View source for पहचान प्रमेय

{{Short description|Theorem on the equality of analytic functions}}
[[वास्तविक विश्लेषण]] और [[जटिल विश्लेषण]] में, गणित की शाखाएँ, [[विश्लेषणात्मक कार्य]]ों के लिए पहचान प्रमेय बताती हैं: दिए गए कार्य ''f'' और ''g'' विश्लेषणात्मक एक डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) ''D'' (खुला और जुड़ा हुआ सबसेट का <math>\mathbb{R}</math> या <math>\mathbb{C}</math>), अगर कुछ पर एफ = जी <math>S \subseteq D</math>, कहाँ <math>S </math> एक [[संचय बिंदु]] है, तो डी पर एफ = जी।

इस प्रकार एक विश्लेषणात्मक कार्य पूरी तरह से डी में एक खुले पड़ोस, या यहां तक कि डी के एक गणनीय उपसमुच्चय पर इसके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है (बशर्ते इसमें एक अभिसरण अनुक्रम शामिल हो)। यह सामान्य रूप से वास्तविक-विभेदी कार्यों के लिए सही नहीं है, यहाँ तक कि [[चिकनाई]] भी। असीम रूप से वास्तविक-भिन्न कार्यों के लिए। इसकी तुलना में, विश्लेषणात्मक कार्य बहुत अधिक कठोर धारणा हैं। अनौपचारिक रूप से, कभी-कभी यह कहकर प्रमेय को सारांशित करता है कि विश्लेषणात्मक कार्य कठिन हैं (जैसा कि कहते हैं, निरंतर कार्य जो नरम हैं)।

आधारभूत तथ्य जिससे प्रमेय स्थापित किया गया है, [[होलोमोर्फिक कार्यों की विश्लेषणात्मकता]] है।

डोमेन डी पर जुड़ाव की धारणा आवश्यक है। उदाहरण के लिए, यदि D में दो असंयुक्त [[खुले सेट]] होते हैं, <math>f</math> हो सकता है <math>0</math> एक खुले सेट पर, और <math>1</math> दूसरे पर, जबकि <math>g</math> है <math>0</math> एक पर, और <math>2</math> किसी दूसरे पर।

== लेम्मा ==

यदि दो होलोमोर्फिक कार्य करते हैं <math> f </math> और <math> g </math> एक डोमेन पर डी एक सेट एस पर सहमत होता है जिसमें एक संचय बिंदु होता है <math>c</math> में <math>D</math>, तब <math>f = g </math> एक डिस्क पर <math>D</math> पर केंद्रित है <math>c</math>.

यह साबित करने के लिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है <math>f^{(n)}(c)= g^{(n)}(c)</math> सभी के लिए <math>n\geq 0</math>.

अगर ऐसा नहीं होता है, चलो <math> m </math> के साथ सबसे छोटा गैर-नकारात्मक पूर्णांक बनें <math>f^{(m)}(c)\ne g^{(m)}(c)</math>. होलोमॉर्फी द्वारा, हमारे पास कुछ खुले पड़ोस यू में निम्नलिखित टेलर श्रृंखला का प्रतिनिधित्व है <math> c </math>:

:<math>
\begin{align}
(f - g)(z) &{}=(z - c)^m  \cdot \left[\frac{(f - g)^{(m)}(c)}{m!} + \frac{(z - c) \cdot (f - g)^{(m+1)}(c)}{(m+1)!} + \cdots  \right]  \\[6pt]  
           &{}=(z - c)^m  \cdot h(z).
\end{align}
</math>
निरंतरता से, <math> h </math> कुछ छोटी खुली डिस्क में शून्य नहीं है <math> B</math> आस-पास <math>c</math>. परन्तु फिर <math>f-g\neq 0</math> पंक्चर सेट पर <math>B-\{c\}</math>. यह धारणा के विपरीत है कि <math>c</math> का संचयन बिन्दु है <math>\{f = g\}</math>.

यह लेम्मा दिखाता है कि एक सम्मिश्र संख्या के लिए <math> a \in \mathbb{C}</math>, [[फाइबर (गणित)]] <math>f^{-1}(a)</math> एक असतत (और इसलिए गणनीय) सेट है, जब तक <math>f \equiv a</math>.

== प्रमाण ==

उस सेट को परिभाषित करें जिस पर <math>f</math> और <math>g</math> एक ही टेलर विस्तार है:
<math display="block">S = \left\{ z \in D \mid f^{(k)}(z) = g^{(k)}(z) \text{ for all } k \geq 0\right\} = \bigcap_{k=0}^\infty \left\{ z \in D \mid \left(f^{(k)}- g^{(k)}\right)(z) = 0\right\}.</math>
हम दिखाएंगे <math>S</math> खाली नहीं है, क्लोपेन सेट|खुला और बंद है। फिर [[ जुड़ा हुआ स्थान ]] द्वारा <math>D</math>, <math>S</math> सभी होना चाहिए <math>D</math>, जो ये दर्शाता हे <math>f=g</math> पर <math>S=D</math>.

