × n हर्मिटियन [[चार का समुदाय]] आव्यूह के स्थान पर, उदा. चतुष्कोणों से बना सममित वर्ग आव्यूह , {{math|1=''H'' = (''H''<sub>''ij''</sub>){{su|b=''i'',''j''=1|p=''n''}}}}. इसका वितरण [[सहानुभूतिपूर्ण समूह]] द्वारा संयुग्मन के अनुसार अपरिवर्तनीय है, और यह हैमिल्टनियों को समय-उलट समरूपता के साथ मॉडल करता है किन्तु कोई घूर्णी समरूपता नहीं है।

गॉसियन पहनावा जीओई , जीयूई और जीएसई को अधिकांशतः उनके [[फ्रीमैन डायसन]] इंडेक्स द्वारा दर्शाया जाता है, जीओई के लिए β=1, जीयूई के लिए β=2 और जीएसई के लिए β=4। यह सूचकांक प्रति आव्यूह तत्व के वास्तविक घटकों की संख्या की गणना करता है। यहाँ परिभाषित पहनावा में गाऊसी वितरित आव्यूह तत्व हैं जिनका कारण ⟨H है<sub>''ij''</sub>⟩ = 0, और दो-बिंदु सहसंबंध द्वारा दिया गया
<math display="block"> \langle H_{ij} H_{mn}^* \rangle = \langle H_{ij} H_{nm} \rangle = \frac{1}{n} \delta_{im} \delta_{jn} + \frac{2 - \beta}{n \beta}\delta_{in}\delta_{jm} ,</math>
जिससे सभी उच्च सहसंबंध इस्सरलिस प्रमेय द्वारा अनुसरण करते हैं।

<nowiki>ईगेनवैल्यू, ईजेनवेक्टर और ईजेनस्पेस के लिए संयुक्त प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन {{math|</nowiki>''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub>}जीयूई/ जीओई / जीएसई का } द्वारा दिया गया है
{{NumBlk||<math display="block">\frac{1}{Z_{\beta, n}} \prod_{k=1}^n e^{-\frac{\beta}{4}\lambda_k^2}\prod_{i<j}\left|\lambda_j-\lambda_i\right|^\beta~,</math>|{{EquationRef|1}}}}
जहां जेड<sub>''β'',''n''</sub> सामान्यीकरण स्थिरांक है जिसे स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है, [[ सेलबर्ग अभिन्न |सेलबर्ग अभिन्न]] देखें। जीयूई (β = 2) के स्थितियों में, सूत्र (1) [[निर्धारक बिंदु प्रक्रिया]] का वर्णन करता है। आइगेनवैल्यूज़ पीछे हटते हैं क्योंकि संयुक्त संभाव्यता घनत्व में शून्य (का <math>\beta</math>वां क्रम) आइगेनवैल्यूज़ से मेल खाने के लिए <math>\lambda_j = \lambda_i</math>.

परिमित आयामों के जीओई , जीयूई और विशार्ट मैट्रिसेस के लिए सबसे बड़े एइगेन्वलुए के वितरण के लिए, देखें।<ref>{{cite journal |author=Chiani M| title=वास्तविक विशार्ट और गॉसियन यादृच्छिक मेट्रिसेस के लिए सबसे बड़े ईजेनवैल्यू का वितरण और ट्रेसी-विडम वितरण के लिए एक सरल सन्निकटन|journal=Journal of Multivariate Analysis |volume=129|pages=69–81|year=2014|doi=10.1016/j.jmva.2014.04.002|arxiv = 1209.3394 |s2cid=15889291}}</ref>


