View source for छेदक घन का समाकलन

{{calculus|expanded=integral}}
{{short description|Commonly encountered and tricky integral}}

सिकेंट क्यूब का इंटीग्रल लगातार और चुनौतीपूर्ण होता है<ref>{{cite book|last=Spivak|first=Michael|authorlink=Michael Spivak |title=गणना|url=https://archive.org/details/calculus4thediti00mich|url-access=registration|year=2008|chapter=Integration in Elementary Terms |quote=यह एक पेचीदा और महत्वपूर्ण अभिन्न है जो अक्सर सामने आता है।|page=[https://archive.org/details/calculus4thediti00mich/page/382 382]}}</ref> प्रारंभिक कलन का [[अनिश्चितकालीन अभिन्न]]:

:<math display=inline>\begin{align}
\int \sec^3 x \, dx
  &= \tfrac12\sec x \tan x + \tfrac12 \int \sec x\, dx + C \\[6mu]
  &= \tfrac12(\sec x \tan x + \ln \left|\sec x + \tan x\right|) + C \\[6mu]
  &= \tfrac12(\sec x \tan x + \operatorname{gd}^{-1} x) + C, \qquad |x| < \tfrac12\pi
\end{align}</math>
कहाँ <math display=inline>\operatorname{gd}^{-1}</math> प्रतिलोम [[गुडरमैनियन समारोह]] है, जो छेदक फलन का समाकलन है।

ऐसे कई कारण हैं कि क्यों यह विशेष प्रतिपक्षी विशेष ध्यान देने योग्य है:

* उच्च [[समता (गणित)]] के समाकलों को कम करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीक, सेकेंट की निम्नतर शक्तियों को कम करने के लिए इस सबसे सरल मामले में पूरी तरह से मौजूद है। अन्य मामले भी इसी तरह से किए जाते हैं।
* एकीकरण में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की उपयोगिता को छेदक की विषम शक्तियों के मामलों में प्रदर्शित किया जा सकता है ([[स्पर्शरेखा समारोह]] की शक्तियों को भी शामिल किया जा सकता है)।
* यह आमतौर पर प्रथम वर्ष के कैलकुलस कोर्स में किए जाने वाले कई इंटीग्रल में से एक है जिसमें आगे बढ़ने का सबसे स्वाभाविक तरीका [[भागों द्वारा एकीकृत]] करना और उसी इंटीग्रल पर लौटना शामिल है जो एक के साथ शुरू हुआ (दूसरा एक [[घातांक प्रकार्य]] के उत्पाद का इंटीग्रल है) [[ उन लोगों के ]] या [[ कोज्या ]] फ़ंक्शन; फिर भी साइन या कोसाइन फ़ंक्शन की शक्ति का एक और अभिन्न)।
* इस समाकल का उपयोग प्रपत्र के किसी भी समाकल के मूल्यांकन में किया जाता है
:: <math>\int \sqrt{a^2+x^2}\,dx,</math>
: कहाँ <math>a</math> एक स्थिरांक है। विशेष रूप से, यह की समस्याओं में प्रकट होता है:

:* चाप की लंबाई [[परवलय]] और [[आर्किमिडीयन सर्पिल]]
:* [[घुमावदार]] का पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करना।

== व्युत्पत्ति ==

=== [[भागों द्वारा एकीकरण]] ===

इस प्रतिपक्षी को भागों द्वारा एकीकरण द्वारा पाया जा सकता है, इस प्रकार है:<ref name=":1">{{Cite book|last=Stewart|first=James|authorlink=James Stewart (mathematician)|title=कैलकुलस - अर्ली ट्रान्सेंडैंटल्स|publisher=Cengage Learning|year=2012|isbn=978-0-538-49790-9|location=United States|pages=475-6|chapter=Section 7.2: Trigonometric Integrals}}</ref>
:<math>\int \sec^3 x \, dx = \int u\,dv = uv - \int v \,du</math>
कहाँ

:<math>
u = \sec x,\quad dv = \sec^2 x\,dx,\quad v
  = \tan x,\quad du = \sec x \tan x\,dx.
</math>
तब

:<math>\begin{align}
\int \sec^3 x \, dx
  &= \int (\sec x)(\sec^2 x)\,dx \\
  &= \sec x \tan x - \int \tan x\,(\sec x \tan x)\,dx \\
  &= \sec x \tan x - \int \sec x \tan^2 x\,dx \\
  &= \sec x \tan x - \int \sec x\, (\sec^2 x - 1)\,dx \\
  &= \sec x \tan x - \left(\int \sec^3 x \, dx - \int \sec x\,dx\right) \\
  &= \sec x \tan x - \int \sec^3 x \, dx + \int \sec x\,dx.
\end{align}</math>
अगला जोड़ें <math display=inline>\int\sec^3 x \,dx</math> दोनों पक्षों के लिए:{{efn|The [[constants of integration]] are absorbed in the remaining integral term.}}

:<math>\begin{align}
2 \int \sec^3 x \, dx
  &= \sec x \tan x + \int \sec x\,dx \\
  &= \sec x \tan x + \ln\left|\sec x + \tan x\right| + C,
\end{align}</math>
सिकेंट फ़ंक्शन के इंटीग्रल का उपयोग करके, <math display=inline>\int \sec x \,dx = \ln \left|\sec x + \tan x\right| + C.</math><ref name=":1" />

अंत में, दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करें:

:<math>
\int \sec^3 x \, dx
= \tfrac12(\sec x \tan x + \ln \left|\sec x + \tan x\right|) + C,
</math>
जिसे निकाला जाना था।<ref name=":1" />


