View source for फलनिक समीकरण

{{Short description|Equation whose unknown is a function}}
{{distinguish|फलनात्मक मॉडल}}

गणित में, '''फलनिक समीकरण''' <ref name="rassias">{{cite book | title=कार्यात्मक समीकरण और असमानताएँ| last=Rassias | first=Themistocles M. | year=2000 | publisher=[[Kluwer Academic Publishers]] | location=3300 AA Dordrecht, The Netherlands | isbn=0-7923-6484-8 | page= 335 | url=https://books.google.com/books?id=tFTFBAAAQBAJ&q=%22Introduction+to+the+Theory+of+Functional+Equations+and+Inequalities%22 }}</ref><ref name="rassias4"> {{cite book |title=Functional Equations and Inequalities in Several Variables |last=Czerwik |first=Stephan |year=2002 |publisher=[[World Scientific Publishing Co.]] |location=P O Box 128, Farrer Road, Singapore 912805 |isbn=981-02-4837-7 |page= [https://archive.org/details/functionalequati00czer_083/page/n419 410] |url=https://archive.org/details/functionalequati00czer_083 |url-access=limited }}</ref>{{irrelevant citation|reason=What fact or sentence is being cited here? These citations don't make any sense.|date=March 2022}} व्यापक अर्थ में, एक [[समीकरण]] है जिसमें एक या अनेक फलन [[अज्ञात (गणित)]] के रूप में होते हैं। इसलिए, अवकल समीकरण और समाकल समीकरण फलनिक समीकरण हैं। यद्यपि अधिक प्रतिबंधित अर्थ का उपयोग प्रायः किया जाता है, जहाँ फलनिक समीकरण एक समीकरण होता है जो एक ही फलन के कई मानों से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए, लघुगणक फलन अनिवार्य रूप से लघुगणक फलनिक समीकरण <math>\log(xy)=\log(x) + \log(y).</math> द्वारा चित्रित किया जाता है।

यदि अज्ञात फलन का डोमेन [[प्राकृतिक संख्या]] माना जाता है, तो फलन को सामान्यतः [[अनुक्रम (गणित)]] के रूप में देखा जाता है तथा इस स्थिति में, फलनिक समीकरण (संकीर्ण अर्थ में) को [[पुनरावृत्ति संबंध]] कहा जाता है। इस प्रकार फलनिक समीकरण पद का प्रयोग मुख्य रूप से वास्तविक फलन और सम्मिश्र फलन के लिए किया जाता है । इसके अलावा समाधानों के लिए प्रायः सहजता की स्थिति स्वीकृत की जाती है, क्योंकि ऐसी स्थिति के बिना अधिकांश फलनिक समीकरणों में अधिक अनियमित समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, गामा फलन एक फलन है जो फलनिक समीकरण <math>f (x + 1) = x f (x)</math> और प्रारंभिक मान <math>f (1) = 1.</math> को संतुष्ट करता है। ऐसे कई फलन हैं जो इन स्थितियों को संतुष्ट करते हैं, लेकिन गामा फलन अद्वितीय है जो संपूर्ण सम्मिश्र समतल में [[मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन]] है, और {{mvar|x}} वास्तविक और धनात्मक (बोहर-मोलरुप प्रमेय) के लिए [[लघुगणकीय रूप से उत्तल कार्य|लघुगणकीय रूप से उत्तल]] है।

== उदाहरण ==
*पुनरावृत्ति संबंधों को पूर्णांकों या प्राकृतिक संख्याओं के फलनों में फलनिक समीकरण समीकरणों के रूप में देखा जा सकता है जिसमें पदों के सूचकांकों के मध्य अंतर को [[शिफ्ट ऑपरेटर]] के अनुप्रयोग के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, [[फाइबोनैचि संख्या]] <math>F_{n} = F_{n-1}+F_{n-2}</math> को परिभाषित करने वाला पुनरावृत्ति संबंध जहाँ <math>F_0=0</math> तथा <math>F_1=1</math> है।
*<math>f(x+P) = f(x)</math>, जो आवधिक कार्यों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

*<math>f(x) = f(-x)</math>, जो सम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है और इसी प्रकार से <math>f(x) = -f(-x)</math> जो विषम फलनों की विशेषता प्रदर्शित करता है।