=== लेवल स्पेसिंग का वितरण ===

आइगेनवैल्यू के क्रमबद्ध क्रम से <math>\lambda_1 < \ldots < \lambda_n < \lambda_{n+1} < \ldots</math>, सामान्यीकृत [[स्तर-अंतर वितरण]] को परिभाषित करता है <math>s = (\lambda_{n+1} - \lambda_n)/\langle s \rangle</math>, जहाँ <math>\langle s \rangle =\langle  \lambda_{n+1} - \lambda_n \rangle</math> औसत अंतराल है। स्पेसिंग का प्रायिकता बंटन लगभग दिया जाता है,
<math display="block">  p_1(s) = \frac{\pi}{2}s\, e^{-\frac{\pi}{4} s^2} </math>
ओर्थोगोनल पहनावा जीओई के लिए <math>\beta=1</math>,
<math display="block"> p_2(s) = \frac{32}{\pi^2}s^2 \mathrm{e}^{-\frac{4}{\pi} s^2}  </math>
एकात्मक पहनावा जीयूई के लिए <math>\beta=2</math>, और
<math display="block"> p_4(s) = \frac{2^{18}}{3^6\pi^3}s^4 e^{-\frac{64}{9\pi} s^2} </math>
सहानुभूतिपूर्ण पहनावा जीएसई के लिए <math>\beta = 4</math>.

संख्यात्मक स्थिरांक ऐसे होते हैं <math> p_\beta(s) </math> सामान्यीकृत है:
<math display="block"> \int_0^\infty ds\,p_\beta(s) = 1 </math>
और औसत रिक्ति है,
<math display="block"> \int_0^\infty ds\, s\, p_\beta(s) = 1, </math>
के लिए <math> \beta = 1,2,4 </math>.

== सामान्यीकरण ==

विग्नर आव्यूह यादृच्छिक हर्मिटियन आव्यूह हैं <math display="inline"> H_n = (H_n(i,j))_{i,j=1}^n </math> जैसे कि प्रविष्टियाँ
<math display="block"> \left\{ H_n(i, j)~, \, 1 \leq i \leq j \leq n \right\} </math>
मुख्य विकर्ण के ऊपर शून्य माध्य के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं और समान दूसरे क्षण हैं।

अपरिवर्तनीय आव्यूह पहनावा वास्तविक सममित / हर्मिटियन / क्वाटरनियोनिक हर्मिटियन मैट्रिसेस के स्थान पर घनत्व के साथ यादृच्छिक हर्मिटियन मैट्रिसेस हैं, जो कि फॉर्म का है <math display="inline"> \frac{1}{Z_n} e^{- n \mathrm{tr} V(H)}~, </math> जहां फलन {{math|''V''}} को क्षमता की जाती है।

यादृच्छिक मेट्रिसेस के इन दो वर्गों के केवल गॉसियन पहनावा ही सामान्य विशेष स्थितियों हैं।

== यादृच्छिक मैट्रिसेस का वर्णक्रमीय सिद्धांत ==

रैंडम मैट्रिसेस का स्पेक्ट्रल सिद्धांत आइगेनवैल्यू के वितरण का अध्ययन करता है क्योंकि आव्यूह का आकार अनंत तक जाता है।

=== वैश्विक शासन ===
वैश्विक शासन में, प्रपत्र के रैखिक आंकड़ों के वितरण में रुचि है <math>N_{f, H} = n^{-1} \text{tr} f(H)</math>.

==== अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय ====

अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप {{math|''μ<sub>H</sub>''}} का {{math|''H''}} द्वारा परिभाषित किया गया है
<math display="block"> \mu_{H}(A) = \frac{1}{n} \, \# \left\{ \text{eigenvalues of }H\text{ in }A \right\} = N_{1_A, H}, \quad A \subset \mathbb{R}. </math>
सामान्यतः , की सीमा <math> \mu_{H} </math> नियतात्मक उपाय है; यह [[आत्म-औसत]] का विशेष मामला है। सीमित माप के संचयी वितरण फलन को [[राज्यों का घनत्व]] किया जाता है और इसे एन (λ) निरूपित किया जाता है। यदि राज्यों का एकीकृत घनत्व अलग-अलग है, तो इसके व्युत्पन्न को राज्यों का घनत्व किया जाता है और इसे ρ(λ) दर्शाया जाता है।

