View source for पियरपोंट प्राइम

{{Short description|Prime number of the form 2^u • 3^v + 1 for u, v > 0}}
{{Infobox integer sequence
| named_after        = [[James Pierpont (mathematician)|James Pierpont]]
| terms_number       = Thousands
| con_number         = Infinite
| parentsequence     = Pierpont number
| first_terms        = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 37, 73, 97, 109, 163, 193, 257, 433, 487, 577, 769, 1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889
| largest_known_term = {{nowrap|2&thinsp;×&thinsp;3<sup>10,852,677</sup> &hairsp;+&thinsp;1}}
| OEIS               = A005109
}}

[[संख्या सिद्धांत]] में, पियरपॉन्ट प्राइम कुछ गैर-ऋणात्मक [[पूर्णांक|पूर्णांकों]] के लिए {{mvar|u}} और {{mvar|v}} के लिए
<math display=block>2^u\cdot 3^v + 1\,</math>
के रूप की एक अभाज्य संख्या है। अर्थात् वे अभाज्य संख्याएँ {{mvar|p}} हैं जिसके लिए {{math|''p'' − 1}} 3-स्मूथ है। उनका नाम गणितज्ञ जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें उन [[नियमित बहुभुज|नियमित बहुभुजों]] को चिह्नित करने के लिए उपयोग किया था जिन्हें शंकु वर्गों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। समान लक्षण वर्णन उन बहुभुजों पर प्रायुक्त होता है जिनका निर्माण रूलर, कम्पास और कोण त्रिखंड का उपयोग करके या पेपर फोल्डिंग के गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

2 और [[फर्मेट प्राइम|फर्मेट प्राइम्स]] को छोड़कर, प्रत्येक पियरपोंट प्राइम 1 मॉड्यूलो 6 होना चाहिए। पहले कुछ पियरपोंट प्राइम्स हैं:
{{Block indent|left=1.6|[[2 (number)|2]], [[3 (number)|3]], [[5 (number)|5]], [[7 (number)|7]], [[13 (number)|13]], [[17 (number)|17]], [[19 (number)|19]], [[37 (number)|37]], [[73 (number)|73]], [[97 (number)|97]], [[109 (number)|109]], [[163 (number)|163]], [[193 (number)|193]], [[257 (number)|257]], [[433 (number)|433]], 487, 577, 769,  1153, 1297, 1459, 2593, 2917, 3457, 3889, 10369, 12289, 17497, 18433, 39367, 52489, 65537, 139969, 147457, 209953, 331777, 472393, 629857, 746497, 786433, 839809, 995329, ... {{OEIS|id=A005109}}}}
यह अनुमान लगाया गया है कि अनंत रूप से कई पियरपोंट अभाज्य हैं, किन्तु यह अप्रमाणित है।

== वितरण ==
{{unsolved|mathematics|Are there infinitely many Pierpont primes?}}
{{math|1=''v'' = 0}} के साथ एक पियरपोंट प्राइम <math>2^u+1</math> के रूप में है, और इसलिए फर्मेट प्राइम (जब तक {{math|1=''u'' = 0}} न हो) हैं। यदि {{mvar|v}} धनात्मक संख्या है तो {{mvar|u}} भी धनात्मक (क्योंकि <math>3^v+1</math> 2 से अधिक एक [[सम संख्या]] होगी और इसलिए अभाज्य नहीं है) होना चाहिए, और इसलिए गैर-फर्मेट पियरपोंट अभाज्य सभी का रूप {{math|6''k''&nbsp;+&nbsp;1}} होता है जब {{mvar|k}} धनात्मक पूर्णांक (2 को छोड़कर, जब {{math|1=''u'' = ''v'' = 0}}) होता है।

[[File:Pierpont exponent distribution.png|thumb|छोटे पियरपोंट अभाज्यों के लिए घातांकों का वितरण]]अनुभवजन्य रूप से, पियरपोंट प्राइम्स विशेष रूप से दुर्लभ या दुर्लभ रूप से वितरित नहीं लगते हैं; 10<sup>6</sup> से कम 42 पियरपोंट प्राइम्स, 10<sup>9</sup> से 65 कम, 10<sup>20</sup> से 157 कम, और 10<sup>100</sup> से 795 कम हैं। पियरपोंट प्राइम्स पर बीजगणितीय कारकों से कुछ प्रतिबंध हैं, इसलिए [[मेर्सन प्रीमियम]] स्थिति जैसी कोई आवश्यकता नहीं है कि एक्सपोनेंट प्राइम होना चाहिए। इस प्रकार, यह अपेक्षा की जाती है कि सही फॉर्म <math>2^u\cdot3^v+1</math> के {{mvar|n}}-अंकीय संख्याओं के बीच, इनमें से जो अंश अभाज्य हैं, वे {{math|1/''n''}} के समानुपाती होने चाहिए, सभी {{mvar|n}}-अंकीय संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याओं के अनुपात के समान अनुपात। जैसा कि इस श्रेणी में सही रूप के <math>\Theta(n^{2})</math> नंबर हैं, वहाँ <math>\Theta(n)</math> पियरपोंट प्राइम्स होना चाहिए।

