View source for उत्तल विश्लेषण

[[File:3dpoly.svg|thumb|right|एक 3-आयामी उत्तल पॉलीटॉप। उत्तल विश्लेषण में न केवल यूक्लिडियन रिक्त स्थान के उत्तल उपसमुच्चय का अध्ययन शामिल है बल्कि अमूर्त रिक्त स्थान पर उत्तल कार्यों का अध्ययन भी शामिल है।]]उत्तल विश्लेषण उत्तल कार्यों और [[उत्तल सेट]]ों के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखा है, अक्सर [[उत्तल अनुकूलन]] में अनुप्रयोगों के साथ, अनुकूलन का एक उपडोमेन (गणित)।

== उत्तल सेट ==
{{main|Convex set}}

उपसमुच्चय <math>C \subseteq X</math> कुछ सदिश स्थान का <math>X</math> है {{em|'''convex'''}} यदि यह निम्न समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:
#अगर <math>0 \leq r \leq 1</math> वास्तविक है और <math>x, y \in C</math> तब <math>r x + (1 - r) y \in C.</math><ref name="Rockafellar" />#अगर <math>0 < r < 1</math> वास्तविक है और <math>x, y \in C</math> साथ <math>x \neq y,</math> तब <math>r x + (1 - r) y \in C.</math>
[[Image:ConvexFunction.svg|thumb|300px|right|एक अंतराल पर उत्तल समारोह।]]
{{main|Convex function}}

लगातार, <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> [[विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा]] में मूल्यवान मानचित्र होगा <math>[-\infty, \infty] = \mathbb{R} \cup \{ \pm \infty \}</math> किसी फ़ंक्शन के डोमेन के साथ <math>\operatorname{domain} f = X</math> यह कुछ सदिश समष्टि का उत्तल उपसमुच्चय है।
वो नक्शा <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> एक है{{em|convex function}} अगर
 {{NumBlk|:::|<math>f( r x + (1 - r) y ) \leq r f(x) + (1 - r) f(y)</math>|{{EquationRef|Convexity ≤}}|LnSty=1px dashed black}}

किसी भी वास्तविक के लिए धारण करता है <math>0 < r < 1</math> और कोई भी <math>x, y \in X</math> साथ <math>x \neq y.</math> अगर यह सच रहता है <math>f</math> जब परिभाषित असमानता ({{EquationNote|Convexity ≤}}) सख्त असमानता द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है
 {{NumBlk|:::|<math>f( r x + (1 - r) y ) < r f(x) + (1 - r) f(y)</math>|{{EquationRef|Convexity &lt;}}|LnSty=1px dashed black}}

तब <math>f</math> कहा जाता है{{em|strictly convex}}.<ref name="Rockafellar" /> 
उत्तल कार्य उत्तल सेट से संबंधित हैं। विशेष रूप से, समारोह <math>f</math> उत्तल है अगर और केवल अगर इसका एपिग्राफ (गणित) |{{em|epigraph}}
[[Image:Epigraph convex.svg|right|thumb|300px|एक फलन (काले रंग में) उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसका एपीग्राफ, जो इसके फलन के ग्राफ़ (हरे रंग में) के ऊपर का क्षेत्र है, एक उत्तल सेट है।]]
[[Image:Grafico 3d x2+xy+y2.png|right|300px|thumb|बहुपद का एक ग्राफ # चर की संख्या उत्तल समारोह <math>x^2 + x y + y^2.</math>]]
{{NumBlk|:::|<math>\operatorname{epi} f := \left\{ (x,r) \in X \times \mathbb{R} ~:~ f(x) \leq r \right\}</math>|{{EquationRef|Epigraph def.}}|LnSty=1px dashed black}}
एक उत्तल सेट है।{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-28}} विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के एपिग्राफ उत्तल विश्लेषण में एक भूमिका निभाते हैं जो [[वास्तविक विश्लेषण]] में वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के एक समारोह के ग्राफ द्वारा निभाई गई भूमिका के अनुरूप है। विशेष रूप से, एक विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन का एपिग्राफ ज्यामितीय अंतर्ज्ञान प्रदान करता है जिसका उपयोग सूत्र की मदद करने या अनुमानों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