*<math>f(f(x)) = g(x)</math>, जो फलन g के [[कार्यात्मक वर्गमूल|फलनात्मक वर्गमूल]] की विशेषता प्रदर्शित करता है।

*<math>f(x + y) = f(x) + f(y)\,\!</math> (कॉची का फलनात्मक समीकरण) रेखीय मानचित्रों से संतुष्ट होता है। चयन सिद्धांत के आधार पर समीकरण में अन्य तर्कहीन अरैखिक हल भी हो सकते हैं, जिनका अस्तित्व वास्तविक संख्याओं के लिए [[हेमल आधार]] से सिद्ध किया जा सकता है।
*<math>f(x + y) = f(x)f(y), \,\!</math> सभी घातांकीय फलनों से संतुष्ट है। कॉची के योज्य फलनात्मक समीकरण के समान इसमें भी तर्कहीन असंतत हल हो सकते हैं।
*<math>f(xy) = f(x) + f(y)\,\!</math>, सभी लघुगणक फलन और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, योगात्मक फलनों से संतुष्ट है।
*<math>f(xy) = f(x) f(y)\,\!</math>, सभी घातीय फलनों और सहअभाज्य पूर्णांक तर्कों, गुणात्मक फलनों से संतुष्ट है।
*<math>f(x + y) + f(x - y) = 2[f(x) + f(y)]\,\!</math> (द्विघात समीकरण या समांतर चतुर्भुज नियम)।
*<math>f((x + y)/2) = (f(x) + f(y))/2\,\!</math> (जेन्सेन का फलनिक समीकरण)।
*<math>g(x + y) + g(x - y) = 2[g(x) g(y)]\,\!</math> (डी'अलेम्बर्ट का फलनिक समीकरण)।
*<math>f(h(x)) = h(x + 1)\,\!</math> ([[हाबिल समीकरण]])
*<math>f(h(x)) = cf(x)\,\!</math> (श्रोडर का समीकरण)।
*<math>f(h(x)) = (f(x))^c\,\!</math> (बॉटर का समीकरण)।
*<math>f(h(x)) = h'(x)f(x)\,\!</math> (जूलिया का समीकरण)।
*<math>f(xy) = \sum g_l(x) h_l(y)\,\!</math> (लेवी-सिविटा),
*<math>f(x+y) = f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!</math> (साइन योगात्मक सूत्र और [[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|अतिपरवलीय]] साइन योगात्मक सूत्र)।
*<math>g(x+y) = g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!</math> (कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
*<math>g(x+y) = g(x)g(y)+f(y)f(x)\,\!</math> ([[अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य|अतिपरवलीय]] कोसाइन योगात्मक सूत्र)।
*[[विनिमेय कानून|क्रमविनिमेय]] और साहचर्य नियम फलनिक समीकरण हैं। अपने परिचित रूप में साहचर्य नियम को [[इंफिक्स नोटेशन|मध्यप्रत्यय संकेतन]] में [[बाइनरी ऑपरेशन|द्विचर प्रचालन]] लिखकर व्यक्त किया जाता है, <math display="block">(a \circ b) \circ c = a \circ (b \circ c)~,</math>किन्तु यदि हम {{math|''a'' ○ ''b''}} के स्थान पर f(a,-b) लिखते हैं, तो साहचर्य नियम एक पारंपरिक फलनिक समीकरण के समान दिखता है,<math display="block">f(f(a, b),c) = f(a, f(b, c)).\,\!</math>
* फलनिक समीकरण <math display="block">
f(s) = 2^s\pi^{s-1}\sin\left(\frac{\pi s}{2}\right)\Gamma(1-s)f(1-s)
</math> [[रीमैन जीटा फ़ंक्शन]] से संतुष्ट है।{{cn|date=March 2022}} कैपिटल {{math|Γ}} गामा फलन को दर्शाता है।

* गामा फलन तीन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का अद्वितीय हल है:{{cn|date=March 2022}}
**<math>f(x)={f(x+1) \over x}</math>
**<math>f(y)f\left(y+\frac{1}{2}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{2^{2y-1}}f(2y)</math>
**<math>f(z)f(1-z)={\pi \over \sin(\pi z)}</math>{{spaces|10}}(यूलर का प्रतिबिंब सूत्र)
* फलनिक समीकरण <math display="block">f\left({az+b\over cz+d}\right) = (cz+d)^k f(z)</math>जहाँ {{math|''a'', ''b'', ''c'', ''d''}} [[पूर्णांक]] हैं जो <math>ad - bc = 1</math>,को संतुष्ट करते हैं, अर्थात <math>
\begin{vmatrix} a & b\\ c & d \end{vmatrix}</math> = 1, {{mvar|f}}  को क्रम {{mvar|k}} का एक [[मॉड्यूलर रूप]] परिभाषित करता है।

