View source for सामान्यीकृत मैक्सवेल मॉडल

[[Image:Weichert.svg|right|thumb|300px| मैक्सवेल-वीचर्ट प्रारूप का योजनाबद्ध]]सामान्यीकृत मैक्सवेल प्रारूप को मैक्सवेल-विचर्ट प्रारूप के रूप में भी जाना जाता है ([[जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] और ई विचर्ट के बाद)<ref name=Wiechert1>Wiechert, E (1889); "<!--Original spelling-->Ueber elastische Nachwirkung", Dissertation, Königsberg University, Germany</ref><ref name=Wiechert2>Wiechert, E (1893); "Gesetze der elastischen Nachwirkung für constante Temperatur", Annalen der Physik, Vol. 286, [https://doi.org/10.1002/andp.18932861011 issue 10, p. 335–348] and [https://doi.org/10.1002/andp.18932861110 issue 11, p. 546–570]</ref>) श्यानताप्रत्यस्थ के लिए रैखिक प्रारूप का सबसे सामान्य रूप है। इस प्रारूप में कई [[मैक्सवेल सामग्री|मैक्सवेल तत्व]] समानांतर में एकत्रित होते हैं। यह ध्यान में रखा जाता है कि [[आराम का समय|छूट एक बार में नहीं,]] बल्कि समय के समुच्चय में होता है। अलग-अलग लंबाई के आणविक खंडों की उपस्थिति के कारण, छोटे वाले लंबे समय से कम योगदान देते हैं, अलग-अलग समय वितरण होता है। वीचर्ट प्रारूप वितरण को सही रूप से दर्शाने के लिए जितने आवश्यक हैं उतने स्प्रिंग-डैशपॉट मैक्सवेल तत्व होने से यह दिखाता है। दाईं ओर का आंकड़ा सामान्यीकृत वीचर्ट प्रारूप दिखाता है।<ref name=Roylance>Roylance, David (2001); "Engineering Viscoelasticity", 14-15</ref><ref name=Tschoegl>Tschoegl, Nicholas W. (1989); "The Phenomenological Theory of Linear Viscoelastic Behavior", 119-126</ref> 


== सामान्य प्रारूप प्रपत्र ==

=== ठोस ===
दिया गया <math>N+1</math> मोडुली के साथ तत्व <math>E_i</math>, श्यानताप्रत्यस्थ <math>\eta_i</math>, और छूट का समय <math>\tau_i=\frac{\eta_i}{E_i}</math>

ठोस के लिए प्रारूप का सामान्य रूप किसके द्वारा दिया गया है :
{{Equation box 1 |title = '''General Maxwell Solid Model''' ({{EquationRef|1}}) |equation = 
<!--                                start of stress components                   -->
<math>\sigma+</math>
<math>
\sum^{N}_{n=1}{
\left({
\sum^{N-n+1}_{i_1=1}{
...
\left({
\sum^{N-\left({n-a}\right)+1}_{i_a=i_{a-1}+1}{
...
\left({
\sum^{N}_{i_n=i_{n-1}+1}{
\left({
\prod_{j\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
\tau_j
}
}\right)
}
}\right)
...
}
}\right)
...
}
}\right)
\frac{\partial^{n}{\sigma}}{\partial{t}^{n}}
}
</math>
<!--                                end of stress components                     -->

<math> = </math>
<!--                                start of strain components                   -->

<math>E_0\epsilon+</math>
<math>
\sum^{N}_{n=1}{
\left({
\sum^{N-n+1}_{i_1=1}{
...
\left({
\sum^{N-\left({n-a}\right)+1}_{i_a=i_{a-1}+1}{
...
\left({
\sum^{N}_{i_n=i_{n-1}+1}{
\left({
\left({
E_0+\sum_{j\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
E_j
}
}\right)
\left({
\prod_{k\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
\tau_k
}
}\right)
}\right)
}
}\right)
...
}
}\right)
...
}
}\right)
\frac{\partial^{n}{\epsilon}}{\partial{t}^{n}}
}
</math>
<!--                                end of strain components                     -->
|cellpadding = 6 |border = 1 |border colour = black |background colour = white}}

{{divhide|This may be more easily understood by showing the model in a slightly more expanded form:}}
{{Equation box 1 |title = '''General Maxwell Solid Model''' ({{EquationRef|2}}) |equation = 
<!--                                start of stress components                   -->
<math>\sigma+</math>
<math>
{\left({\sum^{N}_{i=1}{\tau_i}}\right)}
\frac{\partial{\sigma}}{\partial{t}}
+
</math>
<math>
{\left({\sum^{N-1}_{i=1}{
\left({\sum^{N}_{j=i+1}{
\tau_i\tau_j
}}\right)
}}\right)}
\frac{\partial^{2}{\sigma}}{\partial{t}^{2}}
</math>
<math>+...+</math>