लेम्मा द्वारा, <math>f = g</math> पर केंद्रित डिस्क में <math>c</math> में <math>D</math>, उनके पास एक ही टेलर श्रृंखला है <math>c</math>, इसलिए <math>c\in S</math>, <math>S</math> खाली नहीं है।

जैसा <math>f</math> और <math>g</math> होलोमॉर्फिक हैं <math>D</math>, <math>\forall w\in S</math>, की टेलर श्रृंखला <math>f</math> और <math>g</math> पर <math>w</math> अभिसरण की गैर-शून्य त्रिज्या है। इसलिए, खुली डिस्क <math>B_r(w)</math> में भी है <math>S</math> कुछ के लिए <math>r</math>. इसलिए <math>S</math> खुला है।

की होलोमॉर्फी द्वारा <math>f</math> और <math>g</math>, उनके पास होलोमोर्फिक डेरिवेटिव हैं, इसलिए सभी <math>f^{(n)}, g^{(n)}</math> निरंतर हैं। इस का मतलब है कि <math> \{z \in D \mid (f^{(k)} - g^{(k)})(z) = 0\}</math> सभी के लिए बंद है <math>k</math>. <math>S</math> बंद सेटों का एक चौराहा है, इसलिए यह बंद है।

== पूर्ण लक्षण वर्णन ==

चूंकि पहचान प्रमेय दो [[होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] की समानता से संबंधित है, इसलिए हम केवल अंतर पर विचार कर सकते हैं (जो होलोमोर्फिक रहता है) और जब एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन समान रूप से होता है तो केवल इसकी विशेषता हो सकती है <math display="inline">0</math>. निम्नलिखित परिणाम में पाया जा सकता है।<ref name="lex2s476">{{Cite book
| title=Lexikon der Mathematik
| language=de
| volume=2
| publisher=Springer Spektrum Verlag
| editor=Guido Walz
| place=Mannheim
| year=2017
| pages=476
| isbn=978-3-662-53503-5}}</ref>


=== दावा ===
होने देना <math display="inline">G\subseteq\mathbb{C}</math> जटिल विमान के एक गैर-खाली, जुड़ाव वाले खुले उपसमुच्चय को निरूपित करें।
के लिए <math display="inline">h:G\to\mathbb{C}</math> निम्नलिखित समकक्ष हैं।

# <math display="inline">h\equiv 0</math> पर <math display="inline">G</math>;
# सेट <math display="inline">G_{0}=\{z\in G\mid h(z)=0\}</math> एक सेट का एक सीमा बिंदु होता है, <math display="inline">z_{0}</math>;
# सेट <math display="inline">G_{\ast}=\bigcap_{n\in\N_0} G_{n}</math> खाली नहीं है, कहाँ <math display="inline">G_{n} := \{z\in G\mid h^{(n)}(z)=0\}</math>.

=== प्रमाण ===

निर्देश (1 <math display="inline">\Rightarrow</math> 2) और (1 <math display="inline">\Rightarrow</math> 3) तुच्छ रूप से पकड़ें।

3 के लिए <math display="inline">\Rightarrow</math> 1), की जुड़ाव से <math display="inline">G</math> यह साबित करने के लिए पर्याप्त है कि गैर-रिक्त उपसमुच्चय, <math display="inline">G_{\ast}\subseteq G</math>, क्लोपेन है (चूंकि एक टोपोलॉजिकल स्पेस जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर उसके पास कोई उचित क्लोपेन उपसमुच्चय नहीं है)।
चूँकि होलोमॉर्फिक फलन असीम रूप से भिन्न होते हैं, अर्थात <math display="inline">h\in C^{\infty}(G)</math>, यह स्पष्ट है कि <math display="inline">G_{\ast}</math> बन्द है। खुलापन दिखाने के लिए कुछ बातों पर गौर कीजिए <math display="inline">u \in G_{\ast}</math>.
एक खुली गेंद पर विचार करें <math display="inline">U\subseteq G</math> युक्त <math display="inline">u</math>, जिसमें <math display="inline">h</math> पर केंद्रित एक अभिसरण टेलर-श्रृंखला विस्तार है <math display="inline">u</math>.
के आधार पर <math display="inline">u\in G_{\ast}</math>, इस श्रृंखला के सभी गुणांक हैं <math display="inline">0</math>, कहाँ से <math display="inline">h\equiv 0</math> पर <math display="inline">U</math>.
यह सब इस प्रकार है <math display="inline">n</math>-वें के डेरिवेटिव <math display="inline">h</math> हैं <math display="inline">0</math> पर <math display="inline">U</math>, कहाँ से <math display="inline">U\subseteq G_{\ast}</math>.
तो प्रत्येक <math display="inline">u\in G_{\ast}</math> के भीतरी भाग में स्थित है <math display="inline">G_{\ast}</math>.