विग्नर मेट्रिसेस के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप की सीमा यूजीन विग्नर द्वारा वर्णित की गई थी; [[Wigner अर्धवृत्त वितरण|विग्नर अर्धवृत्त वितरण]] और [[Wigner surmise|विग्नर अनुमान]] देखें। जहां तक नमूना सहप्रसरण आव्यूहों का संबंध है, मार्सेंको और पाश्चर द्वारा सिद्धांत विकसित किया गया था।<ref name=MP>.{{cite journal |last1=Marčenko |first1=V A |last2=Pastur |first2=L A |title=Distribution of eigenvalues for some sets of random matrices |journal=Mathematics of the USSR-Sbornik  |volume=1 |issue=4  |year=1967 |doi=10.1070/SM1967v001n04ABEH001994 |pages=457–483 |bibcode = 1967SbMat...1..457M }}</ref><ref name=pastur72>{{harvnb|Pastur|1973}}</ref>

अपरिवर्तनीय आव्यूह के अनुभवजन्य वर्णक्रमीय माप की सीमा निश्चित अभिन्न समीकरण द्वारा वर्णित है जो [[संभावित सिद्धांत]] से उत्पन्न होती है।<ref>{{cite journal|last1=Pastur|first1=L.|last2=Shcherbina|first2 = M.|author2-link= Mariya Shcherbina |title=On the Statistical Mechanics Approach in the Random Matrix Theory: Integrated Density of States |journal=J. Stat. Phys. |year=1995 |volume=79|issue=3–4 |pages=585–611 |doi=10.1007/BF02184872|bibcode = 1995JSP....79..585D |s2cid=120731790}}</ref>



==== उतार-चढ़ाव ====

रैखिक आँकड़ों के लिए {{math|1=''N''<sub>''f'',''H''</sub> = ''n''<sup>−1</sup> Σ ''f''(''λ''<sub>''j''</sub>)}}, किसी की दिलचस्पी ∫ f(λ) dN(λ) के उतार-चढ़ाव में भी है। यादृच्छिक मैट्रिसेस के कई वर्गों के लिए, फॉर्म का केंद्रीय सीमा प्रमेय
<math display="block"> \frac{N_{f,H} - \int f(\lambda) \, dN(\lambda)}{\sigma_{f, n}} \overset{D}{\longrightarrow} N(0, 1) </math>
ज्ञात है।<ref>{{cite journal| last=Johansson|first=K.| title=रैंडम हर्मिटियन मैट्रिसेस के आइगेनवैल्यूज के उतार-चढ़ाव पर|journal=Duke Math. J. | year=1998| volume=91| issue=1| pages=151–204 |doi=10.1215/S0012-7094-98-09108-6}}</ref><ref>{{cite journal |last=Pastur|first=L.A. |title=रैंडम मेट्रिसेस के गॉसियन एन्सेम्बल के वैश्विक शासन के लिए एक सरल दृष्टिकोण|journal=Ukrainian Math. J.| year=2005|volume=57|issue=6|pages=936–966 |doi=10.1007/s11253-005-0241-4 | s2cid=121531907| url=http://dspace.nbuv.gov.ua/handle/123456789/165749}}</ref>


==== एकात्मक पहनावा के लिए परिवर्तनशील समस्या ====
उपाय पर विचार करें
:<math>\mathrm{d}\mu_N(\mu)=\frac{1}{\widetilde{Z}_N}e^{-H_N(\lambda)}\mathrm{d}\lambda,\qquad H_N(\lambda)=-\sum\limits_{j\neq k}\ln|\lambda_j-\lambda_k|+N\sum\limits_{j=1}^N Q(\lambda_j),</math>
जहाँ <math>Q(M)</math> पहनावा और जाने की क्षमता है <math>\nu</math> अनुभवजन्य वर्णक्रमीय उपाय हो।

