View source for असतत मोर्स सिद्धांत

असतत [[ मोर्स सिद्धांत |मोर्स सिद्धांत]] [[रॉबिन फोरमैन]] द्वारा विकसित मोर्स सिद्धांत का [[मिश्रित]] रूपांतरण है।<ref>{{Cite web|url=https://topology-tool-kit.github.io/|title=टोपोलॉजी टूलकिट|date=|website=GitHub.io}}</ref>यह सिद्धांत विभिन्न विषयों में लागू गणित और [[कंप्यूटर विज्ञान]] के विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगों, जैसे कि [[विन्यास स्थान (गणित)|विन्यास स्थान]], होमोलोजी संगणना, डिनोइसिंग, मेश संपीड़न,और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण आदि में उपयोग किया जाता है।



== सीडब्ल्यू परिसरों के संबंध में संकेतन ==

यदि <math>X</math> [[सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स|सीडब्ल्यू]] एक शृंखला है और<math>\mathcal{X}</math> उसके सेल सेट को दर्शाता है।आपतन फलन <math>\kappa\colon\mathcal{X} \times \mathcal{X} \to \mathbb{Z}</math> को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है: दो सेल  <math>\sigma</math> और <math>\tau</math> में <math>\mathcal{X}</math>, यदि <math>\kappa(\sigma,~\tau)</math> उस एटेचिंग मैप के डिग्री को दर्शाता है जो सीडब्ल्यू शृंखला की सीमा  <math>\sigma</math> से  <math>\tau</math> के सीमा तक होता है। से मानचित्र संलग्न करने का [[टोपोलॉजिकल डिग्री सिद्धांत]] हो <math>\sigma</math> को <math>\tau</math>. [[सीमा संचालक]] एंडोमोर्फिज्म है <math>\partial</math> द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह का <math>\mathcal{X}</math> द्वारा परिभाषित   [[सीमा संचालक]] <math>\partial</math>  वह अंतःरूपांतरण  है जो <math>\mathcal{X}</math> द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह को दर्शाता है।

:<math>\partial(\sigma) = \sum_{\tau \in \mathcal{X}}\kappa(\sigma,\tau)\tau.</math>
यह सीमा संचालकों की एक परिभाषित संपत्ति है <math>\partial\circ\partial \equiv 0</math>. अधिक स्वयंसिद्ध परिभाषाओं में<ref>{{cite journal|last1=Mischaikow|first1=Konstantin|last2=Nanda|first2=Vidit|title=फ़िल्ट्रेशन के लिए मोर्स थ्योरी और परसिस्टेंट होमोलॉजी की कुशल संगणना|journal=[[Discrete & Computational Geometry]]|volume=50|issue=2|pages=330–353|doi=10.1007/s00454-013-9529-6|year=2013|doi-access=free}}</ref> कोई आवश्यकता पा सकता है <math>\forall \sigma,\tau^{\prime} \in \mathcal{X}</math>
:<math> \sum_{\tau \in \mathcal{X}} \kappa(\sigma,\tau) \kappa(\tau,\tau^{\prime}) = 0</math>
जो सीमा संचालक की उपरोक्त परिभाषा और उस आवश्यकता का परिणाम है <math>\partial\circ\partial \equiv 0</math>.

== असतत मोर्स कार्य ==

एक [[वास्तविक संख्या]]-मूल्यवान फ़ंक्शन <math>\mu\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}</math> असतत मोर्स फ़ंक्शन है यदि यह निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:

# किसी भी सेल के लिए <math>\sigma \in \mathcal{X}</math>, कोशिकाओं की संख्या <math>\tau \in \mathcal{X}</math> की सीमा में <math>\sigma</math> जो संतुष्ट करता है <math>\mu(\sigma) \leq \mu(\tau)</math> अधिक से अधिक एक है।
# किसी भी सेल के लिए <math>\sigma \in \mathcal{X}</math>, कोशिकाओं की संख्या <math>\tau \in \mathcal{X}</math> युक्त <math>\sigma</math> उनकी सीमा में जो संतुष्ट करते हैं <math>\mu(\sigma) \geq \mu(\tau)</math> अधिक से अधिक एक है।

