View source for बाईक्वाटरनियन

{{short description|Quaternions with complex number coefficients}}
अमूर्त बीजगणित में द्विचतुर्भुज संख्याएँ  {{math|''w'' + ''x'' '''i''' + ''y'' '''j''' + ''z'' '''k'''}} हैं जहाँ {{math|''w'', ''x'', ''y''}}, और {{mvar|z}} सम्मिश्र संख्याएँ हैं या इसके भिन्न रूप हैं और इसके तत्व {{math|{'''1''', '''i''', '''j''', '''k'''}<nowiki/>}} हैं चतुष्कोणीय समूह के रूप में गुणा करें और उनके गुणांकों के साथ परिवर्तित करें। सम्मिश्र संख्याओं और उनकी विविधताओं के अनुरूप तीन प्रकार के द्विचतुर्भुज हैं:
* द्विअर्थी जब गुणांक सम्मिश्र संख्याएँ हों।
* [[विभाजन-द्विभाजित]] जब गुणांक [[विभाजित-जटिल संख्या]]एँ हों।
* दोहरी चतुर्भुज जब गुणांक [[दोहरी संख्या]]एँ हों।

यह लेख 1844 में [[विलियम रोवन हैमिल्टन]] द्वारा नामित सामान्य द्विअर्थी के बारे में है (देखें रॉयल आयरिश अकादमी की कार्यवाही 1844 और 1850 पृष्ठ 388<ref>''Proceedings of the Royal Irish Academy'' November 1844 (NA) and 1850 page 388 from [[Google Books]] [https://books.google.com/books?id=ggoFAAAAQAAJ&dq=proceedings+of+royal+irish+academy+1844+Hamilton&pg=PA388]
</ref>) इन द्विअर्थी के कुछ अधिक प्रमुख समर्थकों में [[अलेक्जेंडर मैकफर्लेन]], आर्थर डब्ल्यू कॉनवे, [[ लुडविग सिल्बरस्टीन |लुडविग सिल्बरस्टीन]] और [[कॉर्नेलियस लैंक्ज़ोस]] सम्मिलित हैं। जैसा कि नीचे विकसित किया गया है और द्विचतुर्भुजों की इकाई [[अर्ध-क्षेत्र]] [[लोरेंत्ज़ समूह]] का प्रतिनिधित्व प्रदान करता है जो [[विशेष सापेक्षता]] की नींव है।

द्विअर्थी के बीजगणित को [[बीजगणित का टेंसर उत्पाद]] माना जा सकता है <math>\mathbb{C} \otimes \mathbb{H}</math> (वास्तविक पर कब्जा कर लिया) जहां {{math|'''C'''}} या <math>\mathbb{C}</math> जटिल संख्याओं का [[क्षेत्र (गणित)]] है और {{math|'''H'''}} या <math>\mathbb{H}</math> (वास्तविक) चतुष्कोणों का [[विभाजन बीजगणित]] है। दूसरे शब्दों में द्विचतुर्भुज चतुष्कोणों की [[जटिलता]] मात्र हैं। एक जटिल बीजगणित के रूप में देखा जाता है द्विचतुर्भुज के बीजगणित के समरूपी होते हैं {{math|2 × 2}} जटिल आव्यूह {{math|M<sub>2</sub>('''C''')}} वे कई [[क्लिफर्ड बीजगणित]] के लिए भी समरूप हैं {{math|1='''H'''('''C''') = Cℓ<sup>0</sup><sub>3</sub>('''C''') = Cℓ<sub>2</sub>('''C''') = Cℓ<sub>1,2</sub>('''R''')}},<ref name=Garling>D. J. H. Garling (2011) ''Clifford Algebras: An Introduction'', Cambridge University Press.</ref>{{rp|112,113}} [[पाउली बीजगणित]] {{math|Cℓ<sub>3,0</sub>('''R''')}},<ref name=Garling/>{{rp|112}}<ref name=FrancisKosowsky>Francis and Kosowsky (2005) ''The construction of spinors in geometric algebra''.  Annals of Physics, 317, 384—409. [http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0003491604002209 Article link]</ref>{{rp|404}} और  {{math|1=Cℓ<sup>0</sup><sub>1,3</sub>('''R''') = Cℓ<sup>0</sup><sub>3,1</sub>('''R''')}} दिक्-काल बीजगणित का सम भाग है।<ref name=FrancisKosowsky/>{{rp|386}}

