View source for नेटवर्क विज्ञान

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नेटवर्क विज्ञान एक शैक्षणिक क्षेत्र है जो 'नोड्स' (या 'कोने') द्वारा दर्शाए गए विशिष्ट तत्वों या अभिनेताओं पर विचार करते हुए [[दूरसंचार नेटवर्क]], [[ संगणक संजाल ]], [[जैविक नेटवर्क]], [[संज्ञानात्मक नेटवर्क]] और [[सिमेंटिक नेटवर्क]] और [[सामाजिक नेटवर्क]] जैसे [[जटिल नेटवर्क]] का अध्ययन करता है। ) और ''कड़ी'' (या ''किनारे'') के रूप में तत्वों या अभिनेताओं के बीच संबंध। यह क्षेत्र गणित से [[ग्राफ सिद्धांत]], भौतिकी से [[सांख्यिकीय यांत्रिकी]], कंप्यूटर विज्ञान से [[डेटा खनन]] और [[सूचना दृश्य]], सांख्यिकी से आकलित सांख्यिकी और समाजशास्त्र से [[सामाजिक संरचना]] सहित सिद्धांतों और विधियों पर आधारित है। [[यूनाइटेड स्टेट्स नेशनल रिसर्च काउंसिल]] ने नेटवर्क विज्ञान को भौतिक, जैविक और सामाजिक घटनाओं के नेटवर्क प्रतिनिधित्व के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया है, जो इन घटनाओं के भविष्य कहनेवाला मॉडल की ओर ले जाता है।<ref name="NRC">{{cite book|title=नेटवर्क विज्ञान|author=Committee on नेटवर्क विज्ञानfor Future Army Applications |publisher=National Research Council |isbn=978-0309653886 |year=2006 |url=http://www.nap.edu/catalog/11516.html|doi=10.17226/11516 |s2cid=196021177 }}</ref>


== पृष्ठभूमि और इतिहास ==

जटिल संबंधपरक डेटा के विश्लेषण के साधन के रूप में विविध विषयों में नेटवर्क का अध्ययन उभरा है। इस क्षेत्र में सबसे पहला ज्ञात पेपर 1736 में [[लियोनहार्ड यूलर]] द्वारा लिखित कोनिग्सबर्ग का प्रसिद्ध सेवन ब्रिज है। यूलर का कोने और किनारों का गणितीय विवरण ग्राफ सिद्धांत का आधार था, गणित की एक शाखा जो नेटवर्क संरचना में जोड़ीदार संबंधों के गुणों का अध्ययन करती है। . ग्राफ सिद्धांत के क्षेत्र का विकास जारी रहा और रसायन विज्ञान में इसके अनुप्रयोग पाए गए (सिल्वेस्टर, 1878)।

हंगरी के गणितज्ञ और प्रोफेसर डेनेस कोनिग ने 1936 में ग्राफ थ्योरी में पहली किताब लिखी थी, जिसका शीर्षक थ्योरी ऑफ फाइनाइट एंड इनफिनिट ग्राफ था।<ref>{{cite book|title=परिमित और अनंत रेखांकन का सिद्धांत|author=Dénes Kőnig|publisher=Birkhäuser Boston |isbn=978-1-4684-8971-2 |year=1990 |pages=45–421|url=https://link.springer.com/content/pdf/10.1007/978-1-4684-8971-2_2.pdf|type=PDF |doi=10.1007/978-1-4684-8971-2 }}</ref>

[[File:Moreno Sociogram 1st Grade.png|thumb|प्रथम श्रेणी वर्ग का मोरेनो का समाजशास्त्र।]]1930 के दशक में गेस्टाल्ट मनोविज्ञान परंपरा के एक मनोवैज्ञानिक [[ याकूब मोरेनो ]] संयुक्त राज्य अमेरिका पहुंचे। उन्होंने [[ sociogram ]] विकसित किया और अप्रैल 1933 में चिकित्सा विद्वानों के एक सम्मेलन में इसे जनता के सामने प्रस्तुत किया। मोरेनो ने दावा किया कि समाजमिति के आगमन से पहले कोई नहीं जानता था कि एक समूह की पारस्परिक संरचना 'बिल्कुल' कैसी दिखती है (मोरेनो, 1953)। सोशियोग्राम प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के एक समूह की सामाजिक संरचना का प्रतिनिधित्व था। लड़के लड़कों के दोस्त थे और लड़कियां लड़कियों की दोस्त थीं, सिवाय एक लड़के के जिसने कहा कि वह एक ही लड़की को पसंद करता है। भावना पारस्परिक नहीं थी। सामाजिक संरचना का यह नेटवर्क प्रतिनिधित्व इतना पेचीदा पाया गया कि [[दी न्यू यौर्क टाइम्स]] (3 अप्रैल, 1933, पृष्ठ 17) में छापा गया। सोशियोग्राम को कई अनुप्रयोग मिले हैं और यह [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण]] के क्षेत्र में विकसित हुआ है।

संभाव्य सिद्धांत नेटवर्क विज्ञान में पॉल एर्डोस और अल्फ्रेड रेनी के आठ प्रसिद्ध पत्रों के [[यादृच्छिक रेखांकन]] पर ग्राफ सिद्धांत की एक शाखा के रूप में विकसित हुआ। सामाजिक नेटवर्क के लिए [[ घातीय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल ]] या p* एक सांकेतिक ढांचा है जिसका उपयोग सामाजिक नेटवर्क में होने वाली टाई की संभावना स्थान का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। नेटवर्क संभाव्यता संरचनाओं के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण [[नेटवर्क संभाव्यता मैट्रिक्स]] है, [[सोशल नेटवर्क]] के नमूने में किनारे की ऐतिहासिक उपस्थिति या अनुपस्थिति के आधार पर नेटवर्क में होने वाली किनारों की संभावना को मॉडल करता है।

1998 में, [[डेविड क्रैकहार्ट]] और [[ कैथलीन कार्ली ]] ने पीसीएएनएस मॉडल के साथ मेटा-नेटवर्क का विचार पेश किया। उनका सुझाव है कि सभी संगठन इन तीन डोमेन, व्यक्तियों, कार्यों और संसाधनों के साथ संरचित हैं। उनके पेपर ने इस अवधारणा को पेश किया कि नेटवर्क कई डोमेन में होते हैं और वे एक दूसरे से जुड़े हुए हैं। यह क्षेत्र नेटवर्क विज्ञान के एक अन्य उप-अनुशासन में विकसित हो गया है जिसे [[गतिशील नेटवर्क विश्लेषण]] कहा जाता है।

हाल ही में अन्य नेटवर्क विज्ञान प्रयासों ने गणितीय रूप से विभिन्न नेटवर्क टोपोलॉजी का वर्णन करने पर ध्यान केंद्रित किया है। डंकन जे. वाट्स और [[स्टीवन स्ट्रोगेट्ज़]] ने छोटे-विश्व नेटवर्क का वर्णन करते हुए गणितीय प्रतिनिधित्व के साथ नेटवर्क पर अनुभवजन्य डेटा का मिलान किया। अल्बर्ट-लेस्लो बाराबासी और [[ अल्बर्ट का खाता ]] ने [[स्केल-फ्री नेटवर्क]] की खोज की, एक संपत्ति जो इस तथ्य को पकड़ती है कि वास्तविक नेटवर्क हब में कई छोटे डिग्री वर्टिकल के साथ सह-अस्तित्व होता है, और इस स्केल-फ्री राज्य की उत्पत्ति की व्याख्या करने के लिए एक गतिशील मॉडल की पेशकश की।

=== रक्षा पहल विभाग ===

अमेरिकी सेना पहली बार 1996 में नेटवर्क विज्ञान पर आधारित एक संचालनात्मक अवधारणा के रूप में [[नेटवर्क-केंद्रित युद्ध]] में दिलचस्पी लेने लगी। जॉन ए. परमेंटोला, अमेरिकी सेना के अनुसंधान और प्रयोगशाला प्रबंधन के निदेशक, ने सेना के बोर्ड ऑन साइंस एंड टेक्नोलॉजी (BAST) को प्रस्तावित किया। 1 दिसंबर, 2003 कि नेटवर्क साइंस एक नया सेना अनुसंधान क्षेत्र बन गया। BAST, राष्ट्रीय अकादमियों के राष्ट्रीय अनुसंधान परिषद (NRC) के लिए इंजीनियरिंग और भौतिक विज्ञान पर प्रभाग, सेना के महत्व के विज्ञान और प्रौद्योगिकी के मुद्दों पर चर्चा के लिए एक संयोजक प्राधिकरण के रूप में कार्य करता है और स्वतंत्र सेना से संबंधित अध्ययनों की देखरेख करता है। राष्ट्रीय अकादमियों। BAST ने यह पता लगाने के लिए एक अध्ययन किया कि क्या बुनियादी अनुसंधान, नेटवर्क साइंस में जांच के एक नए क्षेत्र की पहचान और वित्तपोषण, नेटवर्क-केंद्रित संचालन और नेटवर्क के मौलिक ज्ञान की वर्तमान आदिम स्थिति को समझने के लिए आवश्यक अंतर को कम करने में मदद कर सकता है।

नतीजतन, BAST ने 2005 में नेटवर्क साइंस (ऊपर संदर्भित) शीर्षक से एनआरसी अध्ययन जारी किया जिसने सेना के लिए नेटवर्क साइंस में बुनियादी अनुसंधान के एक नए क्षेत्र को परिभाषित किया। उस अध्ययन के निष्कर्षों और सिफारिशों के आधार पर और बाद की 2007 की एनआरसी रिपोर्ट जिसका नाम नेटवर्क विज्ञान, प्रौद्योगिकी और प्रयोग के लिए एक सेना केंद्र के लिए रणनीति है, सेना के बुनियादी अनुसंधान संसाधनों को नेटवर्क विज्ञान में एक नया बुनियादी अनुसंधान कार्यक्रम शुरू करने के लिए पुनर्निर्देशित किया गया था। जटिल नेटवर्क के लिए एक नई सैद्धांतिक नींव बनाने के लिए, सेना की प्रयोगशालाओं में चल रहे कुछ प्रमुख नेटवर्क विज्ञान अनुसंधान प्रयासों को संबोधित करते हैं:

* नेटवर्क आकार, जटिलता और पर्यावरण के साथ प्रदर्शन की भविष्यवाणी करने के लिए नेटवर्क व्यवहार के गणितीय मॉडल
* नेटवर्क-सक्षम युद्ध के लिए आवश्यक अनुकूलित मानव प्रदर्शन
* पारिस्थितिक तंत्र के भीतर और कोशिकाओं में आणविक स्तर पर नेटवर्किंग।


जैसा कि 2004 में फ्रेडरिक आई. मोक्सले ने डेविड एस. अल्बर्ट्स के समर्थन से शुरू किया था, रक्षा विभाग ने संयुक्त राज्य सैन्य अकादमी (यूएसएमए) में अमेरिकी सेना के साथ मिलकर पहला नेटवर्क साइंस सेंटर स्थापित करने में मदद की। डॉ. मोक्सली और यूएसएमए के संकाय के संरक्षण के तहत, नेटवर्क साइंस में पहले अंतःविषय स्नातक पाठ्यक्रम वेस्ट प्वाइंट पर कैडेटों को पढ़ाए गए थे।<ref>{{cite web | url=https://www.imdb.com/title/tt1310375/fullcredits?ref_=tt_ov_st_sm#cast | title=Connected: The Power of Six Degrees (TV Movie 2008) - IMDb | website=[[IMDb]] }}</ref><ref> http://citeseerx.ist.psu.edu/viewdoc/summary?doi=10.1.1.301.5111 </ref><ref>{{cite web | url=https://www.youtube.com/watch?v=zfNpKMab5eU&ab_channel=nunyourbusiness | title=Network Science at West Point: The early years | website=[[YouTube]] }}</ref> भविष्य के नेताओं के अपने कैडर के बीच नेटवर्क साइंस के सिद्धांतों को बेहतर ढंग से स्थापित करने के लिए, यूएसएमए ने नेटवर्क साइंस में पांच कोर्स अंडरग्रेजुएट माइनर भी स्थापित किया है। <ref> https://www.westpoint.edu/academics/academic-departments/mathematical-sciences/network-science </ref>
2006 में, अमेरिकी सेना और यूनाइटेड किंगडम (यूके) ने नेटवर्क एंड इंफॉर्मेशन साइंस [[ अंतर्राष्ट्रीय प्रौद्योगिकी गठबंधन ]] का गठन किया, जो [[सेना अनुसंधान प्रयोगशाला]], ब्रिटेन के रक्षा मंत्रालय और अमेरिका और ब्रिटेन में उद्योगों और विश्वविद्यालयों के एक संघ के बीच एक सहयोगी साझेदारी है। गठबंधन का लक्ष्य दोनों देशों की जरूरतों के लिए नेटवर्क-सेंट्रिक ऑपरेशंस के समर्थन में बुनियादी शोध करना है।

