View source for स्थिर वक्र

{{See also|स्थिर मानचित्र|label 1=वक्रों का स्थिर मानचित्र}}

[[बीजगणितीय ज्यामिति]] में, एक स्थिर वक्र एक [[बीजगणितीय वक्र]] होता है जो [[ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत]] के अर्थ में असम्बद्ध रूप से स्थिर होता है।

यह इस स्थिति के समतुल्य है कि यह एक पूर्ण रूप से जुड़ा हुआ वक्र है, जिसकी एकमात्र विलक्षणताएँ साधारण दोहरे बिंदु हैं और जिसका [[ऑटोमोर्फिज्म समूह]] परिमित है। ऑटोमोर्फिज्म समूह परिमित होने की स्थिति को इस परिस्थिति से बदला जा सकता है कि यह अंकगणितीय प्रजाति का नहीं है और प्रत्येक गैर-एकवचन [[तर्कसंगत वक्र|परिमेय वक्र]] घटक कम से कम 3 बिंदुओं में अन्य घटकों से मिलता है {{harv|डिलाइन|ममफोर्ड|1969}}.

एक अर्ध-स्थिर वक्र एक समान स्थितियों को संतुष्ट करता है, सिवाय इसके कि ऑटोमोर्फिज़्म समूह को परिमित होने के बजाय रिडक्टिव होने की अनुमति है (या समतुल्य रूप से इसका जुड़ा हुआ घटक एक टोरस हो सकता है)। वैकल्पिक रूप से परिस्थिति यह है कि गैर-एकवचन परिमेय घटक कम से कम तीन बिंदुओं में अन्य घटकों से मिलते हैं, उन्हें इस परिस्थिति से बदल दिया जाता है कि वे कम से कम दो बिंदुओं पर मिलते हैं।

इसी तरह चिह्नित बिंदुओं की एक परिमित संख्या के साथ एक वक्र को स्थिर कहा जाता है यदि यह पूर्ण है, जुड़ा हुआ है, इसमें विलक्षणता के रूप में केवल साधारण दोहरे बिंदु हैं, और इसमें परिमित ऑटोमोर्फिज़्म समूह है। उदाहरण के लिए, एक [[अण्डाकार वक्र]] (एक गैर-एकवचन वर्गीकरण 1 वक्र 1 चिह्नित बिंदु के साथ) स्थिर है।

सम्मिश्र संख्याओं पर, एक जुड़ा हुआ वक्र स्थिर होता है यदि और केवल तभी, जब सभी एकवचन और चिह्नित बिंदुओं को हटाने के बाद, इसके सभी घटकों के सार्वभौमिक कवर यूनिट डिस्क के लिए समरूपी होते हैं।

== परिभाषा ==
एक स्वेच्छाचारी योजना <math>S</math> दी और सेटिंग <math>g \geq 2</math> एक स्थिर जीनस g वक्र <math>S</math> पर एक उचित सपाट आकारिकी के रूप में परिभाषित किया गया है <math>\pi: C \to S</math> जैसे कि ज्यामितीय तंतुओं को कम किया जाता है, 1-आयामी योजनाओं <math>C_s</math>को जोड़ा जाता है  ऐसा है कि
# <math>C_s</math> केवल साधारण द्वि-बिन्दु विलक्षणताएँ हैं
# प्रत्येक परिमेय घटक <math>E</math>  <math>2</math> से अधिक बिंदुओं पर अन्य घटकों से मिलता है 
# <math>\dim H^1(\mathcal{O}_{C_s}) = g</math>
ये तकनीकी स्थितियां आवश्यक हैं क्योंकि (1) तकनीकी जटिलता को कम करती है (यहां पिकार्ड-लेफ्सचेट्ज़ सिद्धांत का भी उपयोग किया जा सकता है), (2) वक्रों को कठोर बनाता है ताकि बाद में निर्मित मोडुली स्टैक के अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म न हों, और (3) गारंटी देता है कि हर फाइबर का अंकगणितीय वंश समान है। ध्यान दें कि (1) अण्डाकार सतहों में पाए जाने वाले विलक्षणताओं के प्रकारों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है।

=== उदाहरण ===
स्थिर वक्रों के एक परिवार का एक चिरसम्मत उदाहरण वक्रों के वीयरस्ट्रैस परिवार द्वारा दिया गया है
:<math>
\begin{matrix}
\operatorname{Proj}\left( \frac{\mathbb{Q}[t][x,y,z]}{(y^2z - x(x-z)(x-tz)} \right) \\
\downarrow \\
\operatorname{Spec}(\mathbb{Q}[t])
\end{matrix}
</math>
जहां हर बिंदु <math>\neq 0,1</math> पर फाइबर होते हैं चिकने होते हैं और पतित बिंदुओं में केवल एक द्वि-बिंदु विलक्षणता होती है। इस उदाहरण को चिकने हाइपरेलिप्टिक वक्रों के एक-पैरामीटर परिवार की स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो कई बिंदुओं पर विकृत होता है।