हम फिर से लिख सकते हैं <math>H_N(\lambda)</math> साथ <math>\nu</math> जैसा
:<math>H_N(\lambda)=N^2\left[-\int\int_{x\neq y}\ln |x-y|\mathrm{d}\nu(x)\mathrm{d}\nu(y)+\int Q(x)\mathrm{d}\nu(x)\right],</math>
संभाव्यता माप अब फॉर्म का है
:<math>\mathrm{d}\mu_N(\mu)=\frac{1}{\widetilde{Z}_N}e^{-N^2 I_Q(\nu)}\mathrm{d}\lambda,</math>
जहाँ <math>I_Q(\nu)</math> वर्ग कोष्ठक के अंदर उपरोक्त कार्य है।
अब छोड़ दिया
:<math>M_1(\mathbb{R})=\left\{\nu:\nu\geq 0,\ \int_{\mathbb{R}}\mathrm{d}\nu = 1\right\}</math>
एक आयामी संभाव्यता उपायों का स्थान बनें और मिनिमाइज़र पर विचार करें
:<math>E_Q=\inf\limits_{\nu \in M_1(\mathbb{R})}-\int\int_{x\neq y} \ln |x-y|\mathrm{d}\nu(x)\mathrm{d}\nu(y)+\int Q(x)\mathrm{d}\nu(x).</math>
के लिए <math>E_Q</math> अद्वितीय यूलिब्रियम उपाय उपस्थित है <math>\nu_{Q}</math> भिन्नरूपों की कलन के माध्यम से|यूलर-लैग्रेंज कुछ वास्तविक स्थिरांक के लिए परिवर्तनशील स्थितियाँ <math>l</math>
:<math>2\int_\mathbb{R}\log |x-y|\mathrm{d}\nu(y)-Q(x)=l,\quad x\in J</math>
:<math>2\int_\mathbb{R}\log |x-y|\mathrm{d}\nu(y)-Q(x)\leq l,\quad x\in \mathbb{R}\setminus J</math>
जहाँ <math>J=\bigcup\limits_{j=1}^q[a_j,b_j]</math> उपाय का समर्थन है और
:<math>q=-\left(\frac{Q'(x)}{2}\right)^2+\int \frac{Q'(x)-Q'(y)}{x-y}\mathrm{d}\nu_{Q}(y)</math>.
संतुलन उपाय <math>\nu_{Q}</math> निम्नलिखित रेडॉन-निकोडिम घनत्व है
:<math>\frac{\mathrm{d}\nu_{Q}(x)}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{\pi}\sqrt{q(x)}.</math><ref name="Harnad1">{{cite book|title=रैंडम मैट्रिसेस, रैंडम प्रोसेस और इंटीग्रेबल सिस्टम|first1=John|last1=Harnad|publisher=Springer|pages=263-266|isbn=978-1461428770}}</ref>


=== स्थानीय शासन ===
स्थानीय शासन में, किसी को आइगेनवैल्यूज़ के बीच की दूरी में दिलचस्पी है, और अधिक सामान्यतः , क्रम 1/n की लंबाई के अंतराल में आइगेनवैल्यूज़ के संयुक्त वितरण में। सीमित वर्णक्रमीय माप के समर्थन के अंदर अंतराल से संबंधित बल्क आंकड़ों और समर्थन की सीमा के निकट अंतराल से संबंधित किनारे के आंकड़ों के बीच अंतर करता है।

==== थोक आँकड़े ====
औपचारिक रूप से, ठीक करें <math>\lambda_0</math> के [[समर्थन (माप सिद्धांत)]] के आंतरिक (टोपोलॉजी) में <math>N(\lambda)</math>. फिर [[बिंदु प्रक्रिया]] पर विचार करें
<math display="block"> \Xi(\lambda_0) = \sum_j \delta\Big({\cdot} - n \rho(\lambda_0) (\lambda_j - \lambda_0) \Big)~,</math>
जहाँ <math>\lambda_j</math> यादृच्छिक आव्यूह के आइगेनवैल्यूज़ हैं।

बिंदु प्रक्रिया <math>\Xi(\lambda_0)</math> के आसपास के आइगेनवैल्यूज़ के सांख्यिकीय गुणों को कैप्चर करता है <math>\lambda_0</math>. गाऊसी पहनावा के लिए, की सीमा <math>\Xi(\lambda_0)</math> ज्ञात है;<ref name=mehta /> इस प्रकार, जीयूई के लिए यह कर्नेल के साथ निर्धारक बिंदु प्रक्रिया है
<math display="block"> K(x, y) = \frac{\sin \pi(x-y)}{\pi(x-y)} </math>
(साइन कर्नेल)।

