View source for माधव श्रृंखला

{{Short description|Mathematical series}}
{{Use dmy dates|date=October 2019}}

गणित में, एक माधव श्रृंखला 14वीं या 15वीं शताब्दी में [[केरल]] में संगमग्राम के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री माधव (सी. 1350 - सी. 1425) या उनके अनुयायियों द्वारा केरल स्कूल में खगोलिकी और अंक शास्त्र में खोजे गए ज्या, [[ कोज्या |कोज्या]] और [[स्पर्शरेखा]] फ़ंक्शन (गणित) के लिए तीन [[टेलर श्रृंखला]] विस्तारों में से एक है (सी. 1350 – सी. 1425)। या [[केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स]] में उनके अनुयायी।<ref>{{harvnb|Gupta|1987}}; {{harvnb|Katz|1995}}; {{harvnb|Roy|2021|loc=Ch. 1. Power Series in Fifteenth-Century Kerala, pp.&nbsp;1–22}}</ref> आधुनिक संकेतन का उपयोग करते हुए, ये श्रृंखलाएँ हैं:

:<math>\begin{alignat}{3}
\sin \theta
&= \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \cdots
&&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k+1)!}\theta^{2k+1},
\\[10mu]
\cos \theta
&= 1 - \frac{\theta^2}{2!} + \frac{\theta^4}{4!} - \frac{\theta^6}{6!} + \cdots
&&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{(2k)!}\theta^{2k},
\\[10mu]
\arctan x
&= x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots
&&= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{2k+1}x^{2k+1} \quad \text{where } |x| \leq 1.
\end{alignat}</math>
तीनों श्रृंखलाओं को बाद में 17वीं सदी के यूरोप में स्वतंत्र रूप से खोजा गया। 1669 में [[आइजैक न्यूटन]] द्वारा साइन और कोसाइन की श्रृंखला को फिर से खोजा गया,<ref>Newton (1669) ''[[De analysi per aequationes numero terminorum infinitas]]'' was circulated as a manuscript but not published until 1711. For context, see:{{pb}}{{harvnb|Roy|2021|loc=Ch. 8. ''De Analysi per Aequationes Infinitas'', pp.&nbsp;165–185}}.{{pb}}Leibniz later included the series for sine and cosine in Leibniz (1676) ''De quadratura arithmetica circuli ellipseos et hyperbola cujus corollarium est trigonometria sine tabulis'', which was only finally published in 1993. However, he had been sent Newton's sine and cosine series by [[Henry Oldenburg]] in 1675 and did not claim to have discovered them. See:{{pb}}{{cite book |last=Probst |first=Siegmund |year=2015 |chapter=Leibniz as reader and second inventor: The cases of Barrow and Mengoli |editor1-last=Goethe |editor1-first=N. |editor2-last=Beeley |editor2-first=P. |editor3-last=Rabouin |editor3-first=D. |title=G.W. Leibniz, Interrelations between Mathematics and Philosophy |pages=111-134 |publisher=Springer |doi=10.1007/978-94-017-9664-4_6 }}</ref> और 1671 में जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) और 1673 में [[गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज]] द्वारा आर्कटेंजेंट के लिए श्रृंखला की खोज की गई थी,<ref>Gregory received a letter from [[John Collins (mathematician)|John Collins]] including Newton's sine and cosine series in late 1670. He discovered the general [[Taylor series]] and sent a now-famous letter back to Collins in 1671 including several specific series including the arctangent. See {{harvnb|Roy|1990}}.{{pb}}{{cite journal |last=Horvath |first=Miklos |title=On the Leibnizian quadrature of the circle. |journal=Annales Universitatis Scientiarum Budapestiensis (Sectio Computatorica) |volume=4 |year=1983 |pages=75-83 |url=http://ac.inf.elte.hu/Vol_004_1983/075.pdf }}</ref> और इसे पारंपरिक रूप से ग्रेगरी की श्रृंखला कहा जाता है। विशिष्ट मान <math display=inline>\arctan 1 = \tfrac14\pi</math> वृत्त स्थिरांक की गणना करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है {{pi}}, और आर्कटैंजेंट श्रृंखला के लिए {{math|1}} को पारंपरिक रूप से π|लीबनिज़ की श्रृंखला के लिए लीबनिज़ सूत्र कहा जाता है।

