View source for सह समुच्चय

{{short description|Disjoint, equal-size subsets of a group's underlying set}}[[File:Left cosets of Z 2 in Z 8.svg|thumb|{{mvar|G}} समूह है {{math|[[Integers_modulo_n#Integers_modulo_n|(ℤ/8ℤ, +)]]}}, पूर्णांक मॉड्यूल n अतिरिक्त के अनुसार। उपसमूह {{mvar|H}} में केवल 0 और 4 होते हैं। के चार बाएँ सहसमुच्चय हैं {{mvar|H}}: {{mvar|H}} अपने आप, {{math|1 + ''H''}}, {{math|2 + ''H''}}, और {{math|3 + ''H''}} (योगात्मक संकेतन का उपयोग करते हुए लिखा गया है क्योंकि यह योगात्मक समूह है)। वे सब मिलकर पूरे समूह का विभाजन करते हैं {{mvar|G}} समान-बनावट, गैर-अतिव्यापी समुच्चय में। [[एक उपसमूह का सूचकांक]] {{math|[''G'' : ''H'']}} 4 है।]]गणित में, विशेष रूप से [[समूह सिद्धांत]], समूह {{mvar|G}} के एक [[उपसमूह]] {{mvar|H}} का उपयोग {{mvar|G}} के अंतर्निहित [[सेट (गणित)|समुच्चय(गणित)]] को विघटित करने के लिए किया जा सकता है, समान आकार के [[उपसमुच्चय]] जिन्हें सहसमुच्चय कहा जाता है। बाएँ सहसमुच्चय और दाएँ सहसमुच्चय हैं। सहसमुच्चय्स (बाएं और दाएं दोनों) में समान संख्या में तत्व ([[प्रमुखता]]) जैसे {{mvar|H}} होते हैं। इसके अलावा, {{mvar|H}} स्वयं बाएँ सहसमुच्चय और दाएँ सहसमुच्चय दोनों है। {{mvar|G}} में {{mvar|H}} के बाएँ सहसमुच्चयों की संख्या {{mvar|G}} में {{mvar|H}} के दाएँ सहसमुच्चयों की संख्या के बराबर है। इस सामान्य मान को {{mvar|G}} में {{mvar|H}} का सूचकांक कहा जाता है और इसे आमतौर पर {{math|[''G'' : ''H'']}} द्वारा निरूपित किया जाता है।

समूहों के अध्ययन में सहसमुच्चय एक बुनियादी उपकरण हैं; उदाहरण के लिए, वे लाग्रेंज के प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं जो बताता है कि किसी भी [[परिमित समूह]] {{mvar|G}} के लिए, {{mvar|G}} के प्रत्येक उपसमूह {{mvar|H}} के तत्वों की संख्या {{mvar|G}} के तत्वों की संख्या को विभाजित करती है। एक विशेष प्रकार के उपसमूह (एक [[सामान्य उपसमूह]]) के सहसमुच्चय का उपयोग दूसरे समूह के तत्वों के रूप में किया जा सकता है जिसे [[भागफल समूह]] या कारक समूह कहा जाता है। जैसे वेक्टर रिक्त स्थान और [[त्रुटि सुधार कोड]] सहसमुच्चय गणित के अन्य क्षेत्रों में भी दिखाई देते हैं।

== परिभाषा ==
मान लीजिये {{mvar|H}} एक उपसमूह है समूह {{mvar|G}} का जिसकी संक्रिया गुणक रूप से लिखी गई है (जुगलबंदी समूह संक्रिया को दर्शाती है)। {{mvar|g}} के एक तत्व {{mvar|G}} को देखते हुए, {{mvar|G}} में {{mvar|H}} के बाएं सहसमुच्चय {{mvar|G}} के एक निश्चित तत्व {{mvar|G}} द्वारा {{mvar|H}} के प्रत्येक तत्व को गुणा करके प्राप्त किए गए समुच्चय हैं (जहां {{mvar|G}} बाएं कारक है)। प्रतीकों में ये हैं,
{{block indent|em=1.5|text={{math|1=''gH'' = {{mset|''gh'' : ''h'' an element of ''H''}}}} for {{mvar|g}} in {{mvar|G}}.}}
सही सहसमुच्चय समान रूप से परिभाषित किए गए हैं, सिवाय इसके कि तत्व {{mvar|g}} अब एक सही कारक है, अर्थात,
{{block indent|em=1.5|text={{math|1=''Hg'' = {{mset|''hg'' : ''h'' an element of ''H''}}}} for {{mvar|g}} in {{mvar|G}}.}}

जैसा {{mvar|g}} समूह के माध्यम से भिन्न होता है, ऐसा प्रतीत होता है कि कई सहसमुच्चय (दाएं या बाएं) उत्पन्न होंगे। फिर भी, यह पता चला है कि कोई भी दो बाएं सहसमुच्चय (क्रमशः दाएं सहसमुच्चय) या तो असंयुक्त हैं या समुच्चय के रूप में समरूप हैं।<ref name=Rotman2006>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 156}}</ref>

यदि समूह संक्रिया योगात्मक रूप से लिखी जाती है, जैसा कि अधिकांशतः होता है जब समूह आबेली समूह होता है, तो प्रयुक्त अंकन {{math|''g'' + ''H''}} या {{math|''H'' + ''g''}}, क्रमश बदल जाता है।