2009 में, अमेरिकी सेना ने [[नेटवर्क साइंस सीटीए]] का गठन किया, जो आर्मी रिसर्च लेबोरेटरी, [[CERDEC]] के बीच एक सहयोगी अनुसंधान गठबंधन और अमेरिका में लगभग 30 औद्योगिक R&D प्रयोगशालाओं और विश्वविद्यालयों का एक संघ है। गठबंधन का लक्ष्य एक गहरी समझ विकसित करना है। आपस में गुंथे हुए सामाजिक/संज्ञानात्मक, सूचना और संचार नेटवर्कों के बीच अंतर्निहित समानताएं, और इसके परिणामस्वरूप कई प्रकार के नेटवर्कों को आपस में गुंथने वाली जटिल प्रणालियों का विश्लेषण, भविष्यवाणी, डिजाइन और प्रभावित करने की हमारी क्षमता में सुधार होता है।

इसके बाद, इन प्रयासों के परिणामस्वरूप, अमेरिकी रक्षा विभाग ने नेटवर्क विज्ञान का समर्थन करने वाली कई शोध परियोजनाओं को प्रायोजित किया है।

== नेटवर्क गुण ==
अक्सर, नेटवर्क में कुछ विशेषताएँ होती हैं जिनकी गणना नेटवर्क के गुणों और विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए की जा सकती है। इन नेटवर्क गुणों का व्यवहार अक्सर [[नेटवर्क मॉडल]] को परिभाषित करता है और इसका उपयोग यह विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है कि कुछ मॉडल एक दूसरे के विपरीत कैसे हैं। नेटवर्क विज्ञान में प्रयुक्त अन्य शब्दों की कई परिभाषाएँ ग्राफ़ सिद्धांत की शब्दावली में पाई जा सकती हैं।

=== आकार ===
नेटवर्क का आकार नोड्स की संख्या को संदर्भित कर सकता है <math>N</math> या, आमतौर पर, किनारों की संख्या <math>E</math> जो (बिना बहु-किनारों वाले जुड़े हुए ग्राफ़ के लिए) से लेकर हो सकता है <math>N-1</math> (एक पेड़) को <math>E_{\max}</math> (एक पूरा ग्राफ)। एक साधारण ग्राफ के मामले में (एक नेटवर्क जिसमें अधिकतम एक (अप्रत्यक्ष) किनारा प्रत्येक जोड़ी के बीच मौजूद होता है, और जिसमें कोई कोने खुद से जुड़ते नहीं हैं), हमारे पास है <math>E_{\max}=\tbinom N2=N(N-1)/2</math>; निर्देशित रेखांकन के लिए (कोई स्व-कनेक्टेड नोड्स के साथ), <math>E_{\max}=N(N-1)</math>; अनुमत स्व-कनेक्शन वाले निर्देशित ग्राफ़ के लिए, <math>E_{\max}=N^2</math>. एक ग्राफ़ की परिस्थिति में जिसमें एक जोड़ी वर्टिकल के बीच कई किनारे मौजूद हो सकते हैं, <math>E_{\max}=\infty</math>.

=== घनत्व ===
घनत्व <math>D</math> एक नेटवर्क के किनारों की संख्या के 0 और 1 के बीच सामान्यीकृत अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है <math>E</math> के साथ एक नेटवर्क में संभावित किनारों की संख्या के लिए <math>N</math> नोड्स। नेटवर्क घनत्व वैकल्पिक किनारों के प्रतिशत का एक उपाय है जो नेटवर्क में मौजूद है और इसकी गणना की जा सकती है
<math>D =\frac{E-E_{\mathrm{min}}}{E_{\mathrm{max}}-E_{\mathrm{min}}}</math>
कहाँ <math>E_{\mathrm{min}}</math> और <math>E_{\mathrm{max}}</math> एक जुड़े हुए नेटवर्क में किनारों की न्यूनतम और अधिकतम संख्या है <math>N</math> नोड्स, क्रमशः। सरल रेखांकन के मामले में, <math>E_{\mathrm{max}}</math> [[द्विपद गुणांक]] द्वारा दिया जाता है <math>\tbinom N2</math> और <math>E_{\mathrm{min}} = N-1</math>, घनत्व दे रहा है
<math>D =\frac{E-(N-1)}{E_{\mathrm{max}} - (N-1)} = \frac{2(E-N+1)}{N(N-3)+2}</math>.
एक अन्य संभावित समीकरण है <math>D = \frac{T-2N+2}{N(N-3)+2},</math> जबकि संबंध <math>T</math> यूनिडायरेक्शनल हैं (वासरमैन एंड फॉस्ट 1994)।<ref>{{Cite web|url=http://psycnet.apa.org/journals/prs/9/4/172/|title = APA PsycNet}}</ref> यह नेटवर्क घनत्व पर बेहतर अवलोकन देता है, क्योंकि यूनिडायरेक्शनल रिश्तों को मापा जा सकता है।

=== प्लानर नेटवर्क घनत्व ===
घनत्व <math>D</math> एक नेटवर्क, जहां किनारों के बीच कोई प्रतिच्छेदन नहीं है, को किनारों की संख्या के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है <math>E</math> के साथ एक नेटवर्क में संभावित किनारों की संख्या के लिए <math>N</math> बिना प्रतिच्छेदी किनारों वाले ग्राफ द्वारा दिए गए नोड्स <math>(E_{\max}=3N-6)</math>, दे रहा है <math>D = \frac{E-N+1}{2N-5}.</math>


=== औसत डिग्री ===
[[डिग्री (ग्राफ सिद्धांत)]] <math>k</math> एक नोड का इससे जुड़े किनारों की संख्या है। नेटवर्क के घनत्व से निकटता से संबंधित औसत डिग्री है, <math>\langle k\rangle = \tfrac{2E}{N}</math> (या, निर्देशित रेखांकन के मामले में, <math>\langle k\rangle = \tfrac{E}{N}</math>, एक अप्रत्यक्ष ग्राफ में प्रत्येक किनारे से उत्पन्न होने वाला 2 का पूर्व कारक दो अलग-अलग कोने की डिग्री में योगदान देता है)। एर्डोस-रेनी मॉडल में (<math>G(N,p)</math>) के अपेक्षित मूल्य की गणना कर सकते हैं  <math>\langle k \rangle </math> (अनुमानित मूल्य के बराबर <math>k</math> मनमाना शीर्ष): एक यादृच्छिक शीर्ष है <math>N-1</math> उपलब्ध नेटवर्क में अन्य कोने, और संभाव्यता के साथ <math>p</math>, प्रत्येक से जुड़ता है। इस प्रकार, <math>\mathbb{E}[\langle k \rangle]=\mathbb{E}[k]= p(N-1)</math>.

=== औसत सबसे छोटी पथ लंबाई (या विशेषता पथ लंबाई) ===
औसत सबसे छोटी पथ लंबाई की गणना नोड्स के सभी जोड़े के बीच [[सबसे छोटा रास्ता]] खोजकर की जाती है, और उसकी लंबाई के सभी पथों पर औसत लेते हुए (लंबाई पथ में निहित मध्यवर्ती किनारों की संख्या होती है, अर्थात, दूरी <math>d_{u,v}</math> दो शीर्षों के बीच <math>u,v</math> ग्राफ के भीतर)। यह हमें दिखाता है, औसतन, नेटवर्क के एक सदस्य से दूसरे सदस्य तक जाने के लिए कितने कदम लगते हैं। वर्टिकल की संख्या के एक समारोह के रूप में अपेक्षित औसत सबसे छोटी पथ लंबाई का व्यवहार (यानी, औसत सबसे छोटी पथ लंबाई का पहनावा औसत) <math>N</math> एक यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल परिभाषित करता है कि क्या वह मॉडल छोटे-दुनिया के प्रभाव को प्रदर्शित करता है; अगर यह स्केल करता है <math>O(\ln N)</math>, मॉडल छोटे-दुनिया के जाल उत्पन्न करता है। लॉगरिदमिक से तेज वृद्धि के लिए, मॉडल छोटी दुनिया का उत्पादन नहीं करता है। का विशेष मामला <math>O(\ln\ln N)</math> अति लघु विश्व प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

=== नेटवर्क का व्यास ===
नेटवर्क ग्राफ़ को मापने के एक अन्य साधन के रूप में, हम एक नेटवर्क के व्यास को एक नेटवर्क में सभी परिकलित सबसे छोटे रास्तों में से सबसे लंबे समय तक परिभाषित कर सकते हैं। यह नेटवर्क में दो सबसे दूर के नोड्स के बीच की सबसे छोटी दूरी है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक नोड से अन्य सभी नोड्स के लिए सबसे छोटी पथ लंबाई की गणना करने के बाद, व्यास सभी गणना पथ लंबाई का सबसे लंबा होता है। व्यास एक नेटवर्क के रैखिक आकार का प्रतिनिधि है। यदि नोड ए-बी-सी-डी जुड़ा हुआ है, ए->डी से जा रहा है तो यह 3 (3-हॉप्स, 3-लिंक) का व्यास होगा।{{Citation needed|date=November 2019}}

=== क्लस्टरिंग गुणांक ===
क्लस्टरिंग गुणांक एक सभी-मेरे-मित्र-एक-दूसरे को जानें संपत्ति का एक उपाय है। इसे कभी-कभी मेरे दोस्तों के दोस्त मेरे दोस्त के रूप में वर्णित किया जाता है। अधिक सटीक रूप से, नोड का क्लस्टरिंग गुणांक मौजूदा लिंक का अनुपात है जो नोड के पड़ोसियों को एक दूसरे से ऐसे लिंक की अधिकतम संभव संख्या में जोड़ता है। संपूर्ण नेटवर्क के लिए क्लस्टरिंग गुणांक सभी नोड्स के क्लस्टरिंग गुणांकों का औसत है। एक नेटवर्क के लिए एक उच्च क्लस्टरिंग गुणांक लघु-विश्व प्रयोग का एक और संकेत है।

का क्लस्टरिंग गुणांक <math>i</math>वें नोड है
:<math>C_i = {2e_i\over k_i{(k_i - 1)}}\,,</math>
कहाँ <math>k_i</math> के पड़ोसियों की संख्या है <math>i</math>वें नोड, और <math>e_i</math> इन पड़ोसियों के बीच कनेक्शन की संख्या है। पड़ोसियों के बीच कनेक्शन की अधिकतम संभव संख्या है, फिर,
:<math>{\binom {k}{2}} = {{k(k-1)}\over 2}\,.</math>
एक संभाव्य दृष्टिकोण से, अपेक्षित स्थानीय क्लस्टरिंग गुणांक एक ही नोड के दो मनमाने पड़ोसियों के बीच विद्यमान लिंक की संभावना है।

=== जुड़ाव ===
जिस तरह से एक नेटवर्क जुड़ा हुआ है, नेटवर्क का विश्लेषण और व्याख्या कैसे की जाती है, इसमें एक बड़ी भूमिका निभाता है। नेटवर्क को चार अलग-अलग श्रेणियों में वर्गीकृत किया गया है:
* क्लिक/पूर्ण ग्राफ़: पूरी तरह से जुड़ा हुआ नेटवर्क, जहां सभी नोड हर दूसरे नोड से जुड़े होते हैं। ये नेटवर्क इस मायने में सममित हैं कि सभी नोड्स में अन्य सभी से इन-लिंक और आउट-लिंक हैं।
* जायंट कंपोनेंट: एक अकेला कनेक्टेड कंपोनेंट जिसमें नेटवर्क के अधिकांश नोड होते हैं।
* कमजोर रूप से जुड़ा हुआ घटक: नोड्स का एक संग्रह जिसमें किनारों की दिशात्मकता को अनदेखा करते हुए किसी भी नोड से किसी अन्य तक पथ मौजूद होता है।
* मजबूत रूप से जुड़ा हुआ घटक: नोड्स का एक संग्रह जिसमें किसी भी नोड से किसी अन्य के लिए एक निर्देशित पथ मौजूद होता है।

