View source for भागफल नियम

{{Calculus |Differential}}
{{short description|Formula for the derivative of a ratio of functions}}
कलन में, भागफल नियम एक फलन (गणित) का अवकलज ज्ञात करने की एक विधि है जो दो अलग-अलग फलनों का अनुपात है।<ref>{{cite book | last=Stewart | first=James | author-link=James Stewart (mathematician) | title=Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=6th | year=2008 | isbn=978-0-495-01166-8 | url-access=registration | url=https://archive.org/details/calculusearlytra00stew_1 }}</ref><ref>{{cite book | last1=Larson | first1=Ron | author-link=Ron Larson (mathematician)| last2=Edwards | first2=Bruce H. | title=गणना| publisher=[[Brooks/Cole]] | edition=9th | year=2009 | isbn=978-0-547-16702-2}}</ref><ref>{{cite book | last1 = Thomas | first1 = George B. | last2=Weir | first2= Maurice D. | last3=Hass | first3=Joel | author3-link = Joel Hass | author-link=George B. Thomas | title=Thomas' Calculus: Early Transcendentals | publisher=[[Addison-Wesley]] | year=2010 | edition=12th | isbn=978-0-321-58876-0}}</ref> होने देना <math>h(x)=f(x)/g(x),</math> जहां दोनों {{mvar|f}} और {{mvar|g}} अवकलनीय हैं और <math>g(x)\neq 0.</math> भागफल नियम बताता है कि व्युत्पन्न {{math|''h''(''x'')}} है
:<math>h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.</math>
अन्य अवकलन नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।

== उदाहरण ==

=== उदाहरण 1: मूल उदाहरण ===

दिया गया <math>h(x)=\frac{e^x}{x^2}</math>, होने देना <math>f(x)=e^x, g(x)=x^2</math>, फिर भागफल नियम का उपयोग करके:<math display="block">\begin{align}
    \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x}{x^2}\right) &= \frac{\left(\frac{d}{dx}e^x\right)(x^2) - (e^x)\left(\frac{d}{dx} x^2\right)}{(x^2)^2} \\
     &= \frac{(e^x)(x^2) - (e^x)(2x)}{x^4} \\
     &= \frac{x^2 e^x - 2x e^x}{x^4} \\
     &= \frac{x e^x - 2 e^x}{x^3} \\
     &= \frac{e^x(x - 2)}{x^3}.
  \end{align}</math>


=== उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का अवकलज ===

के व्युत्पन्न को खोजने के लिए भागफल नियम का उपयोग किया जा सकता है <math>\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}</math> निम्नलिखित नुसार:
<math display="block">\begin{align}
    \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\
    &= \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)(\cos x) - (\sin x)\left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \\
    &= \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} \\
    &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\
    &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x.
 \end{align}</math>


== पारस्परिक नियम ==
{{Main|Reciprocal rule}}
पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष मामला है जिसमें अंश <math>f(x)=1</math>. भागफल नियम लागू करने से देता है<math display="block">h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{g(x)^2}=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}.</math>


== प्रमाण ==

=== व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुण === से सबूत
होने देना <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.</math> डेरिवेटिव की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को लागू करने से शब्द के साथ निम्नलिखित प्रमाण मिलता है <math>f(x) g(x)</math> मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और फैक्टरिंग की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया:<math display="block">\begin{align}
   h'(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{h(x+k) - h(x)}{k} \\
   &= \lim_{k\to 0} \frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{k} \\
   &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x+k)}{k \cdot g(x)g(x+k)} \\
   &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x+k)}{k} \cdot \lim_{k\to 0}\frac{1}{g(x)g(x+k)} \\
   &= \lim_{k\to 0} \left[\frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+k)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\
   &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x)}{k} - \lim_{k\to 0}\frac{f(x)g(x+k) - f(x)g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\
   &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{k\to 0}\frac{g(x+k) - g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\
   &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
 \end{align}</math>सीमा मूल्यांकन <math>\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}</math> की भिन्नता द्वारा न्यायोचित है <math>g(x)</math>, निरंतरता का अर्थ है, जिसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है <math>\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)</math>.

===अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करके सबूत ===
होने देना <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},</math> इसलिए <math>f(x) = g(x)h(x).</math> उत्पाद नियम तब देता है <math>f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x).</math> के लिए हल करना <math>h'(x)</math> और के लिए वापस प्रतिस्थापित करना <math>h(x)</math> देता है:
<math display="block">\begin{align}
 h'(x) &= \frac{f'(x) -g'(x)h(x)}{g(x)} \\
 &= \frac{f'(x) - g'(x)\cdot\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} \\
 &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
 \end{align}</math>


=== व्युत्क्रम नियम या श्रृंखला नियम === का उपयोग करके सबूत
होने देना <math>h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}.</math> फिर उत्पाद नियम देता है<math display="block">h'(x) = f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].</math>दूसरे कार्यकाल में व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने के लिए, [[पारस्परिक नियम]] या [[श्रृंखला नियम]] के साथ [[शक्ति नियम]] लागू करें: <math>\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = -\frac{1}{g(x)^2} \cdot g'(x) = \frac{-g'(x)}{g(x)^2}.</math>
परिणाम को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है<math display="block">\begin{align}
   h'(x) &= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left[\frac{-g'(x)}{g(x)^2}\right] \\
   &= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\
   &= \frac{f'(x)g(x) -  f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
 \end{align}</math>


=== लघुगणकीय विभेदीकरण द्वारा प्रमाण ===
होने देना <math>h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.</math> समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और [[प्राकृतिक]] लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है<math display="block">\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|</math>निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को लागू करना,<math display="block">\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|</math>दोनों पक्षों का [[लघुगणक व्युत्पन्न]] लेने पर, <math display="block">\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}</math>के लिए हल करना <math>h'(x)</math> और वापस प्रतिस्थापित करना <math>f(x)/g(x)</math> के लिए <math>h(x)</math> देता है:<math display="block">\begin{align}
h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
&=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\
&=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\
&=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}.
\end{align}</math>नोट: कार्यों के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है ताकि कार्यों के [[लॉगरिदमिक भेदभाव]] को नकारात्मक मान हो सकें, क्योंकि लॉगरिदम केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि <math>\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}</math>, जो लॉगरिदमिक भेदभाव के लिए कार्यों का पूर्ण मूल्य लेने का औचित्य साबित करता है।

== उच्च क्रम डेरिवेटिव्स ==
गणना करने के लिए अंतर्निहित भेदभाव का उपयोग किया जा सकता है {{mvar|n}भागफल का वें व्युत्पन्न (आंशिक रूप से इसके पहले के संदर्भ में {{math|''n'' &minus; 1}} डेरिवेटिव)। उदाहरण के लिए, भेद करना <math>f=gh</math> दो बार (परिणामस्वरूप <math>f'' = g''h + 2g'h' + gh''</math>) और उसके बाद के लिए हल करना <math>h''</math> पैदावार<math display="block">h'' = \left(\frac{f}{g}\right)'' = \frac{f''-g''h-2g'h'}{g}.</math>


== यह भी देखें ==

* {{annotated link|Chain rule}}
* {{annotated link|Differentiation of integrals}}
* {{annotated link|Differentiation rules}}
* {{annotated link|General Leibniz rule}}
* {{annotated link|Inverse functions and differentiation}}
* {{annotated link|Linearity of differentiation}}
* {{annotated link|Product rule}}
* {{annotated link|Reciprocal rule}}
* {{annotated link|Table of derivatives}}
* {{annotated link|Vector calculus identities}}

==संदर्भ==

{{reflist}}

{{Calculus topics}}
[[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: विभेदन नियम]] [[Category: विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: पथरी में प्रमेय]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 10/04/2023]]