View source for तंत्रिका जटिल

[[File:Constructing nerve.png|thumb|तल में 3 समुच्चय वाले विवृत ठीक आच्छादन के तंत्र का निर्माण।]][[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में, एक [[सेट परिवार|समुच्चय वर्ग]] के तंत्रिका परिसर एक [[सार सरल जटिल]] है जो वर्ग में समुच्चय के बीच के प्रतिच्छेदन के प्रतिरूप को अभिलेख करते है। इसका प्रारम्भ [[पावेल अलेक्जेंड्रोव]] ने किया था<ref>{{cite journal |last=Aleksandroff |first=P. S. |author-link=Pavel Alexandrov |year=1928 |title=Über den allgemeinen Dimensionsbegriff und seine Beziehungen zur elementaren geometrischen Anschauung |journal=[[Mathematische Annalen]] |volume=98 |pages=617–635 |doi=10.1007/BF01451612 |s2cid=119590045}}</ref> और अब इसके कई प्रकार और सामान्यीकरण हैं, उनमें से आवरण की सीच तंत्रिका है, जिसे बदले में [[ hypercovering |अति आच्छादन]] द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है। यह कई रुचिपूर्ण सांस्थितिक गुणों को एल्गोरिथम या संयोजी रूप से प्रग्रहण करता है।<ref>{{Cite book |last1=Eilenberg |first1=Samuel |title=बीजगणितीय टोपोलॉजी की नींव|last2=Steenrod |first2=Norman |date=1952-12-31 |publisher=[[Princeton University Press]] |isbn=978-1-4008-7749-2 |location=Princeton |doi=10.1515/9781400877492 |author1-link=Samuel Eilenberg |author2-link=Norman Steenrod}}</ref>


== मूल परिभाषा ==
<math>I</math> को सूचकांकों का एक समुच्चय होने दें और <math>C</math> समुच्चय <math>(U_i)_{i\in I}</math> का एक वर्ग हो। <math>C</math> की तंत्रिका अनुक्रमणिका समुच्चय <math>I</math> के परिमित उपसमुच्चय का समूह है। इसमें सभी परिमित उपसमुच्चय <math>J\subseteq I</math> शामिल हैं जैसे कि <math>U_i</math> का प्रतिच्छेदन जिसका उपसूचक <math>J</math> में है गैर-रिक्त है:<ref name=":0">{{Cite Matousek 2007}}, Section 4.3</ref>{{Rp|page=81|location=}}
:<math>N(C) :=  \bigg\{J\subseteq I: \bigcap_{j\in J}U_j \neq \varnothing, J \text{ finite set} \bigg\}.</math>
अलेक्जेंड्रोव की मूल परिभाषा में, समुच्चय <math>(U_i)_{i\in I}</math> कुछ सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> के [[ खुला सेट |विवृत समुच्चय]] हैं।

समुच्चय <math>N(C)</math> में एकल हो सकते हैं (अवयव <math>i \in I</math> जैसे कि <math>U_i</math> गैर-रिक्त है), युग्म (अवयवों के युग्म <math>i,j \in I</math> जैसे कि <math>U_i \cap U_j \neq \emptyset</math>), तीनो इत्यादि। यदि <math>J \in N(C)</math> है, तो <math>J</math> का कोई भी उपसमुच्चय भी <math>N(C)</math> में है, जिससे <math>N(C)</math> सार सरल परिसर बन जाता है। इसलिए <math>N(C)</math> को प्रायः <math>C</math> का तंत्रिका परिसर कहा जाता है।

== उदाहरण ==
# X को वृत्त <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2\}</math> होने दें, जहां <math>U_1</math> एक चाप है जो <math>S^1</math> के ऊपरी आधे भाग को आच्छादित करते है और <math>U_2</math> एक चाप है जो इसके निचले आधे भाग को आच्छादित करते है, दोनों ओर कुछ अधिव्यापन के साथ (वे सभी <math>S^1</math> को आच्छादित करने के लिए दोनों ओर अधिव्यापन होना चाहिए)। फिर <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{1,2\} \}</math>, जो सार 1-एकदिश है।
# X को वृत्त <math>S^1</math> और <math>C = \{U_1, U_2, U_3\}</math> होने दें, जहां प्रत्येक <math>U_i</math> चाप है जो <math>S^1</math> के एक तिहाई भाग को आच्छादित करते है, जिसमें आसन्न <math>U_i</math> के साथ कुछ अधिव्यापन होता है। तब <math>N(C) = \{ \{1\}, \{2\}, \{3\}, \{1,2\}, \{2,3\}, \{3,1\} \}</math>। ध्यान दें कि {1,2,3} <math>N(C)</math> में नहीं है क्योंकि तीनों समुच्चयों का उभयनिष्ठ प्रतिच्छेदन रिक्त है; अतः <math>N(C)</math> अपूर्ण त्रिभुज है।