सार्वभौमिकता का सिद्धांत मानता है कि की सीमा <math>\Xi(\lambda_0)</math> जैसा <math>n \to \infty</math> केवल यादृच्छिक आव्यूह के समरूपता वर्ग पर निर्भर होना चाहिए (और न तो यादृच्छिक आव्यूह के विशिष्ट मॉडल पर और न ही <math>\lambda_0</math>). सार्वभौमिकता के कठोर प्रमाण अपरिवर्तनीय आव्यूह पहनावा के लिए जाने जाते हैं<ref>{{cite journal
  | last1   = Pastur     | first1  = L.
  | last2   = Shcherbina | first2  = M.|author2-link= Mariya Shcherbina
  | title   = Universality of the local eigenvalue statistics for a class of unitary invariant random matrix ensembles
  | journal = Journal of Statistical Physics
  | year    = 1997
  | volume  = 86
  | issue   = 1–2
  | pages   = 109–147
  | doi     = 10.1007/BF02180200
  | bibcode = 1997JSP....86..109P
| s2cid = 15117770
 | url = http://purl.umn.edu/2773
 }}</ref><ref>{{cite journal
  | last1   = Deift         | first1 = P.
  | last2   = Kriecherbauer | first2 = T.
  | last3   = McLaughlin    | first3 = K.T.-R.
  | last4   = Venakides     | first4 = S.
  | last5   = Zhou          | first5 = X.
  | title   = Asymptotics for polynomials orthogonal with respect to varying exponential weights
  | journal = International Mathematics Research Notices
  | year    = 1997
  | issue   = 16
  | pages   = 759–782
  | doi     = 10.1155/S1073792897000500 | volume=1997
| doi-access = free
 }}</ref> और विग्नर मेट्रिसेस।<ref>{{cite journal
  | last1   = Erdős   | first1  = L.
  | last2   = Péché   | first2  = S. | author2-link = Sandrine Péché
  | last3   = Ramírez | first3  = J.A.
  | last4   = Schlein | first4  = B.
  | last5   = Yau     | first5  = H.T.
  | title   = Bulk universality for Wigner matrices
  | journal = Communications on Pure and Applied Mathematics
  | year    = 2010
  | volume  = 63
  | issue   = 7
  | pages   = 895–925
}}</ref><ref>{{cite journal
  | last1   = Tao | first1 = Terence | authorlink1 = Terence Tao
  | last2   = Vu  | first2 = Van H.   | authorlink2 = Van H. Vu
  | title   = Random matrices: universality of local eigenvalue statistics up to the edge
  | journal = Communications in Mathematical Physics
  | year    = 2010
  | volume  = 298
  | issue   = 2
  | pages   = 549–572
  | doi     = 10.1007/s00220-010-1044-5
  | bibcode = 2010CMaPh.298..549T
  | arxiv   = 0908.1982
| s2cid = 16594369 }}</ref>


==== बढ़त के आँकड़े ====
{{Main|ट्रेसी-विधवा वितरण}}

== सहसंबंध कार्य ==

के आइगेनवैल्यूज़ की संयुक्त संभावना घनत्व <math>n\times n</math> यादृच्छिक हर्मिटियन मेट्रिसेस <math> M \in \mathbf{H}^{n \times n} </math>, प्रपत्र के विभाजन कार्यों के साथ
<math display="block">
Z_n = \int_{M \in \mathbf{H}^{n \times n}} d\mu_0(M)e^{\text{tr}(V(M))}
</math>
जहाँ
<math display="block">
V(x):=\sum_{j=1}^\infty v_j x^j 
</math>
और <math> d\mu_0(M)</math> अंतरिक्ष पर मानक लेब्स जीयूई उपाय है <math> \mathbf{H}^{n \times n}</math> हर्मिटियन का <math> n \times n </math> मैट्रिसेस, द्वारा दिया गया है
<math display="block">
p_{n,V}(x_1,\dots, x_n) = \frac{1}{Z_{n,V}}\prod_{i<j} (x_i-x_j)^2 e^{-\sum_i V(x_i)}.
</math>
 <math>k</math>वें>-बिंदु सहसंबंध कार्य (या सीमांत वितरण)
के रूप में परिभाषित किया गया है
<math display="block">
R^{(k)}_{n,V}(x_1,\dots,x_k) = \frac{n!}{(n-k)!} \int_{\mathbf{R}}dx_{k+1} \cdots \int_{\R} dx_{n} \, p_{n,V}(x_1,x_2,\dots,x_n), 
</math>
जो उनके चरों के विषम सममित कार्य हैं।
विशेष रूप से, बिंदु सहसंबंध फलन , या राज्यों का घनत्व है
<math display="block">
R^{(1)}_{n,V}(x_1) = n\int_{\R}dx_{2} \cdots \int_{\mathbf{R}} dx_{n} \, p_{n,V}(x_1,x_2,\dots,x_n).
</math>
बोरेल समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग <math>B \subset \mathbf{R}</math> में निहित आइगेनवैल्यूज़ की अपेक्षित संख्या देता है <math>B</math>:
<math display="block">
\int_{B} R^{(1)}_{n,V}(x)dx = \mathbf{E}\left(\#\{\text{eigenvalues in }B\}\right).
</math>
निम्नलिखित परिणाम इन सहसंबंध कार्यों को जोड़े में उचित अभिन्न कर्नेल का मूल्यांकन करने से गठित मैट्रिसेस के निर्धारक के रूप में व्यक्त करता है <math>(x_i, x_j)</math> सहसंयोजक के अंदर दिखाई देने वाले बिंदुओं की।