=== नोड केंद्रीयता ===
{{Main|Centrality}}
सेंट्रलिटी इंडेक्स रैंकिंग उत्पन्न करते हैं जो नेटवर्क मॉडल में सबसे महत्वपूर्ण नोड्स की पहचान करना चाहते हैं। अलग-अलग केंद्रीयता सूचकांक शब्द महत्व के लिए अलग-अलग संदर्भों को कूटबद्ध करते हैं। [[बीच की केंद्रीयता]], उदाहरण के लिए, एक नोड को अत्यधिक महत्वपूर्ण मानती है यदि यह कई अन्य नोड्स के बीच सेतु बनाता है। केंद्रीयता # ईजेनवेक्टर केंद्रीयता, इसके विपरीत, एक नोड को अत्यधिक महत्वपूर्ण मानता है यदि कई अन्य अत्यधिक महत्वपूर्ण नोड्स इससे जुड़ते हैं। साहित्य में ऐसे सैकड़ों उपाय प्रस्तावित किए गए हैं।

केंद्रीय सूचकांक केवल सबसे महत्वपूर्ण नोड्स की पहचान करने के लिए सटीक होते हैं। शेष नेटवर्क नोड्स के लिए उपाय शायद ही कभी सार्थक होते हैं।<ref name="Lawyer2015">
{{cite journal |last1= Lawyer |first1= Glenn  |title= Understanding the spreading power of all nodes in a network| journal=Scientific Reports 
|volume= 5  |pages= 8665  |date=March 2015
|number=O8665 
| doi=10.1038/srep08665
|pmid= 25727453  |pmc= 4345333  |bibcode= 2015NatSR...5E8665L  |arxiv=1405.6707}}
</ref><ref name="Sikic2013">
{{cite journal 
|last1 = Sikic
|first1=Mile
|last2=Lancic
|first2=Alen
|last3= Antulov-Fantulin
|first3=Nino
|last4=Stefancic
|first4=Hrvoje
|  title = Epidemic centrality – is there an underestimated epidemic impact of network peripheral nodes?
|  journal = European Physical Journal B
|date=October 2013
|  volume = 86
|  pages = 440
|  number = 10
| doi=10.1140/epjb/e2013-31025-5
|arxiv=1110.2558
|bibcode=2013EPJB...86..440S
|s2cid=12052238
}}
</ref> साथ ही, उनके संकेत महत्व के लिए उनके अनुमानित संदर्भ में ही सटीक होते हैं, और अन्य संदर्भों के लिए गलत हो जाते हैं।<ref name="Borgatti2005">
{{cite journal |last1= Borgatti |first1= Stephen P.|year= 2005 |title= Centrality and Network Flow |journal=Social Networks |volume= 27|pages= 55–71|doi=10.1016/j.socnet.2004.11.008 |citeseerx= 10.1.1.387.419}}
</ref> उदाहरण के लिए, दो अलग-अलग समुदायों की कल्पना करें जिनकी एकमात्र कड़ी प्रत्येक समुदाय के सबसे कनिष्ठ सदस्य के बीच बढ़त है। चूंकि एक समुदाय से दूसरे समुदाय में किसी भी स्थानांतरण को इस लिंक पर जाना चाहिए, दो कनिष्ठ सदस्यों में उच्च समानता केंद्रीयता होगी। लेकिन, चूंकि वे कनिष्ठ हैं, (संभवतः) उनके समुदाय में महत्वपूर्ण नोड्स के लिए कुछ कनेक्शन हैं, जिसका अर्थ है कि उनकी आइगेनवैल्यू केंद्रीयता काफी कम होगी।

=== नोड प्रभाव ===
{{Main|Node influence metric}}
केंद्रीयता उपायों की सीमाओं ने अधिक सामान्य उपायों के विकास को प्रेरित किया है।
दो उदाहरण हैं
एक्सेसिबिलिटी, जो रैंडम वॉक की विविधता का उपयोग यह मापने के लिए करती है कि किसी दिए गए स्टार्ट नोड से बाकी नेटवर्क कितना एक्सेसिबल है,<ref name="Travencolo2008">{{ cite journal| last1=Travençolo |first1=B. A. N. |last2=da F. Costa| first2 =L.| title=जटिल नेटवर्क में अभिगम्यता| journal=Physics Letters A| year=2008|volume=373|issue=1|pages=89–95 |doi=10.1016/j.physleta.2008.10.069 |bibcode=2008PhLA..373...89T }}</ref>
और अपेक्षित बल, एक नोड द्वारा उत्पन्न संक्रमण के बल के अपेक्षित मूल्य से प्राप्त होता है।<ref name="Lawyer2015"/>इन दोनों उपायों की अर्थपूर्ण गणना अकेले नेटवर्क की संरचना से की जा सकती है।

=== सामुदायिक संरचना ===
{{Main|Community structure}}
[[Image:Network Community Structure.svg|right|thumb|चित्र 1: समूहों के बीच घने आंतरिक कनेक्शन और विरल कनेक्शन वाले नोड्स के तीन समूहों के साथ सामुदायिक संरचना प्रदर्शित करने वाले एक छोटे [[जटिल नेटवर्क]] का एक स्केच।]]नेटवर्क में नोड्स को समुदायों का प्रतिनिधित्व करने वाले समूहों में विभाजित किया जा सकता है। संदर्भ के आधार पर, समुदाय अलग या अतिव्यापी हो सकते हैं। आमतौर पर, ऐसे समुदायों में नोड्स उसी समुदाय में अन्य नोड्स से मजबूती से जुड़े होंगे, लेकिन समुदाय के बाहर नोड्स से कमजोर रूप से जुड़े होंगे। एक विशिष्ट नेटवर्क की [[सामुदायिक संरचना]] का वर्णन करने वाली जमीनी [[सच्चाई]] के अभाव में, कई एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं, जो कि असुरक्षित क्लस्टरिंग विधियों के पर्यवेक्षण का उपयोग करके संभावित सामुदायिक संरचनाओं का अनुमान लगा सकते हैं।

== नेटवर्क मॉडल ==
अनुभवजन्य जटिल नेटवर्क के भीतर बातचीत को समझने के लिए नेटवर्क मॉडल एक नींव के रूप में काम करते हैं। विभिन्न [[यादृच्छिक ग्राफ]] जनरेशन मॉडल नेटवर्क संरचनाओं का उत्पादन करते हैं जिनका उपयोग वास्तविक दुनिया के जटिल नेटवर्क की तुलना में किया जा सकता है।

=== Erdős-Rényi यादृच्छिक ग्राफ मॉडल ===
[[File:ER model.svg|thumb|यह एर्डोस-रेनी मॉडल के साथ उत्पन्न होता है {{math|<VAR>N</VAR> {{=}} 4}} नोड्स। सभी द्वारा गठित पूर्ण ग्राफ में प्रत्येक किनारे के लिए {{mvar|N}} नोड्स, एक यादृच्छिक संख्या उत्पन्न होती है और दी गई संभावना से तुलना की जाती है। यदि यादृच्छिक संख्या से कम है {{mvar|p}}, मॉडल पर एक किनारा बनता है।]]पॉल एर्डोस और अल्फ्रेड रेनी के नाम पर एर्डोस-रेनी मॉडल का उपयोग यादृच्छिक ग्राफ बनाने के लिए किया जाता है जिसमें किनारों को समान संभावनाओं वाले नोड्स के बीच सेट किया जाता है। विभिन्न गुणों को संतुष्ट करने वाले ग्राफ़ के अस्तित्व को साबित करने के लिए संभाव्य पद्धति में इसका उपयोग किया जा सकता है, या किसी संपत्ति के लगभग सभी ग्राफ़ के लिए इसका क्या अर्थ है, इसकी एक कठोर परिभाषा प्रदान करने के लिए।

एक एर्डोस-रेनी मॉडल उत्पन्न करने के लिए <math>G(n, p)

</math> दो पैरामीटर निर्दिष्ट किए जाने चाहिए: नोड्स की कुल संख्या {{mvar|n}} और संभावना {{mvar|p}} कि नोड्स की एक यादृच्छिक जोड़ी का किनारा है।

क्योंकि मॉडल बिना पूर्वाग्रह के विशेष नोड्स के लिए उत्पन्न होता है, डिग्री वितरण द्विपद है: एक यादृच्छिक रूप से चुने गए शीर्ष के लिए <math>v</math>, 
: <math>P(\deg(v) = k) = {n-1\choose k} p^k (1-p)^{n-1-k}.</math>
इस मॉडल में क्लस्टरिंग गुणांक है {{math|0}} लगभग निश्चित रूप से|ए.एस. का व्यवहार <math>G(n, p)

</math> तीन क्षेत्रों में तोड़ा जा सकता है।

सबक्रिटिकल <math>n p < 1

</math>: सभी घटक सरल और बहुत छोटे होते हैं, सबसे बड़े घटक का आकार होता है <math>|C_1| = O(\log n)

</math>;

गंभीर <math>n p = 1

</math>: <math>|C_1| = O(n^\frac{2}{3})

</math>;

अत्यंत सूक्ष्म <math>n p >1

</math>:<math>|C_1| \approx yn
</math> कहाँ <math>y = y(n p)

</math> समीकरण का सकारात्मक समाधान है <math>e^{-p n y }=1-y

</math>.

सबसे बड़े जुड़े घटक में उच्च जटिलता होती है। अन्य सभी घटक सरल और छोटे हैं <math>|C_2| = O(\log n)

</math>.

=== कॉन्फ़िगरेशन मॉडल ===
कॉन्फ़िगरेशन मॉडल एक डिग्री अनुक्रम लेता है<ref>{{Cite journal|last1=Bender|first1=Edward A|last2=Canfield|first2=E.Rodney|date=May 1978|title=दिए गए डिग्री अनुक्रमों के साथ लेबल किए गए ग्राफ़ की स्पर्शोन्मुख संख्या|journal=Journal of Combinatorial Theory, Series A|volume=24|issue=3|pages=296–307|doi=10.1016/0097-3165(78)90059-6|issn=0097-3165|doi-access=free}}</ref><ref name=":0">{{Cite journal|last1=Molloy|first1=Michael|last2=Reed|first2=Bruce|date=March 1995|title=दिए गए डिग्री अनुक्रम के साथ यादृच्छिक ग्राफ़ के लिए एक महत्वपूर्ण बिंदु|journal=Random Structures & Algorithms|language=en|volume=6|issue=2–3|pages=161–180|doi=10.1002/rsa.3240060204|issn=1042-9832|citeseerx=10.1.1.24.6195}}</ref> या डिग्री वितरण<ref name=":1">{{Cite journal|last1=Newman|first1=M. E. J.|last2=Strogatz|first2=S. H.|last3=Watts|first3=D. J.|date=2001-07-24|title=मनमाना डिग्री वितरण और उनके अनुप्रयोगों के साथ यादृच्छिक रेखांकन|journal=Physical Review E|volume=64|issue=2|pages=026118|doi=10.1103/PhysRevE.64.026118|pmid=11497662|arxiv=cond-mat/0007235|bibcode=2001PhRvE..64b6118N|s2cid=360112}}</ref> (जो बाद में एक डिग्री अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किया जाता है) इनपुट के रूप में, और डिग्री अनुक्रम के अलावा अन्य सभी मामलों में बेतरतीब ढंग से जुड़े ग्राफ का उत्पादन करता है। इसका मतलब यह है कि डिग्री अनुक्रम के दिए गए विकल्प के लिए, ग्राफ को इस डिग्री अनुक्रम का अनुपालन करने वाले सभी ग्राफों के सेट से समान रूप से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। श्रेणी <math>k</math> एक बेतरतीब ढंग से चुने गए शीर्ष का एक [[स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर]] पूर्णांक मानों के साथ यादृच्छिक चर है। कब  <math display="inline">\mathbb E [k^2] - 2 \mathbb E [k]>0</math>, कॉन्फ़िगरेशन ग्राफ़ में [[विशालकाय घटक]] होता है, जिसका आकार अनंत होता है।<ref name=":0" />बाकी घटकों के परिमित आकार होते हैं, जिन्हें आकार वितरण की धारणा से परिमाणित किया जा सकता है। संभावना <math>w(n)</math> कि एक यादृच्छिक नमूना नोड आकार के एक घटक से जुड़ा हुआ है <math>n</math> डिग्री वितरण की [[दृढ़ शक्ति]]यों द्वारा दिया जाता है:<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-05-02|title=अनंत कॉन्फ़िगरेशन नेटवर्क में घटक आकार वितरण के लिए सामान्य अभिव्यक्ति|journal=Physical Review E|volume=95|issue=5|pages=052303|doi=10.1103/PhysRevE.95.052303|pmid=28618550|arxiv=1703.05413|bibcode=2017PhRvE..95e2303K|s2cid=8421307}}</ref><math display="block">w(n)=\begin{cases}
\frac{\mathbb E [k]}{n-1} u_1^{*n}(n-2),& n>1, \\
u(0) & n=1,
\end{cases}</math>कहाँ <math>u(k)</math> डिग्री वितरण को दर्शाता है और <math>u_1(k)=\frac{(k+1)u(k+1)}{\mathbb E[k]}</math>. महत्वपूर्ण अंश को बेतरतीब ढंग से हटाकर विशाल घटक को नष्ट किया जा सकता है <math>p_c</math> सभी किनारों का। इस प्रक्रिया को [[परकोलेशन सिद्धांत]] कहा जाता है। जब डिग्री वितरण का दूसरा क्षण परिमित होता है, <math display="inline">\mathbb E [k^2]<\infty</math>, यह महत्वपूर्ण किनारा अंश द्वारा दिया गया है<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2018-01-01|title=पोलीमराइजेशन रैंडम ग्राफ मॉडल पर विश्लेषणात्मक परिणाम|journal=Journal of Mathematical Chemistry|language=en|volume=56|issue=1|pages=140–157|doi=10.1007/s10910-017-0785-1|issn=0259-9791|doi-access=free}}</ref> <math>p_c=1-\frac{\mathbb E[k]}{ \mathbb E [k^2] - \mathbb E[k]}</math>, और [[औसत पथ लंबाई]] | औसत शीर्ष-शीर्ष दूरी <math>l</math> विशाल घटक में नेटवर्क के कुल आकार के साथ लॉगरिदमिक रूप से मापता है, <math>l = O(\log N) </math>.<ref name=":1" />