इसे दिखाया जा सकता है<ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Lemma 2.5}}</ref> कि दो स्थितियों में कार्डिनैलिटी एक निश्चित सेल के लिए एक साथ एक नहीं हो सकती हैं <math>\sigma</math>, उसे उपलब्ध कराया <math>\mathcal{X}</math> एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है। इस मामले में, प्रत्येक सेल <math>\sigma \in \mathcal{X}</math> अधिकतम एक असाधारण सेल के साथ युग्मित किया जा सकता है <math>\tau \in \mathcal{X}</math>: या तो बड़े के साथ एक सीमा सेल <math>\mu</math> मूल्य, या छोटे के साथ एक सह-सीमा सेल <math>\mu</math> कीमत। जिन कोशिकाओं में कोई जोड़े नहीं होते हैं, यानी, जिनके कार्य मान उनकी सीमा कोशिकाओं से सख्ती से अधिक होते हैं और उनकी सह-सीमा कोशिकाओं से सख्ती से कम होते हैं, उन्हें 'महत्वपूर्ण' कोशिकाएं कहा जाता है। इस प्रकार, असतत मोर्स फ़ंक्शन सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स को तीन अलग-अलग सेल संग्रहों में विभाजित करता है: <math>\mathcal{X} = \mathcal{A} \sqcup \mathcal{K} \sqcup \mathcal{Q}</math>, कहाँ:

# <math>\mathcal{A}</math> उन महत्वपूर्ण कोशिकाओं को दर्शाता है जो अयुग्मित हैं,
# <math>\mathcal{K}</math> उन कोशिकाओं को दर्शाता है जो सीमा कोशिकाओं के साथ बनती हैं, और
# <math>\mathcal{Q}</math> उन कोशिकाओं को दर्शाता है जो सह-सीमा कोशिकाओं के साथ बनती हैं।

रचना से, बीच में [[सेट (गणित)]] का एक आक्षेप होता है <math>k</math>-आयामी कोशिकाओं में <math>\mathcal{K}</math> और यह <math>(k-1)</math>-आयामी कोशिकाओं में <math>\mathcal{Q}</math>, जिसे द्वारा दर्शाया जा सकता है <math>p^k\colon\mathcal{K}^k \to \mathcal{Q}^{k-1}</math> प्रत्येक [[प्राकृतिक संख्या]] के लिए <math>k</math>. यह एक अतिरिक्त तकनीकी आवश्यकता है कि प्रत्येक के लिए <math>K \in \mathcal{K}^k</math>, की सीमा से संलग्न मानचित्र की डिग्री <math>K</math> इसके युग्मित सेल के लिए <math>p^k(K) \in \mathcal{Q}</math> की अंतर्निहित रिंग (गणित) में एक इकाई (रिंग सिद्धांत) है <math>\mathcal{X}</math>. उदाहरण के लिए, [[पूर्णांक]]ों पर <math>\mathbb{Z}</math>, केवल अनुमत मान हैं <math>\pm 1</math>. इस तकनीकी आवश्यकता की गारंटी है, उदाहरण के लिए, जब कोई ऐसा मानता है <math>\mathcal{X}</math> एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स ओवर है <math>\mathbb{Z}</math>.

असतत मोर्स सिद्धांत का मौलिक परिणाम यह स्थापित करता है कि CW परिसर <math>\mathcal{X}</math> समरूपता (गणित) के स्तर पर एक नए परिसर में समरूपता है <math>\mathcal{A}</math> केवल महत्वपूर्ण कोशिकाओं से मिलकर। में युग्मित कोशिकाएँ <math>\mathcal{K}</math> और <math>\mathcal{Q}</math> आसन्न महत्वपूर्ण कोशिकाओं के बीच ढाल पथ का वर्णन करें जिसका उपयोग सीमा ऑपरेटर को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है <math>\mathcal{A}</math>. इस निर्माण के कुछ विवरण अगले खंड में दिए गए हैं।

== मोर्स कॉम्प्लेक्स ==

एक ढाल पथ युग्मित कोशिकाओं का एक क्रम है

:<math>\rho = (Q_1, K_1, Q_2, K_2, \ldots, Q_M, K_M)</math>
संतुष्टि देने वाला <math>Q_m = p(K_m)</math> और <math>\kappa(K_m,~Q_{m+1}) \neq 0</math>. इस ढाल पथ के सूचकांक को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है