=== पहला उदाहरण ===
मान लीजिये {{mvar|G}} [[ऑर्डर 6 का डायहेड्रल समूह]] हो। इसके तत्वों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है {{math|{''I'', ''a'', ''a''<sup>2</sup>, ''b'', ''ab'', ''a''<sup>2</sup>''b''}<nowiki/>}}. इस समूह में, {{math|1=''a''<sup>3</sup> = ''b''<sup>2</sup> = ''I''}} और {{math|1=''ba'' = ''a''<sup>2</sup>''b''}}. संपूर्ण केली तालिका भरने के लिए यह पर्याप्त जानकारी है:
{| class=wikitable
!∗||{{mvar|I}} ||{{mvar|a}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>}} ||{{mvar|b}} ||{{math|''ab''}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}}
|-
!{{mvar|I}}
||{{mvar|I}} ||{{mvar|a}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>}} ||{{mvar|b}} ||{{math|''ab''}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}}
|-
!{{mvar|a}}
|{{mvar|a}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>}} ||{{mvar|I}} ||{{math|''ab''}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}} ||{{mvar|b}}
|-
!{{math|''a''<sup>2</sup>}}
|{{math|''a''<sup>2</sup>}} ||{{mvar|I}} ||{{mvar|a}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}} ||{{mvar|b}} ||{{math|''ab''}}
|-
!{{mvar|b}}
|{{mvar|b}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}} ||{{math|''ab''}} ||{{mvar|I}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>}} || {{mvar| a}}
|-
!{{math|''ab''}}
|{{math|''ab''}} ||{{mvar|b}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}} ||{{mvar|a}} || {{mvar|I}} ||{{math|''a''<sup>2</sup>}}
|-
!{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}}
|{{math|''a''<sup>2</sup>''b''}} ||{{math|''ab''}} ||{{mvar|b}} || {{math|''a''<sup>2</sup>}} ||{{mvar|a}} || {{mvar|I}}
|}
मान लीजिये {{mvar|T}} उपसमूह हो {{math|{''I'', ''b''}<nowiki/>}}. (भिन्न) के बाएं सहसमुच्चय {{mvar|T}} हैं:
*{{math|1=''IT'' = ''T'' = {{mset|''I'', ''b''}}}},
*{{math|1=''aT'' = {{mset|''a'', ''ab''}}}}, और
*{{math|1=''a''<sup>2</sup>''T'' = {{mset|''a''<sup>2</sup>, ''a''<sup>2</sup>''b''}}}}.
चूंकि सभी तत्व {{mvar|G}} अब इनमें से किसी एक सहसमुच्चय में प्रकट हो गए हैं, कोई और उत्पन्न करने से नए सहसमुच्चय नहीं मिल सकते हैं, क्योंकि एक नए सहसमुच्चय में इनमें से किसी एक सहसमुच्चय के साथ एक तत्व होना चाहिए और इसलिए इन सहसमुच्चयों में से एक के समान होना चाहिए, उदाहरण के लिए, {{math|1=''abT'' = {{mset|''ab'', ''a''}} = ''aT''}}.

का सही सहसमुच्चय {{mvar|T}} हैं:
*{{math|1=''TI'' = ''T'' = {{mset|''I'', ''b''}}}},
*{{math|1=''Ta'' = {{mset|''a'', ''ba''}} = {{mset|''a'', ''a''<sup>2</sup>''b''}}}} , और
*{{math|1=''Ta''<sup>2</sup> = {{mset|''a''<sup>2</sup>, ''ba''<sup>2</sup>}} = {{mset|''a''<sup>2</sup>, ''ab''}}}}.

इस उदाहरण में, को छोड़कर {{mvar|T}}, कोई बायाँ सहसमुच्चय भी दायाँ सहसमुच्चय नहीं है।

मान लीजिये {{mvar|H}} उपसमूह हो {{math|{{mset|''I'', ''a'', ''a''<sup>2</sup>}}}}. के बाएं सहसमुच्चय {{mvar|H}} हैं {{math|1=''IH'' = ''H''}} और {{math|1=''bH'' = {{mset|''b'', ''ba'', ''ba''<sup>2</sup>}}}} का सही सहसमुच्चय {{mvar|H}} हैं {{math|1=''HI'' = ''H''}} और {{math|1=''Hb'' = {{mset|''b'', ''ab'', ''a''<sup>2</sup>''b''}} = {{mset|''b'', ''ba''<sup>2</sup>, ''ba''}}}}, इस स्थिति में, का प्रत्येक बायाँ सहसमुच्चय {{mvar|H}} का भी एक सही सहसमुच्चय {{mvar|H}} है। <ref name=Dean>{{harvnb|Dean|1990|loc=p. 100}}</ref>

मान लीजिये {{math|''H''}} किसी समूह का उपसमूह हो {{math|''G''}} और मान लीजिए {{math|''g''<sub>1</sub>}}, {{math|''g''<sub>2</sub> ∈ ''G''}}. निम्न कथन समतुल्य हैं:<ref>{{Cite web|url=http://abstract.ups.edu/aata/section-cosets.html| title=AATA Cosets}}</ref>
* {{math|1=''g''<sub>1</sub>''H'' = ''g''<sub>2</sub>''H''}}
* {{math|1=''Hg''<sub>1</sub><sup>−1</sup> = ''Hg''<sub>2</sub><sup>−1</sup>}}
* {{math|1=''g''<sub>1</sub>''H'' ⊂ ''g''<sub>2</sub>''H''}}
* {{math|1=''g''<sub>2</sub> ∈ ''g''<sub>1</sub>''H''}}
* {{math|1=''g''<sub>1</sub><sup>−1</sup>''g''<sub>2</sub> ∈ ''H''}}

