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गणित में '''मानक बोरेल स्थान''' एक [[पोलिश स्थान]] से जुड़ा हुआ बोरेल स्थान हैं।[[ असतत स्थान | असतत]] पोलिश स्थान के डिस्काउन्टिंग बोरेल रिक्त स्थान, [[मापने योग्य स्थान]]  के समरूपता वक्र केवल एक '''मानक बोरेल रिक्त स्थान''' है।

== औपचारिक परिभाषा ==

यदि कोई [[मीट्रिक (गणित)]] <math>X</math> उपस्थित है। जिससे उसे मानक बोरेल मापने योग्य स्थान <math>(X, \Sigma)</math> कहा जाता है। जो इसे इस प्रकार से एक [[पूर्ण मीट्रिक स्थान]] वियोज्य स्पेस मीट्रिक स्पेस बनाता है। जिससे <math>\Sigma</math> एक बोरेल σ-बीजगणित है।<ref>Mackey, G.W. (1957): Borel structure in groups and their duals. [[Trans. Am. Math. Soc.]], 85, 134-165.</ref>

मानक बोरेल रिक्त स्थान में कई उपयोगी विशेषताएं होती हैं। जो सामान्य औसत क्रमांक के स्थान के लिए नहीं होती हैं।

== विशेषताएँं ==

* यदि <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल हैं। जिससे कोई विशेषण [[मापने योग्य कार्य|मापने योग्य मैपिंग]] <math>f : (X, \Sigma) \to (Y, \Tau)</math> एक समरूपता है (अर्थात प्रतिलोम मानचित्रण भी मापने योग्य है)। यह[[ विश्लेषणात्मक सेट | विश्लेषणात्मक समुच्चय]]  से प्राप्त किया जाता है। सूस्लिन की प्रमेय, एक समुच्चय के रूप में जो एनालिटिक समुच्चय और [[coanalytic|को-एनालिटिक]] दोनों होते है, जिससे अनिवार्य रूप से बोरेल हैं।
* यदि <math>(X, \Sigma)</math> और <math>(Y, T)</math> मानक बोरेल स्थान हैं और <math>f : X \to Y</math>, जिससे <math>f</math> मापने योग्य है। यदि और केवल यदि किसी फलन का ग्राफ़ <math>f</math> बोरेल है।
* मानक बोरेल रिक्त स्थान के एक [[गणनीय|गणना करने योग्य]] फैमली का उत्पाद और प्रत्यक्ष संघ मानक है।
* मानक बोरेल स्थान पर प्रत्येक पूर्ण माप [[संभाव्यता माप]] इसे एक मानक संभावना स्थान में पूर्णतयः परिवर्तित कर देता है।

== कुराटोव्स्की का प्रमेय ==

प्रमेय- माना <math>X</math> एक पोलिश रिक्त स्थान हो, अर्थात एक [[टोपोलॉजिकल स्पेस|टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान]] हो, जैसे कि एक मेट्रिक (गणित) <math>d</math> पर <math>X</math> हो, जो <math>X</math> की टोपोलॉजी को परिभाषित करता है और वह <math>X</math> को एक पूर्ण वियोज्य मीट्रिक स्थान का निर्माण करता है। जिससे <math>X</math> बोरेल स्पेस के रूप में [[ बोरेल समरूपता ]] 1) <math>\R,</math> (2) <math>\Z</math> या (3) एक परिमित असतत स्थान में से एक हैं। (यह परिणाम महराम की प्रमेय की पहचान कराता है।)

यह इस प्रकार है कि एक मानक बोरेल स्पेस को इसकी [[प्रमुखता]] से आइसोमोर्फिज्म तक की विशेषता है,<ref>{{citation | last=Srivastava| first=S.M. | title=A Course on Borel Sets |  year=1991 | publisher=[[Springer Verlag]] | isbn=0-387-98412-7}}</ref> और यह कि किसी भी अगणनीय मानक बोरेल स्थान में [[सातत्य की प्रमुखता|निरंतरता की प्रमुखता]] होती है।

मानक बोरेल रिक्त स्थान पर बोरेल समरूपता टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर होमोमोर्फिम्स के समान हैं। दोनों विशेषण हैं और संरचना के अनुसार विवृत हैं और एक [[होमियोमोर्फिज्म]] और इसके व्युत्क्रम दोनों [[निरंतरता (टोपोलॉजी)]] हैं, दोनों के अतिरिक्त केवल बोरेल औसत क्रम के रूप में हैं।

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|मापने योग्य रिक्त स्थान
}}-  एक समुच्चय को सिग्मा-बीजगणित के साथ जोड़ने वाले युग्म का ऑडर दिया गया है। जिस पर माप को परिभाषित करना संभव होता है

==संदर्भ==

{{reflist}}

{{Measure theory}}
[[Category: वर्णनात्मक सेट सिद्धांत]] [[Category: सामान्य टोपोलॉजी]] [[Category: माप सिद्धांत]] [[Category: अंतरिक्ष (गणित)]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
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