View source for श्वार्ट्ज स्थान

{{Short description|Function space of all functions whose derivatives are rapidly decreasing}}

{{for multi|अर्द्धसरल लाइ ग्रुप का श्वार्ट्ज अंतरिक्ष|हरीश-चंद्र का श्वार्ट्ज अंतरिक्ष|स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह का श्वार्ट्ज अंतरिक्ष|श्वार्ट्ज-ब्रुहट फंक्शन}}
गणित में, श्वार्ट्ज अंतरिक्ष <math>\mathcal{S}</math> के सभी कार्यों  का  स्थान है जिसका [[ यौगिक ]] तीव्रता से घट रहा है। इस स्थान की महत्वपूर्ण संपत्ति है कि [[फूरियर रूपांतरण]] इस स्थान पर [[ automorphism | ऑटोमोर्फिसम]] है। यह संपत्ति दोहरे स्थान में तत्वों के लिए फूरियर रूपांतरण को परिभाषित करने के लिए, द्वैत द्वारा सक्षम करती है <math>\mathcal{S}^*</math> का <math>\mathcal{S}</math>, जैसे [[टेम्पर्ड वितरण]] है। श्वार्ट्ज स्पेस को कभी-कभी श्वार्टज़ फ़ंक्शन कहा जाता है।
[[File:Gaussian 2D.png|thumb|250px|द्वि-आयामी [[गाऊसी समारोह|गाऊसी फ़ंक्शन]] तीव्रता से घटते फ़ंक्शन का  उदाहरण है।]]श्वार्ट्ज अंतरिक्ष का नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ [[लॉरेंट श्वार्ट्ज]] के नाम पर रखा गया है।

== परिभाषा ==

<math>\mathbb{N}</math> गैर-नकारात्मक [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] का [[सेट (गणित)|समुच्चय (गणित)]] हो तो,  <math>n \in \mathbb{N}</math>, के लिए  <math>\mathbb{N}^n := \underbrace{\mathbb{N} \times \dots \times \mathbb{N}}_{n \text{ times}}</math> एन-फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद बनाते है। जो 'तीव्रता से घटते ' <math>\mathbb{R}^n</math> कार्य स्थान है-<math display="block">S \left(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}\right) := \left \{ f \in C^\infty(\mathbb{R}^n, \mathbb{C}) \mid \forall \alpha, \beta \in\mathbb{N}^n, \|f\|_{\alpha,\beta} < \infty\right \},</math>जहाँ <math>C^{\infty}(\mathbb{R}^n, \mathbb{C})</math> से सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है <math>\mathbb{R}^n</math> में <math>\mathbb{C}</math>, और<math display="block">\|f\|_{\alpha,\beta}:= \sup_{x\in\mathbb{R}^n} \left| x^\alpha (D^{\beta} f)(x) \right|.</math>जहाँ, <math>\sup</math> [[ अंतिम ]] को दर्शाता है, और हम [[ बहु-सूचकांक संकेतन ]] का उपयोग करते हैं।

इस परिभाषा में सामान्य भाषा का उपयोग करने से,  तीव्रता से घटते हुए फ़ंक्शन को अनिवार्य रूप से {{math|''f''(''x'')}} कार्य  में माना जाता है जैसे कि- {{math|''f''(''x'')}}, {{math|''f''{{thin space}}′(''x'')}}, {{math|''f''{{thin space}}′′(''x'')}}, है I सभी प्रत्येक स्थान पर सम्मलित हैं {{math|'''R'''}} और {{mvar|x}}. के किसी भी पारस्परिक शक्ति की तुलना में   {{mvar|x}}{{math|→ ±∞}} के रूप में शून्य पर जाएं I विशेष रूप से, {{mvar|S}}({{math|'''R'''}}{{sup|{{mvar|n}}}}, {{math|'''C'''}}) फलन स्थान {{mvar|C}}{{sup|{{math|∞}}}}({{math|'''R'''}}{{sup|{{mvar|n}}}}, {{math|'''C'''}}) का  रेखीय उपस्थान है  जो {{math|'''R'''{{sup|{{mvar|n}}}}}} से {{math|'''C'''}}. तक सुचारू रूप से कार्यों का स्थान है I

== श्वार्ट्ज अंतरिक्ष में कार्यों के उदाहरण ==
* यदि α बहु-सूचकांक और सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] है, तो
*:<math>x^\alpha e^{-a |x|^2} \in \mathcal{S}(\mathbf{R}^n).</math>
* [[ कॉम्पैक्ट समर्थन | कॉम्पैक्ट समर्थन]] वाला कोई भी स्मूथ फंक्शन f S('R''<sup>n</sup>''<nowiki/>') में हैI
*यह स्पष्ट है क्योंकि f का कोई भी व्युत्पन्न निरंतर फलन है और f के समर्थन में समर्थित है, इसलिए (''x<sup>α</sup>D''<sup>β</sup>) ''f'' का शिखर मान प्रमेय द्वारा '''R'''''<sup>n</sup>'' में अधिकतम है।
* क्योंकि श्वार्ट्ज सदिश स्थान है, कोई भी बहुपद <math>\phi(x^\alpha)</math> को कारक से गुणा करके  <math> e^{-ax^2}</math> के लिए <math>a > 0</math> श्वार्ट्ज अंतरिक्ष का तत्व देने के लिए वास्तविक स्थिरांक होता है। विशेष रूप से, श्वार्ट्ज अंतरिक्ष के अंदर बहुपदों का एम्बेडिंग होता है।

