View source for वास्तविक मूल्यवान समारोह

{{short description|Mathematical function that takes real values}}
{{refimprove|date=June 2013}}
चित्र:वजन 20mg~500g.jpg|thumb|right|[[ग्राम]] में मापा गया [[द्रव्यमान]] भार के इस संग्रह से [[सकारात्मक संख्या]] वास्तविक संख्याओं का एक कार्य है। भार फलन शब्द, इस उदाहरण के लिए एक संकेत है, शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित में प्रयोग किया जाता है।
{{Functions}}
गणित में, एक वास्तविक-मूल्यवान फलन एक फलन (गणित) होता है जिसका [[कोडोमेन]] [[वास्तविक संख्या]]एँ होती हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा फलन है जो फलन के अपने प्रांत के प्रत्येक सदस्य को एक वास्तविक संख्या प्रदान करता है।

एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान कार्य (आमतौर पर ''वास्तविक कार्य'' कहा जाता है) और कई वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्य पथरी के अध्ययन का मुख्य उद्देश्य हैं, और अधिक सामान्य रूप से, [[वास्तविक विश्लेषण]]। विशेष रूप से, कई फ़ंक्शन रिक्त स्थान में वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन होते हैं।

== बीजगणितीय संरचना ==
होने देना <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> एक सेट से सभी कार्यों का सेट हो (गणित) {{mvar|X}} वास्तविक संख्या के लिए <math>\mathbb R</math>. क्योंकि <math>\mathbb R</math> एक क्षेत्र है (गणित), <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R})</math> निम्नलिखित परिचालनों के साथ वास्तविक पर एक वेक्टर अंतरिक्ष और एक कम्यूटेटिव बीजगणित (संरचना) में बदल दिया जा सकता है:
*<math>f+g: x \mapsto f(x) + g(x)</math> - [[वेक्टर जोड़]]
*<math>\mathbf{0}: x \mapsto 0</math> - [[जोड़ने योग्य पहचान]]
*<math>c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in \mathbb R</math> - [[स्केलर गुणज]]
*<math>f g: x \mapsto f(x)g(x)</math> - [[बिंदुवार]] गुणन

ये ऑपरेशन आंशिक कार्यों तक विस्तारित होते हैं {{mvar|X}} को <math>\mathbb R,</math> प्रतिबंध के साथ कि आंशिक कार्य करता है {{math|''f'' + ''g''}} और {{math|''f'' ''g''}} को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब किसी फ़ंक्शन का डोमेन {{mvar|f}} और {{mvar|g}} एक गैर-खाली चौराहा है; इस स्थिति में, उनका डोमेन के डोमेन का प्रतिच्छेदन है {{mvar|f}} और {{mvar|g}}.

इसके अलावा, चूंकि <math>\mathbb R</math> एक आदेशित सेट है, एक आंशिक क्रम है
*<math>\ f \le g \quad\iff\quad \forall x: f(x) \le g(x),</math>
पर <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}),</math> किसने बनाया <math>{\mathcal F}(X,{\mathbb R}) </math> [[आंशिक रूप से आदेशित अंगूठी]]।

== मापने योग्य ==
{{see also|Borel function}}
[[बोरेल सेट]] का σ-बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक महत्वपूर्ण संरचना है। अगर {{mvar|X}} का अपना σ-बीजगणित और एक फलन है {{mvar|f}} ऐसा है कि [[preimage]] {{math|''f'' <sup>−1</sup>(''B'')}} किसी भी बोरेल सेट का {{mvar|''B''}} उस σ-बीजगणित से संबंधित है, तब {{mvar|f}} को मापने योग्य कार्य कहा जाता है। मापने योग्य कार्य भी एक सदिश स्थान और एक बीजगणित बनाते हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है {{slink||Algebraic structure}}.

इसके अलावा, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक सेट (परिवार)। {{mvar|X}} वास्तव में σ-बीजगणित को परिभाषित कर सकता है {{mvar|X}} सभी बोरेल सेट (या केवल [[अंतराल (गणित)]]) के सभी प्रीइमेज द्वारा उत्पन्न, यह महत्वपूर्ण नहीं है)। यह वह तरीका है जिससे σ-एलजेब्रा (कोलमोगोरोव के स्वयंसिद्ध | कोल्मोगोरोव के) संभाव्यता सिद्धांत में उत्पन्न होता है, जहां नमूना स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान कार्य करता है {{math|&Omega;}} वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर हैं।

== निरंतर ==
वास्तविक संख्याएँ एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस]] और एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] बनाती हैं। [[निरंतर कार्य]] वास्तविक-मूल्यवान कार्य (जिसका अर्थ है कि {{mvar|X}} एक टोपोलॉजिकल स्पेस है) [[सामान्य टोपोलॉजी]] और मेट्रिक ज्यामिति के सिद्धांतों में महत्वपूर्ण हैं। [[चरम मूल्य प्रमेय]] बताता है कि [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] पर किसी भी वास्तविक निरंतर कार्य के लिए इसकी वैश्विक [[मैक्सिमा और मिनिमा]] मौजूद हैं।