किसी फ़ंक्शन का डोमेन <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> द्वारा निरूपित किया जाता है <math>\operatorname{domain} f</math> जबकि यह{{em|[[effective domain]]}} समुच्चय है{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-28}}
 {{NumBlk|:::|<math>\operatorname{dom} f := \{ x \in X ~:~ f(x) < \infty \}.</math>|{{EquationRef|dom ''f'' def.}}|LnSty=1px dashed black}}

कार्यक्रम <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> कहा जाता है{{em|[[Proper convex function|proper]]}} अगर <math>\operatorname{dom} f \neq \varnothing</math> और <math>f(x) > -\infty</math> के लिए {{em|all}} <math>x \in \operatorname{domain} f.</math>{{sfn|Rockafellar|Wets|2009|pp=1-28}} वैकल्पिक रूप से, इसका मतलब है कि कुछ मौजूद हैं <math>x</math> के अधिकार क्षेत्र में <math>f</math> जिस पर <math>f(x) \in \mathbb{R}</math> और <math>f</math> ई आल्सो {{em|never}} के बराबर <math>-\infty.</math> शब्दों में, एक कार्य है {{em|proper}} यदि इसका डोमेन खाली नहीं है, तो यह कभी भी मान नहीं लेता है <math>-\infty,</math> और यह भी समान रूप से बराबर नहीं है <math>+\infty.</math> अगर <math>f : \mathbb{R}^n \to [-\infty, \infty]</math> एक [[उचित उत्तल कार्य]] है तो कुछ वेक्टर मौजूद हैं <math>b \in \mathbb{R}^n</math> और कुछ <math>r \in \mathbb{R}</math> ऐसा है कि
:<math>f(x) \geq x \cdot b - r</math> {{space|4}}हरएक के लिए <math>x</math>
कहाँ <math>x \cdot b</math> इन वैक्टरों के [[डॉट उत्पाद]] को दर्शाता है।

== उत्तल संयुग्म ==
{{main|Convex conjugate}} वह {{em|'''convex conjugate'''}} एक विस्तारित वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन का <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> (जरूरी नहीं उत्तल) कार्य है <math>f^* : X^* \to [-\infty, \infty]</math> [[दोहरी जगह]] से | (निरंतर) दोहरी जगह <math>X^*</math> का <math>X,</math> और{{sfn|Zălinescu|2002|pp=75-79}}

:<math>f^*\left(x^*\right) = \sup_{z \in X} \left\{ \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \right\}</math>
जहां कोष्ठक <math>\left\langle \cdot, \cdot \right\rangle</math> दोहरी प्रणाली को निरूपित करें <math>\left\langle x^*, z \right\rangle := x^*(z).</math>  {{em|'''biconjugate'''}}} का <math>f</math> नक्शा है <math>f^{**} = \left( f^* \right)^* : X \to [-\infty, \infty]</math> द्वारा परिभाषित <math>f^{**}(x) := \sup_{z^* \in X^*} \left\{ \left\langle x, z^* \right\rangle - f\left( z^* \right) \right\}</math> हरएक के लिए <math>x \in X.</math> अगर <math>\operatorname{Func}(X; Y)</math> के सेट को दर्शाता है <math>Y</math>-मूल्यवान कार्यों पर <math>X,</math> फिर नक्शा <math>\operatorname{Func}(X; [-\infty, \infty]) \to \operatorname{Func}\left( X^*; [-\infty, \infty] \right)</math> द्वारा परिभाषित <math>f \mapsto f^*</math> कहा जाता है {{em|'''Legendre-Fenchel transform'''}}.

=== सबडिफरेंशियल सेट और फेनशेल-यंग असमानता ===

अगर <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> और <math>x \in X</math> फिर {{em|'''subdifferential set'''}} है