एंड्रयू एम. ग्लीसन ने इस तर्क को स्पष्ट किया, यह [[अनुमान]] लगाते हुए कि असीम रूप से कई पियरपोंट प्राइम्स हैं, और अधिक विशेष रूप से कि लगभग {{math|10<sup>''n''</sup>}} तक लगभग {{math|9''n''}} पियरपोंट प्राइम्स होने चाहिए।<ref name="g98">{{citation
 | last = Gleason | first = Andrew M. | author-link = Andrew M. Gleason
 | doi = 10.2307/2323624
 | issue = 3
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 935432
 | pages = 185–194
 | title = Angle trisection, the heptagon, and the triskaidecagon
 | volume = 95
 | year = 1988}}. Footnote 8, p.&nbsp;191.</ref> ग्लीसन के अनुमान के अनुसार <math>\Theta(\log N)</math> पियरपोंट प्राइम्स N से छोटे हैं, जो उस सीमा में मेर्सन प्राइम्स की छोटी अनुमान संख्या <math>O(\log \log N)</math> के विपरीत है।

== प्राथमिक परीक्षण ==
कब <math>2^u > 3^v</math>, <math>2^u\cdot 3^v + 1</math> [[प्रोथ संख्या]] है और इस प्रकार प्रोथ के प्रमेय द्वारा इसकी मौलिकता का परीक्षण किया जा सकता है। वहीं, जब <math>2^u < 3^v</math> के लिए वैकल्पिक प्रारंभिक परीक्षण <math>M=2^u\cdot 3^v + 1</math> के गुणनखंडन के आधार पर संभव हैं <math>M-1</math> छोटी सम संख्या के रूप में 3 की बड़ी शक्ति से गुणा किया जाता है।<ref>{{citation
 | last1 = Kirfel | first1 = Christoph
 | last2 = Rødseth | first2 = Øystein J.
 | doi = 10.1016/S0012-365X(01)00125-X
 | issue = 1-3
 | journal = [[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]
 | mr = 1861431
 | pages = 395–406
 | title = On the primality of <math>2h\cdot 3^n+1</math>
 | volume = 241
 | year = 2001| doi-access = free
 }}.</ref>


== पियरपोंट प्राइम फ़र्मेट संख्या == के कारकों के रूप में पाए जाते हैं

फ़र्मेट संख्या के कारकों के लिए चल रही विश्वव्यापी खोज के हिस्से के रूप में, कुछ पियरपोंट प्राइम्स को कारकों के रूप में घोषित किया गया है। निम्न तालिका<ref>Wilfrid Keller,  [http://www.prothsearch.com/fermat.html Fermat factoring status].</ref> एम, के, और एन के मान देता है जैसे कि

{{Block indent|left=1.6|<math>2^{2^m} + 1</math> is divisible by <math>3^{k} \cdot 2^{n} + 1.</math>}}

बाईं ओर फर्मेट संख्या है; दाईं ओर पियरपोंट प्राइम है।

{| class="wikitable"
|+
!''m''   !!''k''!! ''n''  !! Year !! Discoverer
|-
|38      || 1 || 41      || 1903 || [[James Cullen (mathematician)|Cullen]], [[Allan Joseph Champneys Cunningham|Cunningham]] & Western
|-
|63      || 2 || 67      || 1956 || [[Raphael M. Robinson|Robinson]]
|-
|207     || 1 || 209     || 1956 || Robinson
|-
|452     || 3 || 455     || 1956 || Robinson
|-
|9428    || 2 || 9431    || 1983 || Keller
|-
|12185   || 4 || 12189   || 1993 || [[Harvey Dubner|Dubner]]
|-
|28281   || 4 || 28285   || 1996 || Taura
|-
|157167  || 1 || 157169  || 1995 || Young
|-
|213319  || 1 || 213321  || 1996 || Young
|-
|303088  || 1 || 303093  || 1998 || Young
|-
|382447  || 1 || 382449  || 1999 || [[John B. Cosgrave|Cosgrave]] & Gallot
|-
|461076  || 1 || 461081  || 2003 || Nohara, Jobling, [[George Woltman|Woltman]] & Gallot
|-
|495728  || 5 || 495732  || 2007 || Keiser, Jobling, Penné & Fougeron
|-
|672005  || 3 || 672007  || 2005 || [[Curtis Cooper (mathematician)|Cooper]], Jobling, Woltman & Gallot
|-
|2145351 || 1 || 2145353 || 2003 || Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
|-
|2478782 || 1 || 2478785 || 2003 || Cosgrave, Jobling, Woltman & Gallot
|-
|2543548 || 2 || 2543551 || 2011 || Brown, Reynolds, Penné & Fougeron 
|}