== गुण ==

गैर-समरूप सहसमुच्चयों की असंगति इस तथ्य का परिणाम है कि यदि {{mvar|x}} से संबंधित {{math|''gH''}} तब {{math|1=''gH'' = ''xH''}}. यदि {{math|''x'' ∈ ''gH''}} तो वहाँ एक उपलब्ध होना चाहिए {{math|''a'' ∈ ''H''}} ऐसा है कि {{math|1=''ga'' = ''x''}}. इस प्रकार {{math|1=''xH'' = (''ga'')''H'' = ''g''(''aH'')}}. इसके अतिरिक्त, चूंकि {{math|''H''}} एक समूह है, बाएँ गुणन द्वारा {{mvar|a}} एक आपत्ति है, और {{math|1=''aH'' = ''H''}}.

इस प्रकार का हर तत्व {{math|''G''}} उपसमूह के ठीक एक बाएं सहसमुच्चय से संबंधित है {{math|''H''}},<ref name=Rotman2006 />और {{math|''H''}} अपने आप में एक बायां सहसमुच्चय है (और वह जिसमें पहचान है)।<ref name=Dean />

एक ही बाएँ सहसमुच्चय में होने वाले दो तत्व भी एक प्राकृतिक [[तुल्यता संबंध]] प्रदान करते हैं। के दो तत्वों को परिभाषित कीजिए {{mvar|G}}, {{mvar|x}} और {{mvar|y}}, उपसमूह के संबंध में समतुल्य होना {{mvar|H}} यदि {{math|1=''xH'' = ''yH''}} (या समकक्ष यदि {{math|''x''<sup>−1</sup>''y''}} से संबंधित {{mvar|H}}). इस संबंध के तुल्यता वर्ग के बाएँ सहसमुच्चय {{mvar|H}} हैं।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p.155}}</ref> तुल्यता वर्गों के किसी भी समुच्चय के साथ, वे अंतर्निहित समुच्चय का एक [[विभाजन (सेट सिद्धांत)|विभाजन (समुच्चय सिद्धांत)]] बनाते हैं। समतुल्य वर्ग के अर्थ में एक सहसमुच्चय प्रतिनिधि एक [[प्रतिनिधि (गणित)]] है। सभी सहसमुच्चय्स के प्रतिनिधियों के एक समुच्चय को [[ट्रांसवर्सल (कॉम्बिनेटरिक्स)]] कहा जाता है। एक समूह में अन्य प्रकार के तुल्यता संबंध होते हैं, जैसे कि संयुग्मन, जो विभिन्न वर्गों का निर्माण करते हैं जिनमें यहां चर्चा किए गए गुण नहीं होते हैं।

समान कथन सही सहसमुच्चय पर लागू होते हैं।

यदि {{math|''G''}} तब एक एबेलियन समूह है {{math|1=''g'' + ''H'' = ''H'' + ''g''}} प्रत्येक उपसमूह के लिए {{math|''H''}} का {{math|''G''}} और हर तत्व {{mvar|g}} का {{math|''G''}}. सामान्य समूहों के लिए, एक तत्व दिया गया {{mvar|g}} और एक उपसमूह {{math|''H''}} समूह का {{math|''G''}}, का सही सहसमुच्चय {{math|''H''}} इसके संबंध में {{mvar|g}} संयुग्मी उपसमूह का बायां सहसमुच्चय भी है {{math|''g''<sup>−1</sup>''Hg''}} इसके संबंध में {{mvar|g}}, वह है, {{math|1=''Hg'' = ''g''(''g''<sup>−1</sup>''Hg'')}}.

=== सामान्य उपसमूह ===
एक उपसमूह {{math|''N''}} समूह का {{math|''G''}} का एक सामान्य उपसमूह है {{math|''G''}} यदि और केवल यदि सभी तत्वों के लिए {{mvar|g}} का {{math|''G''}} संबंधित बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय बराबर हैं, अर्थात, {{math|1=''gN'' = ''Ng''}}. यही स्थिति उपसमूह की है {{mvar|H}} उपरोक्त पहले उदाहरण में। इसके अतिरिक्त, के सहसमुच्चय {{math|''N''}} में {{math|''G''}} एक समूह बनाते हैं जिसे भागफल समूह कहा जाता है {{math|''G''/''N''}}.

यदि {{math|''H''}} सामान्य उपसमूह नहीं है {{math|''G''}}, तब इसके बाएँ सहसमुच्चय इसके दाएँ सहसमुच्चय से भिन्न होते हैं। अर्थात एक है {{mvar|a}} में {{math|''G''}} ऐसा है कि कोई तत्व नहीं {{mvar|b}} संतुष्ट करता है {{math|1=''aH'' = ''Hb''}}. इसका मतलब है कि का विभाजन {{math|''G''}} के बाएं सहसमुच्चय में {{math|''H''}} के विभाजन से भिन्न विभाजन है {{math|''G''}} के सही सहसमुच्चय में {{math|''H''}}. यह उपसमूह द्वारा सचित्र है {{mvar|T}} उपरोक्त पहले उदाहरण में। (कुछ सहसमुच्चय संपाती हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि {{mvar|a}} के [[केंद्र (समूह सिद्धांत)]] में है {{math|''G''}}, तब {{math|1=''aH'' = ''Ha''}}.)