== गुण ==

=== विश्लेषणात्मक गुण ===

* जनरल लीबनिज नियम से, इस प्रकार है कि {{math|𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}} [[बिंदुवार उत्पाद]] के अंतर्गत भी बंद है:
*: यदि {{math|''f'', ''g'' ∈ 𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}} फिर उत्पाद {{math|''fg'' ∈ 𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}} है।
* फूरियर रूपांतरण रेखीय समरूपता {{math|F:𝒮('''R'''{{sup|''n''}}) → 𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}} है।
* यदि {{math|''f'' ∈ 𝒮('''R''')}} तब {{mvar|f}}, {{math|'''R'''}} [[समान रूप से निरंतर]] है।
*{{math|𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}}  [[ जटिल संख्या |सम्मिश्र संख्याओं]] के ऊपर प्रतिष्ठित [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|स्थानीय रूप से उत्तल]] फ्रीचेट [[श्वार्ट्ज टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|श्वार्ट्ज टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष]] है।   
* दोनों {{math|𝒮('''R'''{{sup|''n''}})}} और इसका [[मजबूत दोहरी जगह|दृढ़ द्वि स्थान]] भी हैं: 
#[[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष]] को स्थानीय रूप से [[पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर अंतरिक्ष]] करें I
#परमाणु अंतरिक्ष मोंटेल रिक्त स्थान,
:: यह ज्ञात है कि किसी भी मॉन्टेल अंतरिक्ष के सतत द्वि स्थान में अभिसरण करता है, यदि यह [[कमजोर * टोपोलॉजी|अशक्त टोपोलॉजी]] में अभिसरण करता है,{{sfn | Trèves | 2006 | pp=351–359}}
#[[अल्ट्राबोर्नोलॉजिकल स्पेस|अल्ट्राबोर्नोलॉजिकल अंतरिक्ष]],
#रिफ्लेक्सिव बैरेल्ड मैके अंतरिक्ष।

=== अन्य टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के साथ श्वार्टज़ रिक्त स्थान का संबंध ===

*यदि {{math|1 ≤ ''p'' ≤ ∞}}, तो {{math|𝒮('''R'''<sup>''n''</sup>) ⊂ [[Lp space|L<sup>''p''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)]]}}.
*यदि {{math|1 ≤ ''p'' < ∞}}, तो {{math|𝒮('''R'''<sup>''n''</sup>)}}, {{math|L<sup>''p''</sup>('''R'''<sup>''n''</sup>)}} में [[घना सेट|सघन]] होता है I
*सभी बंप कार्यों का स्थान, {{math|C{{su|b=c|p=∞}}('''R'''<sup>''n''</sup>)}},  {{math|𝒮('''R'''<sup>''n''</sup>)}} में सम्मलित होते है I

== यह भी देखें ==
* बंप फंक्शन
* श्वार्ट्ज-ब्रुहट फंक्शन
* परमाणु स्थान

== संदर्भ ==
<references />




=== स्रोत ===
*{{cite book |author-link=Lars Hörmander |first=L. |last=Hörmander |title=रैखिक आंशिक विभेदक ऑपरेटरों I का विश्लेषण, (वितरण सिद्धांत और फूरियर विश्लेषण)|edition=2nd |location=Berlin |publisher=Springer-Verlag |year=1990 |isbn=3-540-52343-X }}
*{{cite book |first=M. |last=Reed |first2=B. |last2=Simon |title=आधुनिक गणितीय भौतिकी के तरीके: कार्यात्मक विश्लेषण I|edition=Revised and enlarged |publisher=Academic Press |location=San Diego |year=1980 |isbn=0-12-585050-6 }}
*{{cite book |first=Elias M. |last=Stein |first2=Rami |last2=Shakarchi |title=फूरियर विश्लेषण: एक परिचय (विश्लेषण I में प्रिंसटन व्याख्यान)|location=Princeton |publisher=Princeton University Press |year=2003 |isbn=0-691-11384-X }}
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}}

{{PlanetMath attribution|id=4444|title=Space of rapidly decreasing functions}}

{{Functional analysis}}

श्रेणी:टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस
केटेगरी: स्मूद फंक्शन
श्रेणी:फूरियर विश्लेषण
श्रेणी:फ़ंक्शन स्पेस
श्रेणी:श्वार्ट्ज वितरण


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[[Category:Created On 17/03/2023]]