:<math>\nu(\rho) = \frac{\prod_{m=1}^{M-1}-\kappa(K_m,Q_{m+1})}{\prod_{m=1}^{M}\kappa(K_m,Q_m)}.</math>
यहाँ विभाजन समझ में आता है क्योंकि युग्मित कोशिकाओं के बीच की घटना होनी चाहिए <math>\pm 1</math>. ध्यान दें कि निर्माण के द्वारा, असतत मोर्स फ़ंक्शन के मान <math>\mu</math> भर में कमी करनी चाहिए <math>\rho</math>. मार्ग <math>\rho</math> दो महत्वपूर्ण कोशिकाओं को जोड़ने के लिए कहा जाता है <math>A,A' \in \mathcal{A}</math> अगर <math>\kappa(A,Q_1) \neq 0 \neq \kappa(K_M,A')</math>. इस रिश्ते को व्यक्त किया जा सकता है <math>A \stackrel{\rho}{\to} A'</math>. इस कनेक्शन की बहुलता को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है <math>m(\rho) = \kappa(A,Q_1)\cdot\nu(\rho)\cdot\kappa(K_M,A')</math>. अंत में, महत्वपूर्ण कोशिकाओं पर मोर्स सीमा संचालक <math>\mathcal{A}</math> द्वारा परिभाषित किया गया है

:<math>\Delta(A) = \kappa(A,A') + \sum_{A \stackrel{\rho}{\to} A'}m(\rho) A'</math>
जहां से सभी ग्रेडिएंट पथ कनेक्शनों का योग लिया जाता है <math>A</math> को <math>A'</math>.

== मूल परिणाम ==

निरंतर मोर्स सिद्धांत के कई परिचित परिणाम असतत सेटिंग में लागू होते हैं।

=== मोर्स असमानताएं ===

होने देना <math>\mathcal{A}</math> सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स से जुड़ा एक मोर्स कॉम्प्लेक्स हो <math>\mathcal{X}</math>. जो नंबर <math>m_q = |\mathcal{A}_q|</math> का <math>q</math>-कोशिकाओं में <math>\mathcal{A}</math> कहा जाता है <math>q</math>-वाँ मोर्स नंबर। होने देना <math>\beta_q</math> निरूपित करें <math>q</math>-वीं बेट्टी की संख्या <math>\mathcal{X}</math>. फिर किसी के लिए <math>N > 0</math>, निम्नलिखित असमानताएँ<ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Corollaries 3.5 and 3.6}}</ref> पकड़

:<math>m_N \geq \beta_N</math>, और
:<math>m_N - m_{N-1} + \dots \pm m_0 \geq \beta_N - \beta_{N-1} + \dots \pm \beta_0</math>
इसके अलावा, [[यूलर विशेषता]] <math>\chi(\mathcal{X})</math> का <math>\mathcal{X}</math> संतुष्ट

:<math>\chi(\mathcal{X}) = m_0 - m_1 + \dots \pm m_{\dim \mathcal{X}}</math>


===असतत मोर्स होमोलॉजी और होमोटॉपी टाइप ===

होने देना <math>\mathcal{X}</math> सीमा संचालक के साथ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स बनें <math>\partial</math> और असतत मोर्स समारोह <math>\mu\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}</math>. होने देना <math>\mathcal{A}</math> मोर्स बाउंड्री ऑपरेटर के साथ संबंधित मोर्स कॉम्प्लेक्स हो <math>\Delta</math>. फिर, एक [[समूह समरूपता]] है<ref>{{harvnb|Forman|1998|loc=Theorem 7.3}}</ref> होमोलॉजी (गणित) समूहों की

:<math>H_*(\mathcal{X},\partial) \simeq H_*(\mathcal{A},\Delta),</math>
और इसी तरह होमोटॉपी समूहों के लिए।

