View source for चरम बिंदु

{{short description|Point not between two other points}}
{{Other uses}}

[[Image:Extreme points.svg|thumb|right|हल्के नीले रंग में एक अवमुख समुच्चय , और इसके चरम बिंदु लाल रंग में।]]गणित में, [[उत्तल सेट|अवमुख समुच्चय]] का एक चरम बिंदु <math>S</math> एक [[वास्तविक संख्या]] या [[जटिल संख्या]] में सदिश स्थान एक बिंदु <math>S</math> होता है। <math>S</math> जो दो बिन्दुओं को मिलाने वाले किसी खुले रेखाखण्ड में स्थित नहीं है।

[[रैखिक प्रोग्रामिंग]] समस्याओं में, एक चरम बिंदु  <math>S.</math> को कोणबिंदु या कॉर्नर पॉइंट भी कहा जाता है<ref>{{Cite web|url=https://www.quora.com/What-is-the-difference-between-corner-points-and-extreme-points-in-linear-programming-problems|title=What is the difference between corner points and extreme points in linear programming problems?|last=Saltzman|first=Matthew}}</ref>।


== परिभाषा ==

पूरे समय यह माना जाता है कि <math>X</math> एक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या सदिश स्थान है।

किसी  <math>p, x, y \in X,</math> कहते हैं कि <math>p</math> {{visible anchor|बीच मे स्थित}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}} <math>x</math> और <math>y</math> अगर <math>x \neq y</math> और वहाँ एक उपलब्ध  है <math>0 < t < 1</math> ऐसा है कि <math>p = t x + (1-t) y.</math>।

अगर <math>K</math> का उपसमुच्चय है <math>X</math> और <math>p \in K,</math> तब <math>p</math> एक कहा जाता है {{visible anchor|चरम बिंदु}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}} का <math>K</math> अगर यह किन्हीं दो के बीच नहीं है {{em|अलग अलग}} के अंक <math>K.</math> अर्थात अगर होता है {{em|नहीं}} अस्तित्व <math>x, y \in K</math> और <math>0 < t < 1</math> ऐसा है कि <math>x \neq y</math> और <math>p = t x + (1-t) y.</math> के सभी चरम बिंदुओं का समुच्चय <math>K</math>  <math>\operatorname{extreme}(K).</math>द्वारा निरूपित किया जाता है।

'''सामान्यीकरण'''

अगर <math>S</math> सदिश समष्टि का एक उपसमुच्चय है फिर एक रेखीय उप-किस्म (अर्थात, एक सजातीय उप-वर्ग) <math>A</math> सदिश समष्टि का भाग कहलाता है {{em|{{दृश्यमान एंकर|समर्थन किस्म}}}} अगर <math>A</math> की बैठक <math>S</math> (वह है, <math>A \cap S</math> खाली नहीं है) और हर खुला खंड <math>I \subseteq S</math> जिसका आंतरिक भाग मिलता है <math>A</math> अनिवार्य रूप से का एक उपसमुच्चय है <math>A.</math>{{sfn|Grothendieck|1973|p=186}} एक 0-आयामी समर्थन विविधता को चरम बिंदु  <math>S.</math>{{sfn|Grothendieck|1973|p=186}} कहा जाता है।

=== लक्षण वर्णन ===

{{visible anchor|midpoint}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}} दो तत्वों का <math>x</math> और <math>y</math> सदिश स्थान में सदिश है <math>\tfrac{1}{2}(x+y).</math>
किसी भी तत्व के लिए <math>x</math> और <math>y</math> वेक्टर अंतरिक्ष में, समुच्चय  <math>[x, y] = \{t x + (1-t) y : 0 \leq t \leq 1\}</math> कहा जाता है{{visible anchor|closed line segment}} या{{visible anchor|closed interval}} बीच में <math>x</math> और <math>y.</math> {{visible anchor|open line segment}} या{{visible anchor|open interval}} बीच में <math>x</math> और <math>y</math> है <math>(x, x) = \varnothing</math> कब <math>x = y</math> जबकि यह है <math>(x, y) = \{t x + (1-t) y : 0 < t < 1\}</math> कब <math>x \neq y.</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}} बिन्दु <math>x</math> और <math>y</math> कहलाते हैं{{visible anchor|अंतिमबिंदुओं}} इन अंतरालों में से। एक अंतराल कहा जाता है। {{visible anchor|गैर-पतित अंतराल}} या ए{{visible anchor|उचित अंतराल}} यदि इसके अंतिम बिंदु अलग हैं।{{visible anchor|midpoint of an interval}} इसके समापन बिंदुओं का मध्य बिंदु है।