की ओर (2 <math display="inline">\Rightarrow</math> 3), एक संचय बिंदु को ठीक करें <math display="inline">z_{0}\in G_{0}</math>.
अब हम आगमन द्वारा सीधे सिद्ध करते हैं कि <math display="inline">z_{0}\in G_{n}</math> प्रत्येक के लिए <math display="inline">n \in \N_0</math>.
इसके लिए चलो <math display="inline">r\in(0,\infty)</math> की शक्ति श्रृंखला विस्तार के अभिसरण त्रिज्या से सख्ती से छोटा हो <math display="inline">h</math> आस-पास <math display="inline">z_{0}</math>, द्वारा दिए गए <math display="inline">\sum_{k\in\mathbb{N}_{0}}\frac{h^{(k)}(z_{0})}{k!}(z-z_{0})^{k}</math>. अभी कुछ ठीक करो <math display="inline">n\geq 0</math> और मान लो <math display="inline">z_{0}\in G_{k}</math> सभी के लिए <math display="inline">k < n</math>. फिर के लिए <math display="inline">z \in \bar{B}_{r}(z_{0}) \setminus \{z_{0}\}</math> शक्ति श्रृंखला विस्तार पैदावार का हेरफेर
{{NumBlk||<math display="block">
h^{(n)}(z_{0})
= n!\frac{h(z)}{(z-z_{0})^{n}} - (z-z_{0})\underbrace{n!\sum_{k=n+1}^{\infty}\frac{h^{(k)}(z_{0})}{k!}(z-z_{0})^{k-(n+1)}}_{=:R(z)}.
</math>|{{EquationRef|1}}}}
ध्यान दें कि, चूंकि <math display="inline">r</math> शक्ति श्रृंखला की त्रिज्या से छोटा है, कोई भी उस शक्ति श्रृंखला को आसानी से प्राप्त कर सकता है <math display="inline">R(\cdot)</math> निरंतर है और इस प्रकार बंधा हुआ है <math display="inline">\bar{B}_{r}(z_{0})</math>.

अब, चूंकि <math display="inline">z_{0}</math> में संचयन बिन्दु है <math display="inline">G_{0}</math>, बिंदुओं का एक क्रम है <math display="inline">(z^{(i)})_{i}\subseteq G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus\{z_{0}\}</math> के लिए अभिसरण <math display="inline">z_{0}</math>.
तब से <math display="inline">h\equiv 0</math> पर <math display="inline">G_{0}</math> और प्रत्येक के बाद से <math display="inline">z^{(i)}\in G_{0}\cap B_{r}(z_{0})\setminus\{z_{0}\}</math>, में अभिव्यक्ति ({{EquationNote|1}}) उपज
{{NumBlk||<math display="block">
h^{(n)}(z_{0})
=n!\frac{h(z^{(i)})}{(z^{(i)}-z_{0})^{n}}
-(z^{(i)}-z_{0})R(z^{(i)})
= 0 - \underbrace{(z^{(i)}-z_{0})}_{\longrightarrow_{i}0}R(z^{(i)}).
</math>|{{EquationRef|2}}}}
की सीमा से <math display="inline">R(\cdot)</math> पर <math display="inline">\bar{B}_{r}(z_{0})</math>,
यह इस प्रकार है कि <math display="inline">h^{(n)}(z_{0})=0</math>, कहाँ से <math display="inline">z_{0}\in G_{n}</math>.
प्रेरण के माध्यम से दावा धारण करता है।
Q.E.D.

== यह भी देखें ==
* [[विश्लेषणात्मक निरंतरता]]
* [[रीमैन सतहों के लिए पहचान प्रमेय]]

==संदर्भ==
<references/>
* {{cite book
| author1=Ablowitz, Mark J.
| author2=Fokas A. S.
| language=en
| title=Complex variables: Introduction and applications
| publisher=Cambridge University Press
| pages=122
| location=Cambridge, UK
| year=1997
| isbn=0-521-48058-2}}
[[Category: प्रमेय_में_वास्तविक_विश्लेषण]] [[Category: जटिल विश्लेषण में प्रमेय]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]] 



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