निर्देशित कॉन्फ़िगरेशन मॉडल में, नोड की डिग्री दो संख्याओं द्वारा दी जाती है, इन-डिग्री <math>k_\text{in}</math> और आउट-डिग्री <math>k_\text{out}</math>, और फलस्वरूप, डिग्री वितरण दो-चर है। इन-एज और आउट-एज की अपेक्षित संख्या मेल खाती है, ताकि <math display="inline">\mathbb E [k_\text{in}]=\mathbb E [k_\text{out}]</math>. निर्देशित कॉन्फ़िगरेशन मॉडल में विशाल घटक iff होता है<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2016-07-27|title=मनमाना डिग्री वितरण के साथ निर्देशित यादृच्छिक रेखांकन में विशाल कमजोर घटक का उद्भव|journal=Physical Review E|volume=94|issue=1|pages=012315|doi=10.1103/PhysRevE.94.012315|pmid=27575156|arxiv=1607.03793|bibcode=2016PhRvE..94a2315K|s2cid=206251373}}</ref><math display="block">2\mathbb{E}[k_\text{in}] 
\mathbb{E}[k_\text{in}k_\text{out}]
- \mathbb{E}[k_\text{in}] 
\mathbb{E}[k_\text{out}^2]
- \mathbb{E}[k_\text{in}] 
\mathbb{E}[k_\text{in}^2] 
+\mathbb{E}[k_\text{in}^2] \mathbb{E}[k_\text{out}^2] 
 - \mathbb{E}[k_\text{in} k_\text{out}]^2 >0.</math>ध्यान दें कि <math display="inline">\mathbb E [k_\text{in}]</math> और <math display="inline">\mathbb E [k_\text{out}]</math> समान हैं और इसलिए बाद की असमानता में विनिमेय हैं। यादृच्छिक रूप से चुने गए शीर्ष के आकार के घटक से संबंधित होने की प्रायिकता <math>n</math> द्वारा दिया गया है:<ref>{{Cite journal|last=Kryven|first=Ivan|date=2017-11-02|title=मनमाना डिग्री वितरण के साथ अनंत निर्देशित और मल्टीप्लेक्स नेटवर्क में जुड़े घटकों को परिमित करें|journal=Physical Review E|volume=96|issue=5|pages=052304|doi=10.1103/PhysRevE.96.052304|pmid=29347790|arxiv=1709.04283|bibcode=2017PhRvE..96e2304K|s2cid=20741516}}</ref><math display="block">h_\text{in}(n)=\frac{\mathbb E[k_{in}]}{n-1} \tilde u_\text{in}^{*n}(n-2),  \;n>1, \; \tilde u_\text{in}=\frac{k_\text{in}+1}{\mathbb E[k_\text{in}]}\sum\limits_{k_\text{out}\geq 0}u(k_\text{in}+1,k_\text{out}),</math>इन-कंपोनेंट्स के लिए, और

: <math>h_\text{out}(n)=\frac{\mathbb E[k_\text{out}]}{n-1} \tilde u_\text{out}^{*n}(n-2),  \;n>1, \;\tilde u_\text{out}=\frac{k_\text{out}+1}{\mathbb E[k_\text{out}]}\sum\limits_{k_\text{in}\geq0}u(k_\text{in},k_\text{out}+1),

</math>
बाहरी घटकों के लिए।

=== वाट्स-स्ट्रोगेट्स लघु विश्व मॉडल ===
[[File:Watts-Strogatz-rewire.png|thumb|[[वाट्स और स्ट्रोगेट्स मॉडल]] अपनी संरचना को प्राप्त करने के लिए रिवाइरिंग की अवधारणा का उपयोग करता है। मूल जाली संरचना में मॉडल जनरेटर प्रत्येक किनारे के माध्यम से पुनरावृति करेगा। दी गई रीवायरिंग प्रायिकता के अनुसार एक किनारा अपने कनेक्टेड वर्टिकल को बदल सकता है। <math>\langle k\rangle = 4</math> इस उदाहरण में।]]वाट्स एंड स्ट्रोगेट्ज मॉडल एक यादृच्छिक ग्राफ जनरेशन मॉडल है जो छोटी दुनिया की संपत्तियों के साथ ग्राफ बनाता है।

वाट्स-स्ट्रोगेट्ज मॉडल उत्पन्न करने के लिए एक प्रारंभिक जाली संरचना का उपयोग किया जाता है। नेटवर्क में प्रत्येक नोड प्रारंभ में इसके साथ जुड़ा हुआ है <math>\langle k\rangle</math> निकटतम पड़ोसी। एक अन्य पैरामीटर को रिवायरिंग संभावना के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। प्रत्येक किनारे की एक संभावना है <math>p</math> कि इसे एक यादृच्छिक किनारे के रूप में ग्राफ़ पर फिर से तारित किया जाएगा। मॉडल में पुनः तारित लिंक की अपेक्षित संख्या है <math>pE = pN\langle k\rangle/2</math>.

जैसा कि वाट्स-स्ट्रोगेट्स मॉडल गैर-यादृच्छिक जाली संरचना के रूप में शुरू होता है, इसमें उच्च औसत पथ लंबाई के साथ बहुत उच्च क्लस्टरिंग गुणांक होता है। प्रत्येक रिवायर अत्यधिक कनेक्टेड क्लस्टर के बीच शॉर्टकट बनाने की संभावना है। जैसे-जैसे रिवाइरिंग की संभावना बढ़ती है, क्लस्टरिंग गुणांक औसत पथ लंबाई की तुलना में धीमा होता जाता है। वास्तव में, यह क्लस्टरिंग गुणांक में केवल थोड़ी कमी के साथ नेटवर्क की औसत पथ लंबाई को महत्वपूर्ण रूप से कम करने की अनुमति देता है। पी के उच्च मान अधिक रिवायर किए गए किनारों को बल देते हैं, जो प्रभावी रूप से वाट्स-स्ट्रोगेट्ज मॉडल को एक यादृच्छिक नेटवर्क बनाता है।

=== बरबासी-अल्बर्ट (बीए) अधिमान्य लगाव मॉडल ===

बाराबासी-अल्बर्ट मॉडल एक यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल है जिसका उपयोग अधिमान्य लगाव या अमीर-से-अमीर प्रभाव को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है। इस मॉडल में, किनारे को उच्च डिग्री वाले नोड्स से जोड़ने की संभावना है।
नेटवर्क m के प्रारंभिक नेटवर्क से शुरू होता है<sub>0</sub> नोड्स। एम<sub>0</sub>≥ 2 और प्रारंभिक नेटवर्क में प्रत्येक नोड की डिग्री कम से कम 1 होनी चाहिए, अन्यथा यह शेष नेटवर्क से हमेशा डिस्कनेक्ट रहेगा।

बीए मॉडल में, नेटवर्क में एक बार में नए नोड जोड़े जाते हैं। प्रत्येक नया नोड जुड़ा हुआ है <math>m</math> मौजूदा नोड्स की संभावना के साथ मौजूदा नोड्स के पास पहले से मौजूद लिंक की संख्या के अनुपात में है। औपचारिक रूप से, प्रायिकता p<sub>''i''</sub> कि नया नोड नोड i से जुड़ा है<ref name=RMP>{{Cite journal
 |url         = http://www.nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/StatisticalMechanics_Rev%20of%20Modern%20Physics%2074,%2047%20(2002).pdf
 |author1     = R. Albert
 |author2     = A.-L. Barabási
 |title       = Statistical mechanics of complex networks
 |journal     = [[Reviews of Modern Physics]]
 |volume      = 74
 |issue     = 1
 |pages       = 47–97
 |year        = 2002
 |doi         = 10.1103/RevModPhys.74.47
 |bibcode     = 2002RvMP...74...47A
 |arxiv       = cond-mat/0106096
 |url-status     = dead
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20150824235818/http://www3.nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/StatisticalMechanics_Rev%20of%20Modern%20Physics%2074,%2047%20(2002).pdf
 |archive-date = 2015-08-24
|citeseerx     = 10.1.1.242.4753
 |s2cid = 60545
 }}</ref>
: <math>p_i = \frac{k_i}{\sum_j k_j},</math>
जहां के<sub>''i''</sub> नोड i की डिग्री है। भारी रूप से जुड़े नोड्स (हब) तेजी से और भी अधिक लिंक जमा करते हैं, जबकि केवल कुछ लिंक वाले नोड्स को नए लिंक के लिए गंतव्य के रूप में चुने जाने की संभावना नहीं है। नए नोड्स को पहले से ही भारी रूप से जुड़े नोड्स से खुद को जोड़ने की प्राथमिकता है।

[[File:Barabasi-albert model degree distribution.svg|thumb|बीए मॉडल का डिग्री वितरण, जो एक शक्ति कानून का पालन करता है। लॉगलॉग स्केल में पावर लॉ फ़ंक्शन एक सीधी रेखा है।<ref name=Barabasi1999>{{Cite journal
 |url         = http://www.nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/EmergenceRandom_Science%20286,%20509-512%20(1999).pdf
 |author      = [[Albert-László Barabási]] & [[Réka Albert]]
 |title       = Emergence of scaling in random networks
 |journal     = [[Science (journal)|Science]]
 |volume      = 286
 |pages       = 509–512
 |date        = October 1999
 |doi         = 10.1126/science.286.5439.509
 |issue       = 5439
 |pmid        = 10521342
 |arxiv       = cond-mat/9910332
 |bibcode     = 1999Sci...286..509B
 |s2cid = 524106
 |url-status     = dead
 |archive-url  = https://web.archive.org/web/20120417112354/http://www.nd.edu/~networks/Publication%20Categories/03%20Journal%20Articles/Physics/EmergenceRandom_Science%20286,%20509-512%20(1999).pdf
 |archive-date = 2012-04-17
}}</ref>]]बीए मॉडल से उत्पन्न डिग्री वितरण पैमाने मुक्त है, विशेष रूप से, बड़ी डिग्री के लिए यह फॉर्म का एक शक्ति कानून है:
: <math>P(k)\sim k^{-3} \, </math>
हब उच्च बीच की केंद्रीयता प्रदर्शित करते हैं जो नोड्स के बीच छोटे रास्तों को मौजूद रहने की अनुमति देता है। नतीजतन, बीए मॉडल में बहुत कम औसत पथ लंबाई होती है। इस मॉडल का क्लस्टरिंग गुणांक भी 0 हो जाता है।