दूसरी ओर, यदि उपसमूह {{math|''N''}} सामान्य है सभी सहसमुच्चयों का समुच्चय एक समूह बनाता है जिसे भागफल समूह कहा जाता है {{math|''G'' / ''N''}} ऑपरेशन के साथ {{math|∗}} द्वारा परिभाषित {{math|1=(''aN'') ∗ (''bN'') = ''abN''}}. चूँकि प्रत्येक दायाँ सहसमुच्चय एक बायाँ सहसमुच्चय होता है, इसलिए बाएँ सहसमुच्चय को दाएँ सहसमुच्चय से भिन्न करने की कोई आवश्यकता नहीं है।

=== एक उपसमूह का सूचकांक ===
{{Main|Index of a subgroup}}
के प्रत्येक बाएँ या दाएँ सहसमुच्चय {{math|''H''}} में तत्वों की संख्या समान होती है (या [[अनंतता]] के स्थिति में कार्डिनैलिटी {{math|''H''}}) जैसा {{math|''H''}} अपने आप। इसके अतिरिक्त, बाएं सहसमुच्चय की संख्या सही सहसमुच्चय की संख्या के बराबर होती है और इसे इंडेक्स के रूप में जाना जाता है {{math|''H''}} जी में, के रूप में लिखा {{math|[''G'' : ''H'']}}. लैग्रेंज का प्रमेय (समूह सिद्धांत) | लैग्रेंज का प्रमेय हमें उस स्थिति में सूचकांक की गणना करने की अनुमति देता है जहां {{math|''G''}} और {{math|''H''}} परिमित हैं:
<math display="block">|G| = [G : H]|H|.</math>
यह समीकरण उस स्थिति में भी लागू होता है जहां समूह अनंत हैं, चूंकि अर्थ कम स्पष्ट हो सकता है।

== अधिक उदाहरण ==

=== पूर्णांक ===
मान लीजिये {{math|''G''}} पूर्णांकों का योज्य समूह हो, {{math|1='''Z''' = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +)}} और {{math|''H''}} उपसमूह {{math|1=(3'''Z''', +) = ({..., −6, −3, 0, 3, 6, ...}, +)}}. फिर के सहसमुच्चय {{math|''H''}} में {{math|''G''}} तीन समुच्चय हैं {{math|3'''Z'''}}, {{math|3'''Z''' + 1}}, और {{math|3'''Z''' + 2}}, कहाँ {{math|1=3'''Z''' + ''a'' = {..., −6 + ''a'', −3 + ''a'', ''a'', 3 + ''a'', 6 + ''a'', ...}<nowiki/>}}. ये तीन समुच्चय समुच्चय को विभाजित करते हैं {{math|'''Z'''}}, इसलिए इसका कोई अन्य सही सहसमुच्चय नहीं है {{mvar|H}}. जोड़ की [[क्रमविनिमेयता]] के कारण {{math|1=''H'' + 1 = 1 + ''H''}} और {{math|1=''H'' + 2 = 2 + ''H''}}. अर्थात्, का प्रत्येक बायाँ सहसमुच्चय {{mvar|H}} भी एक सही सहसमुच्चय है, इसलिए {{mvar|H}} एक सामान्य उपसमूह है।<ref>{{harvnb|Fraleigh|1994|loc=p. 117}}</ref> (इसी तर्क से पता चलता है कि एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है।<ref name=Fraleigh>{{harvnb|Fraleigh|1994|loc=p. 169}}</ref>)

यह उदाहरण सामान्यीकृत किया जा सकता है। फिर से चलो {{math|''G''}} पूर्णांकों का योज्य समूह हो, {{math|1='''Z''' = ({..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}, +)}}, और अब चलो {{math|''H''}} उपसमूह {{math|1=(''m'''''Z''', +) = ({..., −2''m'', −''m'', 0, ''m'', 2''m'', ...}, +)}}, कहाँ {{mvar|m}} एक सकारात्मक पूर्णांक है। फिर के सहसमुच्चय {{math|''H''}} में {{math|''G''}} हैं {{mvar|m}} समुच्चय {{math|''m'''''Z'''}}, {{math|''m'''''Z''' + 1}}, ..., {{math|''m'''''Z''' + (''m'' − 1)}}, कहाँ {{math|1=''m'''''Z''' + ''a'' = {..., −2''m''+''a'', −''m''+''a'', ''a'', ''m''+''a'', 2''m''+''a'', ...}<nowiki/>}}. से अधिक नहीं हैं {{mvar|m}} सहसमुच्चय, क्योंकि {{math|1=''m'''''Z''' + ''m'' = ''m''('''Z''' + 1) = ''m'''''Z'''}}. सहसमुच्चय {{math|(''m'''''Z''' + ''a'', +)}} का [[मॉड्यूलर अंकगणित]] है {{mvar|a}} मापांक {{mvar|m}}.<ref>{{harvnb|Joshi|1989|loc= p. 323}}</ref> उपसमूह {{math|m'''Z'''}} में सामान्य है {{math|'''Z'''}}, और इसलिए, भागफल समूह बनाने के लिए उपयोग किया जा सकता है {{math|'''Z'''/''m'''''Z'''}} इंटीग्रर्स मॉड एन का समूह।

