View source for अतिसूक्ष्मनिस्यंदक समुच्चय

{{About|[[समुच्चय सिद्धांत]] में गणितीय अवधारणा|[[आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय]] पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक |अतिसूक्ष्मनिस्यंदक |भौतिक युक्ति|अतिसूक्ष्मनिस्यंदक }}
{{short description|Maximal proper filter}}
[[File:Filter vs ultrafilter.svg|thumb|[[ऊपरी सेट|ऊपरी समुच्चय]] ↑{1,4} गहरे हरे रंग के साथ समुच्चय {1,2,3,4} का घात समुच्चय नियम। यह एक प्रमुख निस्यंदक है, लेकिन {{em|अतिसूक्ष्मनिस्यंदक}} नहीं है, क्योंकि इसे हल्के हरे तत्वों को सम्मलित करके बड़े गैर-तुच्छ निस्यंदक ↑{1} तक बढ़ाया जा सकता है क्योंकि ↑{1} को आगे नहीं बढ़ाया जा सकता, यह एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है।]][[ समुच्चय सिद्धान्त |समुच्चय सिद्धान्त]] के गणितीय क्षेत्र में, समुच्चय <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक समुच्चय <math>X</math> पर एक ''अधिकतम निस्पंदन'' होता है। दूसरे शब्दों में, यह <math>X</math> के उपसमुच्चय का संग्रह है जो <math>X</math> पर निस्पंदन की परिभाषा को संतुष्ट करता है और यह समावेशन के संबंध में अधिकतम है, इस अर्थ में कि <math>X</math> के उपसमुच्चय का एक बड़ा संग्रह उपस्थित नहीं है जो एक निस्पंदन भी है। (उपरोक्त में, परिभाषा के अनुसार एक समुच्चय पर एक निस्पंदन में रिक्त समुच्चय नहीं होता है।) समतुल्य रूप से, समुच्चय <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक को गुण के साथ <math>X</math> पर एक निस्पंदन के रूप में वर्णित किया जा सकता है कि <math>X</math> के प्रत्येक उपसमुच्चय <math>A</math> के लिए या तो <math>A</math> या इसका पूरक <math>X</math>\<math>A</math> अतिसूक्ष्मनिस्यंदक से संबंधित है।
समुच्चय पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का एक महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण है, जहां आंशिक रूप से क्रम किए गए समुच्चय में घात समुच्चय <math>\wp(X)</math> होता है और आंशिक क्रम उपसमुच्चय समावेशन ⊆ होता है।

एक समुच्चय X पर एक सांसारिक प्रकार के अतिसूक्ष्मनिस्यंदक एक बिंदु x∈X पर प्रमुख निस्पंदन हैं। एक समुच्चय <math>X</math> पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक <math>U</math> जो एक बिंदु पर सिद्धांत नहीं है, जरूरी मुक्त है, या समकक्ष रूप से इसमें फ्रेचेट निस्पंदन सम्मलित होना चाहिए (जिसका अर्थ है कि <math>X</math> अनंत होना चाहिए)। किसी भी अनंत समुच्चय पर मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का अस्तित्व अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा द्वारा निहित है, जिसे ZFC में सिद्ध किया जा सकता है। दूसरी ओर, एक समुच्चय पर एक मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का एक स्पष्ट उदाहरण बनाना असंभव है, और वास्तव में ZF के प्रतिरूप उपस्थित हैं जहां एक समुच्चय पर प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक सिद्धांत है। 

अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के समुच्चय सिद्धांत, [[ मॉडल सिद्धांत |प्रतिरूप सिद्धांत]] और [[टोपोलॉजी|सांस्थिति]] में कई अनुप्रयोग हैं।<ref name="Davey.Priestley.1990">{{cite book|first1=B. A.|last1=Davey|first2=H. A.|last2=Priestley|title=जाली और व्यवस्था का परिचय|title-link=जाली और व्यवस्था का परिचय|publisher=Cambridge University Press|year=1990|series=Cambridge Mathematical Textbooks}}</ref>{{rp|186}}

== परिभाषाएँ ==

{{See also|निस्पंदन (गणित)|अतिसूक्ष्मनिस्यंदक}}

एक स्वेच्छाचारी समुच्चय <math>X</math> को देखते हुए, <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक <math>X</math> के समुच्चय का एक गैर-रिक्त वर्ग <math>U</math> है जैसे कि:
#{{em|{{visible anchor|उचित}}}} या {{em|{{visible anchor|अनपभ्रष्ट}}}}: रिक्त समुच्चय <math>U</math> का तत्व नहीं हैं। 
#{{em|{{visible anchor|X में ऊपर की ओर संवृत}}}}: अगर <math>A \in U</math> और अगर <math>B \subseteq X</math> का कोई अधिसमुच्चय  है <math>A</math> (अर्थात, अगर <math>A \subseteq B \subseteq X</math>) तो <math>B \in U</math>
#{{em|[[Pi-पद्धति|{{pi}}−पद्धति]]}}: अगर <math>A</math> और <math>B</math>, <math>U</math> के तत्व हैं तो उनका [[चौराहा (सेट सिद्धांत)|प्रतिच्छेदन]] <math>A \cap B</math> हैं। 
#अगर <math>A \subseteq X</math> तो कोई<ref name="exclusive or" group="note">Properties 1 and 3 imply that <math>A</math> and <math>X \setminus A</math> cannot {{em|both}} be elements of <math>U.</math></ref> <math>A</math> या इसके सापेक्ष पूरक <math>X \setminus A</math>, <math>U</math> का एक तत्व हैं। 
गुण (1), (2), और (3) {{em|<math>X</math> पर निस्पंदन  }} के परिभाषित गुण हैं।  कुछ लेखकों ने <nowiki>''</nowiki>निस्पंदन<nowiki>''</nowiki> की अपनी परिभाषा में गैर-अपभ्रष्टता (जो उपरोक्त गुण (1) है) को सम्मलित नहीं करते हैं। हालांकि, <nowiki>''</nowiki>अतिसूक्ष्मनिस्यंदक<nowiki>''</nowiki> (और पूर्वनिस्यंदक और निस्पंदन उपाधार की भी) की परिभाषा में परिभाषित स्थिति के रूप में हमेशा गैर-अपभ्रष्टता सम्मलित होता है। इस लेख के लिए जरूरी है कि सभी निस्पंदन उचित हों, हालांकि जोर देने के लिए निस्पंदन को <nowiki>''</nowiki>उचित<nowiki>''</nowiki> के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

एक निस्पंदन उपाधार समुच्चय का एक गैर-रिक्त वर्ग है जिसमें [[परिमित चौराहा संपत्ति|परिमित प्रतिच्छेद गुण]] होता है (अर्थात सभी परिमित प्रतिच्छेद गैर-रिक्त होते हैं)। समतुल्य रूप से, एक निस्पंदन उपाधार समुच्चय का एक गैर-रिक्त वर्ग है जो कुछ (उचित) निस्पंदन में निहित है। किसी दिए गए निस्पंदन उपाधार वाले सबसे छोटे (<math>\subseteq</math> के सापेक्ष) निस्पंदन को निस्पंदन उपाधार द्वारा उत्पन्न कहा जाता है।

समुच्चय <math>P</math> के वर्ग के <math>X</math> में ऊपर की ओर बंद होना समुच्चय है
:<math>P^{\uparrow X} := \{S : A \subseteq S \subseteq X \text{ for some } A \in P\}.</math>
पूर्वनिस्यंदक या निस्यंदक आधार एक गैर-रिक्त और उचित (अर्थात <math>\varnothing \not\in P</math>) समुच्चय <math>P</math> का वर्ग है जो नीचे की ओर निर्देशित है, जिसका अर्थ है कि यदि <math>B, C \in P</math> तो कुछ <math>A \in P</math> उपस्थित है जैसे कि <math>A \subseteq B \cap C</math> समान रूप से, पूर्वनिस्यंदक समुच्चय <math>P</math> का कोई भी वर्ग है  जिसका ऊपर की ओर संवरक <math>P^{\uparrow X}</math> एक निस्यंदक है, इस स्थिति में इस निस्यंदक को <math>P</math> द्वारा उत्पन्न निस्यंदक कहा जाता है और <math>P</math> को <math>P^{\uparrow X}</math> के लिए एक निस्पंदन आधार कहा जाता है। 