बारबासी-अल्बर्ट मॉडल<ref name="Barabasi1999" />अप्रत्यक्ष नेटवर्क के लिए विकसित किया गया था लेकिन विभिन्न अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला पर लागू किया गया था। इस मॉडल का निर्देशित संस्करण प्राइस का मॉडल है<ref>{{Cite journal |last=Price |first=Derek J. de Solla |date=1965-07-30 |title=Networks of Scientific Papers: The pattern of bibliographic references indicates the nature of the scientific research front. |url=https://www.science.org/doi/10.1126/science.149.3683.510 |journal=Science |language=en |volume=149 |issue=3683 |pages=510–515 |doi=10.1126/science.149.3683.510 |pmid=14325149 |issn=0036-8075}}</ref><ref>{{Cite journal |last=Price |first=Derek De Solla |date=1976 |title=ग्रंथमितीय और अन्य संचयी लाभ प्रक्रियाओं का एक सामान्य सिद्धांत|url=https://onlinelibrary.wiley.com/doi/10.1002/asi.4630270505 |journal=Journal of the American Society for Information Science |language=en |volume=27 |issue=5 |pages=292–306 |doi=10.1002/asi.4630270505}}</ref> जो सिर्फ उद्धरण नेटवर्क पर लागू किया गया था। गणितीय रूप से, इन मॉडलों का वर्णन करने के लिए समान समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है<ref name="Newman" />और वे दोनों समान विशेषताएं दिखाते हैं।

====गैर रेखीय अधिमान्य लगाव====
{{Main|Non-linear_preferential_attachment}}

गैर-रैखिक तरजीही लगाव (एनएलपीए) में, नेटवर्क में मौजूदा नोड्स एक निरंतर सकारात्मक शक्ति के लिए उठाए गए नोड डिग्री के अनुपात में नए किनारों को प्राप्त करते हैं, <math> \alpha </math>.<ref>{{cite journal |last1=Krapivsky |first1=P. L. |last2=Redner |first2=S. |last3=Leyvraz |first3=F. |title=बढ़ते रैंडम नेटवर्क की कनेक्टिविटी|journal=Physical Review Letters |date=20 November 2000 |volume=85 |issue=21 |pages=4629–4632 |doi=10.1103/PhysRevLett.85.4629|pmid=11082613 |arxiv=cond-mat/0005139 |bibcode=2000PhRvL..85.4629K |s2cid=16251662 }}</ref> औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि संभावना है कि नोड <math> i </math> द्वारा एक नई बढ़त दी जाती है

: <math>p_i = \frac{k_i^{\alpha}}{\sum_j k_j^{\alpha}}.</math>
अगर <math>\alpha=1</math>, एनएलपीए बीए मॉडल को कम करता है और इसे रैखिक कहा जाता है। अगर <math>0<\alpha<1</math>, एनएलपीए को उप-रैखिक के रूप में संदर्भित किया जाता है और नेटवर्क का डिग्री वितरण एक [[फैला हुआ घातीय कार्य]] की ओर जाता है। अगर <math>\alpha>1</math>, एनएलपीए को सुपर-लीनियर के रूप में जाना जाता है और नोड्स की एक छोटी संख्या नेटवर्क में लगभग सभी अन्य नोड्स से जुड़ती है। दोनों के लिए <math>\alpha<1</math> और <math>\alpha>1</math>, नेटवर्क की स्केल-फ्री संपत्ति अनंत सिस्टम आकार की सीमा में टूट गई है। हालांकि, यदि <math>\alpha</math> से थोड़ा ही बड़ा है <math>1</math>, एनएलपीए के परिणामस्वरूप [[डिग्री वितरण]] हो सकता है जो क्षणिक रूप से मुक्त प्रतीत होता है।<ref>{{cite journal |last1=Krapivsky |first1=Paul |last2=Krioukov |first2=Dmitri |title=स्केल-फ्री नेटवर्क सुपरलीनियर प्रेफरेंशियल अटैचमेंट के प्रीसिम्प्टोटिक शासन के रूप में|journal=Physical Review E |date=21 August 2008 |volume=78 |issue=2 |pages=026114 |doi=10.1103/PhysRevE.78.026114|pmid=18850904 |arxiv=0804.1366 |bibcode=2008PhRvE..78b6114K |s2cid=14292535 }}</ref>


====मध्यस्थता-संचालित अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल====

[[मध्यस्थता संचालित अनुलग्नक मॉडल]]|मीडिएशन-ड्रिवन अटैचमेंट (एमडीए) मॉडल में जिसमें एक नया नोड आ रहा है <math>m</math> किनारों एक मौजूदा कनेक्टेड नोड को यादृच्छिक रूप से चुनता है और फिर खुद को उस के साथ नहीं बल्कि जोड़ता है <math>m</math> इसके पड़ोसियों को भी यादृच्छिक रूप से चुना गया। संभावना <math>\Pi(i)</math> वह नोड <math>i</math> चुने गए मौजूदा नोड का है

: <math> \Pi(i) = \frac{k_i} N \frac{ \sum_{j=1}^{k_i} \frac 1 {k_j} }{k_i}.</math>
कारण <math>\frac{\sum_{j=1}^{k_i}{\frac{1}{k_j}}}{k_i}</math> हार्मोनिक माध्य का व्युत्क्रम है
(IHM) की डिग्री <math>k_i</math> एक नोड के पड़ोसी <math>i</math>. व्यापक संख्यात्मक जांच से पता चलता है कि लगभग <math>m> 14</math> बड़े में औसत IHM मान <math>N</math> सीमा स्थिर हो जाती है जिसका अर्थ है <math>\Pi(i) \propto k_i</math>. तात्पर्य यह है कि जितना अधिक होगा
एक नोड में लिंक्स (डिग्री) होते हैं, जितने अधिक लिंक प्राप्त करने की संभावना उतनी ही अधिक होती है क्योंकि वे हो सकते हैं
मध्यस्थों के माध्यम से बड़ी संख्या में पहुंचें जो अनिवार्य रूप से सहज ज्ञान का प्रतीक हैं
अमीर के लिए अमीर तंत्र का विचार (या बाराबसी-अल्बर्ट मॉडल का अधिमान्य लगाव नियम)। इसलिए एमडीए नेटवर्क को फॉलो करते देखा जा सकता है
पीए शासन लेकिन भेष में।<ref>{{cite journal | last1 = Hassan | first1 = M. K. | last2 = Islam | first2 = Liana | last3 = Arefinul Haque | first3 = Syed | date = March 2017  | title = मध्यस्थता संचालित अनुलग्नक नेटवर्क में डिग्री वितरण, रैंक-आकार वितरण और नेतृत्व की दृढ़ता| doi = 10.1016/j.physa.2016.11.001 | journal = Physica A | volume = 469 | pages = 23–30 | arxiv = 1411.3444 | bibcode = 2017PhyA..469...23H | s2cid = 51976352 }}</ref>
हालाँकि, के लिए <math>m=1</math> यह वर्णन करता है कि विजेता इसे सभी तंत्रों के रूप में लेता है जैसा कि हम लगभग पाते हैं <math>99\%</math> कुल नोड्स में से एक डिग्री है और एक डिग्री में अति-समृद्ध है। जैसा <math>m</math> मूल्य बढ़ने से अति धनी और गरीब के बीच का अंतर कम हो जाता है और जैसे-जैसे <math>m>14</math> हम धनी से अधिक धनवान बनने की प्रक्रिया को धनवान से अधिक धनी प्राप्त करने की क्रियाविधि के रूप में देखते हैं।

=== फ़िटनेस मॉडल ===
एक अन्य मॉडल जहां प्रमुख घटक शीर्ष की प्रकृति है, Caldarelli et al द्वारा पेश किया गया है।<ref>Caldarelli G.,   A. Capocci, P. De Los Rios, M.A. Muñoz, Physical Review Letters 89, 258702 (2002)</ref> यहां दो सिरों के बीच एक लिंक बनाया जाता है <math>i,j</math> लिंकिंग फ़ंक्शन द्वारा दी गई संभावना के साथ <math>f(\eta_i,\eta_j)</math> शामिल शीर्षों के फ़िटनेस मॉडल (नेटवर्क सिद्धांत) का।
शीर्ष i की कोटि किसके द्वारा दी जाती है <ref>Servedio V.D.P., G. Caldarelli, P. Buttà, Physical Review E 70, 056126 (2004)</ref>
:<math>k(\eta_i)=N\int_0^\infty f(\eta_i,\eta_j) \rho(\eta_j) \, d\eta_j </math>
अगर <math>k(\eta_i)</math> का एक उलटा और बढ़ता हुआ कार्य है <math>\eta_i</math>, तब
संभाव्यता वितरण <math>P(k)</math> द्वारा दिया गया है

:<math>P(k)=\rho(\eta(k)) \cdot \eta'(k)</math>
नतीजतन, अगर फिटनेस <math>\eta</math> एक शक्ति कानून के रूप में वितरित किया जाता है, फिर नोड डिग्री भी करता है।

तेजी से क्षय संभाव्यता वितरण के साथ कम सहज ज्ञान युक्त
<math>\rho(\eta)=e^{-\eta}</math> एक साथ तरह के एक लिंकिंग फ़ंक्शन के साथ

:<math> f(\eta_i,\eta_j)=\Theta(\eta_i+\eta_j-Z)</math>
साथ <math>Z</math> एक स्थिर और <math>\Theta</math> हेवीसाइड फ़ंक्शन, हम भी प्राप्त करते हैं
स्केल-मुक्त नेटवर्क।

इस तरह के मॉडल को विभिन्न नोड्स के लिए फिटनेस के रूप में जीडीपी का उपयोग करके राष्ट्रों के बीच व्यापार का वर्णन करने के लिए सफलतापूर्वक लागू किया गया है <math>i,j</math> और तरह का एक लिंकिंग फ़ंक्शन
<ref>Garlaschelli D., M I Loffredo Physical Review Letters 93, 188701 (2004)</ref><ref>Cimini G., T. Squartini, D. Garlaschelli and A. Gabrielli, Scientific Reports 5, 15758 (2015)</ref>
:<math> \frac{\delta \eta_i\eta_j}{1+ \delta \eta_i\eta_j}.</math>


== नेटवर्क विश्लेषण ==

=== सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण ===
सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण सामाजिक संस्थाओं के बीच संबंधों की संरचना की जांच करता है।<ref name="Wasserman_Faust">वासरमैन, स्टेनली और कैथरीन फॉस्ट। 1994. सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण: तरीके और अनुप्रयोग। कैम्ब्रिज: कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस।
</ref> ये संस्थाएँ अक्सर व्यक्ति होती हैं, लेकिन [[समूह (समाजशास्त्र)]], संगठन, राष्ट्र राज्य, [[वेब साइट्स]], [[ साइनोमेट्रिक्स ]] भी हो सकती हैं।