=== गैर-उदाहरण ===
एक से अधिक पैरामीटर की सामान्य स्थिति में उन वक्रों को हटाने के लिए देखभाल की जानी चाहिए जो डबल-पॉइंट सिंगुलैरिटी से भी अधिक खराब हैं। उदाहरण के लिए, <math>\mathbb{A}^2_{s,t}</math>परिवार पर विचार करें बहुपदों 
:<math>
y^2 = x(x-s)(x-t)(x-1)(x-2)
</math>
से निर्मित चूंकि विकर्ण के साथ <math>s = t</math> गैर-द्वि-बिंदु विलक्षणताएं हैं। एक और गैर-उदाहरण परिवार <math>\mathbb{A}^1_t</math>पर बहुपदों द्वारा दिया गया
:<math>
x^3 -y^2 + t
</math>
जो अण्डाकार वक्रों का एक परिवार है जो एक पुच्छल के साथ एक परिमेय वक्र में पतित होता है।
<!--
Stable reduction: https://web.archive.org/web/20171110082215/https://arxiv.org/pdf/1207.1048.pdf
-->


== गुण ==
स्थिर वक्रों के सबसे महत्वपूर्ण गुणों में से एक तथ्य यह है कि वे स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदी हैं। इसका तात्पर्य है कि मानक सेरे-द्वैत सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक स्थिर वक्र के लिए <math>\omega_{C/S}^{\otimes 3}</math> एक अपेक्षाकृत बहुत-पर्याप्त पुलिंदा है; इसका उपयोग वक्र को <math>\mathbb{P}^{5g - 6}_S</math>में अंतःस्थापित करने के लिए किया जा सकता है। मानक हिल्बर्ट योजना सिद्धांत का उपयोग करके हम जीनस <math>g</math> के घटता की एक मोडुली योजना का निर्माण कर सकते हैं जो कुछ प्रक्षेपीय स्थान में सन्निहित है। हिल्बर्ट बहुपद द्वारा दिया जाता है
:<math>
P_g(n) = (6n-1)(g-1)
</math>
हिल्बर्ट स्कीम में निहित स्थिर वक्रों का एक सबलोकस है
:<math>
H_g \subset \textbf{Hilb}^{P_g}_{\mathbb{P}^{5g - 6}_\mathbb{Z}}
</math>
यह कारक का प्रतिनिधित्व करता है
:<math>
\mathcal{M}_g(S) \cong \left. \left\{
\begin{matrix}
& \text{stable curves } \pi: C \to S \\
& \text{ with an iso } \\
& \mathbb{P}(\pi_*(\omega_{C/S}^{\otimes 3})) \cong \mathbb{P}^{5g-6}\times S
\end{matrix}
\right\}\Bigg/ {\sim} \right. \cong \operatorname{Hom}(S,H_g)
</math>
जहाँ <math>\sim</math> स्थिर वक्रों के समरूपता हैं। एम्बेडिंग (जो प्रक्षेपीय स्थान के आइसोमोर्फिज्म द्वारा विकोडित किया गया है) के संबंध में वक्र के मॉड्यूलि स्थान को बनाने के लिए हमें इसे <math>PGL(5g - 6)</math> से मॉड आउट करना होगा। यह हमें मोडुली स्टैक देता है
:<math>
\mathcal{M}_g := [\underline{H}_g / \underline{PGL}(5g-6)]
</math>


== यह भी देखें ==
* बीजगणितीय वक्रों का मापांक
* [[स्थिर नक्शा|वक्रों का स्थिर मानचित्र]]

== संदर्भ ==
*[[Michael Artin|Artin, M.]]; Winters, G. (1971-11-01). "[https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0040938371900280 Degenerate fibres and stable reduction of curves]". ''Topology''. '''10''' (4): 373–383. [[Doi (identifier)|doi]]:10.1016/0040-9383(71)90028-0. [[ISSN (identifier)|ISSN]]&nbsp;0040-9383.
*{{Citation | last1=Deligne | first1=Pierre | author1-link=Pierre Deligne | last2=Mumford | first2=David | author2-link=David Mumford | title=The irreducibility of the space of curves of given genus | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1969__36__75_0 |mr=0262240 | year=1969 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issue=36 | pages=75–109 | doi=10.1007/BF02684599 | volume=36| citeseerx=10.1.1.589.288 | s2cid=16482150 }}
*{{Citation | last1=Gieseker | first1=D. | title=Lectures on moduli of curves | publisher=Published for the Tata Institute of Fundamental Research, Bombay | series=Tata Institute of Fundamental Research Lectures on Mathematics and Physics | isbn=978-3-540-11953-1 |mr=691308 | year=1982 | volume=69|url=http://www.math.tifr.res.in/~publ/ln/tifr69.pdf}}
*{{Citation | last1=Harris | first1=Joe | author1-link=Joe Harris (mathematician) | last2=Morrison | first2=Ian | title=Moduli of curves | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | series=Graduate Texts in Mathematics | isbn=978-0-387-98429-2 |mr=1631825 | year=1998 | volume=187}}

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