== परिभाषा ==
होने देना {{math|{'''1''', '''i''', '''j''', '''k'''<nowiki>}</nowiki>}} (वास्तविक) चतुष्कोणों का आधार बनें {{math|'''H'''}}, और जाने {{math|''u'', ''v'', ''w'', ''x''}} तब सम्मिश्र संख्याएँ:

:<math>q = u \mathbf 1 + v \mathbf i + w \mathbf j + x \mathbf k</math>
द्विचतुर्भुज है।<ref name= ham53>[[William Rowan Hamilton]] (1853) ''Lectures on Quaternions'', Article 669. This historical mathematical text is available on-line courtesy of [http://historical.library.cornell.edu/math/ Cornell University]</ref>{{rp|639}} द्विअर्थी में माइनस एक के वर्गमूलों में अंतर करने के लिए हैमिल्टन<ref name=ham53/>{{rp|730}}<ref>Hamilton (1899) ''Elements of Quaternions'', 2nd edition, page 289</ref> और आर्थर डब्ल्यू। कॉनवे ने अदिश क्षेत्र सी में शून्य से एक के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करने के सम्मेलन का उपयोग ''एच  ''द्वारा भ्रम से बचने के लिए किया {{math|'''i'''}} चतुष्कोणीय समूह में चतुर्धातुक समूह के साथ अदिश क्षेत्र की [[क्रमविनिमेयता]] मान ली गई है:

:<math> h \mathbf i = \mathbf i h,\ \ h \mathbf j = \mathbf j h,\ \ h \mathbf k = \mathbf k h .</math>
हैमिल्टन ने वास्तविक चतुष्कोणों के साथ उपयोग की जाने वाली धारणाओं का विस्तार करने के लिए [[ बाइवेक्टर (जटिल) |बाइवेक्टर (जटिल)]], बाइकॉन्जुगेट, बिटेंसर और बाइवर्सर शब्द प्रस्तुत किए। 

1853 में हैमिल्टन की द्विअर्थी पर प्राथमिक व्याख्या उनके लेक्चर्स ऑन क्वाटरनियंस में आई थी। 1866 में [[विलियम एडविन हैमिल्टन]] (रोवन के पुत्र) और 1899, 1901 में [[चार्ल्स जैस्पर जोली]] द्वारा एलिमेंट्स ऑफ क्वाटरनियंस के संस्करणों ने वास्तविक क्वाटरनियन के पक्ष में द्विभाजन कवरेज को कम कर दिया।

चतुर्भुज समूह के अनुसार घटक-वार जोड़ और गुणा के संचालन के साथ विचार किया जाता है और यह संग्रह चार-आयामी अंतरिक्ष बनाता है | चार-आयामी बीजगणित जटिल संख्या 'सी' पर एक क्षेत्र पर द्विअर्थी का बीजगणित साहचर्य है लेकिन क्रम [[विनिमेय]] नहीं है। द्विचतुर्भुज या तो एक इकाई (रिंग थ्योरी) या एक शून्य विभाजक है। द्विअर्थी का बीजगणित एक संयोजन बीजगणित बनाता है और [[द्विजटिल संख्या]]ओं से निर्मित किया जा सकता है। नीचे ''एक संयोजन बीजगणित के रूप में §'' देखें।

== रिंग थ्योरी में जगह ==

=== रेखीय प्रतिनिधित्व ===
[[मैट्रिक्स उत्पाद|आव्यूह उत्पाद]] पर ध्यान दें

:<math>\begin{pmatrix}h & 0\\0 & -h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & h\\h & 0\end{pmatrix}</math>.