प्रमेय [डायसन-मेहता]
किसी के लिए <math>k</math>, <math>1\leq k \leq n</math> <math>k</math>-प्वाइंट सहसंबंध फलन <math>R^{(k)}_{n,V}</math> निर्धारक के रूप में लिखा जा सकता है
<math display="block">
R^{(k)}_{n,V}(x_1,x_2,\dots,x_k) = \det_{1\leq i,j \leq k}\left(K_{n,V}(x_i,x_j)\right),
</math>
जहाँ <math>K_{n,V}(x,y)</math> है <math>n</math>वें क्रिस्टोफर-डबौक्स कर्नेल
<math display="block">
K_{n,V}(x,y) := \sum_{k=0}^{n-1}\psi_k(x)\psi_k(y),
</math>
के लिए जुड़े <math>V</math>, अर्धबहुपद के संदर्भ में लिखा गया है
 <math display="block">
\psi_k(x)  = {1\over \sqrt{h_k}}\, p_k(z)\, e^{- V(z) / 2} ,
</math> जहाँ <math> \{p_k(x)\}_{k\in \mathbf{N}} </math> ऑर्थोगोनिलिटी स्थितियों को संतुष्ट करने वाले संकेतित डिग्री के मोनिक बहुपदों का पूर्ण अनुक्रम है
<math display="block">
\int_{\mathbf{R}} \psi_j(x) \psi_k(x) dx = \delta_{jk}.
</math>


== रैंडम मेट्रिसेस के अन्य वर्ग ==

=== विशार्ट मेट्रिसेस ===

{{Main|विशार्ट वितरण}}

विशार्ट मेट्रिसेस फॉर्म के n × n रैंडम मैट्रिसेस हैं {{math|1=''H'' = ''X'' ''X''<sup>*</sup>}}, जहां X स्वतंत्र प्रविष्टियों के साथ n × m यादृच्छिक आव्यूह (m ≥ n) है, और X<sup>*</sup> इसका संयुग्मी स्थानांतरण है। विशार्ट द्वारा विचार किए गए महत्वपूर्ण विशेष स्थितियों में, एक्स की प्रविष्टियाँ समान रूप से गौसियन यादृच्छिक चर (या तो वास्तविक या जटिल) वितरित की जाती हैं।

मार्चेंको-पास्तुर वितरण पाया गया<ref name=MP /> [[व्लादिमीर मार्चेंको]] और लियोनिद पाश्चर द्वारा।

===यादृच्छिक एकात्मक आव्यूह ===
{{main|वृत्ताकार पहनावा}}

=== गैर-हर्मिटियन यादृच्छिक मेट्रिसेस ===
{{main|परिपत्र कानून}}

==संदर्भ==




=== किताबें ===
* {{cite book|last=Mehta|first=M.L.| title=रैंडम मेट्रिसेस|year=2004| publisher=Elsevier/Academic Press |location=Amsterdam|isbn=0-12-088409-7}}
* {{cite book|last1=Anderson|first1=G.W.| last2=Guionnet|first2=A.|last3=Zeitouni|first3=O.|title=रैंडम मेट्रिसेस का परिचय।|year=2010|publisher=Cambridge University Press|location=Cambridge| isbn=978-0-521-19452-5}}
* {{cite book|last1=Akemann|first1=G.| last2=Baik|first2=J. |last3=Di Francesco|first3=P. | title=रैंडम मैट्रिक्स थ्योरी की ऑक्सफोर्ड हैंडबुक|year=2011|publisher=Oxford University Press |location=Oxford| isbn=978-0-19-957400-1}}