समुच्चय <math>P</math> के वर्ग का <math>X</math>{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=2-7}} में द्वैत समुच्चय <math>X \setminus P := \{X \setminus B : B \in P\}</math> है।  उदाहरण के लिए, घात समुच्चय का दोहरा <math>\wp(X)</math> स्वयं है: <math>X \setminus \wp(X) = \wp(X)</math> है। समुच्चय का एक वर्ग <math>X</math> पर एक उचित निस्यंदक है अगर और केवल अगर इसकी दोहरी <math>X</math> पर एक उचित [[आदर्श (सेट सिद्धांत)|आदर्श (समुच्चय सिद्धांत)]] है ("उचित" का अर्थ घात समुच्चय के समान नहीं है)।

== अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक के लिए सामान्यीकरण ==
<math>X</math> के उपसमुच्चय के एक वर्ग <math>U \neq \varnothing</math> को अल्ट्रा कहा जाता है अगर <math>\varnothing \not\in U</math> और निम्नलिखित समकक्ष प्रतिबंध में से कोई भी संतुष्ट है:{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=2-7}}{{sfn|Dugundji|1966|pp=219-221}}

# प्रत्येक समुच्चय <math>S \subseteq X</math> के लिए कुछ समुच्चय <math>B \in U</math> ऐसा है कि <math>B \subseteq S</math> या <math>B \subseteq X \setminus S</math> (या समतुल्य, जैसे कि <math>B \cap S</math> समान <math>B</math> या <math>\varnothing</math> है)।
# प्रत्येक समुच्चय <math>S \subseteq {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B</math> के लिए  कुछ समुच्चय <math>B \in U</math> ऐसे उपस्थित है कि <math>B \cap S</math> सेक्वल <math>B</math> या <math>\varnothing</math> है।                                                                                                                                                                                                                        यहाँ, <math> {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B</math> को <math>U</math> में सभी समुच्चयों के संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है।                                                                                                                                                                                                                              <nowiki>''</nowiki><math>U</math> अल्ट्रा है" का यह लक्षण वर्णन समुच्चय <math>X</math> पर निर्भर नहीं करता है, इसलिए <nowiki>''अल्ट्रा''</nowiki> शब्द का उपयोग करते समय समुच्चय <math>X</math> का उल्लेख करना वैकल्पिक है।                                                                                                                                                                                                   
# प्रत्येक समुच्चय <math>S</math> के लिए (जरूरी नहीं कि <math>X</math> का उपसमुच्चय भी हो) कुछ समुच्चय <math>B \in U</math> ऐसे उपस्तिथ हैं कि <math>B \cap S</math> समान <math>B</math> या <math>\varnothing</math> है।                                                                                                          अगर <math>U</math> इस प्रतिबंध को संतुष्ट करता है तो प्रत्येक <math>V \supseteq U</math> भी करता है। विशेष रूप से, एक समुच्चय <math>V</math> अल्ट्रा है अगर और केवल अगर <math>\varnothing \not\in V</math> और <math>V</math> में समुच्चय के कुछ अल्ट्रा वर्ग के उपसमुच्चय के रूप में सम्मलित हैं। 

एक निस्यंदक उपाधार जो अल्ट्रा है, अनिवार्य रूप से एक पूर्वनिस्यंदक है।<ref group="proof">Suppose <math>\mathcal{B}</math> is filter subbase that is ultra. Let <math>C, D \in \mathcal{B}</math> and define <math>S = C \cap D.</math> Because <math>\mathcal{B}</math> is ultra, there exists some <math>B \in \mathcal{B}</math>  such that <math>B \cap S</math> equals <math>B</math> or <math>\varnothing.</math>  The finite intersection property implies that <math>B \cap S \neq \varnothing</math> so necessarily <math>B \cap S = B,</math> which is equivalent to <math>B \subseteq C \cap D.</math> <math>\blacksquare</math></ref> 

अल्ट्रा गुण का उपयोग अब अतिसूक्ष्मनिस्यंदक और अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक दोनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है:

:एक {{visible anchor|अत्यन्त पूर्वनिस्यंदक}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=2-7}}{{sfn|Dugundji|1966|pp=219-221}} एक पूर्वनिस्यंदक है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह एक निस्पंदन उपाधार है जो अल्ट्रा है।

:<math>X</math> पर एक {{visible anchor|अतिसूक्ष्मनिस्यंदक}}{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=2-7}}{{sfn|Dugundji|1966|pp=219-221}} <math>X</math> पर एक (उचित) निस्यंदक है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह <math>X</math> कोई निस्यंदक है जो अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक द्वारा उत्पन्न होता है।

====== अधिकतम पूर्वनिस्यंदक के रूप में अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक ======
"अधिकतमता" के संदर्भ में अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक को चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है।

: समुच्चय <math>M</math> और <math>N</math> के दो वर्गों को देखते हुए, वर्ग <math>M</math> को <math>N</math> की तुलना में स्थूल कहा जाता है,{{sfn|Bourbaki|1989|pp=57-68}}{{sfn|Schubert|1968|pp=48-71}} और <math>N</math>, <math>M</math> से श्रेष्ठ और अधीनस्थ है, <math>M \leq N</math> या {{math|''N'' ⊢ ''M''}} लिखा जाता है, यदि प्रत्येक <math>C \in M</math> के लिए, कुछ <math>F \in N</math> ऐसा है कि <math>F \subseteq C</math> है। <math>M \leq N</math> और <math>N \leq M</math> होने पर वर्ग <math>M</math> और <math>N</math> को समतुल्य कहा जाता है। वर्ग <math>M</math> और <math>N</math> तुलनीय हैं यदि इनमें से एक समुच्चय दूसरे से सूक्ष्मतर है।{{sfn|Bourbaki|1989|pp=57-68}}

अधीनता संबंध, अर्थात् <math>\,\geq,\,</math> एक [[पूर्व आदेश|पूर्व अनुक्रम]] है इसलिए "समतुल्य" की उपरोक्त परिभाषा एक [[तुल्यता संबंध]] बनाती है। अगर <math>M \subseteq N</math> तो <math>M \leq N</math> लेकिन इसका विलोम सामान्य रूप से मान्य नहीं है। हालांकि, यदि <math>N</math> ऊपर की ओर संवृत है, जैसे कि एक निस्यंदक, तो <math>M \leq N</math> अगर और केवल अगर <math>M \subseteq N</math> है। प्रत्येक पूर्वनिस्यंदक उस निस्यंदक के समतुल्य होता है जो वह उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि निस्यंदक के लिए समुच्चय के समतुल्य होना संभव है जो निस्यंदक नहीं हैं।

यदि समुच्चय  <math>M</math> और <math>N</math> के दो वर्ग समतुल्य हैं तो या तो दोनों <math>M</math> और <math>N</math> दोनों अल्ट्रा हैं (प्रत्यक्ष पूर्वनिस्यंदक, निस्यंदक उपाधार) या अन्यथा उनमें से कोई भी अल्ट्रा नहीं है (प्रतिक्रिया एक पूर्वनिस्यंदक, एक निस्यंदक उपाधार)। विशेष रूप से, यदि निस्यंदक उपाधार भी पूर्वनिस्यंदक नहीं है, तो यह उस निस्यंदक या पूर्वनिस्यंदक के समतुल्य नहीं है जो इसे उत्पन्न करता है। अगर <math>M</math> और <math>N</math> दोनों <math>X</math> पर निस्पंदन हैं तो <math>M</math> और <math>N</math> समतुल्य हैं अगर और केवल अगर <math>M = N</math> हैं। यदि एक उचित निस्पंदन (प्रतिक्रिया अतिसूक्ष्मनिस्यंदक) समुच्चय <math>M</math> के वर्ग के समतुल्य है तो <math>M</math> आवश्यक रूप से एक पूर्वनिस्यंदक (प्रतिक्रिया अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक) है। निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, केवल निस्पंदन (प्रतिक्रिया अतिसूक्ष्मनिस्यंदक) और अधीनता की अवधारणा का उपयोग करके पूर्वनिस्यंदक (प्रतिक्रिया अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक) को परिभाषित करना संभव है:

: समुच्चय का एक स्वेच्छाचारी वर्ग एक पूर्वनिस्यंदक है अगर और केवल यह एक (उचित) निस्यंदक के समतुल्य है।
: समुच्चय का एक स्वेच्छाचारी वर्ग एक अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक है अगर और केवल यह एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के समतुल्य है। 
:<math>X</math> पर {{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=2-7}}{{sfn|Dugundji|1966|pp=219-221}} एक अधिकतम पूर्वनिस्यंदक एक पूर्वनिस्यंदक <math>U \subseteq \wp(X)</math> है जो निम्न समतुल्य प्रतिबंध में से किसी को भी संतुष्ट करता हो:
:# U अल्ट्रा है।
:# <math>U</math><math>\,\leq</math> के अधिकतम में <math>\operatorname{Prefilters}(X)</math> पर अधिकतम है, जिसका अर्थ है <math>P \in \operatorname{Prefilters}(X)</math> <math>U \leq P</math> को संतुष्ट करता है तो <math>P \leq U</math> है।{{sfn|Dugundji|1966|pp=219-221}}
:# <math>U</math> के ठीक अधीनस्थ कोई पूर्वनिस्यंदक नहीं है। {{sfn|Dugundji|1966|pp=219-221}}
:# यदि एक (उचित) निस्यंदक <math>F</math> <math>X</math> पर <math>U \leq F</math> तो <math>F \leq U</math> को संतुष्ट करता है।
:# <math>U</math> द्वारा उत्पन्न <math>X</math> निस्यंदक अल्ट्रा है।

== विवरण ==

[[खाली सेट|रिक्त समुच्चय]] पर कोई अतिसूक्ष्मनिस्यंदक नहीं है, इसलिए यह मान लिया गया है कि <math>X</math> रिक्त नहीं है।

<math>X</math> पर एक निस्पंदन उपाधार <math>U</math>, <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है  यदि और केवल यदि निम्न समतुल्य प्रतिबंध में से कोई भी हो:{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=2-7}}{{sfn|Dugundji|1966|pp=219-221}}

# किसी <math>S \subseteq X</math> के लिए, या तो <math>S \in U</math> या <math>X \setminus S \in U.</math>
# <math>U</math> <math>X</math> पर एक अधिकतम निस्यंदक उपाधार है, जिसका अर्थ है कि यदि <math>F</math> <math>X</math> पर कोई निस्यंदक उपाधार है तो <math>U \subseteq F</math> <math>U = F</math> का तात्पर्य है {{sfn|Schechter|1996|pp=100-130}}

<math>X</math> पर एक (उचित) निस्यंदक <math>U</math>, <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है यदि और केवल यदि निम्न समतुल्य प्रतिबंध में से कोई भी हो:

# U अल्ट्रा है।
# <math>U</math> एक अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक द्वारा उत्पन्न होता है;
# किसी उपसमुच्चय <math>S \subseteq X,</math> <math>S \in U</math> या <math>X \setminus S \in U</math> के लिए।{{sfn|Schechter|1996|pp=100-130}}                                                                                                                                                                                                                                तो एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक <math>U</math> प्रत्येक <math>S \subseteq X</math> के लिए निश्चित करता है कि क्या <math>S</math> <nowiki>''बड़ा''</nowiki> है (अर्थात <math>S \in U</math>) या <nowiki>''छोटा''</nowiki> (अर्थात <math>X \setminus S \in U</math>)।<ref name="Higgins सेट थ्योरी में अल्ट्राफिल्टर">{{cite web|last=Higgins|first=Cecelia|title=सेट थ्योरी में अल्ट्राफिल्टर|website=math.uchicago.edu|url=https://math.uchicago.edu/~may/REU2018/REUPapers/Higgins.pdf|date=2018|access-date=August 16, 2020}}</ref>
#प्रत्येक उपसमुच्चय <math>A \subseteq X</math> के लिए, <math>A</math>, <math>U</math> में है या<ref name="exclusive or" group="note" /> (<math>X \setminus A</math>) है।
#<math>U \cup (X \setminus U) = \wp(X)</math> इस प्रतिबंध को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: <math>\wp(X)</math> को <math>U</math> और इसके दोहरे <math>X \setminus U</math> द्वारा विभाजित किया गया है।                                                                                              समुच्चय <math>P</math> और <math>X \setminus P</math> <math>X</math> पर सभी पूर्वनिस्यंदक <math>P</math> के लिए असंयुक्त हैं।
#<math>\wp(X) \setminus U = \left\{ S \in \wp(X) : S \not\in U \right\}</math> <math>X</math> पर एक आदर्श हैं। {{sfn|Schechter|1996|pp=100-130}}
#किसी भी परिमित वर्ग के लिए <math>S_1, \ldots, S_n</math> <math>X</math> के उपसमुच्चय (जहाँ <math>n \geq 1</math>), यदि <math>S_1 \cup \cdots \cup S_n \in U</math> तो कुछ सूचकांक <math>i</math> के लिए <math>S_i \in U</math> है।                                                                                                   शब्दों में, एक <nowiki>''बड़ा''</nowiki> समुच्चय उन समुच्चयों का परिमित संघ नहीं हो सकता है जिनमें से कोई भी बड़ा नहीं है।<ref name="Kruckman अल्ट्राफिल्टर पर नोट्स">{{cite web|last=Kruckman|first=Alex|title=अल्ट्राफिल्टर पर नोट्स|website=math.berkeley.edu|url=https://math.berkeley.edu/~kruckman/ultrafilters.pdf|date=November 7, 2012|access-date=August 16, 2020}}</ref>
#किसी भी <math>R, S \subseteq X</math> के लिए, यदि <math>R \cup S = X</math> तो <math>R \in U</math> या <math>S \in U</math> है।
#किसी भी <math>R, S \subseteq X</math> के लिए, यदि <math>R \cup S \in U</math> फिर <math>R \in U</math> या <math>S \in U</math> (इस गुण वाले निस्यंदक को कहा जाता है।
#किसी भी <math>R, S \subseteq X</math> के लिए, यदि <math>R \cup S \in U</math> और <math>R \cap S = \varnothing</math> तो या तो <math>R \in U</math> या <math>S \in U</math> है।
#<math>U</math> एक अधिकतम निस्यंदक है; अर्थात्, यदि <math>F</math> <math>X</math> एक निस्पंदन है जैसे कि <math>U \subseteq F</math> तो <math>U = F</math> है। समान रूप से, <math>U</math> एक अधिकतम निस्यंदक है यदि <math>X</math> पर कोई निस्यंदक <math>F</math> नहीं है जिसमें <math>U</math> उचित उपसमुच्चय के रूप में होता है (अर्थात, कोई भी निस्यंदक <math>U</math> से अधिक सूक्ष्म नहीं है)।{{sfn|Schechter|1996|pp=100-130}}
=== ग्रिल्स और निस्पंदन-ग्रिल्स ===

अगर <math>\mathcal{B} \subseteq \wp(X)</math> तो {{em| <math>X</math>}} पर इसका ग्रिल वर्ग है
<math display=block>\mathcal{B}^{\# X} := \{S \subseteq X ~:~ S \cap B \neq \varnothing \text{ for all } B \in \mathcal{B}\}</math>
जहां संदर्भ से <math>X</math> स्पष्ट होने पर <math>\mathcal{B}^{\#}</math> लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, <math>\varnothing^{\#} = \wp(X)</math> और अगर <math>\varnothing \in \mathcal{B}</math> तो <math>\mathcal{B}^{\#} = \varnothing</math> है। अगर <math>\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}</math> तो <math>\mathcal{B}^{\#} \subseteq \mathcal{A}^{\#}</math> और इसके अलावा, अगर <math>\mathcal{B}</math> एक निस्यंदक उपाधार है तो <math>\mathcal{B} \subseteq \mathcal{B}^{\#}</math> है।{{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=27-54}} ग्रिल <math>\mathcal{B}^{\# X}</math> <math>X</math> में ऊपर की ओर बंद है अगर और केवल अगर <math>\varnothing \not\in \mathcal{B},</math> जिसे आगे से मान लिया जाएगा। इसके अतिरिक्त, <math>\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}^{\uparrow X}</math> ताकि <math>\mathcal{B}</math> ऊपर की ओर <math>X</math> में बंद हो और केवल अगर <math>\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}</math> है। 