{{As of|2023}}, सबसे बड़ा ज्ञात पियरपॉन्ट प्राइम 2 × 3 है<sup>10852677</sup> &hairsp;+ 1 (5,178,044 दशमलव अंक), जिसकी मौलिकता जनवरी 2023 में खोजी गई थी।<ref>{{citation|url=http://primes.utm.edu/primes/lists/short.txt|title=The largest known primes|first=Chris|last=Caldwell|website=The [[Prime Pages]]|access-date=9 January 2023}}; {{citation|url=https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=134762|title=The Prime Database: 2*3^10852677+1|website=The [[Prime Pages]]|access-date=9 January 2023}}</ref>


== बहुभुज निर्माण ==
पेपर फ़ोल्डिंग के गणित में, हुज़िता-होतोरी स्वयंसिद्ध सात प्रकार के फ़ोल्ड में से छह को परिभाषित करते हैं। यह दिखाया गया है कि ये तह किसी भी [[घन समीकरण]] को हल करने वाले बिंदुओं के निर्माण की अनुमति देने के लिए पर्याप्त हैं।<ref>{{citation
 | last = Hull | first = Thomas C. | author-link = Tom Hull (mathematician)
 | doi = 10.4169/amer.math.monthly.118.04.307
 | issue = 4
 | journal = [[American Mathematical Monthly]]
 | mr = 2800341
 | pages = 307–315
 | title = Solving cubics with creases: the work of Beloch and Lill
 | volume = 118
 | year = 2011}}.</ref>
यह इस प्रकार है कि वे किसी भी नियमित बहुभुज की अनुमति देते हैं {{mvar|N}} पक्षों का गठन किया जाना है, जब तक {{math|''N'' ≥ 3}} और रूप का है {{math|2<sup>''m''</sup>3<sup>''n''</sup>''ρ''}}, कहाँ {{mvar|ρ}} विशिष्ट पियरपोंट प्राइम्स का उत्पाद है। यह नियमित बहुभुजों का वही वर्ग है जो कम्पास, सीधा किनारा, और कोण तिराहे के साथ बनाया जा सकता है।<ref name="g98"/>नियमित बहुभुज जिनका निर्माण केवल कम्पास और स्ट्रेटेज (रचनात्मक बहुभुज) के साथ किया जा सकता है, वे विशेष मामले हैं जहाँ {{math|1=''n''&nbsp;=&nbsp;0}} और {{mvar|ρ}} अलग फ़र्मेट प्राइम्स का उत्पाद है, जो खुद पियरपोंट प्राइम्स का सबसेट है।

1895 में, जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) ने नियमित बहुभुजों की ही कक्षा का अध्ययन किया; उनका काम पियरपोंट प्राइम्स को नाम देता है। पियरपोंट ने कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माणों को अलग तरीके से सामान्यीकृत किया, शंकु वर्गों को आकर्षित करने की क्षमता जोड़कर जिनके गुणांक पहले निर्मित बिंदुओं से आते हैं। जैसा कि उन्होंने दिखाया, नियमित {{mvar|N}}-गॉन जिनका निर्माण इन संक्रियाओं के साथ किया जा सकता है, वे ऐसे हैं जो यूलर के टोटेंट का कार्य करते हैं {{mvar|N}} 3-स्मूथ है। चूँकि अभाज्य का कुल योग उसमें से को घटाकर बनाया जाता है, अभाज्य {{mvar|N}} जिसके लिए पियरपोंट के निर्माण कार्य वास्तव में पियरपोंट प्राइम्स हैं। हालांकि, पियरपोंट ने 3-स्मूथ कुलियों के साथ समग्र संख्याओं के रूप का वर्णन नहीं किया।<ref>{{citation
 | last = Pierpont | first = James | author-link = James Pierpont (mathematician)
 | doi = 10.1090/S0002-9904-1895-00317-1
 | issue = 3
 | journal = [[Bulletin of the American Mathematical Society]]
 | mr = 1557414
 | pages = 77–83
 | title = On an undemonstrated theorem of the Disquisitiones Arithmeticæ
 | volume = 2
 | year = 1895| doi-access = free
 }}.</ref> जैसा कि ग्लीसन ने बाद में दिखाया, ये संख्याएँ ठीक उसी रूप की हैं {{math|2<sup>''m''</sup>3<sup>''n''</sup>''ρ''}} ऊपर दिया गया है।<ref name="g98"/>