<math>
\left({
\sum^{N-n+1}_{i_1=1}{
...
\left({
\sum^{N-\left({n-a}\right)+1}_{i_a=i_{a-1}+1}{
...
\left({
\sum^{N}_{i_n=i_{n-1}+1}{
\left({
\prod_{j\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
\tau_j
}
}\right)
}
}\right)
...
}
}\right)
...
}
}\right)
\frac{\partial^{n}{\sigma}}{\partial{t}^{n}}
</math>
<math>+...+</math>
<math>
\left({
\prod^{N}_{i=1}{
\tau_i
}
}\right)
\frac{\partial^{N}{\sigma}}{\partial{t}^{N}}
</math>
<!--                                end of stress components                     -->

<math> = </math>
<!--                                start of strain components                   -->

<math>E_0\epsilon+</math>
<math>
{\left({\sum^{N}_{i=1}{\left({E_0+E_i}\right)\tau_i}}\right)}
\frac{\partial{\epsilon}}{\partial{t}}
+
</math>
<math>
{\left({\sum^{N-1}_{i=1}{
\left({\sum^{N}_{j=i+1}{
\left({E_0+E_i+E_j}\right)
\tau_i\tau_j
}}\right)
}}\right)}
\frac{\partial^{2}{\epsilon}}{\partial{t}^{2}}
</math>
<math>+...+</math>

<math>
\left({
\sum^{N-n+1}_{i_1=1}{
...
\left({
\sum^{N-\left({n-a}\right)+1}_{i_a=i_{a-1}+1}{
...
\left({
\sum^{N}_{i_n=i_{n-1}+1}{
\left({
\left({
E_0+\sum_{j\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
E_j
}
}\right)
\left({
\prod_{k\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
\tau_k
}
}\right)
}\right)
}
}\right)
...
}
}\right)
...
}
}\right)
\frac{\partial^{n}{\epsilon}}{\partial{t}^{n}}
</math>
<math>+...+</math>
<math>
\left({
E_0+\sum_{j=1}^{N} E_j
}\right)
\left({
\prod^{N}_{i=1}{
\tau_i
}
}\right)
\frac{\partial^{N}{\epsilon}}{\partial{t}^{N}}
</math>
<!--                                end of strain components                     -->
|cellpadding = 6 |border = 1 |border colour = black |background colour = white}}
{{divhide|end}}

==== उदाहरण: [[मानक रैखिक ठोस मॉडल|मानक रैखिक ठोस प्रारूप]] ====
उपरोक्त प्रारूप के साथ <math>N+1=2</math> तत्व मानक रैखिक ठोस प्रारूप उत्पन्न करते हैं:
{{Equation box 1 |title = '''[[standard linear solid model|Standard Linear Solid Model]]''' ({{EquationRef|3}}) |equation = 
<math>
\sigma+\tau_1\frac{\partial{\sigma}}{\partial{t}}=E_0\epsilon+\tau_1\left({E_0+E_1}\right)\frac{\partial{\epsilon}}{\partial{t}}
</math>
|cellpadding = 6 |border = 1 |border colour = black |background colour = white}}

=== तरल पदार्थ ===
दिया गया <math>N+1</math> मोडुली के साथ तत्व <math>E_i</math>, श्यानताप्रत्यस्थ <math>\eta_i</math>, और छूट का समय <math>\tau_i=\frac{\eta_i}{E_i}</math>

तरल पदार्थ के प्रारूप के लिए सामान्य रूप निम्न द्वारा दिया गया है:
{{Equation box 1 |title = '''General Maxwell Fluid Model''' ({{EquationRef|4}}) |equation = 
<!--                                start of stress components                   -->
<math>\sigma+</math>
<math>
\sum^{N}_{n=1}{
\left({
\sum^{N-n+1}_{i_1=1}{
...
\left({
\sum^{N-\left({n-a}\right)+1}_{i_a=i_{a-1}+1}{
...
\left({
\sum^{N}_{i_n=i_{n-1}+1}{
\left({
\prod_{j\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
\tau_j
}
}\right)
}
}\right)
...
}
}\right)
...
}
}\right)
\frac{\partial^{n}{\sigma}}{\partial{t}^{n}}
}
</math>
<!--                                end of stress components                     -->

<math> = </math>
<!--                                start of strain components                   -->