<math>X</math> पर निस्पंदन की ग्रिल को <math>X</math> पर निस्पंदन-ग्रिल कहा जाता है। किसी भी <math>\varnothing \neq \mathcal{B} \subseteq \wp(X)</math> के लिए, <math>\mathcal{B}</math>, <math>X</math> पर एक निस्पंदन-ग्रिल है अगर और केवल अगर (1) <math>\mathcal{B}</math>, <math>X</math> में ऊपर की ओर बंद है और (2) सभी समुच्चय  <math>R</math> और <math>S</math> के लिए अगर <math>R \cup S \in \mathcal{B}</math> तब <math>R \in \mathcal{B}</math> या <math>S \in \mathcal{B}</math> है। ग्रिल संचालन  <math>\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}</math> द्विभाजन प्रेरित करता है।
:<math>{\bull}^{\# X} ~:~ \operatorname{Filters}(X) \to \operatorname{FilterGrills}(X)</math>
जिसका व्युत्क्रम भी <math>\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}</math> द्वारा दिया गया है। {{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=27-54}} अगर <math>\mathcal{F} \in \operatorname{Filters}(X)</math> तो <math>\mathcal{F}</math>, <math>X</math> एक निस्पंदन-ग्रिल चालू है  अगर और केवल अगर <math>\mathcal{F} = \mathcal{F}^{\# X},</math>{{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=27-54}} या समकक्ष, अगर और केवल अगर <math>\mathcal{F}</math> <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है। {{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=27-54}} अर्थात, <math>X</math> पर एक निस्पंदन एक निस्पंदन-ग्रिल है अगर और केवल अगर यह अल्ट्रा है। किसी भी गैर-रिक्त <math>\mathcal{F} \subseteq \wp(X)</math> के लिए, <math>\mathcal{F}</math>, <math>X</math> पर एक निस्पंदन और <math>X</math> पर निस्यंदक-ग्रिल दोनों है  अगर और केवल अगर (1) <math>\varnothing \not\in \mathcal{F}</math> और (2) सभी <math>R, S \subseteq X</math> के लिए, निम्नलिखित समतुल्यता हैं:
:<math>R \cup S \in \mathcal{F}</math> यदि और केवल यदि <math>R, S \in \mathcal{F}</math> यदि और केवल यदि <math>R \cap S \in \mathcal{F}</math> है।{{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=27-54}}

=== मुक्त या सिद्धांत===

यदि <math>P</math> समुच्चयों का कोई गैर-रिक्त वर्ग नहीं है तो <math>P</math> का [[कर्नेल (सेट सिद्धांत)|कर्नेल]] <math>P</math> में सभी समुच्चयों का प्रतिच्छेदन है: {{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=33-35}}
<math display="block">\operatorname{ker} P := \bigcap_{B \in P} B.</math>
समुच्चय <math>P</math> का एक गैर-रिक्त वर्ग कहलाता है:

*{{visible anchor|free}} अगर <math>\operatorname{ker} P = \varnothing</math> और {{visible anchor|निश्चित}} अन्यथा (अर्थात, यदि <math>\operatorname{ker} P \neq \varnothing</math>)
*{{visible anchor|principal}} अगर <math>\operatorname{ker} P \in P.</math>
*एक बिंदु पर मुख्य अगर <math>\operatorname{ker} P \in P</math> और <math>\operatorname{ker} P</math> एक सिंगलटन समुच्चय है; इस प्रकरण में, अगर <math>\operatorname{ker} P = \{x\}</math> तो <math>P</math> को <math>x</math> पर मुख्य कहा जाता है।                                                                                                 यदि समुच्चय <math>P</math> का वर्ग निश्चित हो गया है तो <math>P</math> अल्ट्रा है अगर और केवल अगर <math>P</math> का कुछ तत्व सिंगलटन समुच्चय है, तो <math>P</math> अनिवार्य रूप से एक पूर्वनिस्यंदक होगा। प्रत्येक प्रमुख पूर्वनिस्यंदक निश्चित है, इसलिए एक प्रमुख पूर्वनिस्यंदक <math>P</math> अल्ट्रा है अगर और केवल अगर <math>\operatorname{ker} P</math> एक सिंगलटन समुच्चय है। एक सिंगलटन समुच्चय अल्ट्रा है अगर और केवल अगर इसका एकमात्र तत्व भी सिंगलटन समुच्चय है।

अगले प्रमेय से पता चलता है कि प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक दो श्रेणियों में से एक में आता है: या तो यह मुक्त है या फिर यह एक बिंदु से उत्पन्न एक प्रमुख निस्यंदक है।

{{Math theorem|name=Proposition|math_statement=यदि <math>U</math> <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:
<ol>
<li><math>U</math> निश्चित, या समकक्ष, मुक्त नहीं है।</li>
<li><math>U</math> प्रमुख है।</li>
<li><math>U</math> का कुछ अवयव परिमित समुच्चय है।</li>
<li><math>U</math> का कुछ अवयव सिंगलटन समुच्चय है।</li>
<li><math>U</math> <math>X,</math> के किसी बिंदु पर प्रमुख है, जिसका अर्थ <math>\operatorname{ker} U = \{x\} \in U</math> कुछ <math>x \in X</math> के लिए है।</li>
<li><math>U</math> में <math>X</math> उपसमुच्चय  के रूप में फ्रेचेट निस्यंदक नहीं है। </li>
<li><math>U</math> अनुक्रमिक है। {{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=27-54}}</li>
</ol>
}}

<math>X</math> पर प्रत्येक निस्यंदक जो एक बिंदु पर प्रमुख है, एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है, और यदि अतिरिक्त <math>X</math> परिमित है, तो इनके अलावा <math>X</math> पर कोई अतिसूक्ष्मनिस्यंदक नहीं हैं।{{sfn|Dolecki|Mynard|2016|pp=33-35}} विशेष रूप से, यदि एक समुच्चय <math>X</math> परिमित गणनांक <math>n < \infty</math> है, तो <math>X</math> पर बिल्कुल <math>n</math> अतिसूक्ष्मनिस्यंदक हैं और वे <math>X</math> के प्रत्येक सिंगलटन उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न अतिसूक्ष्मनिस्यंदक हैं।  परिणामस्वरूप, मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक केवल एक अनंत समुच्चय पर ही उपस्थित हो सकते हैं।

== उदाहरण, गुण, और पर्याप्त प्रतिबंध ==

अगर <math>X</math> एक अनंत समुच्चय है तो <math>X</math> के ऊपर उतने ही अतिसूक्ष्मनिस्यंदक हैं जितने कि <math>X</math> के उपसमुच्चय के वर्ग हैं;  स्पष्ट रूप से, अगर <math>X</math> में अनंत गणनांक है <math>\kappa</math> है तो <math>X</math> पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के समुच्चय में <math>\wp(\wp(X))</math> के समान गणनांक है;  वह गणनांक <math>2^{2^{\kappa}}</math>हैं।<ref name="Pospisil 1937">{{cite journal|last=Pospíšil|first=Bedřich|title=बायोकॉम्पैक्ट स्पेस पर टिप्पणी|journal=The Annals of Mathematics|volume=38|issue=4|year=1937|page=845-846}}</ref>

अगर <math>U</math> और <math>S</math> समुच्चय के वर्ग हैं जैसे कि <math>U</math> अल्ट्रा है, <math>\varnothing \not\in S,</math> और <math>U \leq S,</math> तो <math>S</math> अनिवार्य रूप से अल्ट्रा है। एक निस्यंदक उपाधार <math>U</math> जो पूर्वनिस्यंदक नहीं है, वह अल्ट्रा नहीं हो सकता; लेकिन फिर भी <math>U</math> द्वारा उत्पन्न पूर्वनिस्यंदक और निस्यंदक का अल्ट्रा होना संभव है।

मान लीजिए <math>U \subseteq \wp(X)</math> अल्ट्रा है और <math>Y</math> एक समुच्चय है। अनुरेख <math>U\vert_Y := \{B \cap Y : B \in U\}</math> अल्ट्रा है अगर और केवल अगर इसमें रिक्त समुच्चय नहीं है। इसके अलावा, कम से कम एक समुच्चय <math>U\vert_Y \setminus \{\varnothing\}</math> और <math>U\vert_{X \setminus Y} \setminus \{\varnothing\}</math> अल्ट्रा होगा (यह परिणाम <math>X</math> के किसी भी परिमित विभाजन तक फैला हुआ है )। अगर <math>F_1, \ldots, F_n</math> <math>X</math> पर निस्पंदन हैं,  <math>U</math>, <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है, और <math>F_1 \cap \cdots \cap F_n \leq U,</math> तो कुछ <math>F_i</math> है जो <math>F_i \leq U</math> को संतुष्ट करता है। {{sfn|Bourbaki|1989|pp=129-133}} यह परिणाम निस्पंदन के अनंत वर्ग के लिए जरूरी नहीं है।{{sfn|Bourbaki|1989|pp=129-133}}