माधव की [[वैज्ञानिक प्राथमिकता]] को स्वीकार करते हुए, हाल के साहित्य में इन श्रृंखलाओं को कभी-कभी माधव-न्यूटन श्रृंखला कहा जाता है,<ref>For example:{{pb}}{{cite book |last=Plofker |first=Kim |year=2005 |chapter=Relations between approximations to the sine in Kerala mathematics |title=Contributions to the History of Indian Mathematics |editor1-last= Emch |editor1-first=Gérard G. |editor2-last=Sridharan |editor2-first=R. |editor3-last=Srinivas |editor3-first=M. D. |publisher=Hindustan Book Agency |location=Gurgaon |pages=135-152 |doi=10.1007/978-93-86279-25-5_6 }}{{pb}}{{cite journal |last=Filali |first=Mahmoud |year=2012 |title=Harmonic analysis and applications |journal=Kybernetes |volume=41 |pages=129-144 |doi=10.1108/03684921211213160 }}</ref> माधव-ग्रेगरी श्रृंखला,<ref>For example: {{harvnb|Gupta|1973}}; {{harvnb|Joseph|2011|page=428}};{{pb}}{{cite journal |last=Levrie |first=Paul |year=2011 |title=Lost and Found: An Unpublished {{math|''ζ''(2)}}-Proof |journal=Mathematical Intelligencer |volume=33 |pages=29–32 |doi=10.1007/s00283-010-9179-y}}</ref> या माधव-लीबनिज श्रृंखला<ref>For example: {{harvnb|Gupta|1992}};{{pb}}{{cite journal |last=Pouvreau |first=David |year=2015 |title=Sur l'accélération de la convergence de la série de Madhava-Leibniz |language=fr |journal=Quadrature |volume=97 |pages=17–25 |url=https://hal.science/hal-03186128 }}{{pb}}{{cite journal |last=Young |first=Paul Thomas |year=2022 |title=From Madhava–Leibniz to Lehmer’s Limit |journal=American Mathematical Monthly |volume=129 |number=6 |pages=524-538 |doi=10.1080/00029890.2022.2051405 }}</ref> (अन्य संयोजनों के बीच)।<ref>For example,{{pb}} 
''Madhava–Gregory–Leibniz series'': {{cite journal |last1=Benko |first1=David |last2=Molokach |first2=John |year=2013 |title=The Basel Problem as a Rearrangement of Series |journal=College Mathematics Journal |volume=44 |issue=3 |pages=171-176 |doi=10.4169/college.math.j.44.3.171 }}{{pb}}''Madhava–Leibniz–Gregory series'': {{cite book |last=Danesi |first=Marcel |year=2021 |chapter=1. Discovery of π and Its Manifestations |title=Pi ({{mvar|π}}) in Nature, Art, and Culture |publisher=Brill |pages=1–30 |doi=10.1163/9789004433397_002 }}{{pb}}''Nilakantha–Gregory series'': {{cite journal |last=Campbell |first=Paul J. |year=2004 |department=Reviews |title=Borwein, Jonathan, and David Bailey, ''Mathematics by Experiment'' |journal=Mathematics Magazine |volume=77 |number=2 |page=163 |doi=10.1080/0025570X.2004.11953245}}{{pb}}''Gregory–Leibniz–Nilakantha formula'': {{cite journal |last1=Gawrońska |first1=Natalia |last2=Słota |first2=Damian |last3=Wituła |first3=Roman |last4=Zielonka |first4=Adam |year=2013 |title=Some generalizations of Gregory's power series and their applications |journal=Journal of Applied Mathematics and Computational Mechanics |volume=12 |number=3 |url=https://amcm.pcz.pl/2013_3/art_09.pdf }}</ref>
माधव के किसी भी जीवित कार्य में उन भावों के बारे में स्पष्ट कथन नहीं हैं जिन्हें अब माधव श्रृंखला कहा जाता है। हालाँकि, बाद के केरल के गणितज्ञों [[ नीलकण्ठा सोमयाजी ]] और [[ज्येष्ठदेव]] के लेखन में माधव को इन श्रृंखलाओं के स्पष्ट गुण मिल सकते हैं। बाद के इन कार्यों में ऐसे प्रमाण और भाष्य भी शामिल हैं जो बताते हैं कि श्रृंखला में माधव कैसे पहुंचे होंगे।