== सीच तंत्रिका ==
एक सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> के [[खुला ढक्कन|विवृत आवरक]] <math>C=\{U_i: i\in I\}</math>, या अधिक सामान्यतः [[ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी|ग्रोथेंडिक सांस्थिति]] में एक कवर दिया जाता है, हम जोड़ीदार फाइबर उत्पादों <math>U_{ij}=U_i\times_XU_j</math> पर विचार कर सकते हैं,, जो एक सांस्थितिक समष्टि की स्थिति में पूर्णतः प्रतिच्छेदन <math>U_i\cap U_j</math> हैं। ऐसे सभी प्रतिच्छेदन के संग्रह को <math>C\times_X C</math> और त्रिपक्षीय प्रतिच्छेदन <math>C\times_X C\times_X C</math> के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

प्राकृतिक प्रतिचित्र <math>U_{ij}\to U_i</math> और <math>U_i\to U_{ii}</math> पर विचार करके, हम <math>S(C)_n=C\times_X\cdots\times_XC</math> एन-गुना फाइबर उत्पाद द्वारा परिभाषित एक साधारण वस्तु <math>S(C)_\bullet</math> का निर्माण कर सकते हैं। यह सीच तंत्रिका है।<ref>{{Cite web|title=Čech nerve in nLab|url=https://ncatlab.org/nlab/show/%C4%8Cech+nerve|access-date=2020-08-07|website=ncatlab.org}}</ref> जुड़े हुए घटकों को लेने से हमें एक साधारण समुच्चय मिलता है, जिसे हम स्थैतिक रूप से समझ सकते हैं: <math>|S(\pi_0(C))|</math>।

== तंत्रिका प्रमेय ==
तंत्रिका परिसर <math>N(C)</math> एक साधारण संयोजन वस्तु है। प्रायः, यह अंतर्निहित सांस्थितिक समष्टि (<math>C</math> में समुच्चय का संघ) से कहीं अधिक सरल होता है। इसलिए, एक स्वाभाविक प्रश्न यह है कि क्या <math>N(C)</math> की सांस्थिति <math>\bigcup C</math> की सांस्थिति के बराबर है।

सामान्यतः, यह स्थिति नहीं होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी n-गोले को दो अनुबंधित समुच्चयों <math>U_1</math> और <math>U_2</math> के साथ आच्छादित कर सकता है जिसमें एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 1 में है। इस स्थिति में, <math>N(C)</math> अमूर्त 1-एकदिश है, जो एक रेखा के समान है परन्तु एक गोले के समान नहीं है।

यद्यपि, कुछ स्थितियों में <math>N(C)</math>, X की सांस्थिति को प्रतिबिंबित करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक वृत्त को तीन विवृत चापों द्वारा आच्छादित किया जाता है, जैसा कि ऊपर उदाहरण 2 में युग्म में प्रतिच्छेद करते हैं, तो <math>N(C)</math> एक 2- एकधा है (इसके आंतरिक भाग के बिना) है और यह मूल वृत्त के समतुल्य है।<ref>{{Cite journal|last1=Artin|first1=Michael|author1-link=Michael Artin|last2=Mazur|first2=Barry|author2-link=Barry Mazur|date=1969|title=एटेल होमोटॉपी|journal=[[Lecture Notes in Mathematics]]|volume=100| doi=10.1007/bfb0080957|isbn=978-3-540-04619-6|issn=0075-8434}}</ref>

तंत्रिका प्रमेय (या तंत्रिका लेम्मा) एक प्रमेय है जो C गारंटी देने के लिए पर पर्याप्त प्रतिबन्ध देते है कि <math>N(C)</math> कुछ अर्थों में <math>\bigcup C</math> की सांस्थिति को दर्शाता है।

=== लेरे की तंत्रिका प्रमेय ===
[[ जॉन लेरे |जीन लेरे]] के मूल तंत्रिका प्रमेय का कहना है कि, यदि <math>N(C)</math> में समुच्चय का कोई प्रतिच्छेदन संकुचन क्षम है (समतुल्य: प्रत्येक परिमित <math>J\subset I</math> के लिए समुच्चय <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त है या संकुचन क्षम है; समतुल्य: C ठीक विवृत आवरक है), तो <math>N(C)</math> समस्थेयता- <math>\bigcup C</math> के समतुल्य है।