क्योंकि h एक [[काल्पनिक इकाई]] है इन तीन सारणियों में से प्रत्येक में पहचान आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर एक वर्ग है।

जब इस आव्यूह उत्पाद की व्याख्या i j = k के रूप में की जाती है तो एक आव्यूह का एक [[उपसमूह]] प्राप्त करता है जो कि चतुर्धातुक समूह के लिए समरूपता है। फलस्वरूप,

:<math>\begin{pmatrix}u+hv & w+hx\\-w+hx & u-hv\end{pmatrix}</math>
द्विअर्थी q = u 1 + v i + w j + x k का प्रतिनिधित्व करता है।

किसी भी 2 × 2 जटिल आव्यूह को देखते हुए इसे इस रूप में रखने के लिए जटिल मान u, v, w और x हैं ताकि [[मैट्रिक्स रिंग|आव्यूह रिंग]] M(2,C) समरूप हो<ref>[[Leonard Dickson]] (1914) [https://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=uc1.b5008837;view=1up;seq=25 Linear Algebras'', §13 "Equivalence of the complex quaternion and matric algebras"''], page 13, via [[HathiTrust]]</ref> द्विअर्थी रिंग (गणित) के लिए।

=== उप बीजगणित ===
वास्तविक संख्याओं के अदिश क्षेत्र पर द्विअर्थी बीजगणित को ध्यान में रखते हुए {{math|'''R'''}}, सेट

:<math>\{\mathbf 1, h, \mathbf i, h\mathbf i, \mathbf j, h\mathbf j, \mathbf k, h\mathbf k \}</math>
एक [[आधार (रैखिक बीजगणित)]] बनाता है इसलिए बीजगणित के आठ वास्तविक [[आयाम]] हैं। तत्वों का वर्ग {{math|''h'''''i''', ''h'''''j'''}} और {{math|''h'''''k'''}} सभी निश्चित हैं उदाहरण के लिए {{math|1=(''h'''''i''')<sup>2</sup> = ''h''<sup>2</sup>'''i'''<sup>2</sup> = (−'''1''')(−'''1''') = +'''1'''}}.

द्वारा दिया गया [[subalgebra|उप बीजगणित]]

:<math>\{ x + y(h\mathbf i) : x, y \in \R \} </math>
विभाजन-जटिल संख्याओं के तल के लिए वलय समरूपता है जिसकी एक बीजगणितीय संरचना [[इकाई अतिपरवलय]] पर बनी है। अवयव {{math|''h'''''j'''}} और {{math|''h'''''k'''}} ऐसे उप बीजगणित भी निर्धारित करते हैं।

आगे,

:<math>\{ x + y \mathbf j : x,y \in \Complex \} </math>
[[tessarine]]s के लिए एक उप बीजगणित समरूप है।

एक तीसरा उप बीजगणित जिसे [[coquaternion|कोक्वाटरनियन]] कहा जाता है यह किसके द्वारा उत्पन्न होता है {{math|''h'''''j'''}} और {{math|''h'''''k'''}} ऐसा देखा गया है {{math|1=(''h'''''j''')(''h'''''k''') = (−'''1''')'''i'''}} और यह कि इस तत्व का वर्ग है {{math|−'''1'''}}. ये तत्व वर्ग के [[डायहेड्रल समूह]] को उत्पन्न करते हैं। आधार के साथ रैखिक उपसमष्टि {{math|{'''1''', '''i''', ''h'''''j''', ''h'''''k'''<nowiki>}</nowiki>}} इस प्रकार गुणा के तहत बंद हो जाता है और कोक्वाटरनियन बीजगणित बनाता है।