== माधव श्रृंखला माधव के ही शब्दों में ==
माधव की कोई भी रचना, जिसमें उनके नाम से कोई भी श्रंखला अभिव्यक्ति शामिल है, बची नहीं है। ये श्रृंखला भाव केरल के खगोल विज्ञान और गणित स्कूल में माधव के अनुयायियों के लेखन में पाए जाते हैं। कई स्थानों पर इन लेखकों ने स्पष्ट रूप से कहा है कि ये माधव द्वारा बताए गए हैं। इस प्रकार [[ तन्त्रसंग्रहा ]] और उसके भाष्य में पाई जाने वाली विभिन्न श्रंखलाओं की व्याख्या को सुरक्षित रूप से माधव के ही शब्दों में माना जा सकता है। [[सँकरा वॉरिअर]] (लगभग 1500 - 1560 CE) द्वारा तंत्रसंग्रह (जिसे तंत्रसंग्रह-व्याख्या के रूप में भी जाना जाता है) की युक्तिदीपिका टिप्पणी में दिए गए प्रासंगिक छंदों के अनुवाद नीचे पुन: प्रस्तुत किए गए हैं। इसके बाद इन्हें वर्तमान गणितीय अंकन में प्रस्तुत किया जाता है।{{sfn|Bag|1976}}{{sfn|Raju|2007|pages=114–120}}

==माधव की ज्या श्रंखला==

=== माधव के अपने शब्दों में ===

माधव की साइन श्रृंखला शंकर वरियार द्वारा युक्ति-दीपिका कमेंट्री (तंत्रसंग्रह-व्याख्य) में 2.440 और 2.441 छंदों में बताई गई है। छंद का अनुवाद इस प्रकार है।

चाप के वर्ग से चाप को गुणा करें, और इसे दोहराने का परिणाम लें (कितनी बार)। क्रमिक सम संख्याओं के वर्गों से विभाजित करें (जैसे कि वर्तमान को पिछले से गुणा किया जाता है) उस संख्या से बढ़ाकर और त्रिज्या के वर्ग से गुणा किया जाता है। चाप और क्रमिक परिणाम एक के नीचे एक रखें, और प्रत्येक को ऊपर वाले से घटाएं। ये मिलकर ज्या, कोटि-ज्या और उत्क्रम-ज्या [साइन] देते हैं, जैसा कि विदवान आदि से शुरू होने वाले छंद में एक साथ एकत्र किया गया है।

=== आधुनिक अंकन में प्रतिपादन ===

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या और s चाप-लंबाई को निरूपित करता है।

*निम्नलिखित अंश पहले बनते हैं:
*: <math>s \cdot s^2 ,\qquad s \cdot s^2 \cdot s^2 , \qquad s \cdot s^2 \cdot s^2 \cdot s^2, \qquad \cdots</math>
*फिर इन्हें पद्य में निर्दिष्ट मात्राओं से विभाजित किया जाता है।
*: <math>s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}, \qquad s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2+4)r^2},\qquad s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2+4)r^2}\cdot \frac{s^2}{(6^2+6)r^2}, \qquad \cdots </math>
*आर्क और क्रमिक परिणाम एक के नीचे एक रखें, और जीव प्राप्त करने के लिए प्रत्येक को ऊपर वाले से घटाएं:
*:<math> \text{jiva}= s - \left [ s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2} - \left [ s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2+4)r^2} -\left [ s\cdot \frac{s^2}{(2^2+2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2+4)r^2}\cdot \frac{s^2}{(6^2+6)r^2}-\cdots\right]\right]\right] </math>


=== वर्तमान अंकन में परिवर्तन ===

मान लीजिए θ वृत्त के केंद्र पर चाप s द्वारा बनाया गया कोण है। तब s = r θ और जीव = r sin θ। इन्हें अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें प्राप्त होता है
:<math>\sin \theta = \theta - \frac{\theta^3}{3!} + \frac{\theta^5}{5!} - \frac{\theta^7}{7!} + \quad \cdots </math>
जो कि साइन फलन का अनंत शक्ति श्रृंखला विस्तार है।

=== संख्यात्मक गणना के लिए माधव का सुधार ===
छंद की अंतिम पंक्ति 'विद्वान आदि से शुरू होने वाले पद्य में एक साथ एकत्रित' माधव द्वारा प्रस्तुत श्रृंखला के एक सुधार का संदर्भ है, जो चाप और त्रिज्या के निर्दिष्ट मूल्यों के लिए आसान संगणना के लिए सुविधाजनक बनाता है।
इस तरह के सुधार के लिए, माधव एक वृत्त के एक चौथाई हिस्से पर विचार करते हैं, जिसकी माप 5400 मिनट (मान लीजिए C मिनट) है और ऐसे वृत्त के विभिन्न चापों के जीवों की आसान गणना के लिए एक योजना विकसित करते हैं। R को एक वृत्त की त्रिज्या होने दें, जिसका एक चौथाई भाग C को मापता है।
माधव ने पहले ही के मूल्य की गणना कर ली थी {{pi}} के लिए अपने श्रृंखला सूत्र का उपयोग करते हुए {{pi}}.{{sfn|Raju|2007|page=119}} के इस मान का उपयोग करना {{pi}}, अर्थात् 3.1415926535922, त्रिज्या R की गणना निम्नानुसार की जाती है:
तब

:आर = 2 × 5400 / {{pi}} = 3437.74677078493925 = 3437 [[art]] 44 [[ arcsecond ]] 48 आर्कसेकंड का साठवां भाग = 3437′ 44′′ 48′′′.