:<math>
\begin{alignat}{4}
\partial f(x) 
:&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ f(z) \geq f(x) + \left\langle x^*, z - x \right\rangle \text{ for all } z \in X \right\} && (\text{“} z \in X \text{''} \text{ can be replaced with: } \text{“} z \in X \text{ such that } z \neq x \text{''}) \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) \geq \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \text{ for all } z \in X \right\} && \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) \geq \sup_{z \in X} \left\langle x^*, z \right\rangle - f(z) \right\} && \text{ The right hand side is } f^*\left( x^* \right) \\
&= \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - f(x) = f^*\left( x^* \right) \right\} && \text{ Taking } z := x \text{ in the } \sup{} \text{ gives the inequality } \leq. \\
\end{alignat}
</math>
उदाहरण के लिए, महत्वपूर्ण विशेष मामले में जहां <math>f = \| \cdot \|</math> पर एक आदर्श है <math>X</math>, दिखाया जा सकता है<ref group=proof>The conclusion is immediate if <math>X = \{ 0 \}</math> so assume otherwise. Fix <math>x \in X.</math> Replacing <math>f</math> with the norm gives <math>\partial f(x) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle - \| x \| \geq \left\langle x^*, z \right\rangle - \| z \| \text{ for all } z \in X \right\}.</math> If <math>x^* \in \partial f(x)</math> and <math>r \geq 0</math> is real then using <math>z := r x</math> gives <math>\left\langle x^*, x \right\rangle - \| x \| \geq \left\langle x^*, r x \right\rangle - \| r x \| = r \left[ \left\langle x^*, x \right\rangle - \| x \| \right],</math> where in particular, taking <math>r := 2</math> gives <math>x^*(x) \geq \| x \|</math> while taking <math>r := \frac1{2}</math> gives <math>x^*(x) \leq \| x \|</math> and thus {{nowrap|<math>x^*(x) = \| x \|</math>;}} moreover, if in addition <math>x \neq 0</math> then because <math>x^*\left(\frac{x}{\|x\|}\right) = 1,</math> it follows from the definition of the [[dual norm]] that <math>\left\| x^* \right\| \geq 1.</math> Because <math>\partial f(x) \subseteq \left\{ x^* \in X^* ~:~ x^*(x) = \| x \| \right\},</math> which is equivalent to <math>\partial f(x) = \partial f(x) \cap \left\{ x^* \in X^* ~:~ x^*(x) = \| x \| \right\},</math> it follows that <math>\partial f(x) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ x^*(x) = \| x \| \text{ and } \| z \| \geq \left\langle x^*, z \right\rangle \text{ for all } z \in X \right\},</math> which implies <math>\left\| x^* \right\| \leq 1</math> for all <math>x^* \in \partial f(x).</math> From these facts, the conclusion can now be reached. ∎</ref> कि अगर <math>0 \neq x \in X</math> तो यह परिभाषा कम हो जाती है:

:<math>\partial f (x) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\langle x^*, x \right\rangle = \| x \| \text{ and } \left\| x^* \right\| = 1 \right\}</math> {{space|4}}और{{space|4}} <math>\partial f(0) = \left\{ x^* \in X^* ~:~ \left\| x^* \right\| \leq 1 \right\}.</math> किसी के लिए <math>x \in X</math> और <math>x^* \in X^*,</math> <math>f(x) + f^*\left(x^*\right) \geq \left\langle x^*, x \right\rangle,</math> जिसे कहा जाता है {{em|Fenchel-Young inequality}}. यह असमानता एक समानता है (अर्थात <math>f(x) + f^*\left(x^*\right) = \left\langle x^*, x \right\rangle</math>) अगर और केवल अगर <math>x^* \in \partial f(x).</math> यह इस तरह से है कि सबडिफरेंशियल सेट <math>\partial f (x)</math> उत्तल संयुग्म से सीधे संबंधित है <math>f^*\left( x^* \right).</math>


=== उभयलिंगी === {{em|'''biconjugate'''}}} एक समारोह के <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> संयुग्म का संयुग्म है, जिसे आमतौर पर लिखा जाता है <math>f^{**} : X \to [-\infty, \infty].</math> जब प्रबल द्वैत या दुर्बल द्वैत होता है (परेशान क्रिया के माध्यम से) तो यह दिखाने के लिए उभयलिंगी उपयोगी होता है।

किसी के लिए <math>x \in X,</math> असमानता <math>f^{**}(x) \leq f(x)</math> से अनुसरण करता है {{em|Fenchel–Young inequality}}. उचित उत्तल कार्य के लिए, <math>f = f^{**}</math> [[अगर और केवल अगर]] <math>f</math> फेन्शेल-मोरो प्रमेय द्वारा उत्तल और [[निचला अर्ध-निरंतर]] है।{{sfn|Zălinescu|2002|pp=75-79}}<ref name="BorweinLewis" />


== उत्तल न्यूनीकरण ==
{{main|Convex optimization}}
ए {{em|'''convex minimization'''}} ({{em|primal}}) {{em|problem}} रूपों में से एक है