[[क्वांटम यांत्रिकी]] और [[spinor|स्पिनर]] बीजगणित के संदर्भ में द्विभाजित {{math|''h'''''i''', ''h'''''j'''}} और {{math|''h'''''k'''}} (या उनके निष्क्रिय) में देखा गया {{math|M<sub>2</sub>('''C''')}} प्रतिनिधित्व को [[पॉल मैट्रिसेस|पॉल आव्यूह]] कहा जाता है।

== बीजगणितीय गुण ==
द्विअर्थी के दो संयुग्मन हैं:
* 'उभयलिंगी' या अदिश ऋण बाइवेक्टर (जटिल) है <math>q^* = w - x\mathbf i - y\mathbf j - z\mathbf k \!\ ,</math> और
* द्विभाजन गुणांकों का [[जटिल संयुग्मन]] <math>q^{\star} = w^{\star} + x^{\star}\mathbf i + y^{\star}\mathbf j + z^{\star}\mathbf k </math>
जहाँ <math>z^{\star} = a - bh</math> जब <math>z = a + bh,\quad a,b \in \mathbb R,\quad h^2 = -\mathbf 1.</math>

ध्यान दें कि <math>(pq)^* = q^* p^*, \quad (pq)^{\star} = p^{\star} q^{\star} , \quad (q^*)^{\star} = (q^{\star})^*.</math>

स्पष्टतः यदि <math>q q^* = 0 </math> तब {{math|''q''}} एक शून्य भाजक है। अन्यथा <math>\lbrace q q^* \rbrace^{-\mathbf 1} </math> जटिल संख्याओं पर परिभाषित किया गया है। आगे, <math>q q^* = q^* q </math> आसानी से सत्यापित है। यह एक व्युत्क्रम को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

* <math>q^{-\mathbf 1} = q^* \lbrace q q^* \rbrace^{-\mathbf 1}</math>, अगर <math>qq^* \neq 0.</math>
=== लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से संबंध ===
अब रैखिक उपसमष्टि पर विचार करें<ref>{{citation|first=Cornelius|last=Lanczos|author-link=Cornelius Lanczos|year=1949|title=The Variational Principles of Mechanics|publisher=[[University of Toronto Press]]|pages=304–312}} See equation 94.16, page 305. The following algebra compares to Lanczos, except he uses ~ to signify quaternion conjugation and * for complex conjugation</ref>
:<math>M = \lbrace q\colon q^* = q^{\star} \rbrace = \lbrace t + x(h\mathbf i) + y(h \mathbf j) + z(h \mathbf k)\colon t, x, y, z \in \mathbb R \rbrace .</math>

{{math|''M''}} उप बीजगणित नहीं है क्योंकि यह क्लोजर (गणित) नहीं है; उदाहरण के लिए <math>(h\mathbf i)(h\mathbf j) = h^2 \mathbf{ij} = -\mathbf k \notin M.</math> वास्तव में {{math|''M''}} एक बीजगणित नहीं बना सकता यदि वह [[मैग्मा (बीजगणित)]] भी नहीं है।

प्रस्ताव: अगर {{mvar|q}} में है {{mvar|M}}, तब <math>q q^* = t^2 - x^2 - y^2 - z^2.</math>

सबूत: परिभाषाओं से,

:<math>\begin{align}
q q^* &= (t+xh\mathbf i+yh\mathbf j+zh\mathbf k)(t-xh\mathbf i-yh\mathbf j-zh\mathbf k)\\
&= t^2 - x^2(h\mathbf i)^2 - y^2(h\mathbf j)^2 - z^2(h\mathbf k)^2 \\
&= t^2 - x^2 - y^2 - z^2.
\end{align} </math>
परिभाषा: द्विभाजित होने दें {{mvar|g}} संतुष्ट करना <math>g g^* = \mathbf 1.</math> फिर [[लोरेंत्ज़ परिवर्तन]] से जुड़ा {{mvar|g}} द्वारा दिया गया है

:<math>T(q) = g^* q g^{\star}.</math>
प्रस्ताव: अगर {{mvar|q}} में है {{mvar|M}} तब {{math|''T''(''q'')}} में भी है {{math|''M''}}.