जीव के लिए माधव की अभिव्यक्ति R त्रिज्या के किसी वृत्त के किसी भी चाप s के संगत निम्नलिखित के तुल्य है:

:<math>\begin{align}
\text{jiva } & = s - \frac{s^3}{R^2(2^2+2)} + \frac{s^5}{R^4(2^2+2)(4^2+4)}- \cdots \\[6pt]
& = s  - \left(\frac{s}{C}\right)^3 \left [   \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^3}{3!} 
- \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left [  \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^5}{5!}
 - \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left [  \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^7}{7!} - \cdots  \right ]\right]\right].
\end{align}</math>
माधव अब निम्नलिखित मानों की गणना करते हैं:

{| class="wikitable" style="margin:1em auto;"
|-
! No.
! Expression
! Value
! Value in [[Katapayadi system]]
|-
| &nbsp;&nbsp; 1 &nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>3</sup> / 3! &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 2220&prime; &nbsp; 39&prime;&prime; &nbsp; 40&prime;&prime;&prime;  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; ni-rvi-ddhā-nga-na-rē-ndra-rung &nbsp;&nbsp;
|-
| &nbsp;&nbsp; 2 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>5</sup> / 5!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 273&prime; &nbsp; 57&prime;&prime; &nbsp; 47&prime;&prime;&prime;  &nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp; sa-rvā-rtha-śī-la-sthi-ro &nbsp;&nbsp;
|-
|  &nbsp;&nbsp; 3 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>7</sup> / 7!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 16&prime; &nbsp; 05&prime;&prime; &nbsp; 41&prime;&prime;&prime; &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; ka-vī-śa-ni-ca-ya &nbsp;&nbsp;
|-
|  &nbsp;&nbsp; 4 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>9</sup> / 9!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 33&prime;&prime; &nbsp; 06&prime;&prime;&prime; &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; tu-nna-ba-la &nbsp;&nbsp;
|-
|  &nbsp;&nbsp; 5 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>11</sup> / 11!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 44&prime;&prime;&prime; &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; vi-dvān &nbsp;&nbsp;
|-
|}
जीव की गणना अब निम्नलिखित योजना का उपयोग करके की जा सकती है:

: जीव = s − (s / C)<sup>3</sup> [(2220′ 39′′ 40′′′) - (एस / सी)<sup>2</सुप> [(273' 57'' 47''') - (एस/सी)<sup>2</सुप> [(16' 05'' 41''') - (एस/सी)<sup>2</सुप>[ (33'' 06''') - (एस/सी)<sup>2</sup> (44'' ) ] ] ] ]।

यह 11वें क्रम के टेलर बहुपद द्वारा जीव का सन्निकटन देता है। इसमें केवल एक भाग, छह गुणा और पांच घटाव शामिल हैं। माधव ने संख्यात्मक रूप से कुशल कम्प्यूटेशनल योजना को निम्नलिखित शब्दों में निर्धारित किया है (युक्ति-दीपिका में छंद 2.437 का अनुवाद):

वि-द्वान, तु-न्ना-बा-ला, क-वी-श-नि-च-य, सार-रथा-शि-ल-स्थि-रो, नि-रवि-धा-नग-न-रे- इंद्र-रंग . परिधि के चौथाई भाग (5400′) से विभाजित चाप के वर्ग के क्रम में इन पाँच संख्याओं को क्रमिक रूप से गुणा करें, और अगली संख्या से घटाएँ। (इस प्रकार प्राप्त परिणाम और अगली संख्या के साथ इस प्रक्रिया को जारी रखें।) अंतिम परिणाम को चाप के घन द्वारा परिधि के चौथाई से विभाजित करके गुणा करें और चाप से घटाएं।

== माधव की कोसाइन श्रृंखला ==

=== माधव के अपने शब्दों में ===

माधव की कोज्या श्रंखला शंकर वरियार द्वारा युक्ति-दीपिका भाष्य (तंत्रसंग्रह-व्याख्या) में 2.442 और 2.443 छंदों में बताई गई है। छंद का अनुवाद इस प्रकार है।