एक अल्ट्रा समुच्चय <math>U \subseteq \wp(X)</math> के मानचित्र <math>f : X \to Y</math> के तहत चित्र फिर से अल्ट्रा है और अगर <math>U</math> एक अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक है तो <math>f(U)</math> है। अल्ट्रा होने का गुण आक्षेपों के अंतर्गत संरक्षित रहता है। हालांकि, एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का पूर्व चित्र अनिवार्य रूप से अल्ट्रा नहीं है, भले ही मानचित्र विशेषण न हो। उदाहरण के लिए, यदि <math>X</math> में एक से अधिक बिंदु हैं और यदि <math>f : X \to Y</math> की श्रेणी में एकल बिंदु <math>\{ y \}</math> है, तो <math>\{ y \}</math> <math>Y</math> पर एक अल्ट्रा पूर्वनिस्यंदक है, लेकिन इसका पूर्व चित्र अल्ट्रा नहीं है। वैकल्पिक रूप से, अगर <math>U</math>, <math>Y \setminus f(X)</math> में एक बिंदु द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख निस्पंदन है, तो <math>U</math> का पूर्व चित्र में रिक्त समुच्चय होता है और इसलिए यह अल्ट्रा नहीं होता है।

एक अनंत अनुक्रम द्वारा प्रेरित प्राथमिक निस्पंदन, जिसके सभी बिंदु अलग हैं, एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक नहीं है।{{sfn|Bourbaki|1989|pp=129-133}} अगर <math>n = 2,</math> तो <math>U_n</math> उस समुच्चय को दर्शाता है जिसमें गणनांक <math>n</math> वाले <math>X</math> के सभी उपसमुच्चय सम्मलित हैं, और यदि <math>X</math> में कम से कम <math>2 n - 1</math> (<math>=3</math>) विशिष्ट बिंदु हैं, तो <math>U_n</math> अल्ट्रा है लेकिन यह किसी भी पूर्वनिस्यंदक में सम्मलित नहीं है। यह उदाहरण किसी भी पूर्णांक <math>n > 1</math> और <math>n = 1</math> के लिए सामान्यीकरण करता है   यदि <math>X</math> में एक से अधिक तत्व होते हैं। अल्ट्रा समुच्चय जो पूर्वनिस्यंदक भी नहीं हैं, उनका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

प्रत्येक <math>S \subseteq X \times X</math> और प्रत्येक <math>a \in X</math> के लिए, मान लीजिए <math>S\big\vert_{\{a\} \times X} := \{y \in X ~:~ (a, y) \in S\}</math> है। अगर <math>\mathcal{U}</math> <math>X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है तो सभी <math>S \subseteq X \times X</math> का समुच्चय ऐसा है कि <math>\left\{a \in X ~:~ S\big\vert_{\{a\} \times X} \in \mathcal{U}\right\} \in \mathcal{U}</math> <math>X \times X</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है।{{sfn|Jech|2006|pp=73-89}}

=== मोनाड संरचना ===

<math>X</math> पर सभी अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के <math>U(X)</math> के समुच्चय को किसी भी से समुच्चय <math>X</math> से जोड़ने वाला प्रकार्यक एक [[मोनाड (श्रेणी सिद्धांत)]] बनाता है जिसे अल्ट्राफ़िल्टर मोनाड कहा जाता है। इकाई मानचित्र
<math display=block>X \to U(X)</math>
किसी भी तत्व <math>x \in X</math> को <math>x</math> द्वारा दिए गए प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक को भेजता है। 

यह [[अल्ट्राफिल्टर मोनाड|अतिसूक्ष्मनिस्यंदक मोनाड]] सभी [[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] में परिमित [[सेट की श्रेणी|समुच्चय की श्रेणी]] को सम्मलित करने का [[कोडेंसिटी मोनाड]] है,<ref name="Leinster2013">{{cite journal|last=Leinster|first=Tom|year=2013|title=कोडेन्सिटी और अल्ट्राफिल्टर मोनाड|journal=Theory and Applications of Categories|volume=28|pages=332–370|bibcode=2012arXiv1209.3606L|arxiv=1209.3606|url=http://www.tac.mta.ca/tac/volumes/28/13/28-13.pdf}}</ref> जो इस सन्यासी की वैचारिक व्याख्या करता है।

इसी तरह, [[ ultraproduct |अल्ट्रा उत्पाद]] मोनाड समुच्चय के सभी वर्ग की श्रेणी में समुच्चय के परिमित वर्गों की श्रेणी को सम्मलित करने का कोडेन्सिटी मोनाड है। तो इस अर्थ में, [[ ultraproduct |अल्ट्रा उत्पाद]] स्पष्ट रूप से अपरिहार्य हैं।<ref name="Leinster2013" />
== अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा ==

अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा को पहली बार 1930 में [[अल्फ्रेड टार्स्की]] द्वारा सिद्ध किया गया था।{{sfn|Jech|2006|pp=73-89}}

{{Math theorem|name=The {{visible anchor|ultrafilter lemma|Ultrafilter lemma}}/principle/theorem{{sfn|Bourbaki|1989|pp=57-68}}|math_statement=समुच्चय <math>X</math> पर प्रत्येक उचित फ़िल्टर <math>X</math> पर कुछ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक में समाहित है।
}}

अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के समान है:

# एक समुच्चय <math>X</math> पर प्रत्येक पूर्वनिस्यंदक के लिए, इसके अधिकतम <math>X</math> पर एक अधिकतम पूर्वनिस्यंदक उपस्थित होता है।{{sfn|Narici|Beckenstein|2011|pp=2-7}}
# एक समुच्चय <math>X</math> पर प्रत्येक उचित निस्यंदक उपाधार <math>X</math> पर कुछ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक में सम्मिलित है।
अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक निस्यंदक उसमें उपस्थित सभी अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के प्रतिच्छेदन के समान होता है।{{sfn|Bourbaki|1987|pp=57–68}}<ref group="note">Let <math>\mathcal{F}</math> be a filter on <math>X</math> that is not an ultrafilter. If <math>S \subseteq X</math> is such that <math>S \not\in \mathcal{F}</math> then <math>\{ X \setminus S \} \cup \mathcal{F}</math> has the finite intersection property (because if <math>F \in \mathcal{F}</math> then <math>F \cap (X \setminus S) = \varnothing</math> if and only if <math>F \subseteq S</math>) so that by the ultrafilter lemma, there exists some ultrafilter <math>\mathcal{U}_S</math> on <math>X</math> such that <math>\{X \setminus S\} \cup \mathcal{F} \subseteq \mathcal{U}_S</math> (so in particular <math>S \not\in \mathcal{U}_S</math>). It follows that <math>\mathcal{F} = \bigcap_{S \subseteq X, S \not\in \mathcal{F}} \mathcal{U}_S.</math> <math>\blacksquare</math></ref>

अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा का उपयोग करके निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किए जा सकते हैं। एक समुच्चय <math>X</math> पर एक मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित है अगर और केवल अगर <math>X</math> अनंत है। हर उचित निस्यंदक उसमें उपस्थित सभी अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के प्रतिच्छेदन के समान होता है।{{sfn|Bourbaki|1989|pp=57-68}} ऐसे निस्यंदक हैं जो अल्ट्रा नहीं हैं, इससे पता चलता है कि अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के वर्ग के प्रतिच्छेदन को अल्ट्रा नहीं होना चाहिए। समुच्चय <math>\mathbb{F} \neq \varnothing</math> का वर्ग  एक मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक तक बढ़ाया जा सकता है अगर और केवल अगर <math>\mathbb{F}</math> तत्वों के किसी भी परिमित वर्ग का प्रतिच्छेदन अनंत है।

=== ZF के तहत अन्य कथन से संबंध ===
{{See also|बूलियन मुख्य आदर्श प्रमेय|समुच्चय सिद्धांतपरक सांस्थिति }}

इस पूरे खंड में, ZF ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत को संदर्भित करता है और ZFC, ZF को वरण के Axiom (AC) के साथ संदर्भित करता है। अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा ZF से स्वतंत्र है। अर्थात्, ऐसे प्रतिरूप उपस्थित है जिसमें ZF के स्वयंसिद्ध हैं लेकिन अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा नहीं है। ZF के ऐसे प्रतिरूप भी उपस्थित हैं जिनमें प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक आवश्यक रूप से प्रमुख है।