सबूत: <math>(g^* q g^{\star})^* = (g^{\star})^* q^* g = (g^*)^{\star} q^{\star} g = (g^* q g^{\star})^{\star}.</math>

प्रस्ताव: <math>\quad T(q) (T(q))^* = q q^* </math>

सबूत: पहले ध्यान दें {{math|1=''gg''* = '''1'''}} का अर्थ है कि इसके चार जटिल घटकों के वर्गों का योग एक है। तब इन घटकों के जटिल संयुग्मों के वर्गों का योग भी एक होता है। इसलिए <math>g^{\star} (g^{\star})^* = \mathbf 1.</math> अब

:<math>(g^* q g^{\star})(g^* q g^{\star})^* = g^* q g^{\star} (g^{\star})^* q^* g = g^* q q^* g = q q^*.</math>
== संबद्ध शब्दावली ==
चूंकि [[गणितीय भौतिकी]] की प्रारम्भ के बाद से द्विअर्थी  रैखिक बीजगणित की एक स्थिरता रही है ऐसी अवधारणाओं की एक सरणी है जो द्विभाजित बीजगणित द्वारा सचित्र या प्रस्तुत की जाती हैं। [[परिवर्तन समूह]] <math>G = \lbrace g : g g^* = 1 \rbrace </math> दो भाग हैं, <math>G \cap H</math> और <math>G \cap M.</math> प्रथम भाग की विशेषता है <math>g = g^{\star}</math> ; फिर लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अनुरूप {{mvar|g}} द्वारा दिया गया है <math>T(q) = g^{-1} q g </math> तब से <math>g^* = g^{-1}. </math> ऐसा परिवर्तन चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव है और उनका संग्रह [[SO(3)]] है <math>\cong G \cap H .</math> लेकिन यह उपसमूह {{mvar|G}} [[सामान्य उपसमूह]] नहीं है इसलिए कोई [[भागफल समूह]] नहीं बनाया जा सकता है।

देखना <math>G \cap M</math> द्विचतुर्भुजों में कुछ उप बीजगणित संरचना दिखाना आवश्यक है। होने देना {{mvar|r}} चतुष्कोण के एक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है और वास्तविक चतुर्धातुक उप बीजगणित में -1 का वर्गमूल {{math|'''H'''}}. तब {{math|1=(''hr'')<sup>2</sup> = +1}} और द्विअर्थी के विमान द्वारा दिया गया <math>D_r = \lbrace z = x + yhr : x, y \in \mathbb R \rbrace</math> स्प्लिट-जटिल संख्याओं के तल के लिए एक विनिमेय उप बीजगणित समरूप  है। जैसे साधारण जटिल तल में एक इकाई वृत्त होता है <math>D_r </math> द्वारा दी गई एक इकाई अतिपरवलय है

:<math>\exp(ahr) = \cosh(a) + hr\ \sinh(a),\quad a \in R. </math>
जिस तरह इकाई गोले अपने किसी एक तत्व के गुणा से बदल जाता है उसी तरह अतिपरवलय बदल जाता है क्योंकि <math>\exp(ahr) \exp(bhr) = \exp((a+b)hr). </math> इसलिए अतिपरवलय पर इन बीजगणितीय संचालकों को छंद अतिपरवलयिक छंद कहा जाता है। इकाई गोले में {{math|'''C'''}} और इकाई अतिपरवलय में {{math|''D''<sub>''r''</sub>}} [[एक-पैरामीटर समूह]] के उदाहरण हैं। प्रत्येक वर्गमूल के लिए {{math|''r''}} ऋण एक इन {{math|'''H'''}}, द्वारा दिए गए द्विचतुर्भुजों में एक-पैरामीटर समूह है <math>G \cap D_r.</math>