1970 के दशक से, नेटवर्क के अनुभवजन्य अध्ययन ने सामाजिक विज्ञान में एक केंद्रीय भूमिका निभाई है, और नेटवर्क का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले कई गणित और सांख्यिकी उपकरण पहले समाजशास्त्र में विकसित किए गए हैं। रेफरी नाम = न्यूमैन > न्यूमैन, एम.ई.जे. नेटवर्क: एक परिचय। ऑक्सफोर्ड यूनिवरसिटि प्रेस। 2010, {{ISBN|978-0199206650}</ref> कई अन्य अनुप्रयोगों में, नवाचारों के प्रसार को समझने के लिए सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण का उपयोग किया गया है, रेफरी नाम = ParadowskiJonak2021>{{Cite journal|last1=Paradowski|first1=Michał B.|last2=Jonak|first2=Łukasz|date=2012|title=सामाजिक समन्वय के रूप में भाषाई नवाचार का प्रसार|journal=Psychology of Language and Communication|volume=16|issue=2|pages=53–64|doi=10.2478/v10057-012-0010-z|doi-access=free}}</ref> समाचार और अफवाहें। इसी तरह, इसका उपयोग [[महामारी विज्ञान]] और [[चिकित्सा समाजशास्त्र]] दोनों के प्रसार की जांच करने के लिए किया गया है। स्वास्थ्य संबंधी व्यवहार। इसे [[आर्थिक समाजशास्त्र]] पर भी लागू किया गया है, जहां इसका उपयोग कीमतों को निर्धारित करने में सामाजिक विनिमय और सामाजिक तंत्र में विश्वास की भूमिका की जांच करने के लिए किया गया है। इसी तरह, इसका उपयोग [[राजनीतिक आंदोलन]]ों और सामाजिक संगठनों में भर्ती का अध्ययन करने के लिए किया गया है। इसका उपयोग वैज्ञानिक असहमति के साथ-साथ अकादमिक प्रतिष्ठा की अवधारणा के लिए भी किया गया है। दूसरे भाषा अधिग्रहण साहित्य में, इसका विदेश में अध्ययन में एक स्थापित इतिहास है, यह खुलासा करता है कि कैसे सहकर्मी शिक्षार्थी बातचीत नेटवर्क उनकी भाषा की प्रगति को प्रभावित करते हैं। रेफ नाम = Paradowskietal2021>{{Cite journal|last1=Paradowski|first1=Michał B.|last2=Jarynowski|first2=Andrzej|last3=Jelińska|first3=Magdalena|last4=Czopek|first4=Karolina|date=2021|title=अल्पकालिक विदेशी प्रवास के दौरान दूसरी भाषा के अधिग्रहण के लिए आउट-ऑफ-क्लास पीयर इंटरैक्शन मायने रखता है: सोशल नेटवर्क एनालिसिस का योगदान [अमेरिकन एसोसिएशन ऑफ एप्लाइड लिंग्विस्टिक्स कॉन्फ्रेंस, डेनवर, यूएसए, मार्च 2020 से चयनित पोस्टर प्रस्तुतियां]|journal=Language Teaching|volume=54|issue=1|pages=139–143|doi=10.1017/S0261444820000580|doi-access=free}</ref> हाल ही में, नेटवर्क विश्लेषण (और इसके करीबी चचेरे भाई [[यातायात विश्लेषण]]) ने पदानुक्रमित और नेतृत्वविहीन प्रतिरोध प्रकृति दोनों के विद्रोही नेटवर्क को उजागर करने के लिए सैन्य खुफिया में एक महत्वपूर्ण उपयोग प्राप्त किया है।<ref name=GT-33/><ref>{{Cite web |url=http://firstmonday.org/htbin/cgiwrap/bin/ojs/index.php/fm/article/view/941/863 |title=आतंकवादी नेटवर्क का नेटवर्क विश्लेषण|access-date=2011-12-12 |archive-url=https://web.archive.org/web/20121123010939/http://firstmonday.org/htbin/cgiwrap/bin/ojs/index.php/fm/article/view/941/863 |archive-date=2012-11-23 |url-status=dead }}</ref> [[सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण (अपराध विज्ञान)]] में, इसका उपयोग आपराधिक गिरोहों, अपराधी आंदोलनों, सह-अपमान में प्रभावशाली अभिनेताओं की पहचान करने, आपराधिक गतिविधियों की भविष्यवाणी करने और नीतियां बनाने के लिए किया जा रहा है।<ref>{{Cite book|last1=PhD|first1=Martin Bouchard|last2=PhD|first2=Aili Malm|title=Oxford Handbooks Online: Criminology and Criminal Justice |date=2016-11-02|chapter=Social Network Analysis and Its Contribution to Research on Crime and Criminal Justice|chapter-url=https://www.oxfordhandbooks.com/view/10.1093/oxfordhb/9780199935383.001.0001/oxfordhb-9780199935383-e-21|language=en|doi=10.1093/oxfordhb/9780199935383.013.21|isbn=978-0-19-993538-3}}</ref>


=== गतिशील नेटवर्क विश्लेषण ===
डायनेमिक नेटवर्क विश्लेषण जटिल सामाजिक-तकनीकी प्रणालियों के प्रभावों में संस्थाओं के विभिन्न वर्गों के बीच संबंधों की शिफ्टिंग संरचना की जांच करता है, और सामाजिक स्थिरता और नए समूहों, विषयों और नेताओं के उद्भव जैसे परिवर्तनों को दर्शाता है।<ref name="dynamic3">Gross, T. and Sayama, H. (Eds.). 2009. ''Adaptive Networks: Theory, Models and Applications.'' Springer.</ref><ref name="dynamic4">Holme, P. and Saramäki, J. 2013. ''Temporal Networks.'' Springer.</ref><ref>Xanthos, Aris, Pante, Isaac, Rochat, Yannick, Grandjean, Martin (2016). [http://dh2016.adho.org/abstracts/407 Visualising the Dynamics of Character Networks]. In Digital Humanities 2016: Jagiellonian University & Pedagogical University, Kraków, pp. 417–419.</ref> डायनेमिक नेटवर्क विश्लेषण कई प्रकार के नोड्स (निकाय) और [[बहुआयामी नेटवर्क]] से बने मेटा-नेटवर्क पर केंद्रित है। ये संस्थाएँ अत्यधिक विविध हो सकती हैं। उदाहरणों में लोग, संगठन, विषय, संसाधन, कार्य, घटनाएँ, स्थान और विश्वास शामिल हैं।

डायनेमिक नेटवर्क तकनीक समय के साथ नेटवर्क में रुझानों और परिवर्तनों का आकलन करने, उभरते हुए नेताओं की पहचान करने और लोगों और विचारों के सह-विकास की जांच करने के लिए विशेष रूप से उपयोगी हैं।

=== जैविक नेटवर्क विश्लेषण ===
सार्वजनिक रूप से उपलब्ध उच्च थ्रूपुट जैविक डेटा के हाल के विस्फोट के साथ, आणविक नेटवर्क के विश्लेषण में महत्वपूर्ण रुचि प्राप्त हुई है। इस सामग्री में विश्लेषण के प्रकार सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण से निकटता से संबंधित हैं, लेकिन अक्सर [[नेटवर्क मूल भाव]] स्थानीय पैटर्न पर ध्यान केंद्रित करते हैं। उदाहरण के लिए, नेटवर्क प्रारूप छोटे उपग्राफ हैं जो नेटवर्क में अधिक प्रतिनिधित्व करते हैं। गतिविधि रूपांकन नेटवर्क में नोड्स और किनारों की विशेषताओं में समान रूप से अधिक प्रतिनिधित्व वाले पैटर्न हैं जो नेटवर्क संरचना को देखते हुए अधिक प्रतिनिधित्व करते हैं। जैविक नेटवर्क के विश्लेषण से [[ नेटवर्क दवा ]] का विकास हुआ है, जो [[इंटरएक्टिव]] में रोगों के प्रभाव को देखता है।<ref>{{cite journal | last1 = Barabási | first1 = A. L. | last2 = Gulbahce | first2 = N. | last3 = Loscalzo | first3 = J. | year = 2011 | title = Network medicine: a network-based approach to human disease | journal = Nature Reviews Genetics | volume = 12 | issue = 1| pages = 56–68 | doi=10.1038/nrg2918 | pmid=21164525 | pmc=3140052}}</ref>


=== लिंक विश्लेषण ===
लिंक विश्लेषण नेटवर्क विश्लेषण का एक सबसेट है, जो वस्तुओं के बीच संबंधों की खोज करता है। एक उदाहरण संदिग्धों और पीड़ितों के पते, उनके द्वारा डायल किए गए टेलीफोन नंबरों और एक निश्चित समय सीमा के दौरान वित्तीय लेन-देन, और पुलिस जांच के एक भाग के रूप में इन विषयों के बीच पारिवारिक संबंधों की जांच कर सकता है। लिंक विश्लेषण यहां विभिन्न प्रकार की बहुत सारी वस्तुओं के बीच महत्वपूर्ण संबंध और जुड़ाव प्रदान करता है जो सूचना के अलग-अलग टुकड़ों से स्पष्ट नहीं होते हैं। कंप्यूटर-सहायता प्राप्त या पूरी तरह से स्वचालित कंप्यूटर-आधारित लिंक विश्लेषण [[ किनारा ]]ों और [[बीमा]] एजेंसियों द्वारा [[धोखा]]धड़ी का पता लगाने में, दूरसंचार ऑपरेटरों द्वारा दूरसंचार नेटवर्क विश्लेषण में, महामारी विज्ञान और [[ औषध ]] में चिकित्सा क्षेत्र द्वारा, कानून प्रवर्तन [[आपराधिक प्रक्रिया]]ओं में, [[प्रासंगिकता]] के लिए [[खोज इंजन]] द्वारा तेजी से नियोजित किया जाता है। रेटिंग (और इसके विपरीत [[स्पैमडेक्सिंग]] के लिए [[खोज इंजन स्पैमर]] द्वारा और खोज इंजन अनुकूलन के लिए व्यापार मालिकों द्वारा), और हर जगह जहां कई वस्तुओं के बीच संबंधों का विश्लेषण किया जाना है।

==== महामारी विश्लेषण ====
SIR मॉडल एक संक्रामक आबादी के भीतर वैश्विक महामारी के प्रसार की भविष्यवाणी करने वाले सबसे प्रसिद्ध एल्गोरिदम में से एक है।

=== संक्रमित होने की आशंका ===
: <math>S = \beta\left(\frac 1 N \right)</math>
उपरोक्त सूत्र एक संक्रामक आबादी में प्रत्येक संवेदनशील इकाई के लिए संक्रमण के बल का वर्णन करता है, जहां {{math|β}} उक्त रोग की संचरण दर के बराबर है।

संक्रामक आबादी में अतिसंवेदनशील लोगों के परिवर्तन को ट्रैक करने के लिए:

: <math>\Delta S = \beta \times S {1\over N} \, \Delta t</math>


=== संक्रमित से ठीक होना ===

: <math>\Delta I = \mu I \, \Delta t</math>
समय के साथ, संक्रमित लोगों की संख्या में निम्न के अनुसार उतार-चढ़ाव होता है: ठीक होने की निर्दिष्ट दर, द्वारा दर्शाया गया <math>\mu</math> लेकिन औसत संक्रामक अवधि में घटाकर एक कर दिया गया <math>{1\over \tau}</math>, संक्रामक व्यक्तियों की संख्या, <math>I</math>, और समय में परिवर्तन, <math>\Delta t</math>.

=== संक्रामक काल ===
एसआईआर मॉडल के संबंध में, एक आबादी एक महामारी से उबर पाएगी या नहीं, के मूल्य पर निर्भर है <math>R_0</math> या संक्रमित व्यक्ति द्वारा संक्रमित औसत लोग।

: <math>R_0 = \beta\tau = {\beta\over\mu}</math>


==== वेब लिंक विश्लेषण ====
कई [[ वेब खोज ]] [[रैंकिंग]] एल्गोरिदम लिंक-आधारित सेंट्रलिटी मेट्रिक्स का उपयोग करते हैं, जिसमें (उपस्थिति के क्रम में) [[मास्सिमो मर्चियोरी]] की [[हाइपर सर्च]], [[गूगल]] की [[ पृष्ठ रैंक ]], क्लेनबर्ग की एचआईटीएस एल्गोरिथम, चीरैंक और [[ट्रस्टरैंक]] एल्गोरिदम शामिल हैं। वेब पेजों के संग्रह की संरचना से जानकारी को समझने और निकालने के लिए सूचना विज्ञान और संचार विज्ञान में लिंक विश्लेषण भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, विश्लेषण राजनेताओं की वेबसाइटों या ब्लॉगों के बीच परस्पर संबंध का हो सकता है।

== पेजरैंक ==
पेजरैंक बेतरतीब ढंग से नोड्स या वेबसाइटों को चुनकर काम करता है और फिर एक निश्चित संभावना के साथ, अन्य नोड्स पर बेतरतीब ढंग से कूदता है। बेतरतीब ढंग से इन अन्य नोड्स पर कूद कर, यह पेजरैंक को नेटवर्क को पूरी तरह से पार करने में मदद करता है क्योंकि कुछ वेबपेज परिधि पर मौजूद होते हैं और आसानी से मूल्यांकन नहीं किए जा सकते हैं।

प्रत्येक नोड, <math>x_i</math>, का एक पेजरैंक है जैसा कि पृष्ठों के योग द्वारा परिभाषित किया गया है <math>j</math> वह लिंक <math>i</math> आउटलिंक्स या आउट-डिग्री के ऊपर एक गुना <math>j</math> के महत्व या पेजरैंक का गुना <math>j</math>.