प्रत्येक निस्यंदक जिसमें एक सिंगलटन समुच्चय होता है, अनिवार्य रूप से एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक होता है और <math>x \in X</math> दिया जाता है, असतत अतिसूक्ष्मनिस्यंदक <math>\{S \subseteq X : x \in S\}</math> की परिभाषा के लिए '''ZF''' से अधिक की आवश्यकता नहीं है। अगर <math>X</math> परिमित है तो प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक एक बिंदु पर असतत निस्पंदन है; नतीजतन, मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक केवल अनंत समुच्चयों पर ही उपस्थित हो सकते हैं। विशेष रूप से, अगर <math>X</math> परिमित है तो अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा को स्वयंसिद्ध '''ZF''' से सिद्ध किया जा सकता है। चयन के स्वयंसिद्ध मान लेने पर अनंत समुच्चयों पर मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का अस्तित्व सिद्ध हो सकता है। अधिक सामान्यतः, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा को विकल्प के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जो संक्षेप में बताता है कि गैर-रिक्त समुच्चयों का कोई कार्तीय उत्पाद गैर-रिक्त है। '''ZF''' के तहत, [[पसंद का स्वयंसिद्ध|विकल्प का सिद्धांत]], विशेष रूप से, (a) ज़ोर्न लेम्मा, (b) टाइकोनॉफ़ प्रमेय, (c) सदिश आधार प्रमेय का निर्बल रूप है (जो बताता है कि प्रत्येक सदिश समष्टि का आधार है), (d) सदिश आधार प्रमेय का प्रबल रूप, और अन्य कथन। हालांकि, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा विकल्प के स्वयंसिद्ध से वास्तव में निर्बल है। जबकि मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित सिद्ध हो सकते हैं, मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक (केवल '''ZF''' और अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा का उपयोग करके) का एक स्पष्ट उदाहरण बनाना संभव नहीं है; अर्थात् मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक अमूर्त होते हैं।{{sfn|Schechter|1996|p=105}} अल्फ्रेड टार्स्की ने प्रमाणित किया कि ZFC के तहत, एक अनंत समुच्चय <math>X</math> पर सभी मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के समुच्चय की प्रमुखता <math>\wp(\wp(X))</math> की गणनांक के समान है, जहां <math>\wp(X)</math> <math>X</math> के घात समुच्चय को दर्शाता है। {{sfn|Schechter|1996|pp=150-152}} अन्य लेखकों ने इस खोज का श्रेय बेद्रिच पोस्पिसिल को दिया है ([[ग्रिगोरी स्प्रूस की लकड़ी|फिचटेनहोल्ज़]] और [[लियोनिद कांटोरोविच|कांटोरोविच]] के संयोजन तर्क के बाद, [[फेलिक्स हॉसडॉर्फ|हौसडॉर्फ]] द्वारा सुधार किया गया)।{{sfn|Jech|2006|pp=75-76}}{{sfn|Comfort|1977|p=420}}

जेडएफ के तहत, विकल्प के स्वयंसिद्ध का उपयोग अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा और केरीन-मिलमैन प्रमेय दोनों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है; इसके विपरीत, '''ZF''' के तहत, केरीन-मिलमैन प्रमेय के साथ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा विकल्प के स्वयंसिद्ध को सिद्ध कर सकता है।<ref>{{cite journal|last1=Bell|first1=J.|last2=Fremlin|first2=David|title=पसंद के स्वयंसिद्ध का एक ज्यामितीय रूप|journal=Fundamenta Mathematicae|date=1972|volume=77|issue=2|pages=167–170|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm77/fm77116.pdf|access-date=11 June 2018|quote=Theorem 1.2. BPI [the Boolean Prime Ideal Theorem] & KM [Krein-Milman] <math>\implies</math> (*) [the unit ball of the dual of a normed vector space has an extreme point]....  Theorem 2.1. (*) <math>\implies</math> AC [the Axiom of Choice].}}</ref>
==== ऐसे कथन जिनका अनुमान नहीं लगाया जा सकता ====

अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा एक अपेक्षाकृत निर्बल स्वयंसिद्ध है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूची में से प्रत्येक कथन केवल अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के साथ '''ZF''' से नहीं निकाला जा सकता है:

# गणनीय समुच्चयों का एक गणनीय संघ एक गणनीय समुच्चय होता है।
# [[गणनीय सेट|गणनीय समुच्चय]] (एसीसी) का स्वयंसिद्ध।
# [[निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध|आश्रित चयन (एडीसी) का स्वयंसिद्ध।]] 

==== समतुल्य कथन ====

ZF के तहत, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के समान है:{{sfn|Schechter|1996|pp=105,150-160,166,237,317-315,338-340,344-346,386-393,401-402,455-456,463,474,506,766-767}}

# [[बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय|बूलियन मुख्य आदर्श प्रमेय]] (बीपीआईटी)।                                                                                                                                                                                                                                                      यह तुल्यता विकल्प के स्वयंसिद्ध (AC) के बिना '''ZF''' समुच्चय सिद्धांत में सिद्ध है।
# बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय।
# [[बूलियन स्पेस|बूलियन समष्टि]] का कोई भी उत्पाद बूलियन समष्टि होता है।{{sfn|Schechter|1996|p=463}}
# बूलियन मुख्य आदर्श अस्तित्व प्रमेय: प्रत्येक अनपभ्रष्ट [[बूलियन बीजगणित]] का एक मुख्य आदर्श होता है।{{sfn|Schechter|1996|p=339}}
# [[हॉसडॉर्फ स्पेस|हॉसडॉर्फ समष्टि]] के लिए टाइकोनॉफ प्रमेय:[[ कॉम्पैक्ट जगह | संहत]] हॉसडॉर्फ समष्टि का कोई भी [[उत्पाद टोपोलॉजी|उत्पाद]] संहत है।{{sfn|Schechter|1996|p=463}}
# अगर <math>\{ 0, 1 \}</math> [[असतत टोपोलॉजी|असतत सांस्थिति]] के संपन्न है तो किसी भी समुच्चय <math>I</math> के लिए, [[उत्पाद स्थान|उत्पाद]] [[बूलियन स्पेस|समष्टि]] <math>\{0, 1\}^I</math> संहत है।{{sfn|Schechter|1996|p=463}}
# बनच-अलाग्लु प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के समान है:                                                                                                                                          
## [[टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस|सांस्थितिक सदिश समष्टि]] (टीवीएस) पर अदिश-मूल्यवान मानचित्र का कोई समतुल्य समुच्चय निर्बल[[कमजोर- * टोपोलॉजी|- * सांस्थिति]] में अपेक्षाकृत संहत होता है (अर्थात, यह कुछ निर्बल-* संहत समुच्चय में निहित है)।{{sfn|Schechter|1996|pp=766-767}} 
## TVS <math>X</math> में उत्पत्ति के किसी भी प्रतिवैस का [[ध्रुवीय सेट|ध्रुवीय]] इसके [[निरंतर दोहरी जगह|निरंतर दोहरी]] [[बूलियन स्पेस|समष्टि]] का एक निर्बल-* संहत उपसमुच्चय है।{{sfn|Schechter|1996|pp=766-767}}                                                                                                         
## किसी भी सामान्य समष्टि के निरंतर दोहरे समष्टि में बंद इकाई बल निर्बल-* संहत है।{{sfn|Schechter|1996|pp=766-767}}                                                                                                                                                                                                      यदि आदर्श समष्टि वियोज्य है तो अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा पर्याप्त है लेकिन इस कथन को सिद्ध करने के लिए आवश्यक नहीं है।
# एक सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> संहत है अगर <math>X</math> पर प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक कुछ सीमा तक अभिसरण करता है।{{sfn|Schechter|1996|p=455}}
# एक सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> संहत है अगर और केवल अगर <math>X</math> पर प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक कुछ सीमा तक अभिसरण करता है।{{sfn|Schechter|1996|p=455}}                                                                                                                       शब्दों का जोड़ और केवल अगर इस कथन और इसके ठीक ऊपर वाले के मध्य एकमात्र अंतर है।
# अल्ट्रानेट लेम्मा: प्रत्येक [[नेट (गणित)]] में एक सार्वभौमिक सबनेट होता है।<ref name="Muger2020" />                                                                                                                                                                                                     परिभाषा के अनुसार, <math>X</math> में एक नेट को {{em|[[Ultranet (math)|ultranet]]}} या {{em|universal net}} कहा जाता है यदि प्रत्येक उपसमुच्चय <math>S \subseteq X</math> के लिए, नेट अंततः <math>S</math> या <math>X \setminus S</math> में है।
# एक सांस्थितिक समष्टि <math>X</math> संहत है अगर और केवल अगर <math>X</math> पर प्रत्येक अल्ट्रानेट कुछ सीमा तक अभिसरण करता है।{{sfn|Schechter|1996|p=455}}                                                                                                                       यदि शब्द <nowiki>''</nowiki>और केवल तभी" हटा दिए जाते हैं तो परिणामी कथन अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के समान रहता है।{{sfn|Schechter|1996|p=455}}
# यदि <math>X</math> पर प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक [[अभिसरण स्थान|अभिसरण]] करता है तो एक अभिसरण समष्टि <math>X</math> संहत होता है।{{sfn|Schechter|1996|p=455}}
# [[एक समान स्थान|एक समान समष्टि]] संहत होता है यदि यह पूर्ण और [[पूरी तरह से घिरा हुआ|संपूर्ण रूप में परिबद्ध]] होता है।{{sfn|Schechter|1996|p=455}}
# स्टोन-चेक संघनन प्रमेय।{{sfn|Schechter|1996|p=463}}
# संहतता प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के समान है:
## अगर <math>\Sigma</math> [[प्रथम-क्रम विधेय कलन|प्रथम-क्रम]] के वाक्यों का एक समुच्चय है जैसे कि <math>\Sigma</math> के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय  का एक प्रतिरूप है, तो <math>\Sigma</math> एक प्रतिरूप है।{{sfn|Schechter|1996|pp=391-392}}
## अगर <math>\Sigma</math> [[प्रस्तावक कलन|शून्य-क्रम]] वाक्यों का एक समुच्चय है जैसे कि <math>\Sigma</math> के प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय का एक प्रतिरूप है, तो <math>\Sigma</math> एक प्रतिरूप है।{{sfn|Schechter|1996|pp=391-392}}
# [[पूर्णता प्रमेय]]: यदि <math>\Sigma</math> शून्य-क्रम वाक्यों का एक समुच्चय है जो वाक्य-विन्यास के अनुरूप है, तो इसका एक प्रतिरूप है (अर्थात, यह शब्दार्थ के अनुरूप है)।