:पाना <math>\inf_{x \in M} f(x)</math> जब एक उत्तल कार्य दिया जाता है <math>f : X \to [-\infty, \infty]</math> और एक उत्तल उपसमुच्चय <math>M \subseteq X.</math> 

=== दोहरी समस्या ===
{{main|Duality (optimization)}}
<!-- Copied from [[Duality (optimization)#Duality principle]] -->
अनुकूलन सिद्धांत में, {{em|duality principle}} बताता है कि अनुकूलन समस्याओं को दो दृष्टिकोणों, मूल समस्या या दोहरी समस्या से देखा जा सकता है।

सामान्य तौर पर दो दोहरे जोड़े अलग-अलग स्थान को [[स्थानीय रूप से उत्तल स्थान]] देते हैं <math>\left(X, X^*\right)</math> और <math>\left(Y, Y^*\right).</math> फिर फंक्शन दिया <math>f : X \to [-\infty, \infty],</math> हम खोजने के रूप में मौलिक समस्या को परिभाषित कर सकते हैं <math>x</math> ऐसा है कि

:<math>\inf_{x \in X} f(x).</math>
यदि बाधा की स्थिति है, तो इन्हें फ़ंक्शन में बनाया जा सकता है <math>f</math> जैसे भी हो <math>f = f + I_{\mathrm{constraints}}</math> कहाँ <math>I</math> विशेषता कार्य (उत्तल विश्लेषण) है। तो करने दें <math>F : X \times Y \to [-\infty, \infty]</math> एक गड़बड़ी कार्य हो जैसे कि <math>F(x, 0) = f(x).</math><ref name="BWG" />

 {{em|dual problem}em}} चुने हुए गड़बड़ी समारोह के संबंध में द्वारा दिया गया है

:<math>\sup_{y^* \in Y^*} -F^*\left(0, y^*\right)</math>
कहाँ <math>F^*</math> के दोनों चरों में उत्तल संयुग्म है <math>F.</math>
द्वैत अंतर असमानता के दाएं और बाएं हाथ के पक्षों का अंतर है{{sfn|Zălinescu|2002|pp=106-113}}<ref name="BWG" /><ref name="Csetnek 2010" />

:<math>\sup_{y^* \in Y^*} -F^*\left(0, y^*\right) \le \inf_{x \in X} F(x, 0).</math>
यह सिद्धांत कमजोर द्वैत के समान है। यदि दोनों पक्ष एक दूसरे के बराबर हैं, तो समस्या को मजबूत द्वैत को संतुष्ट करने वाला कहा जाता है।

प्रबल द्वैत धारण करने की कई शर्तें होती हैं जैसे:
* <math>F = F^{**}</math> कहाँ <math>F</math> प्रारंभिक और दोहरी समस्याओं से संबंधित गड़बड़ी कार्य है और <math>F^{**}</math> का [[उत्तल संयुग्म]] है <math>F</math>;{{Citation needed|date=January 2012}}
* मूल समस्या एक रेखीय अनुकूलन है;
* उत्तल अनुकूलन के लिए स्लेटर की स्थिति।<ref name="borwein" /><ref name="boyd" />



==== लैग्रेंज द्वैत ====
असमानता बाधाओं के साथ उत्तल न्यूनीकरण समस्या के लिए,

:::<math>\min {}_{x} f(x)</math> का विषय है <math>g_i(x) \leq 0</math> के लिए <math>i = 1, \ldots, m.</math>
Lagrangian दोहरी समस्या है

:::<math>\sup {}_{u} \inf {}_{x} L(x, u)</math> का विषय है <math>u_i(x) \geq 0</math> के लिए <math>i = 1, \ldots, m.</math>
जहां उद्देश्य समारोह <math>L(x, u)</math> लैग्रेंज दोहरा कार्य है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

:<math>L(x, u) = f(x) + \sum_{j=1}^m u_j g_j(x)</math>


== यह भी देखें ==

* {{annotated link|Convexity in economics}}
** {{annotated link|Non-convexity (economics)}}
* {{annotated link|List of convexity topics}}
* {{annotated link|Werner Fenchel}}

