View source for आयतन समाकलन

{{Short description|Integral over a 3-D domain}}
{{Calculus |Multivariable}}

गणित में, विशेष रूप से [[बहुभिन्नरूपी कैलकुलस|बहुचर गणना]] '''आयतन समाकल''' या '''आयतन समाकलन''' (∭) 3-[[त्रि-आयामी स्थान|आयामी समष्टि]] पर एक समाकल को संदर्भित करती है अर्थात् यह अनेक समाकलों की एक विशेष स्थिति है। कई अनुप्रयोगों के लिए [[भौतिक विज्ञान]] में आयतन समाकल विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं उदाहरण के लिए [[फ्लक्स|प्रवाह]] घनत्व की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जाता है।

== निर्देशांक ==
इसका तात्पर्य किसी फलन <math>f(x,y,z),</math> के क्षेत्र <math>D \subset \R^3</math> के भीतर बहु समाकल भी हो सकता है इसे सामान्यतः इस प्रकार लिखा जाता है:<math display="block">\iiint_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.</math>[[बेलनाकार निर्देशांक|बेलनाकार निर्देशांकों]] में आयतन समाकल है:<math display="block">\iiint_D f(\rho,\varphi,z) \rho \,d\rho \,d\varphi \,dz,</math>गोलीय निर्देशांकों में आयतन समाकल आईएसओ फलन का प्रयोग करते हुए कोणों के लिए <math>\varphi</math> दिगंश के रूप में और <math>\theta</math> ध्रुवीय अक्ष से मापा जाता है:<math display="block">\iiint_D f(r,\theta,\varphi) r^2 \sin\theta \,dr \,d\theta\, d\varphi .</math>
== उदाहरण ==

समीकरण का समाकल <math> f(x,y,z) = 1 </math> एक इकाई घन पर निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होता है:
<math display="block">\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 1 \,dx \,dy \,dz = \int_0^1 \int_0^1 (1 - 0) \,dy \,dz = \int_0^1 \left(1 - 0\right) dz = 1 - 0 = 1</math>
अतः इकाई घन का आयतन अपेक्षित मान 1 है। हालांकि यह अपेक्षाकृत तुच्छ है और आयतन समाकल कहीं अधिक प्रभावी है। उदाहरण के लिए यदि हमारे पास इकाई घन पर एक अदिश घनत्व फलन है तो आयतन समाकल घन का कुल द्रव्यमान होगा। उदाहरण के लिए घनत्व फलन निम्न है: <math display="block"> \begin{cases}
f: \R^3 \to \R \\
f: (x,y,z) \mapsto x+y+z
\end{cases}</math>घन का कुल द्रव्यमान है:
<math display="block">\int_0^1 \int_0^1 \int_0^1 (x+y+z) \,dx \,dy \,dz = \int_0^1 \int_0^1 \left(\frac 1 2 + y + z\right) dy \,dz = \int_0^1 (1 + z) \, dz = \frac 3 2</math>
== यह भी देखें ==
{{Portal|Mathematics}}
* [[विचलन प्रमेय|अपसरण प्रमेय]]
* [[भूतल अभिन्न|पृष्ठीय समाकल]]
* [[मात्रा तत्व|आयतन अल्पांश]]

==बाहरी संबंध==
* {{springer|title=Multiple integral|id=p/m065370}}
* {{MathWorld|VolumeIntegral|Volume integral}}

{{Calculus topics}}

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