=== बोरसुक का तंत्रिका प्रमेय ===
असतत संस्करण है, जिसका श्रेय [[करोल बोरसुक]] को दिया जाता है।<ref>{{Cite journal |last=Borsuk |first=Karol |date=1948 |title=साधारण परिसरों में कॉम्पेक्टा की प्रणालियों के अंतःस्थापन पर|url=https://eudml.org/doc/213158 |journal=Fundamenta Mathematicae |volume=35 |issue=1 |pages=217–234 |doi=10.4064/fm-35-1-217-234 |issn=0016-2736}}</ref><ref name=":0" />{{Rp|page=81|location=Thm.4.4.4}} मान लीजिए K<sub>1</sub>,...,K<sub>n</sub>सार सरल परिसर हैं, और K द्वारा उनके संघ को निरूपित करते हैं। माना U<sub>i</sub>= ||K<sub>i</sub>|| = K<sub>i</sub> का ज्यामितीय बोध, और N द्वारा {U<sub>1</sub>, ..., U<sub>n</sub>} की तंत्रिका को निरूपित करें।

यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त के लिए <math>J\subset I</math>, प्रतिच्छेदन <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त या संकुचन क्षम जा सकता है, तो N, K के समरूप-समतुल्य है।

एंडर्स ब्योर्नर द्वारा एक दृढ प्रमेय सिद्ध किया गया था।<ref>{{Cite journal |last=Björner |first=Anders |authorlink=Anders Björner|date=2003-04-01 |title=नसों, तंतुओं और होमोटोपी समूहों|journal=[[Journal of Combinatorial Theory]]|series=Series A |language=en |volume=102 |issue=1 |pages=88–93 |doi=10.1016/S0097-3165(03)00015-3 |doi-access=free |issn=0097-3165}}</ref> यदि, प्रत्येक गैर-रिक्त <math>J\subset I</math> के लिए, प्रतिच्छेदन <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> या तो रिक्त है या ([[एन-कनेक्टेड स्पेस|k-|J|+1)]] - सम्बद्ध है, तो प्रत्येक J ≤ k के लिए, N का J-वें समस्थेयता समूह K के j-वें [[होमोटॉपी समूह|समस्थेयता समूह]] के लिए समरूपी है। विशेष रूप से, N k-सम्बद्ध है यदि और मात्र-यदि K k-सम्बद्ध है।

=== सीच तंत्रिका प्रमेय ===
अन्य तंत्रिका प्रमेय उपरोक्त सीच तंत्रिका से संबंधित है: यदि <math>X</math> संहत है और C में समुच्चय के सभी प्रतिच्छेदन अनुबंधित या रिक्त हैं, फिर समष्टि 

 <math>|S(\pi_0(C))|</math> समस्थेयता-<math>X</math> के समतुल्य है।<ref>{{nlab|id=nerve+theorem|title=Nerve theorem}}</ref>


=== अनुरूपता तंत्रिका प्रमेय ===
निम्नलिखित तंत्रिका प्रमेय आच्छादन में समुच्चय के प्रतिच्छेदन के सजातीय समूहों का उपयोग करते है।<ref name=":3">{{Cite journal|last=Meshulam|first=Roy|date=2001-01-01|title=क्लिक कॉम्प्लेक्स और हाइपरग्राफ मिलान|journal=[[Combinatorica]]| language=en|volume=21|issue=1|pages=89–94|doi=10.1007/s004930170006|s2cid=207006642|issn=1439-6912}}</ref> प्रत्येक परिमित <math>J\subset I</math> के लिए, <math>H_{J,j} := \tilde{H}_j(\bigcap_{i\in J} U_i)=</math> को <math>\bigcap_{i\in J} U_i</math> के j-वें कम समरूपता समूह को निरूपित करें।

यदि H<sub>J,j</sub>N (C) के k- रूपरेखा में सभी J के लिए [[तुच्छ समूह|नगण्य समूह]] है और सभी j के लिए {0, ..., k-dim (J) } में है, तो N (C) "समरूपता" है- निम्नलिखित अर्थों में X के समतुल्य:

* {0, ..., k} में सभी j के लिए <math>\tilde{H}_j(N(C)) \cong \tilde{H}_j(X)</math>;
* यदि <math>\tilde{H}_{k+1}(N(C))\not\cong 0</math> तो <math>\tilde{H}_{k+1}(X)\not\cong 0</math>।

== यह भी देखें ==
* हाइपरकवरिंग

== संदर्भ ==
<references/>

{{DEFAULTSORT:Nerve Of A Covering}}[[Category: टोपोलॉजी]] [[Category: साधारण सेट]] [[Category: सेट के परिवार]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 01/05/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]