=== वेक्टर ===
सहसमुच्चय का एक और उदाहरण वेक्टर रिक्त स्थान के सिद्धांत से आता है। वेक्टर स्पेस के तत्व (वैक्टर) [[वेक्टर जोड़]] के अनुसार एक एबेलियन समूह बनाते हैं। सदिश समष्टि की रैखिक उपसमष्टि इस समूह के उपसमूह हैं। एक वेक्टर स्थान के लिए {{math|''V''}}, एक उप-स्थान {{math|''W''}}, और एक निश्चित वेक्टर {{math|'''a'''}} में {{math|''V''}}, समुच्चय
<math display="block">\{\mathbf{x} \in V \mid \mathbf{x} = \mathbf{a} + \mathbf{w}, \mathbf{w} \in W\}</math>
[[ affine उपक्षेत्र |एफ़िन उपक्षेत्र]] कहलाते हैं, और सहसमुच्चय हैं (बाएं और दाएं दोनों, चूंकि समूह एबेलियन है)। 3-आयामी [[ यूक्लिडियन अंतरिक्ष |यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] वैक्टर के संदर्भ में, ये एफ़िन सबस्पेस सभी लाइनें या विमान हैं जो सबस्पेस के [[समानांतर (ज्यामिति)]] हैं, जो मूल के माध्यम से जाने वाली रेखा या विमान है। उदाहरण के लिए, विमान (ज्यामिति) पर विचार करें {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}. यदि {{mvar|m}} मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा है {{mvar|O}}, तब {{mvar|m}} एबेलियन समूह का एक उपसमूह है {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}. यदि {{mvar|P}} में है {{math|'''R'''<sup>2</sup>}}, फिर सहसमुच्चय {{math|''P'' + ''m''}} एक रेखा है {{math|''m''′}} इसके समानांतर {{mvar|m}} और गुजर रहा है {{mvar|P}}.<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 155}}</ref>


=== मैट्रिक्स ===
मान लीजिये {{mvar|G}} आव्यूहों का गुणक समूह हो,<ref>{{harvnb|Burton|1988|loc=pp. 128, 135}}</ref>
<math display="block">G = \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix} \colon a, b \in \R, a \neq 0 \right\},</math>
और उपसमूह {{mvar|H}} का {{mvar|G}},
<math display="block">H= \left \{\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{bmatrix} \colon c \in \mathbb{R} \right\}.</math>
के एक निश्चित तत्व के लिए {{mvar|G}} बाएं सहसमुच्चय पर विचार करें
<math display="block">\begin{align}
\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix} H = &~ \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ c & 1 \end{bmatrix} \colon c \in \R \right\} \\
=&~ \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ b + c & 1 \end{bmatrix} \colon c \in \mathbb{R}\right\} \\
=&~ \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ d & 1 \end{bmatrix} \colon d \in \mathbb{R}\right\}.
\end{align}</math>
अर्थात्, बाएँ सहसमुच्चय में सभी आव्यूह होते हैं {{mvar|G}} वही ऊपरी-बाएँ प्रविष्टि है। यह उपसमूह {{mvar|H}} में सामान्य है {{mvar|G}}, लेकिन उपसमूह
<math display="block">T= \left \{\begin{bmatrix} a & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \colon a \in \mathbb{R} - \{0\} \right\}</math>
में सामान्य नहीं है {{mvar|G}}.

== एक समूह कार्रवाई की कक्षाओं के रूप में ==
{{main|समूह क्रिया}}

एक उपसमूह {{mvar|H}} समूह का {{mvar|G}} का उपयोग [[समूह क्रिया]] को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है {{mvar|H}} पर {{mvar|G}} दो प्राकृतिक विधियों से। एक सही क्रिया, {{math|''G'' × ''H'' → ''G''}} द्वारा दिए गए {{math|(''g'', ''h'') → ''gh''}} या एक बाईं क्रिया, {{math|''H'' × ''G'' → ''G''}} द्वारा दिए गए {{math|(''h'', ''g'') → ''hg''}}. की [[कक्षा (समूह सिद्धांत)]]। {{mvar|g}} दाएँ क्रिया के अंतर्गत बायाँ सहसमुच्चय है {{mvar|gH}}, जबकि बाएँ क्रिया के अंतर्गत कक्षा दाएँ सहसमुच्चय है {{mvar|Hg}}.<ref name=Jacobson>{{harvnb|Jacobson|2009|loc=p. 52}}</ref>