: <math>x_i = \sum_{j\rightarrow i}{1\over N_j}x_j^{(k)}</math>


====== रैंडम जंपिंग ===
जैसा कि ऊपर स्पष्ट किया गया है, पेजरैंक इंटरनेट पर प्रत्येक वेबसाइट को पेजरैंक आवंटित करने के प्रयासों में यादृच्छिक छलांग लगाता है। ये रैंडम जंप ऐसी वेबसाइटें खोजते हैं जो सामान्य खोज पद्धतियों जैसे चौड़ाई-प्रथम खोज और गहराई-प्रथम खोज के दौरान नहीं मिल सकती हैं।

पेजरैंक निर्धारित करने के लिए उपरोक्त सूत्र में सुधार में इन रैंडम जंप घटकों को शामिल करना शामिल है। यादृच्छिक उछाल के बिना, कुछ पृष्ठों को 0 का पेजरैंक प्राप्त होगा जो अच्छा नहीं होगा।

पहला है <math>\alpha</math>, या संभावना है कि एक यादृच्छिक छलांग होगी। कंट्रास्टिंग भिगोना कारक है, या <math>1 - \alpha</math>.

: <math>R{(p)} = {\alpha\over N} + (1 - \alpha) \sum_{j\rightarrow i} {1\over N_j} x_j^{(k)}</math>
इसे देखने का दूसरा तरीका:

: <math>R(A) = \sum {R_B\over B_\text{(outlinks)}} + \cdots + {R_n \over n_\text{(outlinks)}}</math>


=== केंद्रीय उपाय ===
एक ग्राफ में नोड्स और किनारों के सापेक्ष महत्व के बारे में जानकारी केंद्रीयता उपायों के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है, जो व्यापक रूप से समाजशास्त्र जैसे विषयों में उपयोग की जाती हैं। केंद्रीयता के उपाय आवश्यक हैं जब एक नेटवर्क विश्लेषण को सवालों का जवाब देना होता है जैसे: नेटवर्क में कौन से नोड्स को यह सुनिश्चित करने के लिए लक्षित किया जाना चाहिए कि संदेश या सूचना नेटवर्क में सभी या अधिकांश नोड्स में फैलती है? या इसके विपरीत, बीमारी के फैलाव को कम करने के लिए किन नोड्स को लक्षित किया जाना चाहिए? . केंद्रीयता के औपचारिक रूप से स्थापित उपाय [[डिग्री केंद्रीयता]], [[निकटता केंद्रीयता]], बीच की केंद्रीयता, [[ईजेनवेक्टर केंद्रीयता]] और [[काट्ज़ केंद्रीयता]] हैं। नेटवर्क विश्लेषण का उद्देश्य आम तौर पर उपयोग किए जाने वाले केंद्रीयता माप (ओं) के प्रकार को निर्धारित करता है।<ref name="Wasserman_Faust"/>

*एक नेटवर्क में एक नोड की डिग्री केंद्रीयता नोड पर लिंक (कोने) की घटना की संख्या है।
*क्लोज़नेस सेंट्रलिटी यह निर्धारित करती है कि नेटवर्क में उस नोड और अन्य सभी नोड्स के बीच सबसे कम दूरी (जियोडेसिक पथ) के योग को मापकर नेटवर्क में अन्य नोड्स के लिए एक नोड कितना करीब है।
*बिचनेस सेंट्रलिटी नेटवर्क में अन्य नोड्स के लिए उस नोड के माध्यम से बहने वाले ट्रैफ़िक की मात्रा को मापकर एक नोड के सापेक्ष महत्व को निर्धारित करता है। यह नोड्स के सभी जोड़े को जोड़ने और ब्याज के नोड को शामिल करने वाले पथों के अंश को मापने के द्वारा किया जाता है। ग्रुप बिटवीननेस सेंट्रलिटी नोड्स के समूह के माध्यम से बहने वाले ट्रैफ़िक की मात्रा को मापता है।
*ईजेनवेक्टर सेंट्रलिटी डिग्री सेंट्रलिटी का एक अधिक परिष्कृत संस्करण है जहां नोड की केंद्रीयता न केवल नोड पर होने वाली लिंक की संख्या पर निर्भर करती है बल्कि उन लिंक की गुणवत्ता पर भी निर्भर करती है। यह गुणवत्ता कारक नेटवर्क के आसन्न मैट्रिक्स के eigenvectors द्वारा निर्धारित किया जाता है।
* एक नोड की काट्ज़ केंद्रीयता को उस नोड और नेटवर्क में सभी (पहुंच योग्य) नोड्स के बीच जियोडेसिक पथों को जोड़कर मापा जाता है। इन रास्तों को भारित किया जाता है, नोड को अपने निकटतम पड़ोसियों के साथ जोड़ने वाले पथ उन लोगों की तुलना में अधिक वजन रखते हैं जो निकटतम पड़ोसियों से दूर नोड्स से जुड़ते हैं।

== नेटवर्क में सामग्री का प्रसार ==

एक जटिल नेटवर्क में सामग्री दो प्रमुख तरीकों से फैल सकती है: संरक्षित प्रसार और गैर-संरक्षित प्रसार।<ref>Newman, M., Barabási, A.-L., Watts, D.J. [eds.] (2006) The Structure and Dynamics of Networks. Princeton, N.J.: Princeton University Press.</ref> संरक्षित प्रसार में, एक जटिल नेटवर्क में प्रवेश करने वाली सामग्री की कुल मात्रा स्थिर रहती है क्योंकि यह गुजरती है। संरक्षित फैलाव के मॉडल को ट्यूबों से जुड़े फ़नल की एक श्रृंखला में डाले जाने वाले पानी की एक निश्चित मात्रा वाले पिचर द्वारा सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यहाँ, घड़ा मूल स्रोत का प्रतिनिधित्व करता है और पानी फैली हुई सामग्री है। फ़नल और कनेक्टिंग ट्यूबिंग क्रमशः नोड्स और नोड्स के बीच कनेक्शन का प्रतिनिधित्व करते हैं। जैसे ही पानी एक फ़नल से दूसरे फ़नल में जाता है, फ़नल से पानी तुरंत गायब हो जाता है जो पहले पानी के संपर्क में था। गैर-संरक्षित प्रसार में, सामग्री की मात्रा में परिवर्तन होता है क्योंकि यह एक जटिल नेटवर्क में प्रवेश करता है और गुजरता है। गैर-संरक्षित प्रसार के मॉडल को ट्यूबों से जुड़े फ़नल की एक श्रृंखला के माध्यम से चलने वाले निरंतर चलने वाले नल द्वारा सबसे अच्छा प्रदर्शित किया जा सकता है। यहाँ, मूल स्रोत से पानी की मात्रा अनंत है। इसके अलावा, कोई भी फ़नल जो पानी के संपर्क में आ गया है, पानी का अनुभव करना जारी रखता है, भले ही वह लगातार फ़नल में चला जाए। अधिकांश [[संक्रामक रोग]]ों के संचरण को समझाने के लिए गैर-संरक्षित मॉडल सबसे उपयुक्त है।

=== एसआईआर मॉडल ===
1927 में, W. O. Kermack और A. G. McKendrick ने एक मॉडल बनाया जिसमें उन्होंने केवल तीन डिब्बों के साथ एक निश्चित आबादी पर विचार किया, अतिसंवेदनशील: <math>S(t)</math>, संक्रमित, <math>I(t)</math>, और बरामद, <math>R(t)</math>. इस मॉडल के लिए उपयोग किए जाने वाले डिब्बों में तीन वर्ग होते हैं:

* <math>S(t)</math> का उपयोग उन व्यक्तियों की संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जो अभी तक बीमारी से संक्रमित नहीं हैं, या जो बीमारी के लिए अतिसंवेदनशील हैं
* <math>I(t)</math> उन व्यक्तियों की संख्या को दर्शाता है जो रोग से संक्रमित हो चुके हैं और अतिसंवेदनशील श्रेणी के लोगों में रोग फैलाने में सक्षम हैं
* <math>R(t)</math> डिब्बे का उपयोग उन व्यक्तियों के लिए किया जाता है जो संक्रमित हो चुके हैं और फिर बीमारी से उबर चुके हैं। इस श्रेणी के लोग दोबारा संक्रमित होने या दूसरों को संक्रमण फैलाने में सक्षम नहीं होते हैं।

इस मॉडल के प्रवाह को निम्नानुसार माना जा सकता है:

: <math>\mathcal{S} \rightarrow \mathcal{I} \rightarrow \mathcal{R} </math>
एक निश्चित जनसंख्या का उपयोग करना, <math>N = S(t) + I(t) + R(t)</math>Kermack और McKendrick ने निम्नलिखित समीकरण व्युत्पन्न किए:

: <math>
\begin{align}
\frac{dS}{dt} & = - \beta S I \\[8pt]
\frac{dI}{dt} & = \beta S I - \gamma I \\[8pt]
\frac{dR}{dt} & = \gamma I
\end{align}
</math>
इन समीकरणों के निर्माण में कई धारणाएँ बनाई गई थीं: सबसे पहले, जनसंख्या में एक व्यक्ति को एक समान संभावना के रूप में माना जाना चाहिए क्योंकि बीमारी को अनुबंधित करने की दर के साथ हर दूसरे व्यक्ति को समान संभावना है। <math>\beta</math>, जिसे रोग की संपर्क या संक्रमण दर माना जाता है। इसलिए, एक संक्रमित व्यक्ति संपर्क बनाता है और बीमारी को प्रसारित करने में सक्षम होता है <math>\beta N</math> अन्य प्रति यूनिट समय और एक अतिसंवेदनशील से संक्रमित द्वारा संपर्कों का अंश है <math>S/N</math>. तब प्रति संक्रमित इकाई समय में नए संक्रमणों की संख्या है <math>\beta N (S/N)</math>, नए संक्रमणों की दर (या जो अतिसंवेदनशील श्रेणी को छोड़ रहे हैं) दे रहे हैं <math>\beta N (S/N)I = \beta SI</math> (ब्राउर और कैस्टिलो-शावेज़, 2001)। दूसरे और तीसरे समीकरण के लिए अतिसंवेदनशील वर्ग छोड़ने वाली जनसंख्या को संक्रमित वर्ग में प्रवेश करने वाली संख्या के बराबर मानें। हालांकि, संक्रमित इस वर्ग को प्रति यूनिट समय पर छोड़ कर एक दर पर बरामद/हटाए गए वर्ग में प्रवेश कर रहे हैं <math>\gamma</math> प्रति यूनिट समय (जहां <math>\gamma</math> औसत वसूली दर का प्रतिनिधित्व करता है, या <math>1/\gamma</math> औसत संक्रामक अवधि)। एक साथ होने वाली इन प्रक्रियाओं को सामूहिक कार्रवाई के कानून के रूप में संदर्भित किया जाता है, एक व्यापक रूप से स्वीकृत विचार है कि जनसंख्या में दो समूहों के बीच संपर्क की दर संबंधित समूहों में से प्रत्येक के आकार के समानुपाती होती है (डेली और गनी, 2005)। अंत में, यह माना जाता है कि जन्म और मृत्यु के समय के पैमाने की तुलना में संक्रमण और ठीक होने की दर बहुत तेज है और इसलिए, इस मॉडल में इन कारकों की अनदेखी की जाती है।

इस मॉडल के बारे में [[ महामारी मॉडल ]] पेज पर और अधिक पढ़ा जा सकता है।

=== [[मास्टर समीकरण]] दृष्टिकोण ===

एक मास्टर समीकरण एक अप्रत्यक्ष बढ़ते नेटवर्क के व्यवहार को व्यक्त कर सकता है, जहां हर बार कदम पर, नेटवर्क में एक नया नोड जोड़ा जाता है, जो पुराने नोड से जुड़ा होता है (यादृच्छिक रूप से चुना जाता है और वरीयता के बिना)। प्रारंभिक नेटवर्क दो नोड्स और समय पर उनके बीच दो लिंक द्वारा बनता है <math>t = 2</math>, यह कॉन्फ़िगरेशन केवल आगे की गणनाओं को सरल बनाने के लिए आवश्यक है, इसलिए समय पर <math>t = n</math> नेटवर्क है <math>n</math> नोड्स और <math>n</math> लिंक।