==== कमजोर बयान ====
अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा ('''ZF''' के साथ) से कोई भी कथन निकाला जा सकता है, जिसे अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से कमजोर कहा जाता है। '''ZF''' के तहत एक कमजोर कथन को वास्तव में कमजोर कहा जाता है, यह अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के समान नहीं है। '''ZF''' के तहत, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा का तात्पर्य निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन से है:

# परिमित समुच्चय (एसीएफ) के लिए विकल्प का सिद्धांत: <math>I \neq \varnothing</math> और गैर-रिक्त {{em|finite}} समुच्चय के एक वर्ग <math>\left(X_i\right)_{i \in I}</math> को देखते हुए, उनका उत्पाद <math>{\textstyle\prod\limits_{i \in I}} X_i</math> रिक्त नहीं है।<ref name="Muger2020">{{cite book|last=Muger|first= Michael|title=कामकाजी गणितज्ञ के लिए टोपोलॉजी|year=2020}}</ref>
# परिमित समुच्चयों का एक गणनीय समुच्चय संघ एक गणनीय समुच्चय होता है।                                                                                                                                                                            हालांकि, अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा के साथ '''ZF''' यह सिद्ध करने के लिए बहुत निर्बल है कि एक गणनीय समुच्चय का एक गणनीय संघ एक गणनीय समुच्चय है।
# हैन-बनाक प्रमेय।<ref name="Muger2020" />                                                                                                                                                                                                                                                               '''ZF''' में, हैन-बनाक प्रमेय अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से वास्तव में निर्बल है।
# बनच-टार्स्की विरोधाभास।                                                                                                                                                                                                                                                                       वास्तव में, '''ZF''' के तहत, बनच-तर्स्की विरोधाभास को हन-बनाक प्रमेय से निकाला जा सकता है,<ref>{{cite journal|first1=M.|last1=Foreman|first2=F.|last2=Wehrung|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm138/fm13812.pdf|title=The Hahn–Banach theorem implies the existence of a non-Lebesgue measurable set|journal=Fundamenta Mathematicae|volume=138|year=1991|pages=13–19|doi=10.4064/fm-138-1-13-19 |doi-access=free}}</ref><ref>{{cite journal|last=Pawlikowski|first=Janusz|url=http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm138/fm13813.pdf|title=The Hahn–Banach theorem implies the Banach–Tarski paradox|journal=Fundamenta Mathematicae|volume=138|year=1991|pages=21–22|doi=10.4064/fm-138-1-21-22|doi-access=free}}</ref> जो अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से पूरी तरह निर्बल है।
# प्रत्येक समुच्चय को [[रैखिक क्रम|रैखिक रूप से]] आदेश दिया जा सकता है।
# प्रत्येक [[क्षेत्र (गणित)]] में एक अद्वितीय बीजगणितीय समापन होता है।
# [[अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय|अलेक्जेंडर उपाधार प्रमेय]]।<ref name="Muger2020" />
# गैर-तुच्छ [[ultraproducts]] उपस्थित हैं।
# निर्बल अतिसूक्ष्मनिस्यंदक प्रमेय: <math>\N</math> पर एक मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित हैं।                                                                                                                                                                                                '''ZF''' के तहत, निर्बल अतिसूक्ष्मनिस्यंदक प्रमेय का अर्थ अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा नहीं है; अर्थात, यह अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से वास्तव में निर्बल है।
# प्रत्येक अनंत समुच्चय पर एक मुक्त अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित होता है;                                                                                                                                                                                         यह कथन वास्तव में अतिसूक्ष्मनिस्यंदक लेम्मा से वास्तव में निर्बल है।                                                                                                                                                                                                               अकेले '''ZF''' का अर्थ यह भी नहीं है कि कुछ समुच्चय पर एक गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक उपस्थित है।
<li><ul शैली="सूची-शैली-प्रकार:" निचला-लैटिन;>
<li>
== संपूर्णता ==
घात समुच्चय पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक <math>U</math> की पूर्णता सबसे छोटी प्रमुख संख्या κ होती है, जैसे कि <math>U</math> के κ तत्व हैं  जिसका प्रतिच्छेदन <math>U</math> में नहीं है। अतिसूक्ष्मनिस्यंदक की परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी घात समुच्चय अतिसूक्ष्मनिस्यंदक की पूर्णता कम से कम <math>\aleph_0</math> है। एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक जिसकी पूर्णता <math>\aleph_0</math> से अधिक है-अर्थात, <math>U</math> के तत्वों के किसी भी गणनीय संग्रह का प्रतिच्छेदन अभी भी <math>U</math> में है — इसे गणनीय रूप से पूर्ण या σ-पूर्ण कहा जाता है।

घात समुच्चय पर एक पूर्ण रूप से पूर्ण गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक की पूर्णता हमेशा एक मापने योग्य गणनसंख्या होती है।{{citation needed|date=July 2016}}

=={{vanchor|अतिसूक्ष्मनिस्यंदक पर क्रमीकरण |Ordering}}==
{{visible anchor|रुडिन-कीस्लर क्रमीकरण}} ([[मैरी एलेन रुडिन द्वारा|मैरी एलेन रुडिन]] और [[हावर्ड जेरोम केसलर]] के नाम पर) घात समुच्चय अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के वर्ग पर एक प्रस्ताव है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: अगर <math>U</math> <math>\wp(X)</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है, और <math>V</math> <math>\wp(Y)</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक है, तो <math>V \leq {}_{RK} U</math> अगर कोई फलन <math>f : X \to Y</math> उपस्थित है, ऐसा है कि
:<math>C \in V</math> अगर और केवल अगर <math>f^{-1}[C] \in U</math>
प्रत्येक उपसमुच्चय  <math>C \subseteq Y</math> के लिए।
<li>अतिसूक्ष्मनिस्यंदक <math>U</math> और <math>V</math> को रुडिन-कीस्लर समतुल्य कहा जाता है, जिसे {{math|''U'' ≡<sub>RK</sub> ''V''}} के रूप में दर्शाया जाता है, अगर समुच्चय <math>A \in U</math> और <math>B \in V</math> उपस्थित हैं और एक आक्षेप <math>f : A \to B</math> जो ऊपर के प्रतिबंध को संतुष्ट करता है। (अगर <math>X</math> और <math>Y</math> एक ही गणनांक है, तो <math>A = X,</math> <math>B = Y</math> को ठीक करके परिभाषा को सरल बनाया जा सकता है।