== इतिहास ==
सहसमुच्चय की अवधारणा 1830-31 के गाल्वा के काम की है। उन्होंने एक अंकन प्रस्तुत किया लेकिन अवधारणा के लिए कोई नाम नहीं दिया। को-समुच्चय शब्द पहली बार 1910 में जीए मिलर के पेपर में क्वार्टरली जर्नल ऑफ मैथेमेटिक्स (वॉल्यूम 41, पृष्ठ 382) में दिखाई देता है। जर्मन नेबेनग्रुपपेन ([[एडवर्ड रिटर वॉन वेबर]]) और संयुग्म समूह ([[विलियम बर्नसाइड]]) सहित कई अन्य शब्दों का उपयोग किया गया है।<ref>{{harvnb|Miller|2012|loc=p. 24 footnote}}</ref>
गाल्वा का संबंध यह तय करने से था कि कब एक दिया गया [[बहुपद समीकरण]] मूलकों द्वारा हल किया जा सकता है। एक उपकरण जिसे उन्होंने विकसित किया वह एक उपसमूह को ध्यान में रखते हुए था {{mvar|H}} क्रमचय के एक समूह की {{mvar|G}} के दो अपघटन को प्रेरित किया {{mvar|G}} (जिसे अब हम बाएँ और दाएँ सहसमुच्चय कहते हैं)। यदि ये अपघटन एक साथ होते हैं, अर्थात, यदि बाएं सहसमुच्चय दाएं सहसमुच्चय के समान हैं, तो समस्या को कम करने का एक विधि था {{mvar|H}} के अतिरिक्त {{mvar|G}}. [[केमिली जॉर्डन]] ने 1865 और 1869 में गैलोज़ के काम पर अपनी टिप्पणियों में इन विचारों पर विस्तार से बताया और सामान्य उपसमूहों को परिभाषित किया जैसा कि हमने ऊपर किया है, चूंकि उन्होंने इस शब्द का उपयोग नहीं किया।<ref name=Fraleigh />

सहसमुच्चय बुला रहा है {{mvar|gH}} का बायां सहसमुच्चय {{mvar|g}} इसके संबंध में {{mvar|H}}, जबकि आज सबसे आम है,<ref name=Jacobson />अतीत में सार्वभौमिक रूप से सत्य नहीं रहा है। उदाहरण के लिए, {{harvtxt|Hall|1959}} बुलाएंगे {{mvar|gH}} एक दायां सहसमुच्चय, दाहिनी ओर होने वाले उपसमूह पर जोर देता है।

== कोडिंग सिद्धांत == से एक आवेदन
{{main|मानक सरणी}}
एक बाइनरी लीनियर कोड एक है {{mvar|n}}-आयामी उप-स्थान {{mvar|C}} की एक {{mvar|m}}-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष {{mvar|V}} बाइनरी फ़ील्ड पर {{math|GF(2)}}. जैसा {{mvar|V}} एक योज्य एबेलियन समूह है, {{mvar|C}} इस समूह का एक उपसमूह है। ट्रांसमिशन में होने वाली त्रुटियों को ठीक करने के लिए कोड का उपयोग किया जा सकता है। जब एक कोडवर्ड (का तत्व {{mvar|C}}) प्रेषित किया जाता है, इसके कुछ बिट्स को प्रक्रिया में बदला जा सकता है और रिसीवर का कार्य सबसे संभावित कोडवर्ड निर्धारित करना है जो दूषित प्राप्त शब्द के रूप में प्रारंभ हो सकता है। इस प्रक्रिया को डिकोडिंग कहा जाता है और यदि प्रसारण में केवल कुछ त्रुटियां की जाती हैं तो इसे बहुत ही कम गलतियों के साथ प्रभावी ढंग से किया जा सकता है। डिकोडिंग के लिए उपयोग की जाने वाली एक विधि के तत्वों की व्यवस्था का उपयोग करती है {{mvar|V}} (एक प्राप्त शब्द का कोई भी तत्व हो सकता है {{mvar|V}}) एक [[मानक सरणी]] में। एक मानक सरणी का एक सहसमुच्चय अपघटन है {{mvar|V}} एक निश्चित तरीके से सारणीबद्ध रूप में रखें। अर्थात्, सरणी की शीर्ष पंक्ति में तत्व होते हैं {{mvar|C}}, किसी भी क्रम में लिखा जाता है, सिवाय इसके कि शून्य वेक्टर को पहले लिखा जाना चाहिए। फिर, का एक तत्व {{mvar|V}} उन लोगों की न्यूनतम संख्या के साथ जो पहले से ही शीर्ष पंक्ति में दिखाई नहीं दे रहे हैं और का सहसमुच्चय चुना गया है {{mvar|C}} इस तत्व को दूसरी पंक्ति के रूप में लिखा जाता है (अर्थात, इस तत्व के प्रत्येक तत्व के साथ योग करके पंक्ति बनाई जाती है {{mvar|C}} सीधे इसके ऊपर)। इस तत्व को [[ कोसेट नेता |सहसमुच्चय नेता]] कहा जाता है और इसे चुनने में कुछ विकल्प हो सकते हैं। अब प्रक्रिया दोहराई जाती है, एक नवीनतम सदिश जिसकी न्यूनतम संख्या पहले से प्रकट नहीं होती है, एक नए सहसमुच्चय नेता के रूप में चुना जाता है और सहसमुच्चय {{mvar|C}} युक्त यह अगली पंक्ति है। प्रक्रिया तब समाप्त होती है जब सभी वैक्टर {{mvar|V}} सहसमुच्चय्स में क्रमबद्ध किया गया है।

2-आयामी कोड के लिए मानक सरणी का एक उदाहरण {{math|1=''C'' = {{mset|00000, 01101, 10110, 11011}}}} 5-आयामी अंतरिक्ष में {{mvar|V}} (32 सदिशों के साथ) इस प्रकार है:

{| class="wikitable"
|-
! 00000 !! 01101 !! 10110 !! 11011
|-
| 10000 || 11101 || 00110 || 01011
|-
| 01000 || 00101 || 11110 || 10011
|-
| 00100 || 01001 || 10010 || 11111
|-
| 00010 || 01111 || 10100 || 11001
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| 00001 || 01100 || 10111 || 11010
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| 11000 || 10101 || 01110 || 00011
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| 10001 || 11100 || 00111 || 01010
|}
डिकोडिंग प्रक्रिया तालिका में प्राप्त शब्द को खोजने के लिए है और फिर इसमें पंक्ति के सहसमुच्चय लीडर को जोड़ना है। चूंकि बाइनरी अंकगणितीय जोड़ना घटाने के समान ही ऑपरेशन है, यह निरंतर एक तत्व में परिणाम देता है {{mvar|C}}. इस घटना में कि संचरण त्रुटियां सहसमुच्चय लीडर की गैर-शून्य स्थिति में हुई हैं, परिणाम सही कोडवर्ड होगा। इस उदाहरण में, यदि एक एकल त्रुटि होती है, तो विधि निरंतर इसे ठीक करेगी, क्योंकि सभी संभावित सहसमुच्चय नेता एक एकल के साथ सरणी में दिखाई देते हैं।

इस पद्धति की दक्षता में सुधार के लिए [[सिंड्रोम डिकोडिंग]] का उपयोग किया जा सकता है। यह सही सहसमुच्चय (पंक्ति) की गणना करने की एक विधि है जिसमें एक प्राप्त शब्द होगा {{mvar|n}}-आयामी कोड {{mvar|C}} एक में {{mvar|m}}-डायमेंशनल बाइनरी वेक्टर स्पेस, एक [[ समता जांच मैट्रिक्स |समता जांच मैट्रिक्स]] एक है {{math|(''m'' − ''n'') × ''m''}} आव्यूह {{mvar|H}} जिसके पास संपत्ति है {{math|1='''x'''''H''<sup>T</sup> = '''0'''}} [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] {{math|'''x'''}} में है {{mvar|C}}.<ref>The transpose matrix is used so that the vectors can be written as row vectors.</ref> सदिश {{math|'''x'''''H''<sup>T</sup>}} का सिंड्रोम कहलाता है {{math|'''x'''}}, और [[रैखिकता]] से, एक ही सहसमुच्चय में प्रत्येक वेक्टर का एक ही सिंड्रोम होगा। डिकोड करने के लिए, खोज अब सहसमुच्चय लीडर को खोजने के लिए कम हो गई है जिसमें प्राप्त शब्द के समान सिंड्रोम है।<ref>{{harvnb|Rotman|2006|loc=p. 423}}</ref>


== डबल सहसमुच्चय्स ==
{{main|डबल सह समुच्चय}}
दो उपसमूहों को देखते हुए, {{math|''H''}} और {{math|''K''}} (जो भिन्न होने की जरूरत नहीं है) एक समूह के {{math|''G''}}, के डबल सहसमुच्चय {{math|''H''}} और {{math|''K''}} में {{math|''G''}} फॉर्म के समुच्चय हैं {{math|1=''HgK'' = {{mset|''hgk'' : ''h'' an element of ''H'', ''k'' an element of ''K''}}}}. ये के बाएँ सहसमुच्चय हैं {{math|''K''}} और सही सहसमुच्चय {{math|''H''}} कब {{math|1=''H'' = 1}} और {{math|1=''K'' = 1}} क्रमश।<ref>{{harvnb|Scott|1987|loc= p. 19}}</ref>

दो डबल सहसमुच्चय {{math|''HxK''}} और {{math|''HyK''}} या तो असंयुक्त या समरूप हैं।<ref name="Hall">{{harvnb|Hall|1959|loc=pp. 14–15}}</ref> निश्चित के लिए सभी डबल सहसमुच्चय का समुच्चय {{mvar|H}} और {{mvar|K}} का एक विभाजन बनाते हैं {{mvar|G}}.

एक डबल सहसमुच्चय {{math|''HxK''}} के पूर्ण दाएँ सहसमुच्चय सम्मलित हैं {{mvar|H}} (में {{mvar|G}}) फॉर्म का {{math|''Hxk''}}, साथ {{mvar|k}} का एक तत्व {{mvar|K}} और का पूरा बायां सहसमुच्चय {{mvar|K}} (में {{mvar|G}}) फॉर्म का {{math|''hxK''}}, साथ {{mvar|h}} में {{mvar|H}}.<ref name="Hall" />




=== अंकन ===

मान लीजिये {{math|''G''}} उपसमूहों के साथ एक समूह बनें {{math|''H''}} और {{math|''K''}}. इन समुच्चयों के साथ काम करने वाले कई लेखकों ने अपने काम के लिए एक विशेष संकेतन विकसित किया है, जहाँ<ref>{{citation|first=Gary M.|last=Seitz|chapter=Double Cosets in Algebraic Groups|editor1-first=R.W.|editor1-last=Carter|editor2-first=J.|editor2-last=Saxl|title=Algebraic Groups and their Representation| year=1998|pages=241–257|publisher=Springer|doi=10.1007/978-94-011-5308-9_13|isbn=978-0-7923-5292-1}}</ref><ref>{{citation | first=W. Ethan|last=Duckworth|title=Infiniteness of double coset collections in algebraic groups|journal=Journal of Algebra|volume=273|issue=2|pages=718–733|year=2004|publisher=Elsevier|doi=10.1016/j.jalgebra.2003.08.011|arxiv=math/0305256| s2cid=17839580}}</ref>
* {{math|''G''/''H''}} बाएं सहसमुच्चय के समुच्चय को दर्शाता है {{math|{{mset|''gH'': ''g'' in ''G''}}}} का {{math|''H''}} में {{math|''G''}}.
* {{math|''H''\''G''}} सही सहसमुच्चय के समुच्चय को दर्शाता है {{math|{{mset|''Hg'' : ''g'' in ''G''}}}} का {{math|''H''}} में {{math|''G''}}.
* {{math|''K''\''G''/''H''}} डबल सहसमुच्चय के समुच्चय को दर्शाता है {{math|{''KgH'' : ''g'' in ''G''}<nowiki/>}} का {{math|''H''}} और {{math|''K''}} में {{math|''G''}}, जिसे कभी-कभी डबल सहसमुच्चय स्पेस कहा जाता है।
* {{math|''G''//''H''}} डबल सहसमुच्चय स्पेस को दर्शाता है {{math|''H''\''G''/''H''}} उपसमूह का {{mvar|H}} में {{mvar|G}}.