सबसे छोटा अभाज्य जो पियरपोंट (या फर्मेट) अभाज्य नहीं है, वह 11 है; इसलिए, [[ hedecagon ]] पहला नियमित बहुभुज है जिसे कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर (या ओरिगेमी, या कॉनिक सेक्शन) के साथ नहीं बनाया जा सकता है। अन्य सभी नियमित {{nowrap|{{mvar|N}}-gons}} साथ {{math|3 ≤ ''N'' ≤ 21}} कम्पास, स्ट्रेटेज और ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है।<ref name="g98"/>


== सामान्यीकरण ==

दूसरी तरह का पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म 2 की प्रमुख संख्या है<sup>में3<sup>v</sup> − 1. ये संख्याएँ हैं
{{Block indent|left=1.4|2, 3, 5, 7, 11, 17, 23, 31, 47, 53, 71, 107, 127, 191, 383, 431, 647, 863, 971, 1151, 2591, 4373, 6143, 6911, 8191, 8747, 13121, 15551, 23327, 27647, 62207, 73727, 131071, 139967, 165887, 294911, 314927, 442367, 472391, 497663, 524287, 786431, 995327, ... {{OEIS|id=A005105}}}}

इस प्रकार के सबसे बड़े ज्ञात अभाज्य मेर्सेन अभाज्य हैं; वर्तमान में सबसे बड़ा ज्ञात है <math>2^{82589933}-1</math> (24,862,048 दशमलव अंक)। दूसरी तरह का सबसे बड़ा ज्ञात पियरपोंट प्राइम जो मेर्सन प्राइम नहीं है <math>3\cdot 2^{18924988}-1</math>, [[प्राइमग्रिड]] द्वारा पाया गया।<ref>[https://primes.utm.edu/primes/page.php?id=133776 3*2^18924988 - 1] (5,696,990 Decimal Digits), from The [[Prime Pages]].</ref>
सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म का प्राइम है <math>p_1^{n_1} \!\cdot p_2^{n_2} \!\cdot p_3^{n_3} \!\cdot \ldots \cdot p_k^{n_k} + 1</math> के फिक्स्ड प्राइम पी के साथ<sub>1</sub> < पृ<sub>2</sub> < पृ<sub>3</sub> < ... < पी<sub>''k''</sub>. दूसरी तरह का सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम फॉर्म का प्राइम है <math>p_1^{n_1} \!\cdot p_2^{n_2} \!\cdot p_3^{n_3} \!\cdot \ldots \cdot p_k^{n_k} - 1</math> के फिक्स्ड प्राइम पी के साथ<sub>1</sub> < पृ<sub>2</sub> < पृ<sub>3</sub> < ... < पी<sub>''k''</sub>. चूँकि 2 से बड़ी सभी अभाज्य संख्याएँ [[समता (गणित)]] हैं, दोनों प्रकार में p<sub>1</sub> 2 होना चाहिए। [[OEIS]] में ऐसे प्राइम्स के क्रम हैं:

{|class="wikitable"
|{''p''<sub>1</sub>, ''p''<sub>2</sub>, ''p''<sub>3</sub>, ..., ''p''<sub>''k''</sub>}
| + 1
| − 1
|-
|{2}
|{{oeis|id=A092506}}
|{{oeis|id=A000668}}
|-
|{2, 3}
|{{oeis|id=A005109}}
|{{oeis|id=A005105}}
|-
|{2, 5}
|{{oeis|id=A077497}}
|{{oeis|id=A077313}}
|-
|{2, 3, 5}
|{{oeis|id=A002200}}
|{{oeis|id=A293194}}
|-
|{2, 7}
|{{oeis|id=A077498}}
|{{oeis|id=A077314}}
|-
|{2, 3, 5, 7}
|{{oeis|id=A174144}}
|{{oeis|id=A347977}}
|-
|{2, 11}
|{{oeis|id=A077499}}
|{{oeis|id=A077315}}
|-
|{2, 13}
|{{oeis|id=A173236}}
|{{oeis|id=A173062}}
|}


== यह भी देखें ==
* [[ प्रोथ प्रधान ]], फॉर्म के प्राइम्स <math>N = k \cdot 2^n + 1</math> जहाँ k और n धनात्मक पूर्णांक हैं, <math>k</math> विषम है और <math>2^n > k.</math>


==संदर्भ==
{{Reflist}}

{{Prime number classes|state=collapsed}}
[[Category: अभाज्य संख्याओं की कक्षाएं]] [[Category: संख्या सिद्धांत विषयक अनसुलझी समस्याएं]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 10/04/2023]]