बंद अंतराल <math>[x, y]</math> के उत्तल पतवार के बराबर है <math>(x, y)</math> अगर और केवल अगर) <math>x \neq y.</math> तो यदि <math>K</math> उत्तल है और <math>x, y \in K,</math> तब <math>[x, y] \subseteq K.</math> अगर <math>K</math> का एक अरिक्त उपसमुच्चय है <math>X</math> और <math>F</math> का एक अरिक्त उपसमुच्चय है <math>K,</math> तब <math>F</math> ए कहा जाता है{{visible anchor|face}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}} का <math>K</math> अगर जब भी एक बिंदु <math>p \in F</math> के दो बिंदुओं के बीच स्थित है <math>K,</math> तो वे दो बिंदु <math>F.</math>अनिवार्य रूप से संबंधित हैं। 

{{Math theorem|name=Theorem{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}}|math_statement=
Let <math>K</math> be a non-empty convex subset of a vector space <math>X</math> and let <math>p \in K.</math> 
Then the following statements are equivalent:
<ol>
<li><math>p</math> is an extreme point of <math>K.</math></li>
<li><math>K \setminus \{p\}</math> is convex.</li>
<li><math>p</math> is not the midpoint of a non-degenerate line segment contained in <math>K.</math></li>
<li>for any <math>x, y \in K,</math> if <math>p \in [x, y]</math> then <math>x = p \text{ or } y = p.</math></li>
<li>if <math>x \in X</math> is such that both <math>p + x</math> and <math>p - x</math> belong to <math>K,</math> then <math>x = 0.</math></li>
<li><math>\{p\}</math> is a face of <math>K.</math></li>
</ol>
}}

== उदाहरण ==

अगर <math>a < b</math> तब दो वास्तविक संख्याएँ हैं <math>a</math> और <math>b</math> अंतराल के चरम बिंदु हैं <math>[a, b].</math> हालाँकि, खुला अंतराल <math>(a, b)</math> कोई चरम बिंदु नहीं है।{{sfn |Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}}

में कोई [[खुला अंतराल]] <math>\R</math> कोई चरम बिंदु नहीं है जबकि कोई गैर-पतित [[बंद अंतराल]] के बराबर नहीं है <math>\R</math> में चरम बिंदु होते हैं (अर्थात, बंद अंतराल का समापन बिंदु)। अधिक आम तौर पर, परिमित-आयामी [[यूक्लिडियन अंतरिक्ष]] का कोई भी [[खुला सेट|खुला समुच्चय]]  <math>\R^n</math> कोई चरम बिंदु नहीं है।

बंद यूनिट डिस्क के चरम बिंदु अंदर <math>\R^2</math> इकाई वृत्त है।

समतल में किसी भी उत्तल बहुभुज का परिमाप उस बहुभुज का एक फलक होता है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}}
समतल में किसी भी उत्तल बहुभुज के शीर्ष <math>\R^2</math> उस बहुभुज के चरम बिंदु हैं।

एक इंजेक्शन रैखिक नक्शा <math>F : X \to Y</math> अवमुख समुच्चय  के चरम बिंदुओं को भेजता है <math>C \subseteq X</math> अवमुख समुच्चय  के चरम बिंदुओं पर <math>F(X).</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}} यह इंजेक्टिव एफ़िन मैप्स के लिए भी सही है।

== गुण ==

एक कॉम्पैक्ट अवमुख समुच्चय  के चरम बिंदु एक [[बाहर की जगह]] (उप-स्पेस सांस्थितिक  के साथ) बनाते हैं लेकिन यह समुच्चय <math>X.</math>हो सकता है {{em|fail}} में बंद होना है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=275-339}}