== अनुप्रयोग ==
असतत मोर्स सिद्धांत आणविक आकार विश्लेषण में अपना आवेदन पाता है,<ref>{{Cite journal |last1=Cazals |first1=F. |last2=Chazal |first2=F. |last3=Lewiner |first3=T. |date=2003 |title=मोर्स-स्मेल कॉम्प्लेक्स और कॉनॉली फ़ंक्शन के आधार पर आणविक आकार का विश्लेषण|url=http://portal.acm.org/citation.cfm?doid=777792.777845 |journal=Proceedings of the Nineteenth Conference on Computational Geometry — SCG '03 |publisher=ACM Press |pages=351–360 |doi=10.1145/777792.777845 |isbn=978-1-58113-663-0|s2cid=1570976 }}</ref> डिजिटल छवियों/वॉल्यूमों का कंकालकरण,<ref>{{Cite journal |last1=Delgado-Friedrichs |first1=Olaf |last2=Robins |first2=Vanessa |last3=Sheppard |first3=Adrian |date=March 2015 |title=असतत मोर्स थ्योरी का उपयोग करके डिजिटल छवियों का कंकालीकरण और विभाजन|url=https://ieeexplore.ieee.org/document/6873268 |journal=IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence |volume=37 |issue=3 |pages=654–666 |doi=10.1109/TPAMI.2014.2346172 |pmid=26353267 |hdl=1885/12873 |s2cid=7406197 |issn=1939-3539}}</ref> शोर डेटा से ग्राफ पुनर्निर्माण,<ref>{{Cite conference |last1=Dey |first1=Tamal K. |last2=Wang |first2=Jiayuan |last3=Wang |first3=Yusu |date=2018 |editor-last=Speckmann |editor-first=Bettina |editor2-last=Tóth |editor2-first=Csaba D. |title=असतत मोर्स थ्योरी द्वारा ग्राफ पुनर्निर्माण|url=http://drops.dagstuhl.de/opus/volltexte/2018/8744 |conference=34th International Symposium on Computational Geometry (SoCG 2018) |series=Leibniz International Proceedings in Informatics (LIPIcs) |location=Dagstuhl, Germany |publisher=Schloss Dagstuhl–Leibniz-Zentrum fuer Informatik |volume=99 |pages=31:1–31:15 |doi=10.4230/LIPIcs.SoCG.2018.31 |isbn=978-3-95977-066-8|s2cid=3994099 }}</ref> शोर बिंदु बादलों को नकारना<ref>{{Cite journal |last=Mukherjee |first=Soham |date=2021-09-01 |title=असतत मोर्स सिद्धांत के साथ denoising|journal=The Visual Computer |volume=37 |issue=9 |pages=2883–94 |doi=10.1007/s00371-021-02255-7 |s2cid=237426675 }}</ref> और पुरातत्व में पाषाण उपकरण का विश्लेषण।<ref name="EuroGraphicsGCH22" />


== यह भी देखें ==
* [[डिजिटल मोर्स सिद्धांत]]
* [[स्तरीकृत मोर्स सिद्धांत]]
* [[आकार विश्लेषण (डिजिटल ज्यामिति)]]
* [[टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स]]
* [[असतत अंतर ज्यामिति]]

==संदर्भ==
{{Reflist|refs=
<ref name="EuroGraphicsGCH22">{{citation
   |first1=Jan Philipp|last1=Bullenkamp
   |first2=Florian|author3-link=Hubert Mara
 |last2=Linsel
   |first3=Hubert|last3=Mara
   |periodical=Proceedings of Eurographics Workshop on Graphics and Cultural Heritage (GCH)
   |title=Lithic Feature Identification in 3D based on Discrete Morse Theory
   |publisher=Eurographics Association
   |location=Delft, Netherlands
   |pages=55–58
   |issn=2312-6124
   |date=2022
   |doi=10.2312/VAST/VAST10/131-138
   |isbn=9783038681786
   |url=https://diglib.eg.org:443/handle/10.2312/gch20221224
   |access-date=2022-10-05}}</ref>
}}
{{refbegin}}
*{{cite journal |first=Robin |last=Forman |title=Morse theory for cell complexes |journal=[[Advances in Mathematics]] |volume=134 |issue=1 |pages=90–145 |date=1998 |doi=10.1006/aima.1997.1650 | doi-access=free |url=https://core.ac.uk/download/pdf/82268273.pdf}}
* {{cite journal|first=Robin|last= Forman |year=2002| url=http://www.emis.de/journals/SLC/wpapers/s48forman.pdf|title= A user's guide to discrete Morse theory|journal= [[Séminaire Lotharingien de Combinatoire]]|volume= 48|pages=Art. B48c, 35 pp|mr=1939695 }}
* {{cite book | first=Dmitry|last= Kozlov | title=Combinatorial algebraic topology | series=Algorithms and Computation in Mathematics|volume= 21 |publisher=Springer |year=2007 | isbn=978-3540719618|mr=2361455}}
* {{cite book | first=Jakob|last= Jonsson | title=Simplicial complexes of graphs | publisher=Springer | year=2007 | isbn=978-3540758587}}
* {{cite book | first1=Peter|last1= Orlik|author1-link=Peter Orlik|first2= Volkmar|last2= Welker | title=Algebraic Combinatorics: Lectures at a Summer School In Nordfjordeid | publisher=Springer|series=Universitext | year=2007 | isbn=978-3540683759|mr=2322081|doi=10.1007/978-3-540-68376-6}}
* {{cite web|url=http://ncatlab.org/nlab/show/discrete+Morse+theory|title=Discrete Morse theory|publisher=[[nLab]]}}
{{refend}}
[[Category: साहचर्य]] [[Category: मोर्स सिद्धांत]] [[Category: कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी]] 



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