== अधिक आवेदन ==
* के सहसमुच्चय {{math|'''Q'''}} में {{math|'''R'''}} का उपयोग [[विटाली सेट|विटाली समुच्चय]] के निर्माण में किया जाता है, एक प्रकार का [[गैर-मापने योग्य सेट|गैर-मापने योग्य समुच्चय]]।
* [[स्थानांतरण (समूह सिद्धांत)]] की परिभाषा में सहसमुच्चय केंद्रीय हैं।
* कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत में सहसमुच्चय महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, रुबिक के घन के लिए इष्टतम समाधान # थीस्टलेथवाइट के एल्गोरिदम|
*ज्यामिति में, क्लिफोर्ड-क्लेन फॉर्म एक डबल सहसमुच्चय स्पेस है {{math|Γ\''G''/''H''}}, कहाँ {{math|''G''}} एक [[रिडक्टिव लाइ ग्रुप]] है, {{math|''H''}} एक बंद उपसमूह है, और {{math|Γ}} एक असतत उपसमूह है (का {{math|''G''}}) जो [[सजातीय स्थान]] पर ठीक से काम करता है {{math|''G''/''H''}}.

== यह भी देखें ==
* ढेर (गणित)
* [[कोसेट गणना|सहसमुच्चय गणना]]

==टिप्पणियाँ==
{{reflist}}


==संदर्भ==
*{{citation|first=David M.|last=Burton|title=Abstract Algebra|year=1988|publisher=Wm. C. Brown Publishers|isbn=0-697-06761-0}}
*{{citation|first=Richard A.|last = Dean|title=Classical Abstract Algebra|year=1990|publisher=Harper and Row|isbn=0-06-041601-7}}
*{{citation|first=John B.|last=Fraleigh|title=A First Course in Abstract Algebra|year=1994|publisher=Addison-Wesley|edition=5th| isbn=978-0-201-53467-2}}
*{{citation|first=Marshall|last=Hall, Jr.|title=The Theory of Groups|year=1959|publisher=The Macmillan Company|ref={{SfnRef|Hall|1959}}}}
*{{citation|first=Nathan|last=Jacobson|title=Basic Algebra I|edition=2nd|year=2009|orig-year=1985|publisher=Dover| isbn=978-0-486-47189-1}}
*{{citation|title=Foundations of Discrete Mathematics
|first=K. D.|last=Joshi|publisher=New Age International|year=1989|isbn=81-224-0120-1
|chapter=§5.2 Cosets of Subgroups|pages=322 ff|url=https://books.google.com/books?id=RM1D3mFw2u0C&q=coset}}
*{{citation|first=G. A.|last=Miller|title=Theory and Applications of Finite Groups|year=2012|orig-year=1916|publisher=Applewood Books|isbn=9781458500700}}
*{{citation|first=Joseph J.|last=Rotman|title=A First Course in Abstract Algebra with Applications|year=2006|publisher=Prentice-Hall|edition=3rd|isbn=978-0-13-186267-8}}
*{{citation|title=Group Theory|first=W.R.|last=Scott|publisher=Courier Dover Publications|year=1987|isbn=0-486-65377-3| chapter=§1.7 Cosets and index|pages=19 ff|url=https://books.google.com/books?id=fAPLAgAAQBAJ&q=coset}}


==अग्रिम पठन==

*{{citation |title=The Theory of Groups
|first=Hans J.|last=Zassenhaus|publisher=Courier Dover Publications|year=1999|isbn=0-486-40922-8
|chapter=§1.4 Subgroups|pages=10 ff|author-link=Hans Zassenhaus|url=https://books.google.com/books?id=JST37pp9vMUC&q=coset}}


==बाहरी संबंध==
*{{MathWorld|title=Coset|urlname=Coset|author=Nicolas Bray}}
*{{MathWorld|title=Left Coset|urlname=LeftCoset}}
*{{MathWorld|title=Right Coset|urlname=RightCoset}}
*{{springer|title=Coset in a group|id=C/c026620|last=Ivanova|first=O.A.}}
*{{PlanetMath|urlname=Coset|title=Coset}}
*[http://sites.millersville.edu/bikenaga/abstract-algebra-1/cosets/cosets.html Illustrated examples]
*{{cite web| publisher=The Group Properties Wiki| work=groupprops|url=http://groupprops.subwiki.org/wiki/Coset| title=Coset}}
[[Category: समूह सिद्धांत]] 

[[de:Gruppentheorie#Nebenklassen]]



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 26/04/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]