== प्रमेय ==

===क्रेन–मिलमैन प्रमेय===

केरीन-मिलमैन प्रमेय यकीनन चरम बिंदुओं के बारे में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है।

 {{Math theorem|name=[[क्रेन-मिलमैन प्रमेय]]|math_statement=
यदि <math>S</math> उत्तल है और [[कॉम्पैक्ट स्पेस|कॉम्पैक्ट]] एक [[स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस]] में है, तो <math>S</math> बंद [[उत्तल हल]] है इसके चरम बिंदु: विशेष रूप से, ऐसे सेट के चरम बिंदु होते हैं।
}}

=== बनच रिक्त स्थान के लिए ===

ये प्रमेय रैडॉन-निकोडीम संपत्ति के साथ बानाच रिक्त स्थान के लिए हैं।

[[जोराम लिंडेनस्ट्रॉस]] के एक प्रमेय में कहा गया है कि, राडोन-निकोडीम संपत्ति के साथ एक [[बनच स्थान]] में, एक गैर-खाली [[बंधा हुआ सेट|बंधा हुआ समुच्चय]] और परिबद्ध समुच्चय  का एक चरम बिंदु है। (अनंत-आयामी स्थानों में, [[ कॉम्पैक्ट जगह ]] की संपत्ति बंद होने और बाध्य होने के संयुक्त गुणों से अधिक मजबूत होती है।<ref>{{cite journal|last=Artstein|first=Zvi|title=Discrete&nbsp;and&nbsp;continuous bang-bang and facial&nbsp;spaces, or: Look for the extreme points|journal=SIAM Review|volume=22|year=1980|number=2|pages=172–185|doi=10.1137/1022026|mr=564562|jstor=2029960}}</ref>)

{{Math theorem|name=Theorem|note=[[Gerald Edgar]]|math_statement=
<math>E</math> को राडोन-निकोडीम संपत्ति के साथ एक बानाच स्थान होने दें, <math>C</math> को <math>E,</math> का एक वियोज्य, बंद, घिरा, उत्तल उपसमुच्चय होने दें <math>a</math> को <math>C में एक बिंदु होने दें। </math> फिर <math>C में सार्वभौमिक रूप से मापने योग्य सेट पर एक [[संभाव्यता माप]] <math>p</math> है </math> ऐसा कि <math>a</math>, <math>p,</math> का [[barycenter]] है और <math>C</math> के चरम बिंदुओं के समुच्चय में <math> है p</math>-माप 1.<ref>एडगर जीए। [https://www.ams.org/journals/proc/1975-049-02/S0002-9939-1975-0372586-2/S0002-9939-1975-0372586-2.pdf एक नॉनकॉम्पैक्ट चॉकेट प्रमेय।] की कार्यवाही अमेरिकी गणितीय सोसायटी। 1975;49(2):354-8.</ref>
}}
एडगर के प्रमेय का तात्पर्य लिंडेनस्ट्रॉस प्रमेय से है।

== संबंधित धारणाएं ==

एक सांस्थितिक सदिश स्थान का एक बंद उत्तल उपसमुच्चय कहलाता है {{em|[[Strictly convex set|strictly convex]]}} यदि इसकी प्रत्येक [[सीमा (टोपोलॉजी)|सीमा (सांस्थितिक )]] | (सांस्थितिक ) सीमा बिंदु एक चरम बिंदु है।{{sfn|Halmos|1982|p=5}} किसी भी [[ हिल्बर्ट अंतरिक्ष ]] की [[यूनिट बॉल]] एक सख्त अवमुख समुच्चय  है।{{sfn|Halmos|1982|p=5}}

