View source for बिना शर्त अभिसरण

गणित में, विशेष रूप से [[कार्यात्मक विश्लेषण]], एक श्रृंखला बिना शर्त अभिसारी होती है यदि श्रृंखला के सभी पुनर्क्रम एक ही मान पर अभिसरण करते हैं। इसके विपरीत, एक श्रृंखला [[सशर्त अभिसरण]] है यदि यह अभिसरण करती है लेकिन अलग-अलग क्रम सभी एक ही मूल्य पर अभिसरण नहीं करते हैं। बिना शर्त अभिसरण आयाम ([[सदिश स्थल]]) | परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान में [[पूर्ण अभिसरण]] के बराबर है, लेकिन अनंत आयामों में एक कमजोर संपत्ति है।

== परिभाषा ==

होने देना <math>X</math> एक [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] बनें। होने देना <math>I</math> एक [[ सूचकांक सेट ]] हो और <math>x_i \in X</math> सभी के लिए <math>i \in I.</math>
श्रृंखला <math>\textstyle \sum_{i \in I} x_i</math> बिना शर्त के अभिसरण कहा जाता है  <math>x \in X,</math> अगर
* इंडेक्सिंग सेट <math>I_0 := \left\{i \in I : x_i \neq 0\right\}</math> [[गणनीय]] है, और
* प्रत्येक क्रम[[परिवर्तन]] (आपत्ति) के लिए <math>\sigma : I_0 \to I_0</math> का <math>I_0 = \left\{i_k\right\}_{k=1}^\infty</math> निम्नलिखित संबंध रखता है: <math>\sum_{k=1}^\infty x_{\sigma\left(i_k\right)} = x.</math>


== वैकल्पिक परिभाषा ==
बिना शर्त अभिसरण को अक्सर एक समान तरीके से परिभाषित किया जाता है: प्रत्येक क्रम के लिए एक श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण होती है <math>\left(\varepsilon_n\right)_{n=1}^\infty,</math> साथ <math>\varepsilon_n \in \{-1, +1\},</math> श्रृंखला
<math display=block>\sum_{n=1}^\infty \varepsilon_n x_n</math>
अभिसरण।

अगर <math>X</math> एक बानाच स्थान है, प्रत्येक पूर्ण अभिसरण श्रृंखला बिना शर्त अभिसरण है, लेकिन [[बातचीत (तर्क)]] निहितार्थ सामान्य रूप से नहीं होता है। दरअसल, अगर <math>X</math> एक अनंत-आयामी बैनाच स्थान है, तो निरपेक्ष अभिसरण#पुनर्व्यवस्था और बिना शर्त अभिसरण|ड्वोरेट्ज़की-रोजर्स प्रमेय द्वारा इस स्थान में हमेशा एक बिना शर्त अभिसरण श्रृंखला मौजूद होती है जो बिल्कुल अभिसरण नहीं होती है। हालांकि कब <math>X = \R^n,</math> [[रीमैन श्रृंखला प्रमेय]] द्वारा, श्रृंखला <math display=inline>\sum_n x_n</math> बिना शर्त अभिसरण है अगर और केवल अगर यह बिल्कुल अभिसरण है।

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|Absolute convergence}}
* {{annotated link|Modes of convergence (annotated index)}}
* {{annotated link|Absolute convergence#Rearrangements and unconditional convergence|Rearrangements and unconditional convergence/Dvoretzky&ndash;Rogers theorem}}
* {{annotated link|Riemann series theorem}}

==संदर्भ==

{{reflist}}

* Ch. Heil: [http://www.math.gatech.edu/~heil/papers/bases.pdf A Basis Theory Primer]
* {{cite book
| last = Knopp
| first = Konrad
| title = Infinite Sequences and Series
| url = https://archive.org/details/infinitesequence0000knop
| url-access = registration
| isbn = 9780486601533
| publisher = Dover Publications
| year = 1956
}}
* {{cite book
| last = Knopp
| first = Konrad
| title = Theory and Application of Infinite Series
| publisher = Dover Publications
| year = 1990
| isbn = 9780486661650
}}
*{{cite book
| last=Wojtaszczyk
| first=P.
| title=Banach spaces for analysts
| year=1996
| publisher=Cambridge University Press
| isbn=9780521566759}}

{{Analysis in topological vector spaces}}

{{PlanetMath attribution|urlname=unconditionalconvergence|title=Unconditional convergence}}
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