<math>
\sum^{N}_{n=1}{
\left({
\eta_0+\sum^{N-n+1}_{i_1=1}{
...
\left({
\sum^{N-\left({n-a}\right)+1}_{i_a=i_{a-1}+1}{
...
\left({
\sum^{N}_{i_n=i_{n-1}+1}{
\left({
\left({
\sum_{j\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
E_j
}
}\right)
\left({
\prod_{k\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
\tau_k
}
}\right)
}\right)
}
}\right)
...
}
}\right)
...
}
}\right)
\frac{\partial^{n}{\epsilon}}{\partial{t}^{n}}
}
</math>
<!--                                end of strain components                     -->
|cellpadding = 6 |border = 1 |border colour = black |background colour = white}}

{{divhide|This may be more easily understood by showing the model in a slightly more expanded form:}}
{{Equation box 1 |title = '''General Maxwell Fluid Model''' ({{EquationRef|5}}) |equation = 
<!--                                start of stress components                   -->
<math>\sigma+</math>
<math>
{\left({\sum^{N}_{i=1}{\tau_i}}\right)}
\frac{\partial{\sigma}}{\partial{t}}
+
</math>
<math>
{\left({\sum^{N-1}_{i=1}{
\left({\sum^{N}_{j=i+1}{
\tau_i\tau_j
}}\right)
}}\right)}
\frac{\partial^{2}{\sigma}}{\partial{t}^{2}}
</math>
<math>+...+</math>

<math>
\left({
\sum^{N-n+1}_{i_1=1}{
...
\left({
\sum^{N-\left({n-a}\right)+1}_{i_a=i_{a-1}+1}{
...
\left({
\sum^{N}_{i_n=i_{n-1}+1}{
\left({
\prod_{j\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
\tau_j
}
}\right)
}
}\right)
...
}
}\right)
...
}
}\right)
\frac{\partial^{n}{\sigma}}{\partial{t}^{n}}
</math>
<math>+...+</math>
<math>
\left({
\prod^{N}_{i=1}{
\tau_i
}
}\right)
\frac{\partial^{N}{\sigma}}{\partial{t}^{N}}
</math>
<!--                                end of stress components                     -->

<math> = </math>
<!--                                start of strain components                   -->

<math>
{\left({\eta_0+\sum^{N}_{i=1}{E_i\tau_i}}\right)}
\frac{\partial{\epsilon}}{\partial{t}}
+
</math>
<math>
{\left({\eta_0+\sum^{N-1}_{i=1}{
\left({\sum^{N}_{j=i+1}{
\left({E_i+E_j}\right)
\tau_i\tau_j
}}\right)
}}\right)}
\frac{\partial^{2}{\epsilon}}{\partial{t}^{2}}
</math>
<math>+...+</math>

<math>
\left({
\eta_0+
\sum^{N-n+1}_{i_1=1}{
...
\left({
\sum^{N-\left({n-a}\right)+1}_{i_a=i_{a-1}+1}{
...
\left({
\sum^{N}_{i_n=i_{n-1}+1}{
\left({
\left({
\sum_{j\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
E_j
}
}\right)
\left({
\prod_{k\in\left\{{i_1,...,i_n}\right\}}{
\tau_k
}
}\right)
}\right)
}
}\right)
...
}
}\right)
...
}
}\right)
\frac{\partial^{n}{\epsilon}}{\partial{t}^{n}}
</math>
<math>+...+</math>
<math>
\left({
\eta_0+
\left({
\sum_{j=1}^{N} E_j
}\right)
\left({
\prod^{N}_{i=1}{
\tau_i
}
}\right)
}\right)
\frac{\partial^{N}{\epsilon}}{\partial{t}^{N}}
</math>
<!--                                end of strain components                     -->
|cellpadding = 6 |border = 1 |border colour = black |background colour = white}}
{{divhide|end}}

==== उदाहरण: तीन पैरामीटर द्रव ====
मानक रेखीय ठोस प्रारूप के अनुरूप प्रारूप तीन पैरामीटर द्रव है, जिसे जेफ़रीज़ प्रारूप के रूप में भी जाना जाता है:<ref>{{cite book
| last = Gutierrez-Lemini
| first = Danton
| authorlink =
| title = Engineering Viscoelasticity
| publisher = Springer
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| edition =
| year = 2013
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| isbn = 9781461481393
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| zbl =
| jfm =
}}</ref>
{{Equation box 1 |title = '''Three Parameter Maxwell Fluid Model''' ({{EquationRef|6}}) |equation = 
<math>
\sigma+\tau_1\frac{\partial{\sigma}}{\partial{t}}=\left({\eta_0+\tau_1 E_1}\right)\frac{\partial{\epsilon}}{\partial{t}}
</math>
|cellpadding = 6 |border = 1 |border colour = black |background colour = white}}

==संदर्भ==
<references/>
[[Category: पदार्थ विज्ञान]] [[Category: गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ]] [[Category: जेम्स क्लर्क मैक्सवेल]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 24/03/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]