एक विशेषता जो ऊपर सूचीबद्ध सभी उदाहरणों{{clarify|reason=Which examples does this refer to?|date=March 2022}} में समान रूप से साझा की गई है, वह यह है कि, प्रत्येक स्थिति में, दो या दो से अधिक ज्ञात फलन (कभी-कभी एक स्थिरांक से गुणा, कभी-कभी दो चरों का योग, कभी-कभी तत्समक फलन) अज्ञात फलनों के तर्क के आंतरिक भाग में होते हैं जिन्हें हल किया जाना है।{{citation needed|date=March 2022}}

जब सभी समाधान पूछने की बात आती है, तो हो सकता है कि [[गणितीय विश्लेषण]] की शर्तों को लागू किया जाए; उदाहरण के लिए, ऊपर वर्णित कॉची समीकरण के मामले में, जो समाधान [[निरंतर कार्य]] हैं वे 'उचित' हैं, जबकि अन्य समाधान जिनके व्यावहारिक अनुप्रयोग होने की संभावना नहीं है, का निर्माण किया जा सकता है ([[वास्तविक संख्या]]ओं के लिए हैमल आधार का उपयोग करके) [[परिमेय संख्या]]ओं पर सदिश स्थान के रूप में)। बोह्र-मोलेरुप प्रमेय एक और प्रसिद्ध उदाहरण है।

=== अंतर्वलन ===

[[इनवोल्यूशन (गणित)|अंतर्वलन (गणित)]] को फलनिक समीकरण<math>f(f(x)) = x</math> द्वारा दर्शाया गया है। ये बैबेज के फलनिक समीकरण (वर्ष 1820) में दिखाई देते हैं,<ref>{{Cite journal | doi = 10.2307/2007270| jstor = 2007270| title = बैबेज के कार्यात्मक समीकरण के कुछ वास्तविक समाधानों पर| journal = The Annals of Mathematics| volume = 17| issue = 3| pages = 113–122| year = 1916| last1 = Ritt | first1 = J. F.}}</ref>
: <math>f(f(x)) = 1-(1-x) = x \, .</math>
समीकरण के अन्य अंतर्वलन और समाधान सम्मिलित हैं

*<math> f(x) = a-x\, ,</math>
*<math> f(x) = \frac{a}{x}\, ,</math> तथा
*<math> f(x) = \frac{b-x}{1+cx} ~ ,</math>
जिसमें पूर्ववर्ती तीन को विशेष स्थितियों या सीमाओं के रूप में सम्मिलित किया गया है।

== समाधान ==
प्रारंभिक फलनिक समीकरणों को हल करने की एक विधि प्रतिस्थापन है।{{citation needed|date=March 2022}}

फलनिक समीकरणों के कुछ समाधानों ने '''प्रक्षेप्यता, अंतःक्षेपण,''' विचित्रता और समता का उपयोग किया है।{{citation needed|date=March 2022}}

कुछ फलनिक समीकरणों को गणितीय प्रेरण तथा [[ansatz|एन्सैटेज़]] के प्रयोग से हल किया गया है।{{citation needed|date=March 2022}}

फलनिक समीकरणों के कुछ वर्गों को कंप्यूटर-सहायता प्राप्त तकनीकों द्वारा हल किया जा सकता है।{{vague|reason="Computer assisted" is far too vague. What kinds of techniques were these?|date=March 2022}}<ref>{{Cite journal|last=Házy|first=Attila| date=2004-03-01| title=कंप्यूटर के साथ रैखिक दो चर कार्यात्मक समीकरणों को हल करना|journal=Aequationes Mathematicae| language=en| volume=67|issue=1|pages=47–62|doi=10.1007/s00010-003-2703-9|s2cid=118563768|issn=1420-8903}}</ref>