=== के-चरम अंक ===

अधिक सामान्यतः, एक अवमुख समुच्चय  में एक बिंदु <math>S</math> है<math>k</math>-चरम अगर यह एक के इंटीरियर में स्थित है <math>k</math>-आयामी उत्तल भीतर समुच्चय  <math>S,</math> लेकिन नहीं <math>k + 1</math>-आयामी उत्तल भीतर समुच्चय  <math>S.</math> इस प्रकार, एक चरम बिंदु भी एक है <math>0</math>-चरम बिंदु। अगर <math>S</math> एक पॉलीटॉप है, तो <math>k</math>-चरम बिंदु ठीक इसके आंतरिक बिंदु हैं <math>k</math>-आयामी चेहरे <math>S.</math> अधिक सामान्यतः, किसी भी अवमुख समुच्चय  के लिए <math>S,</math>  <math>k</math>-Extreme Points में विभाजित हैं <math>k</math>-आयामी खुले चेहरे।

परिमित-विम केरिन-मिलमैन प्रमेय, जो मिंकोवस्कीके कारण है, की अवधारणा का उपयोग करके जल्दी से सिद्ध किया जा सकता है <math>k</math>-चरम बिंदु। अगर <math>S</math> बंद है, घिरा हुआ है, और <math>n</math>-आयामी, और अगर <math>p</math> में एक बिंदु है <math>S,</math> तब <math>p</math> है <math>k</math>-कुछ के लिए चरम <math>k \leq n.</math> प्रमेय का दावा है कि <math>p</math> चरम बिंदुओं का उत्तल संयोजन है। अगर <math>k = 0</math> तो यह तत्काल है। अन्यथा <math>p</math> में एक रेखाखंड पर स्थित है <math>S</math> जिसे अधिकतम बढ़ाया जा सकता है (क्योंकि <math>S</math> बंद और घिरा हुआ है)। यदि खंड के समापन बिंदुए <math>p,</math> हैं <math>q</math> और <math>r,</math> तो उनकी चरम रैंक इससे कम होनी चाहिए और प्रमेय प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है।

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|Choquet theory}}

==उद्धरण==

{{reflist|group=note}}

{{reflist}}


==ग्रन्थसूची==

* {{Adasch Topological Vector Spaces|edition=2}} <!--{{sfn|Adasch|Ernst|Keim|1978|p=}}-->
* {{Bourbaki Topological Vector Spaces Part 1 Chapters 1–5}} <!--{{sfn|Bourbaki|1987|p=}}-->
* {{cite web|editor=Paul E. Black|date=2004-12-17|title=extreme point|url=https://xlinux.nist.gov/dads/HTML/extremepoint.html|work=[[Dictionary of algorithms and data structures]]|publisher=US [[National institute of standards and technology]]|access-date=2011-03-24}}
* {{cite encyclopedia|last1=Borowski|first1=Ephraim J.|last2=Borwein|first2=Jonathan M.|year=1989|article=extreme point|encyclopedia=Dictionary of mathematics|series=Collins dictionary|publisher=[[HarperCollins]]|isbn=0-00-434347-6}}
* {{Grothendieck Topological Vector Spaces}} <!--{{sfn|Grothendieck|1973|p=}}-->
* {{Halmos A Hilbert Space Problem Book 1982}} <!--{{sfn|Halmos|1982|pp=}}-->
* {{Jarchow Locally Convex Spaces}} <!--{{sfn|Jarchow|1981|p=}}-->
* {{Köthe Topological Vector Spaces I}} <!--{{sfn|Köthe|1983|p=}}-->
* {{Köthe Topological Vector Spaces II}} <!--{{sfn|Köthe|1979|p=}}-->
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}} <!--{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=}}-->
* {{Robertson Topological Vector Spaces}} <!--{{sfn|Robertson|Robertson|1980|p=}}-->
* {{Rudin Walter Functional Analysis|edition=2}} <!--{{sfn|Rudin|1991|p=}}-->
* {{Schaefer Wolff Topological Vector Spaces|edition=2}} <!--{{sfn|Schaefer|Wolff|1999|p=}}-->
* {{Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations}} <!--{{sfn|Schechter|1996|p=}}-->
* {{Trèves François Topological vector spaces, distributions and kernels}} <!--{{sfn|Trèves|2006|p=}}-->
* {{Wilansky Modern Methods in Topological Vector Spaces|edition=1}} <!--{{sfn|Wilansky|2013|p=}}-->

{{Functional analysis}}
{{Topological vector spaces}}

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