चाप के वर्ग को इकाई (यानी त्रिज्या) से गुणा करें और इसे दोहराने का परिणाम लें (कितनी बार)। उत्तरोत्तर सम संख्याओं के वर्ग से विभाजित करें (उपरोक्त अंशों में से प्रत्येक) उस संख्या से घटाकर और त्रिज्या के वर्ग से गुणा करें। लेकिन पहला शब्द (अब) (जो है) दो बार त्रिज्या से विभाजित है। इस प्रकार प्राप्त क्रमिक परिणामों को एक के नीचे एक रखें और प्रत्येक को ऊपर वाले में से घटाएँ। ये मिलकर शर देते हैं जैसा कि स्तेना, स्त्री आदि से शुरू होने वाले छंद में एक साथ एकत्र किया जाता है।

=== आधुनिक अंकन में प्रतिपादन ===

मान लीजिए r वृत्त की त्रिज्या और s चाप-लंबाई को निरूपित करता है।

*निम्नलिखित अंश पहले बनते हैं:
:: <math>r \cdot s^2 ,\qquad r \cdot s^2 \cdot s^2 , \qquad r \cdot s^2 \cdot s^2 \cdot s^2 , \qquad \cdots </math>
*फिर इन्हें पद्य में निर्दिष्ट मात्राओं से विभाजित किया जाता है।
:: <math>r\cdot \frac{s^2}{(2^2 - 2)r^2}, \qquad r\cdot \frac{s^2}{(2^2 - 2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2-4)r^2},\qquad r\cdot \frac{s^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2-4)r^2}\cdot \frac{s^2}{(6^2-6)r^2}, \qquad \cdots </math>
*आर्क और क्रमिक परिणाम एक के नीचे एक रखें, और शर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक को ऊपर वाले से घटाएं:
:: <math> \text{sara}=   r\cdot \frac{s^2}{(2^2 - 2)r^2} - \left [ r\cdot \frac{ s^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2-4)r^2} -\left [ r\cdot \frac{ s^2}{(2^2-2)r^2}\cdot \frac{s^2}{(4^2-4)r^2}\cdot \frac{s^2}{(6^2-6)r^2}-\cdots\right]\right] </math>


=== वर्तमान अंकन में परिवर्तन ===

मान लीजिए θ वृत्त के केंद्र पर चाप s द्वारा बनाया गया कोण है। तब s = rθ और शर = r(1 - cos θ). इन्हें अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें प्राप्त होता है
:<math>1 - \cos \theta = \frac{\theta^2}{2!}  -  \frac{\theta^4}{4!} + \frac{\theta^6}{6!} + \quad \cdots </math>
जो कोज्या फलन की अनंत शक्ति श्रृंखला विस्तार देता है।

=== संख्यात्मक गणना के लिए माधव का सुधार ===

छंद की अंतिम पंक्ति 'स्तन, स्त्री, आदि से शुरू होने वाले छंद में एक साथ एकत्रित' चाप और त्रिज्या के निर्दिष्ट मूल्यों के लिए आसान संगणना के लिए श्रृंखला को सुविधाजनक बनाने के लिए स्वयं माधव द्वारा प्रस्तुत एक सुधार का संदर्भ है।
ज्या श्रृंखला के मामले में, माधव एक वृत्त पर विचार करते हैं जिसका एक चौथाई हिस्सा 5400 मिनट (मान लीजिए C मिनट) को मापता है और ऐसे वृत्त के विभिन्न चापों के शर की आसान गणना के लिए एक योजना विकसित करता है। मान लीजिए R एक वृत्त की त्रिज्या है जिसका एक चौथाई भाग C को मापता है। फिर, ज्या श्रृंखला के मामले में, माधव को मिलता है
आर = 3437' 44'' 48''।

त्रिज्या R के एक वृत्त के किसी चाप s के संगत शर के लिए माधव की अभिव्यक्ति निम्नलिखित के समतुल्य है:

:<math>
\begin{align}
\text{jiva } & = R\cdot \frac{s^2}{R^2(2^2-2)} - R\cdot \frac{s^4}{R^4(2^2-2)(4^2-4)}- \cdots \\
& = \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left[   \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^2}{2!} 
- \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left[  \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^4}{4!}
 - \left(\frac{s}{C}\right)^2 \left[  \frac{R \left(\frac{\pi}{2}\right)^6}{6!} - \cdots  \right]\right]\right]
\end{align}
</math>
माधव अब निम्नलिखित मानों की गणना करते हैं:

{| class="wikitable" style="margin:1em auto;"
|-
! No.
! Expression
! Value
! Value in [[Katapayadi system]]
|-
| &nbsp;&nbsp; 1 &nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>2</sup> / 2! &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 4241&prime; &nbsp; 09&prime;&prime; &nbsp; 00&prime;&prime;&prime;  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; u-na-dha-na-krt-bhu-re-va &nbsp;&nbsp;
|-
| &nbsp;&nbsp; 2 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>4</sup> / 4!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 872&prime; &nbsp; 03&prime;&prime; &nbsp; 05 &prime;&prime;&prime;  &nbsp;&nbsp;
| &nbsp;&nbsp; mī-nā-ngo-na-ra-sim-ha &nbsp;&nbsp;
|-
|  &nbsp;&nbsp; 3 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>6</sup> / 6!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 071&prime; &nbsp; 43&prime;&prime; &nbsp; 24&prime;&prime;&prime; &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; bha-drā-nga-bha-vyā-sa-na &nbsp;&nbsp;
|-
|  &nbsp;&nbsp; 4 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>8</sup> / 8!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 03&prime; &nbsp; 09&prime;&prime; &nbsp; 37&prime;&prime;&prime; &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; su-ga-ndhi-na-ga-nud  &nbsp;&nbsp;
|-
|  &nbsp;&nbsp; 5 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>10</sup> / 10!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 05&prime;&prime; &nbsp; 12&prime;&prime;&prime; &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; strī-pi-śu-na  &nbsp;&nbsp;
|-
|  &nbsp;&nbsp; 6 &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; R &times; ({{pi}} / 2)<sup>12</sup> / 12!  &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; 06&prime;&prime;&prime; &nbsp;&nbsp;
|  &nbsp;&nbsp; ste-na &nbsp;&nbsp;
|-
|}
शर की गणना अब निम्नलिखित योजना का उपयोग करके की जा सकती है:

: शार = (एस / सी)<sup>2</sup> [(4241' 09'' 00''') - (s / C)<sup>2</sup> [ (872′ 03′′ 05”′) − (s / C)<sup>2</सुप> [(071' 43'' 24''') - (एस/सी)<sup>2</sup>[ (03' 09'' 37''') - (एस / सी)<sup>2</sup> [(05'' 12''') - (एस / सी)<sup>2</sup> (06''') ] ] ] ] ]

यह 12वें क्रम के टेलर बहुपद द्वारा शर का सन्निकटन देता है। इसमें एक विभाजन, छह गुणा और पांच घटाव भी शामिल हैं। माधव ने संख्यात्मक रूप से कुशल कम्प्यूटेशनल योजना को निम्नलिखित शब्दों में निर्धारित किया है (युक्ति-दीपिका में श्लोक 2.438 का अनुवाद):

छ: चरण, स्त्रिपिशुन, सुगंधिनगानुद, भद्रांगभव्यासन, मिनांगोनारसिम्हा, उन्धनकृतभुरेव। परिधि के चौथाई से विभाजित चाप के वर्ग से गुणा करें और अगली संख्या से घटाएं। (परिणाम और अगली संख्या के साथ जारी रखें।) अंतिम परिणाम [[उत्क्रम-ज्य]] (आर छंद चिह्न) होगा।

== माधव की चाप स्पर्शरेखा श्रृंखला ==

===In Madhava's own words===

Madhava's arctangent series is stated in verses 2.206 – 2.209 in Yukti-dipika commentary (Tantrasamgraha-vyakhya) by Sankara Variar. A translation of the verses is given below.{{sfn|Raju|2007|page=231}} [[ज्येष्ठदेव]] ने [[युक्तिभाषा]] में भी इस श्रृंखला का वर्णन किया है।<ref>{{Cite web |last1=O'Connor |first1=John J. |last2=Robertson |first2=Edmund F. |year=2000 |title=संगमग्राम के माधव|url=https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Madhava/ |website=[[MacTutor History of Mathematics archive]]}}</ref>{{sfn|Gupta|1973}}{{sfn|Sarma|1972}}

अब, केवल उसी तर्क से, वांछित ज्या के चाप का निर्धारण (बनाया) जा सकता है। वह इस प्रकार है: पहला परिणाम वांछित ज्या और चाप के कोज्या से विभाजित त्रिज्या का गुणनफल है। जब किसी ने साइन के वर्ग को गुणक और कोसाइन के वर्ग को भाजक बना दिया है, तो अब परिणामों का एक समूह पहले से शुरू होने वाले (पिछले) परिणामों से निर्धारित किया जाना है। जब इन्हें विषम संख्या 1, 3, और आगे से क्रम में विभाजित किया जाता है, और जब किसी ने सम (-क्रमांकित) परिणामों के योग को विषम (इकाई) के योग से घटाया है, तो वह चाप होना चाहिए। यहाँ साइन और कोसाइन के छोटे को वांछित (साइन) माना जाना आवश्यक है। अन्यथा, बार-बार (गणना) करने पर भी परिणामों की समाप्ति नहीं होगी।