=== सर्वेक्षण लेख ===
* {{cite journal|last1=Edelman|first1=A. |last2=Rao|first2=N.R|title=यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत| journal=Acta Numerica|year=2005| volume=14|pages=233–297 |doi=10.1017/S0962492904000236 |bibcode = 2005AcNum..14..233E |s2cid=16038147 }}
* {{cite journal|last=Pastur|first=L.A. | title=रैंडम सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर्स का स्पेक्ट्रा|journal=Russ. Math. Surv.| year=1973|volume=28|issue=1| pages=1–67 |doi=10.1070/RM1973v028n01ABEH001396 |bibcode = 1973RuMaS..28....1P |s2cid=250796916 }}
* {{cite journal | last1=Diaconis | first1=Persi | authorlink1=Persi Diaconis | title=आइगेनवैल्यूज में पैटर्न: 70वां जोशिया विलार्ड गिब्स लेक्चर| mr=1962294 | year=2003 | journal=Bulletin of the American Mathematical Society |series=New Series | volume=40 | issue=2 | pages=155–178 | doi=10.1090/S0273-0979-03-00975-3| doi-access=free }}
* {{cite journal | last1=Diaconis | first1=Persi | authorlink1=Persi Diaconis | title=क्या है ... एक यादृच्छिक मैट्रिक्स?| url=https://www.ams.org/notices/200511/ | mr=2183871 | year=2005 | journal=[[Notices of the American Mathematical Society]] | issn=0002-9920 | volume=52 | issue=11 | pages=1348–1349}}
* {{Cite arXiv| last1=Eynard | first1=Bertrand | last2=Kimura | first2=Taro | last3=Ribault | first3=Sylvain | title=रैंडम मेट्रिसेस| date=2015-10-15 | class=math-ph | eprint=1510.04430v2 }}

=== ऐतिहासिक कार्य ===

* {{cite journal|last=Wigner|first=E.| title=अनंत आयामों वाले बॉर्डर वाले मैट्रिसेस के अभिलाक्षणिक सदिश|journal=Annals of Mathematics |year=1955 |volume=62 |pages=548–564 | doi=10.2307/1970079| issue=3|jstor=1970079}}
* {{cite journal|last=Wishart|first=J.| title=नमूने में सामान्यीकृत उत्पाद पल वितरण|journal=Biometrika| year=1928|volume=20A|issue=1–2|pages=32–52|doi=10.1093/biomet/20a.1-2.32}}
* {{cite journal|last1=von Neumann|first1=J. | last2=Goldstine|first2=H.H. |title=उच्च क्रम के मैट्रिसेस का न्यूमेरिकल इनवर्टिंग|journal=Bull. Amer. Math. Soc. |year=1947|volume=53|pages=1021–1099 | doi=10.1090/S0002-9904-1947-08909-6| issue=11|doi-access=free}}

=== फ़ुटनोट्स ===
{{Reflist|30em}}

==बाहरी संबंध==
* {{cite journal |last=Fyodorov |first=Y. |title=Random matrix theory |journal=Scholarpedia |year=2011 |volume=6 |issue=3 |pages=9886 |doi=10.4249/scholarpedia.9886 |bibcode=2011SchpJ...6.9886F |doi-access=free }}
* {{cite web |last=Weisstein |first=E. W. |title=Random Matrix |publisher=Wolfram MathWorld |url=http://mathworld.wolfram.com/RandomMatrix.html}}

{{Matrix classes}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Random Matrix}}[[Category: यादृच्छिक चर का बीजगणित]] [[Category: रैंडम मेट्रिसेस | रैंडम मेट्रिसेस ]] [[Category: गणितीय भौतिकी]] 



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[[Category:Created On 21/03/2023]]