[[गतिशील प्रोग्रामिंग|गतिक क्रमादेशन]] में बेलमैन के फलनिक समीकरण को हल करने के लिए विभिन्न प्रकार की क्रमिक सन्निकटन विधियों<ref>Bellman, R. (1957). Dynamic Programming, [[Princeton University Press]].</ref><ref>Sniedovich, M. (2010). Dynamic Programming: Foundations and Principles, [[Taylor & Francis]].</ref> का उपयोग किया जाता है, जिसमें [[निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति]]यों पर आधारित विधियाँ भी सम्मिलित हैं।

== यह भी देखें ==
* [[कार्यात्मक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)|फलनिक समीकरण (एल-फ़ंक्शन)]]
* [[बेलमैन समीकरण]]
*[[गतिशील प्रोग्रामिंग|गतिक क्रमादेशन]]
* [[निहित कार्य|अंतर्निहित फलन]]
* [[कार्यात्मक अंतर समीकरण|फलनिक अवकल समीकरण]]

==टिप्पणियाँ==
<references/>


==संदर्भ==
*[[János Aczél (mathematician)|János Aczél]], ''[https://books.google.com/books?id=JEB0BFvRwrcC&printsec=frontcover&dq=isbn:0792364848&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjygO290cHjAhXBLc0KHYWPC0oQ6AEIKjAA#v=onepage&q&f=false Lectures on Functional Equations and Their Applications]'', [[Academic Press]], 1966, reprinted by Dover Publications, {{ISBN|0486445232}}.
*János Aczél & J. Dhombres, ''[https://books.google.com/books?id=8EWnEh18rVgC&printsec=frontcover&dq=%22Functional+Equations+in+Several+Variables%22&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwi6orf1q-riAhUMbq0KHUrvD_gQ6AEIKjAA#v=onepage&q=%22Functional%20Equations%20in%20Several%20Variables%22&f=false Functional Equations in Several Variables]'', [[Cambridge University Press]], 1989.
*C. Efthimiou, ''Introduction to Functional Equations'', AMS, 2011, {{isbn|978-0-8218-5314-6}} ; [http://www.msri.org/people/staff/levy/files/MCL/Efthimiou/100914book.pdf online].
*Pl. Kannappan, ''[https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=SdZoCM2OeuIC&oi=fnd&pg=PA1&dq=%22Functional+Equations+and+Inequalities+with+Applications%22&ots=GMxSJ7mUw4&sig=Rzz_1Rdt3VOwx_FawgihJYdcag4#v=onepage&q=%22Functional%20Equations%20and%20Inequalities%20with%20Applications%22&f=false Functional Equations and Inequalities with Applications]'', Springer, 2009.
*[[Marek Kuczma]], ''[https://books.google.com/books?id=tFTFBAAAQBAJ&printsec=frontcover&dq=%22Introduction+to+the+Theory+of+Functional+Equations+and+Inequalities%22&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwjt3Yrd0cHjAhWIXM0KHTnjDaUQ6AEIKjAA#v=onepage&q=%22Introduction%20to%20the%20Theory%20of%20Functional%20Equations%20and%20Inequalities%22&f=false Introduction to the Theory of Functional Equations and Inequalities]'', second edition, Birkhäuser, 2009.
*Henrik Stetkær, ''[https://books.google.com/books?hl=en&lr=&id=JzS7CgAAQBAJ&oi=fnd&pg=PR5&dq=%22Functional+Equations+on+Groups%22&ots=gR70hWPPVB&sig=xLsnUUDLjI94MJ9HaNOBFSzhP9o#v=onepage&q=%22Functional%20Equations%20on%20Groups%22&f=false Functional Equations on Groups]'', first edition, World Scientific Publishing, 2013.
*{{cite book|author=Christopher G. Small|title=Functional Equations and How to Solve Them|url=https://books.google.com/books?id=2D2RYbb22nMC|date=3 April 2007|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-0-387-48901-8}}


== बाहरी संबंध ==
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/fe.htm Functional Equations: Exact Solutions] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/eqindex/eqindex-fe.htm Functional Equations: Index] at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* [https://web.archive.org/web/20120227145129/http://www.imomath.com/tekstkut/funeqn_mr.pdf IMO Compendium text (archived)] on functional equations in problem solving.

{{Authority control}}
{{DEFAULTSORT:Functional Equation}}[[Category:कार्यात्मक समीकरण| ]]


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 24/11/2022]]