इसी तर्क के द्वारा परिधि की गणना दूसरे तरीके से भी की जा सकती है। वह इस प्रकार है (निम्नानुसार): पहले परिणाम को व्यास के वर्ग के वर्गमूल को बारह से गुणा करना चाहिए। तब से, परिणाम को तीन (इन) प्रत्येक क्रमिक (केस) से विभाजित किया जाना चाहिए। जब इन्हें 1 से शुरू होने वाली विषम संख्याओं के क्रम में विभाजित किया जाता है, और जब विषम के योग से (सम) परिणाम घटाया जाता है, (वह) परिधि होनी चाहिए।

=== आधुनिक अंकन में प्रतिपादन ===

आइए वांछित साइन (ज्य या जीव) वाई का चाप बनें। मान लीजिए कि r त्रि[[ जाना ]] है और x कोसाइन ([[कोज्या]]) है।

*पहला परिणाम है <math>\tfrac{y \cdot r}{x}</math>.
* गुणक और भाजक बनाएँ <math>\tfrac{y^2}{x^2}</math>.
*परिणामों का समूह बनाएं:
::<math>\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}, \qquad \frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}, \qquad \cdots</math>
*इन्हें संख्या 1, 3, और इसी क्रम में विभाजित किया गया है:
:: <math> \frac{1}{1}\frac{y \cdot r}{x}, \qquad \frac{1}{3}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}, \qquad \frac{1}{5}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}, \qquad \cdots</math>
* विषम संख्या वाले परिणामों का योग:
::<math>\frac{1}{1}\frac{y \cdot r}{x} + \frac{1}{5}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}+\cdots</math>
*सम संख्या वाले परिणामों का योग:
::<math>\frac{1}{3}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2} + \frac{1}{7}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}+\cdots</math>
*चाप अब किसके द्वारा दिया जाता है
::<math>s = \left(\frac{1}{1}\frac{y \cdot r}{x} + \frac{1}{5}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}+\cdots\right) - \left(\frac{1}{3}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2} + \frac{1}{7}\frac{y \cdot r}{x}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}\cdot\frac{y^2}{x^2}+\cdots\right)</math>


=== वर्तमान अंकन में परिवर्तन ===

मान लीजिए θ वृत्त के केंद्र पर चाप s द्वारा बनाया गया कोण है। तब s = rθ, x = jya = r cos θ और y = jya = r sin θ.
तब y / x = tan θ. इन्हें अंतिम व्यंजक में प्रतिस्थापित करने और सरल करने पर हमें प्राप्त होता है
*<math>\theta = \tan \theta - \frac{\tan^3 \theta}{3} + \frac{\tan^5\theta}{5} - \frac{\tan^7 \theta}{7} + \quad \cdots </math>.
माना tan θ = q हमारे पास अंत में है

*<math> \tan^{-1} q = q - \frac{q^3}{3} + \frac{q^5}{5} - \frac{q^7}{7} +  \quad \cdots </math>


=== एक वृत्त की परिधि के लिए एक अन्य सूत्र ===

उद्धृत पाठ का दूसरा भाग व्यास d वाले वृत्त की परिधि c की गणना के लिए एक अन्य सूत्र निर्दिष्ट करता है। यह इस प्रकार है।

:<math> 
c= \sqrt{12 d^2} - \frac{\sqrt{12 d^2}}{3\cdot 3} + \frac{\sqrt{12 d^2}}{3^2 \cdot 5} - \frac{\sqrt{12 d^2}}{3^3 \cdot 7}+ \quad \cdots
</math>
चूंकि सी =  {{pi}} घ इसे गणना करने के सूत्र के रूप में पुनः बनाया जा सकता है {{pi}} निम्नलिखित नुसार।

:<math> 
\pi = \sqrt{12}\left( 1 - \frac{1}{3\cdot3}+\frac{1}{3^2\cdot 5} -\frac{1}{3^3\cdot 7} +\quad \cdots\right) 
</math>
यह q = को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है <math>1/\sqrt{3}</math> (इसलिए θ = {{pi}} / 6) तन के लिए शक्ति श्रृंखला विस्तार में<sup>-1</sup> क्यू ऊपर।

== के लिए विभिन्न अनंत श्रृंखलाओं के अभिसरण की तुलना {{pi}}==

<br />

{{comparison_pi_infinite_series.svg|700px{{!}}center|two Madhava series (the one with {{radic|12}} in dark blue) and}}