यह ज्ञात है कि ≡<sub>RK</sub> ≤<sub>RK</sub> का कर्नेल (समुच्चय सिद्धांत) है, अर्थात, {{math|''U'' ≡<sub>RK</sub> ''V''}} अगर और केवल अगर <math>U \leq {}_{RK} V</math> और <math>V \leq {}_{RK} U</math> है।<ref>{{cite book|last1=Comfort|first1=W. W.|last2=Negrepontis|first2=S.|title=अल्ट्राफिल्टर का सिद्धांत|publisher=[[Springer-Verlag]]|location=Berlin, New York|mr=0396267|year=1974}} Corollary 9.3.</ref>


'''℘(ω) पर अतिसूक्ष्मनिस्यंदक'''

कई विशेष गुण हैं जो <math>\wp(\omega)</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक, जहां <math>\omega</math> प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करता है, हो सकता है जो समुच्चय सिद्धांत और सांस्थिति के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी सिद्ध हो सकता हैं।
* एक गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक <math>U</math> को P-बिन्दु कहा जाता है यदि प्रत्येक विभाजन के लिए <math>\left\{ C_n : n < \omega \right\}</math> <math>\omega</math> का ऐसा है कि सभी <math>n < \omega,</math> <math>C_n \not\in U</math> के लिए, कुछ <math>A \in U</math> उपस्थित है जैसे कि <math>A \cap C_n</math> प्रत्येक <math>n</math> के लिए एक परिमित समुच्चय है।
*एक गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक <math>U</math> को रैमसे (या चयनात्मक) कहा जाता है यदि प्रत्येक विभाजन <math>\left\{ C_n : n < \omega \right\}</math> के <math>\omega</math> के लिए ऐसा है कि सभी <math>n < \omega,</math> <math>C_n \not\in U</math> के लिए, कुछ <math>A \in U</math> उपस्थित है जैसे कि <math>A \cap C_n</math> है प्रत्येक <math>n</math> के लिए एक [[सिंगलटन सेट|सिंगलटन समुच्चय]] है। 
यह एक तुच्छ अवलोकन है कि सभी रैमसे अतिसूक्ष्मनिस्यंदक P-बिन्दु हैं। [[वाल्टर रुडिन]] ने सिद्ध किया कि सातत्य परिकल्पना का तात्पर्य रैमसे अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के अस्तित्व से है।<ref>{{Citation|last = Rudin|first =Walter|author-link = Walter Rudin|title = Homogeneity problems in the theory of Čech compactifications|journal = [[Duke Mathematical Journal]]|volume = 23|issue = 3|pages = 409–419|year = 1956|doi = 10.1215/S0012-7094-56-02337-7|hdl = 10338.dmlcz/101493|hdl-access = free}}</ref> वास्तव में, कई परिकल्पनाएँ रैमसे अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के अस्तित्व को दर्शाती हैं, जिसमें मार्टिन का स्वयंसिद्ध भी सम्मलित है। [[सहारों शेलाह]] ने बाद में दिखाया कि यह सुसंगत है कि P-बिन्दु अतिसूक्ष्मनिस्यंदक नहीं हैं।<ref>{{Citation|last = Wimmers|first = Edward|title = The Shelah P-point independence theorem|journal = [[Israel Journal of Mathematics]]|volume = 43|issue = 1|pages = 28–48|date = March 1982|doi = 10.1007/BF02761683|doi-access=free|s2cid = 122393776}}</ref> इसलिए, इस प्रकार के अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का अस्तित्व [[ZFC]] से [[स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)|स्वतंत्रता]] है।

[[पी-पॉइंट|P-बिन्दु]] को इस तरह कहा जाता है क्योंकि वे गैर-प्रमुख अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के समष्टि {{nowrap|βω \ ω}} के सामान्य सांस्थिति में सांस्थितिक P-बिन्दु  होते हैं। रैमसे नाम रैमसे के प्रमेय से आया है। यह देखने के लिए कि क्यों, कोई यह सिद्ध कर सकता है कि एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक रैमसे है अगर और केवल अगर <math>[\omega]^2</math> के प्रत्येक 2-रंग के लिए  अतिसूक्ष्मनिस्यंदक का एक तत्व उपस्थित होता है जिसमें एक समान रंग होता है।

<math>\wp(\omega)</math> पर एक अतिसूक्ष्मनिस्यंदक रैमसे है अगर और केवल अगर यह गैर-प्रमुख घात समुच्चय अतिसूक्ष्मनिस्यंदक के रुडिन-कीस्लर क्रमीकरण में [[न्यूनतम तत्व|न्यूनतम]] है।{{sfn|Jech|2006|p=91|ps= (Left as exercise '''7.12''')}}

== यह भी देखें ==
* {{annotated link|विस्तारक (समुच्चय सिद्धांत)}}
* {{annotated link|निस्पंदन (गणित)}}
* {{annotated link|निस्यंदक (समुच्चय सिद्धांत)}}
* {{annotated link|सांस्थिति में निस्यंदक}}
* {{annotated link|लोश प्रमेय}}
* {{annotated link|अतिसूक्ष्मनिस्यंदक}}
* {{annotated link|सार्वभौमिक नेट}}

==टिप्पणियाँ==

{{reflist|group=note}}

'''Proofs'''

{{reflist|group=proof}}

==संदर्भ==

{{reflist}}

==ग्रन्थसूची==
* {{Arkhangel'skii Ponomarev Fundamentals of General Topology Problems and Exercises|edition=2}}<!-- {{sfn|Arkhangelʹskiĭ|Ponomarev|1984|p=}} -->
* {{Bourbaki General Topology Part I Chapters 1-4}}<!-- {{sfn|Bourbaki|1998|p=}} -->
* {{Dixmier General Topology}}<!-- {{sfn|Dixmier|1984|p=}} -->
* {{Dolecki Mynard Convergence Foundations Of Topology}}<!-- {{sfn|Dolecki|Mynard|2016|p=}} -->
* {{Dugundji Topology}}<!-- {{sfn|Dugundji|1966|p=}} -->
* {{Császár General Topology}}<!-- {{sfn|Császár|1978|p=}} -->
* {{cite book|last=Jech|first=Thomas|author-link=Thomas Jech|title = Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded|publisher=Springer Science & Business Media|publication-place=Berlin New York|year=2006|isbn=978-3-540-44085-7|oclc=50422939}}<!-- {{sfn|Jech|2006|p=}} -->
* {{Joshi Introduction to General Topology}}<!-- {{sfn|Joshi|1983|p=}} -->
* {{Narici Beckenstein Topological Vector Spaces|edition=2}}<!-- {{sfn|Narici|Beckenstein|2011|p=}} -->
* {{Schechter Handbook of Analysis and Its Foundations}}<!-- {{sfn|Schechter|1996|p=}} -->
* {{Schubert Topology}}<!-- {{sfn|Schubert|1968|p=}} -->
==अग्रिम पठन==
* {{cite journal|last1=सुविधा|first1=W. W.|title=अल्ट्राफिल्टर: कुछ पुराने और कुछ नए परिणाम|doi=10.1090/S0002-9904-1977-14316-4|mr=0454893|year=1977|journal=[[अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी का बुलेटिन]]|issn=0002-9904|volume=83|issue=4|pages=417–455|doi-access=free }}
* {{Citation|last1=सुविधा|first1=W. W.|last2=नेग्रेपोंटिस|first2=S.|title=अल्ट्राफिल्टर का सिद्धांत|publisher=[[स्प्रिंगर-वेरलाग]]|location=बर्लिन, न्यूयॉर्क|mr=0396267|year=1974}}
* {{nlab|title=Ultrafilter|id=ultrafilter}}

{{Set theory}}
{{Mathematical logic}}
[[Category: सेट के परिवार]] 
[[Category: अमानक विश्लेषण]] 
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[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 25/05/2023]]