[[मीट्रिक स्थान]] की अवधारणा को ही दो चरों के वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया गया है, [[मीट्रिक (गणित)]], जो निरंतर है। कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ अंतरिक्ष पर निरंतर कार्यों की जगह का एक विशेष महत्व है। [[अभिसरण अनुक्रम]]ों को एक विशेष स्थलीय स्थान पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के रूप में भी माना जा सकता है।

निरंतर कार्य एक सदिश स्थान और एक बीजगणित भी बनाते हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है {{slink||Algebraic structure}}, और #Measurable का एक उपवर्ग है क्योंकि किसी भी स्थलीय स्थान में खुले (या बंद) सेटों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित होता है।

== चिकना ==
{{main|Smooth function}}
सुचारू कार्यों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक संख्या को कोडोमेन के रूप में उपयोग किया जाता है। एक वास्तविक सुचारू कार्य का एक डोमेन [[वास्तविक समन्वय स्थान]] हो सकता है (जो एक वास्तविक बहुविकल्पी कार्य उत्पन्न करता है), एक सामयिक सदिश स्थान,<ref>Different definitions of [[derivative]] exist in general, but for finite [[dimension (vector space)|dimensions]] they result in equivalent definitions of classes of smooth functions.</ref> उनमें से एक [[खुला उपसमुच्चय]], या एक चिकनी कई गुना।

सुचारू कार्यों के स्थान भी सदिश स्थान और बीजगणित हैं जैसा कि ऊपर बताया गया है {{slink||Algebraic structure}} और #Continuous के स्थान के उपस्थान हैं।

== माप सिद्धांत में प्रकटन ==
एक सेट पर एक माप (गणित) सबसेट के σ-बीजगणित पर एक गैर-नकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्यात्मक है।<ref>Actually, a measure may have values in {{closed-closed|0, +∞}}: see [[extended real number line]].</ref> एलपी स्पेस | एल<sup>p</sup> एक माप के साथ सेट पर रिक्त स्थान पूर्वोक्त #Measurable|वास्तविक-मूल्यवान मापनीय कार्यों से परिभाषित किए गए हैं, हालांकि वे वास्तव में कोटिएंट स्पेस (टोपोलॉजी) हैं। अधिक सटीकता से, जबकि उपयुक्त समाकल को संतुष्ट करने वाला फलन L के एक अवयव को परिभाषित करता है<sup>p</sup> स्थान, किसी के लिए विपरीत दिशा में {{math|''f'' ∈ L<sup>''p''</sup>(''X'')}} और {{math|''x'' ∈ ''X''}} जो एक [[परमाणु (माप सिद्धांत)]] नहीं है, मान {{math|''f''(''x'')}} [[अच्छी परिभाषा]] है। हालांकि, वास्तविक मूल्यवान L<sup>p</sup> रिक्त स्थान में अभी भी ऊपर वर्णित कुछ संरचना है {{slink||Algebraic structure}}. प्रत्येक एल<sup>p</sup> रिक्त स्थान एक सदिश स्थान है और एक आंशिक क्रम है, और कार्यों का एक बिंदुवार गुणन मौजूद है जो बदलता है {{mvar|p}}, अर्थात्
:<math>\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad
0 \le \alpha,\beta \le 1,\quad\alpha+\beta \le 1.</math>
उदाहरण के लिए, दो एल का बिंदुवार उत्पाद<sup>2</sup> कार्य L से संबंधित हैं<sup>1</उप>।

== अन्य दिखावे ==
अन्य संदर्भ जहां वास्तविक-मूल्यवान कार्यों और उनके विशेष गुणों का उपयोग किया जाता है, उनमें [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन]] ([[आदेशित सेट]] पर), उत्तल फ़ंक्शन (वेक्टर और एफ़िन रिक्त स्थान पर), [[हार्मोनिक फ़ंक्शन]] और [[सबहार्मोनिक फ़ंक्शन]] फ़ंक्शन ([[ रीमैनियन कई गुना ]]्स पर), विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन (आमतौर पर एक का) शामिल हैं। या अधिक वास्तविक चर), [[बीजगणितीय कार्य]] (वास्तविक बीजगणितीय विविधता पर), और [[बहुपद]] (एक या अधिक वास्तविक चर)।

== यह भी देखें ==
*सच्चा विश्लेषण
* आंशिक अंतर समीकरण, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक प्रमुख उपयोगकर्ता
* नॉर्म (गणित)
* [[अदिश (गणित)]]

== फुटनोट्स ==
{{reflist}}

==संदर्भ==
* {{cite book|last=Apostol|first=Tom M.|date=1974|title=Mathematical Analysis|edition=2nd|publisher=Addison–Wesley|isbn=978-0-201-00288-1}}
* [[Gerald Folland]], Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, {{isbn|0-471-31716-0}}.
* {{Cite book|title=Principles of Mathematical Analysis|last=Rudin|first=Walter|publisher=McGraw-Hill|year=1976|isbn=978-0-07-054235-8|edition=3rd|location=New York}}


==बाहरी संबंध==
{{MathWorld |title=Real Function |id=RealFunction}}
[[Category: गणितीय विश्लेषण]] [[Category: कार्यों के प्रकार]] [[Category: सामान्य टोपोलॉजी]] [[Category: मीट्रिक ज्यामिति]] [[Category: वेक्टर रिक्त स्थान]] [[Category: माप सिद्धांत]] 



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[[Category:Created On 20/05/2023]]