== यह भी देखें ==
*संगमग्राम के माधव
* माधव की ज्या तालिका
*माधव का संशोधन पद
*पाडे अनुमानित
* टेलर श्रृंखला
* [[लॉरेंट श्रृंखला]]
* [[प्यूसेक्स श्रृंखला]]

== टिप्पणियाँ ==
{{Reflist|colwidth=30em}}


== संदर्भ ==
{{Refbegin|colwidth=35em}}
* {{Cite book |editor1-last=Anderson |editor1-first=Marlow |editor2-last=Katz |editor2-first=Victor |editor3-last=Wilson |editor3-first=Robin |year=2004 |title=Sherlock Holmes in Babylon and Other Tales of Mathematical History |pages=107–174 |url=https://archive.org/details/sherlock-holmes-in-babylon-and-other-tales-of-mathematical-history/page/107/ |publisher=Mathematical Association of America |doi=10.4169/j.ctt13x0n0r |ref={{harvid|Anderson & al.|2004}}}}
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* {{Cite journal |last=Bressoud |first=David |year=2002 |title=Was calculus invented in India? |journal=College Mathematics Journal |volume=33 |number=1 |pages=2–13 |doi=10.1080/07468342.2002.11921911 |doi-access=free }} Reprinted in {{harvnb|Anderson & al.|2004|loc=[https://archive.org/details/sherlock-holmes-in-babylon-and-other-tales-of-mathematical-history/page/131/ pp. 131–137]}}
* {{cite journal |last1=Gold |first1=David |last2=Pingree |first2=David |year=1991 |title=A Hitherto Unknown Sanskrit Work concerning Mādhava's Derivation of the Power Series for Sine and Cosine |journal=Historia Scientiarum |volume=42 |pages=49–65 |url=https://dl.ndl.go.jp/pid/11023753/1/28 }}
* {{cite journal |last=Gupta |first=Radha Charan |author-link=Radha Charan Gupta |year=1973 |title=The Mādhava-Gregory series |journal=The Mathematics Education |volume=(('''7'''. B)) |pages=67–70 }}
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* {{wikicite |ref={{harvid|Gupta|1987}} |reference=
{{cite journal |ref=none |last=Gupta |first=Radha Charan |author-link=Radha Charan Gupta |year=1987 |title=South Indian Achievements in Medieval Mathematics |journal=Gaṇita Bhāratī |volume=9 |pages=15-40}} Reprinted in {{cite book |last=Gupta |first=Radha Charan |display-authors=0 |editor-last=Ramasubramanian |editor-first=K. |year=2019 |title=Gaṇitānanda: Selected Works of Radha Charan Gupta on History of Mathematics |publisher=Springer |doi=10.1007/978-981-13-1229-8_40 |pages=417–442}} }}
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* {{cite book |last=Roy |first=Ranjan |year=2021 |orig-year=1st ed. 2011 |title=Series and Products in the Development of Mathematics |edition=2nd |volume=1 |publisher=Cambridge University Press }}</p>
* {{cite book |last=Sarma |first=Krishna Venkateswara |author-link=K. V. Sarma |year=1972 |chapter=2. Anticipation of modern mathematical discoveries by Kerala astronomers |title=[[A History of the Kerala School of Hindu Astronomy]] |pages=11–28 |chapter-url=https://archive.org/download/KeralaSchoolOfAstronomy/Kerala%20School%20of%20Astronomy.pdf |publisher=Vishveshvaranand Institute |location=Hoshiarpur }}
* {{Cite book |last=Van Brummelen |first=Glen |author-link=Glen Van Brummelen |chapter=§3.8. Taylor Series for Trigonometric Functions in Madhava's Kerala School |title=The Mathematics of the Heavens and the Earth: The Early History of Trigonometry |publisher=Princeton University Press |year=2009 |pages=113–120 |isbn=978-0-691-12973-0 |doi=10.2307/j.ctv1pzk6f0.7}}
* {{cite journal |last=Whish |first=Charles M. |author-link=C. M. Whish |year=1834 |title=XXXIII. On the Hindú Quadrature of the Circle, and the infinite Series of the proportion of the circumference to the diameter exhibited in the four S'ástras, the Tantra Sangraham, the Yucti Bháshá, Carana Padhati, and Sadratnamáka |journal=[[Transactions of the Royal Asiatic Society]] |volume=3 |issue=3 |pages=509–523 |url=https://archive.org/details/transactionsofro03asia/page/509/ |doi=10.1017/S0950473700001221 |jstor=25581775 |jstor-access=free }}
{{Refend}}

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