[[ यूक्लिडियन मीट्रिक |यूक्लिडियन मीट्रिक]] ऑन के माध्यम से द्विअर्थी के स्थान में एक प्राकृतिक [[टोपोलॉजी]] {{math|8}}-अंतरिक्ष है। इस टोपोलॉजी के संबंध में {{mvar|G}} एक सामयिक समूह है। इसके अतिरिक्त इसकी विश्लेषणात्मक संरचना है जो इसे छह-पैरामीटर लाइ समूह बनाती है। बायवेक्टर (जटिल) के उप-स्थान पर विचार करें  <math>A = \lbrace q : q^* = -q \rbrace </math>. फिर घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)

<math>\exp:A \to G</math> वास्तविक वैक्टर को ले जाता है <math>G \cap H</math> और यह {{mvar|h}}-सदिश <math>G \cap M.</math> [[कम्यूटेटर]] से लैस होने पर {{mvar|A}} का [[झूठ बीजगणित]] बनाता है {{mvar|G}}. इस प्रकार छह-आयामी अंतरिक्ष का यह अध्ययन [[झूठ सिद्धांत]] की सामान्य अवधारणाओं को प्रस्तुत करने का काम करता है। आव्यूह प्रतिनिधित्व में देखे जाने पर {{mvar|G}} को [[विशेष रैखिक समूह]] SL(2,C) कहा जाता है {{math|M<sub>2</sub>('''C''')}}.

विशेष आपेक्षिकता की कई अवधारणाओं को द्विचतुर्भुज संरचनाओं के माध्यम से चित्रित किया गया है। उपस्थान {{mvar|M}} मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से मेल खाता है जिसमें चार निर्देशांक संदर्भ के आराम करने वाले फ्रेम में घटनाओं के समय और स्थान देते हैं। कोई अतिशयोक्तिपूर्ण छंद {{math|exp(''ahr'')}} दिशा में एक [[वेग]]<nowiki> से मेल खाती है {{mvar|r} गति का </nowiki>{{math|''c'' tanh ''a''}}  जहाँ {{mvar|c}} [[प्रकाश का वेग]] है। [[लोरेंत्ज़ बूस्ट]] को लागू करके इस वेग के संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम को आराम करने वाला फ्रेम बनाया जा सकता है {{mvar|T}} द्वारा दिए गए {{math|1=''g'' = exp(0.5''ahr'')}} के बाद से <math>g^{\star} = \exp(-0.5ahr) = g^*</math> ताकि <math>T(\exp(ahr)) = 1 .</math>

स्वाभाविक रूप से अतिपरवलयिक <math>G \cap M,</math> जो उप-ल्यूमिनल गति के लिए वेगों की सीमा का प्रतिनिधित्व करता है। इस वेग स्थान को [[ अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति |अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति]] के अतिपरवलयिक [[हाइपरबोलाइड मॉडल|मॉडल]] के साथ जोड़ने का काफी काम किया गया है। विशेष सापेक्षता में अतिशयोक्तिपूर्ण छंद के [[अतिशयोक्तिपूर्ण कोण]] पैरामीटर को [[ तेज़ी |तेज़ी]] कहा जाता है। इस प्रकार हम द्विअर्थी समूह देखते हैं {{mvar|G}} लोरेंत्ज़ समूह के लिए एक [[समूह प्रतिनिधित्व]] प्रदान करता है।

स्पिनर सिद्धांत की प्रारम्भ के बाद विशेष रूप से [[वोल्फगैंग पाउली]] और एली कार्टन के हाथों में लोरेंत्ज़ समूह के द्विअर्थी प्रतिनिधित्व को हटा दिया गया था। सेट में आधार (रैखिक बीजगणित) पर नई विधियों की स्थापना की गई थी