=== किसी परिमेय फलन के अभिन्न अंग में कमी ===

:<math>
\int \sec^3 x \, dx
= \int \frac{dx}{\cos^3 x}
= \int \frac{\cos x\,dx}{\cos^4 x}
= \int \frac{\cos x\,dx}{(1-\sin^2 x)^2}
= \int \frac{du}{(1-u^2)^2}
</math>
कहाँ <math>u = \sin x</math>, ताकि <math>du = \cos x\,dx</math>. यह आंशिक अंशों द्वारा अपघटन को स्वीकार करता है:

:<math>
\frac{1}{(1-u^2)^2}
= \frac{1}{(1+u)^2(1-u)^2}
= \frac{1}{4(1+u)} + \frac{1}{4(1+u)^2} + \frac{1}{4(1-u)} + \frac{1}{4(1-u)^2}.
</math>
टर्म-दर-टर्म एंटीडिफरेंशिएटिंग, एक को मिलता है

:<math>\begin{align}
\int \sec^3 x \, dx
  &= \tfrac14 \ln |1+u| - \frac{1}{4(1+u)} - \tfrac14 \ln|1-u| + \frac{1}{4(1-u)} + C \\[6pt]
  &= \tfrac14 \ln \Biggl| \frac{1+u}{1-u} \Biggl|              + \frac{u}{2(1-u^2)} + C \\[6pt]
  &= \tfrac14 \ln \Biggl|\frac{1+\sin x}{1-\sin x} \Biggl|     + \frac{\sin x}{2\cos^2 x} + C\\[6pt]
  &= \tfrac14 \ln \left|\frac{1+\sin x}{1-\sin x}\right|       + \tfrac12 \sec x \tan x + C \\[6pt]
  &= \tfrac14 \ln \left|\frac{(1+\sin x)^2}{1-\sin^2 x}\right| + \tfrac12 \sec x \tan x + C \\[6pt]
  &= \tfrac14 \ln \left|\frac{(1+\sin x)^2}{\cos^2 x}\right|   + \tfrac12 \sec x \tan x + C \\[6pt]
  &= \tfrac12 \ln \left|\frac{1+\sin x}{\cos x}\right|         + \tfrac12 \sec x \tan x + C \\[6pt]
  &= \tfrac12 (\ln|\sec x + \tan x| + \sec x \tan x) + C.
\end{align}</math>


=== अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य ===

फॉर्म का इंटीग्रल: <math>\int \sec^n x \tan^m x\, dx</math> [[पायथागॉरियन पहचान]] का उपयोग करके कम किया जा सकता है यदि <math>n</math> समता (गणित) है या <math>n</math> और <math>m</math> दोनों विषम हैं। अगर <math>n</math> विषम है और <math>m</math> सम है, अतिशयोक्तिपूर्ण प्रतिस्थापन का उपयोग नेस्टेड एकीकरण को अतिशयोक्तिपूर्ण शक्ति-कम करने वाले फ़ार्मुलों वाले भागों द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए किया जा सकता है।

:<math>\begin{align}
\sec x &= \cosh u \\[6pt]
\tan x &= \sinh u \\[6pt]
\sec^2 x \, dx &= \cosh u \, du \text{ or } \sec x \tan x\, dx = \sinh u \, du \\[6pt]
\sec x \, dx &= \, du \text{ or } dx = \operatorname{sech} u \, du \\[6pt]
u &= \operatorname{arcosh} (\sec x ) = \operatorname{arsinh} ( \tan x ) = \ln|\sec x + \tan x|
\end{align}</math>
ध्यान दें कि <math>\int \sec x \, dx = \ln|\sec x + \tan x|</math> इस प्रतिस्थापन से सीधे अनुसरण करता है।

:<math>\begin{align}
\int \sec^3 x \, dx
  &= \int \cosh^2 u\,du \\[6pt]
  &= \tfrac12 \int ( \cosh 2u +1) \,du \\[6pt]
  &= \tfrac12 \left( \tfrac12 \sinh2u + u\right) + C\\[6pt]
  &= \tfrac12 ( \sinh u \cosh u + u ) + C \\[6pt]
  &= \tfrac12 (\sec x \tan x + \ln \left|\sec x + \tan x\right|) + C
\end{align}</math>


== छेदक की उच्च विषम शक्तियाँ ==

जिस तरह ऊपर के हिस्सों के एकीकरण ने पहली शक्ति के लिए छेदक के अभिन्न अंग को छेदक घन के अभिन्न अंग को कम कर दिया है, उसी तरह एक समान प्रक्रिया छेदक की उच्च विषम शक्तियों के अभिन्न अंग को कम कर देती है। यह सेकंडेंट रिडक्शन फॉर्मूला है, जो सिंटैक्स का अनुसरण करता है:

:<math>
\int \sec^n x \, dx
= \frac{\sec^{n-2} x \tan x}{n-1} \,+\, \frac{n-2}{n-1}\int \sec^{n-2} x \, dx \qquad \text{ (for }n \ne 1\text{)}\,\!
</math>
स्पर्शरेखाओं की भी शक्तियों को [[द्विपद विस्तार]] का उपयोग करके छेदक के एक विषम [[बहुपद]] का निर्माण करके और इन सूत्रों का उपयोग सबसे बड़े पद पर और समान पदों के संयोजन द्वारा समायोजित किया जा सकता है।

== यह भी देखें ==

* [[इंटीग्रल की सूची]]

==टिप्पणियाँ==
{{notelist}}


==संदर्भ==
{{reflist}}

{{Calculus topics}}
[[Category: समाकलन गणित]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 26/04/2023]]