इस नेटवर्क के लिए मास्टर समीकरण है:

: <math>p(k,s,t+1) = \frac 1 t p(k-1,s,t) + \left(1 - \frac 1 t \right)p(k,s,t),</math>
कहाँ <math>p(k,s,t)</math> नोड होने की संभावना है <math>s</math> डिग्री के साथ <math>k</math> समय पर <math>t+1</math>, और <math>s</math> वह समय कदम है जब इस नोड को नेटवर्क में जोड़ा गया था। ध्यान दें कि पुराने नोड के लिए केवल दो तरीके हैं <math>s</math> रखने के लिए <math>k</math> समय पर लिंक <math>t+1</math>:

* नोड <math>s</math> डिग्री है <math>k-1</math> समय पर <math>t</math> और संभावना के साथ नए नोड से जुड़ा होगा <math>1/t</math>
* पहले से ही डिग्री है <math>k</math> समय पर <math>t</math> और नए नोड द्वारा लिंक नहीं किया जाएगा।

इस मॉडल को सरल बनाने के बाद, डिग्री वितरण है <math>P(k) = 2^{-k}. </math><ref name="dorogovtsev-mendes">{{cite book|last1=Dorogovtsev|first1=S N|last2=Mendes|first2=J F F|title=Evolution of Networks: From Biological Nets to the Internet and WWW|date=2003|publisher=Oxford University Press, Inc.|location=New York, NY, USA|isbn=978-0198515906}}</ref>
इस बढ़ते नेटवर्क के आधार पर, एक साधारण नियम का पालन करते हुए एक महामारी मॉडल विकसित किया जाता है: हर बार नया नोड जोड़ा जाता है और लिंक करने के लिए पुराने नोड को चुनने के बाद, निर्णय लिया जाता है: यह नया नोड संक्रमित होगा या नहीं। इस महामारी मॉडल के लिए मास्टर समीकरण है:

: <math>p_r(k,s,t) = r_t \frac 1 t p_r(k-1,s,t) + \left(1 - \frac 1 t \right) p_r(k,s,t),</math>
कहाँ <math>r_t</math> संक्रमित करने के निर्णय का प्रतिनिधित्व करता है (<math>r_t = 1</math>) या नहीं (<math>r_t = 0</math>). इस मास्टर समीकरण को हल करने पर, निम्नलिखित समाधान प्राप्त होता है: <math>\tilde{P}_r(k) = \left(\frac r 2 \right)^k. </math><ref name="cotacallapa-hase">{{cite journal|last1=Cotacallapa|first1=M|last2=Hase|first2=M O|title=Epidemics in networks: a master equation approach|journal=Journal of Physics A|date=2016|volume=49|issue=6|page=065001|doi=10.1088/1751-8113/49/6/065001|bibcode=2016JPhA...49f5001C|arxiv=1604.01049|s2cid=119206200}}</ref>


== बहुपरत नेटवर्क ==
{{main|Multidimensional network}}

बहुपरत नेटवर्क कई प्रकार के संबंधों वाले नेटवर्क होते हैं।<ref>{{cite book |last1=De Domenico |first1=Manlio |title= Multilayer Networks: Analysis and Visualization |date=March 31, 2022 |publisher=Springer |edition=1st}}</ref> सामाजिक नेटवर्क विश्लेषण जैसे विभिन्न क्षेत्रों में बहुआयामी नेटवर्क के रूप में वास्तविक दुनिया प्रणालियों को मॉडल करने का प्रयास किया गया है,<ref>{{cite book |last1=Rossi |first1=Luca |last2=Dickison |first2=Mark E. |last3=Magnani |first3=Matteo |title=बहुपरत सामाजिक नेटवर्क|date=July 18, 2016 |publisher=Cambridge University Press |edition=1st}}</ref> अर्थशास्त्र, इतिहास, शहरी और अंतर्राष्ट्रीय परिवहन, पारिस्थितिकी, मनोविज्ञान, चिकित्सा, जीव विज्ञान, वाणिज्य, जलवायु विज्ञान, भौतिकी, कम्प्यूटेशनल तंत्रिका विज्ञान, संचालन प्रबंधन और वित्त।

== नेटवर्क अनुकूलन ==

संयोजी अनुकूलन के नाम से कुछ करने का एक इष्टतम तरीका खोजने में शामिल नेटवर्क समस्याओं का अध्ययन किया जाता है। उदाहरणों में [[प्रवाह नेटवर्क]], [[सबसे छोटी पथ समस्या]], [[परिवहन समस्या]], ट्रांसशिपमेंट समस्या, सुविधा स्थान समस्या, मिलान (ग्राफ़ सिद्धांत), असाइनमेंट समस्या, पैकिंग समस्या, [[मार्ग]], [[महत्वपूर्ण पथ विश्लेषण]] और [[PERT]] (कार्यक्रम मूल्यांकन और समीक्षा तकनीक) शामिल हैं।

== [[अन्योन्याश्रित नेटवर्क]] ==

अन्योन्याश्रित नेटवर्क ऐसे नेटवर्क होते हैं जहां एक नेटवर्क में नोड्स का कामकाज दूसरे नेटवर्क में नोड्स के कामकाज पर निर्भर करता है। प्रकृति में, नेटवर्क शायद ही कभी अलगाव में दिखाई देते हैं, बल्कि, आमतौर पर नेटवर्क बड़े सिस्टम में तत्व होते हैं, और उस जटिल सिस्टम में तत्वों के साथ इंटरैक्ट करते हैं। इस तरह की जटिल निर्भरता का एक दूसरे पर गैर-तुच्छ प्रभाव हो सकता है। एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया उदाहरण बुनियादी ढांचे के नेटवर्क की अन्योन्याश्रितता है,<ref>{{cite journal |title=महत्वपूर्ण अवसंरचना परस्पर निर्भरता की पहचान करना, समझना और विश्लेषण करना|journal=IEEE Control Systems Magazine |pages=11–25 |doi=10.1109/37.969131 |date=December 2001|volume=21 |issue=6 }}</ref> पावर स्टेशन जो पावर ग्रिड के नोड्स बनाते हैं, उन्हें सड़कों या पाइपों के नेटवर्क के माध्यम से वितरित ईंधन की आवश्यकता होती है और संचार नेटवर्क के नोड्स के माध्यम से भी नियंत्रित किया जाता है। यद्यपि परिवहन नेटवर्क कार्य करने के लिए बिजली नेटवर्क पर निर्भर नहीं करता है, संचार नेटवर्क करता है। इस तरह के बुनियादी ढांचे के नेटवर्क में, या तो बिजली नेटवर्क या संचार नेटवर्क में महत्वपूर्ण संख्या में नोड्स की खराबी से पूरे सिस्टम में व्यापक विफलता हो सकती है, जिससे पूरे सिस्टम के कामकाज में संभावित विनाशकारी परिणाम हो सकते हैं।<ref>{{cite journal |last1=Buldyrev |first1=Sergey V. |title=अन्योन्याश्रित नेटवर्क में विफलताओं का भयावह झरना|journal=Nature |display-authors=etal|pages=1025–1028 |doi=10.1038/nature08932 |date=April 2010|volume=464 |issue=7291 |pmid=20393559 |arxiv=0907.1182 |bibcode=2010Natur.464.1025B |s2cid=1836955 }}</ref> यदि दो नेटवर्कों को अलग-थलग कर दिया जाता है, तो यह महत्वपूर्ण प्रतिक्रिया प्रभाव नहीं देखा जाएगा और नेटवर्क की मजबूती के पूर्वानुमानों को बहुत कम करके आंका जाएगा।

== यह भी देखें ==
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* [[कैस्केडिंग विफलता]]
* [[जटिल नेटवर्क के रूप में जलवायु]]
* [[सहयोगी नवाचार नेटवर्क]]
* [[संचारी पारिस्थितिकी]]
* जटिल नेटवर्क
* नेटवर्क में [[कोर-परिधि संरचना]]एं
* [[दोहरे चरण का विकास]]
* एर्डोस-रेनी मॉडल
* ग्राफ सिद्धांत की शब्दावली
* [[धीरे-धीरे नेटवर्क]]
* [[उच्च श्रेणी सिद्धांत]]
* [[प्रतिरक्षा नेटवर्क सिद्धांत]]
* [[अनियमित युद्ध]]
* [[नेटवर्क प्रबंधन]]
* [[नेटवर्क गतिकी]]
* [[नेटवर्क गठन]]
* [[जोखिम मूल्यांकन में नेटवर्क सिद्धांत]]
* [[नेटवर्क टोपोलॉजी]]
* [[श्रम अर्थशास्त्र में नेटवर्क]]
* गैर रेखीय अधिमान्य लगाव
* [[ टपकन ]]
* परकोलेशन थ्योरी
* [[नीति नेटवर्क विश्लेषण]]
* बहुत
* [[क्वांटम जटिल नेटवर्क]]
* [[ यादृच्छिक नेटवर्क ]]
*सोशल नेटवर्क में फैली अफवाह
* [[स्केल-मुक्त नेटवर्क]]
* [[अनुक्रमिक गतिशील प्रणाली]]
* [[सेवा नेटवर्क]]
* [[छोटी दुनिया के नेटवर्क]]
* [[स्ट्रक्चरल कट-ऑफ]]
* [[सिस्टम सिद्धांत]]
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==संदर्भ==
{{reflist|refs=
<ref name=GT-33>{{cite web|title=Toward a Complex Adaptive Intelligence Community The Wiki and the Blog|url=https://www.cia.gov/library/center-for-the-study-of-intelligence/csi-publications/csi-studies/studies/vol49no3/html_files/Wik_and_%20Blog_7.htm|archive-url=https://web.archive.org/web/20070613110629/https://www.cia.gov/library/center-for-the-study-of-intelligence/csi-publications/csi-studies/studies/vol49no3/html_files/Wik_and_%20Blog_7.htm|url-status=dead|archive-date=June 13, 2007|work=D. Calvin Andrus|publisher=cia.gov|access-date=25 August 2012}}</ref>
}}


==अग्रिम पठन==
* ''[https://www.cambridge.org/us/academic/subjects/physics/statistical-physics/first-course-network-science A First Course in Network Science]'', [[Filippo Menczer|F. Menczer]], S. Fortunato, C.A. Davis. (Cambridge University Press, 2020). {{ISBN|9781108471138}}. [https://github.com/CambridgeUniversityPress/FirstCourseNetworkScience GitHub site] with tutorials, datasets, and other resources
* "Connected: The Power of Six Degrees," https://web.archive.org/web/20111006191031/http://ivl.slis.indiana.edu/km/movies/2008-talas-connected.mov
* {{cite journal | last1 = Cohen | first1 = R. | last2 = Erez | first2 = K. | year = 2000 | title = Resilience of the Internet to random breakdown | url = http://havlin.biu.ac.il/Publications.php?keyword=Resilience+of+the+Internet+to+random+breakdown&year=*&match=all | journal = Phys. Rev. Lett. | volume = 85 | issue = 21| pages = 4626–4628 | doi=10.1103/physrevlett.85.4626| bibcode = 2000PhRvL..85.4626C | pmid=11082612| arxiv = cond-mat/0007048 | citeseerx = 10.1.1.242.6797 | s2cid = 15372152 }}
*{{cite journal | last1 = Pu | first1 = Cun-Lai | last2 = Wen- | last3 = Pei | first3 = Jiang | last4 = Michaelson | first4 = Andrew | year = 2012 | title = Robustness analysis of network controllability | url = http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/201204-24_PhysicaA-RobustnessControllability/201204-24_PhysicaA-RobustnessControllability.pdf | journal = Physica A | volume = 391 | issue = 18 | pages = 4420–4425 | doi = 10.1016/j.physa.2012.04.019 | bibcode = 2012PhyA..391.4420P | access-date = 2013-09-18 | archive-url = https://web.archive.org/web/20161013130539/http://www.barabasilab.com/pubs/CCNR-ALB_Publications/201204-24_PhysicaA-RobustnessControllability/201204-24_PhysicaA-RobustnessControllability.pdf | archive-date = 2016-10-13 | url-status = dead }}
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