:<math>\{ q \ :\  q q^* = 0 \} = \left\{ w + x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k \ :\ w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 0 \right\} </math>
जिसे जटिल प्रकाश शंकु कहा जाता है। लोरेंत्ज़ समूह के उपरोक्त प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ मेल खाता है जिसे भौतिक विज्ञानी चार-वैक्टर के रूप में संदर्भित करते हैं। चार-वैक्टरों के अतिरिक्त कण भौतिकी के [[मानक मॉडल]] में अन्य लोरेंत्ज़ निरूपण भी सम्मिलित हैं जिन्हें [[लोरेंत्ज़ अदिश]] के रूप में जाना जाता है और {{math|(1, 0) ⊕ (0, 1)}}-प्रतिनिधित्व से जुड़े उदाहरण के लिए [[विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर|विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर है]]। इसके अतिरिक्त कण भौतिकी का उपयोग करता है {{math|SL(2, '''C''')}} अभ्यावेदन (या लोरेंत्ज़ समूह के प्रक्षेपी निरूपण) को बाएँ और दाएँ हाथ के [[वेइल स्पिनर|वेइल]] स्पिनर्स, [[मेजराना स्पिनर|मेजराना]] स्पिनर्स और [[डिराक स्पिनर|डिराक]] स्पिनर्स के रूप में जाना जाता है। यह ज्ञात है कि इन सात अभ्यावेदनों में से प्रत्येक को द्विभाजित उप-स्थानों के रूप में बनाया जा सकता है।<ref>{{cite journal|last=Furey|first=C.|title=आदर्शों का एकीकृत सिद्धांत|journal=Phys. Rev. D|year=2012|volume=86|issue=2|pages=025024|doi=10.1103/PhysRevD.86.025024|arxiv=1002.1497|bibcode = 2012PhRvD..86b5024F |s2cid=118458623}}</ref>
== रचना बीजगणित के रूप में ==
हालांकि डब्लू.आर. हैमिल्टन ने 19वीं सदी में द्विअर्थी प्रारम्भ की थी एक क्षेत्र पर एक विशेष प्रकार के बीजगणित के रूप में इसकी [[गणितीय संरचना]] का चित्रण 20वीं सदी में पूरा किया गया था: द्विअर्थी को सम्मिश्र संख्याओं से उसी तरह उत्पन्न किया जा सकता है जिस तरह से [[एड्रियन अल्बर्ट]] ने उत्पन्न किया था। तथाकथित केली-डिक्सन निर्माण में जटिल संख्याओं से वास्तविक चतुष्कोण इस रचना में एक द्विजटिल संख्या (w,z) का संयुग्मी (w,z)* = (w, – z) है।

द्विअर्थी तब सम्मिश्र संख्याओं (a,b) की एक जोड़ी है जहां दूसरे द्विअर्थी (c, d) वाला उत्पाद है
:<math>(a,b)(c,d) = (a c - d^* b, d a + b c^* ).</math>
यदि <math>a = (u, v), b = (w,z), </math> फिर उभयलिंगी <math>(a, b)^* = (a^*, -b).</math>

जब (a,b)* को साधारण सम्मिश्र संख्याओं के 4-वेक्टर के रूप में लिखा जाता है,
:<math>(u, v, w, z)^* = (u, -v, -w, -z). </math>
द्विअर्थी एक चतुर्धातुक बीजगणित का एक उदाहरण है और इसका मानदंड है
:<math>N(u,v,w,z) = u^2 + v^2 + w^2 + z^2 .</math>
दो द्विअंश p और q संतुष्ट करते हैं <math>N(p q) = N(p) N(q) </math> यह दर्शाता है कि N एक द्विघात रूप है जो संघटन को स्वीकार करता है जिससे कि द्विअर्थी एक रचना बीजगणित बनाते हैं।