== टिप्पणियाँ ==
{{reflist|30em|refs=

<ref name="borwein">{{cite book|last1=Borwein|first1=Jonathan|last2=Lewis|first2=Adrian|title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples|edition=2|year=2006|publisher=Springer|isbn=978-0-387-29570-1}}</ref>
<ref name="BorweinLewis">{{cite book|last1=Borwein|first1=Jonathan|last2=Lewis|first2=Adrian|title=Convex Analysis and Nonlinear Optimization: Theory and Examples|url=https://archive.org/details/convexanalysisno00borw_812|url-access=limited|edition=2|year=2006|publisher=Springer|isbn=978-0-387-29570-1|pages=[https://archive.org/details/convexanalysisno00borw_812/page/n88 76]–77}}</ref>
<ref name="BWG">{{cite book|last1=Boţ|first1=Radu Ioan|last2=Wanka|first2=Gert|last3=Grad|first3=Sorin-Mihai|title=Duality in Vector Optimization|year=2009|publisher=Springer|isbn=978-3-642-02885-4}}</ref>
<ref name="boyd">{{cite book|last1=Boyd|first1=Stephen|last2=Vandenberghe|first2=Lieven|title=Convex Optimization|publisher=Cambridge University Press|year=2004|isbn=978-0-521-83378-3|url=https://web.stanford.edu/~boyd/cvxbook/bv_cvxbook.pdf|access-date=October 3, 2011}}</ref>
<ref name="Csetnek 2010">{{cite book|last=Csetnek|first=Ernö Robert|title=Overcoming the failure of the classical generalized interior-point regularity conditions in convex optimization. Applications of the duality theory to enlargements of maximal monotone operators|year=2010|publisher=Logos Verlag Berlin GmbH|isbn=978-3-8325-2503-3}}</ref>
<ref name="Rockafellar">{{cite book|last=Rockafellar|first=R. Tyrrell|author-link=Rockafellar, R. Tyrrell|title=Convex Analysis|publisher=Princeton University Press|location=Princeton, NJ|year=1997|orig-year=1970|isbn=978-0-691-01586-6}}</ref>

}}

{{reflist|group=proof}}


== संदर्भ ==

* {{Bauschke Combettes Convex Analysis and Monotone Operator Theory in Hilbert Spaces 2nd ed 2017}} <!-- {{sfn|Bauschke|Combettes|2017|pp=1-2}} -->
* {{Boyd Vandenberghe Convex Optimization 2004}} <!-- {{sfn|Boyd|Vandenberghe|2004|pp=1-2}} -->
* {{cite book|last1=Hiriart-Urruty|first1=J.-B.|author1-link=J.-B. Hiriart-Urruty|last2=Lemaréchal|first2=C.|author2-link=C. Lemaréchal|title=Fundamentals of convex analysis|publisher=Springer-Verlag |location=Berlin |year=2001 |isbn=978-3-540-42205-1}}
* {{cite book|last1=Kusraev|first1=A.G.|last2=Kutateladze|first2=Semen Samsonovich|author2-link=Semen Samsonovich Kutateladze|title=Subdifferentials: Theory and Applications|publisher=Kluwer Academic Publishers|year=1995|isbn=978-94-011-0265-0|location=Dordrecht}}
* {{Rockafellar Wets Variational Analysis 2009 Springer}} <!-- {{sfn|Rockafellar|Wets|2009|p=}} -->
* {{Rudin Walter Functional Analysis|edition=2}} <!-- {{sfn|Rudin|1991|p=}} -->
* {{cite book|last=Singer|first=Ivan|title=Abstract convex analysis|series=Canadian Mathematical Society series of monographs and advanced texts|publisher=John Wiley&nbsp;&&nbsp;Sons, Inc.|location=New&nbsp;York|year= 1997|pages=xxii+491|isbn=0-471-16015-6|mr=1461544}}
* {{cite book|last1=Stoer|first1=J.|last2=Witzgall|first2=C.|title=Convexity and optimization in finite dimensions |volume=1 |publisher=Springer |location=Berlin | year=1970 |isbn=978-0-387-04835-2}}
* {{Zălinescu Convex Analysis in General Vector Spaces 2002}} <!-- {{sfn|Zălinescu|2002|pp=1-2}} -->


==बाहरी संबंध==

* {{Commons category-inline}}

{{Convex analysis and variational analysis}}
[[Category: उत्तल विश्लेषण | उत्तल विश्लेषण ]] [[Category: उत्तल ज्यामिति | विश्लेषण]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 24/04/2023]]