== यह भी देखें ==
* [[द्विअर्थी बीजगणित]]
* [[हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या]]
* [[जोआचिम लैम्बेक]]
* हाइपरबोलिक क्वाटरनियन#मैकफ़ारलेन का 1900 का हाइपरबोलिक क्वाटरनियन पेपर|मैकफ़ारलेन का उपयोग
* भागफल वलय # चतुष्कोण और विकल्प

==टिप्पणियाँ==
{{reflist|2}}


==संदर्भ==
{{wikibooks|Associative Composition Algebra|Quaternions|Biquaternions}}
* [[Arthur Buchheim]] (1885) [https://www.jstor.org/stable/2369176 "A Memoir on द्विअर्थी"], [[American Journal of Mathematics]] 7(4):293 to 326 from [[Jstor]] early  content. 
* {{citation|first=Arthur W.|last=Conway|author-link=Arthur W. Conway|year=1911|title=On the application of quaternions to some recent developments in electrical theory|journal=Proceedings of the Royal Irish Academy|volume=29A|pages=1–9}}.
* [[William Edwin Hamilton]] (editor) (1866) ''[https://books.google.com/books?id=fIRAAAAAIAAJ Elements of Quaternions]'', [[University of Dublin]] Press
* [[Charles Jasper Joly]] (editor) (1899) ''Elements of Quaternions'' volume I, (1901) volume II, [[Longmans, Green & Co.]]
* Kravchenko, Vladislav (2003),  ''Applied Quaternionic Analysis'', Heldermann Verlag {{ISBN|3-88538-228-8}}.
* {{citation|first=Ludwik|last=Silberstein|author-link=Ludwik Silberstein|year=1912|title=Quaternionic form of relativity|journal=[[Philosophical Magazine]]|series=Series 6|volume=23|issue=137|pages=790–809|doi=10.1080/14786440508637276|url=https://zenodo.org/record/1430762}}.
* {{citation|first=Ludwik|last=Silberstein|title=The Theory of Relativity|year=1914}}.
* {{citation|last=Synge|first=J. L.|year=1972|title=Quaternions, Lorentz transformations, and the Conway-Dirac-Eddington matrices|journal=Communications of the Dublin Institute for Advanced Studies|series=Series A|volume=21}}.
* {{citation|first=P. R.|last=Girard|year=1984|title=The quaternion group and modern physics|journal=[[European Journal of Physics]]|volume=5|issue=1|pages=25–32|bibcode = 1984EJPh....5...25G |doi = 10.1088/0143-0807/5/1/007 |s2cid=250775753 }}.
* {{citation|last=Kilmister|first=C. W.|year=1994|title=Eddington's search for a fundamental theory|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-37165-0|pages=121, 122, 179, 180|title-link=fundamental theory (Eddington)}}.
* {{citation|first1=Stephen J.|last1=Sangwine|first2=Todd A.|last2=Ell|first3=Nicolas|last3=Le Bihan|year=2010|arxiv=1001.0240|title=Fundamental representations and algebraic properties of biquaternions or complexified quaternions|journal=[[Advances in Applied Clifford Algebras]]|volume=21|issue=3|pages=1–30|doi=10.1007/s00006-010-0263-3|s2cid=54729224}}.
* {{citation|first1=Stephen J.|last1=Sangwine|first2=Daniel|last2=Alfsmann|year=2010|arxiv=0812.1102|title=Determination of the biquaternion divisors of zero, including idempotents and nilpotents|journal=[[Advances in Applied Clifford Algebras]]|volume=20|issue=2|pages=401–410|bibcode = 2008arXiv0812.1102S|doi=10.1007/s00006-010-0202-3|s2cid=14246706}}.
* {{citation|first=M.|last=Tanişli|year=2006|title=Gauge transformation and electromagnetism with biquaternions|journal=[[Europhysics Letters]]|volume=74|issue=4|page=569|bibcode = 2006EL.....74..569T |doi = 10.1209/epl/i2005-10571-6 |s2cid=250862773 }}.

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