View source for प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन

{{short description|Function representing the number of primes less than or equal to a given number}}
{{Redirect|Π(x)|गामा फ़ंक्शन का प्रकार|गामा फ़ंक्शन#पाई फ़ंक्शन}}

गणित में, अभाज्य-गिनती फलन किसी [[वास्तविक संख्या]] ''x'' से कम या उसके समान [[अभाज्य संख्या]]ओं की संख्या की गणना करने वाला [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] है।<ref name="Bach">{{cite book |first=Eric |last=Bach |author2=Shallit, Jeffrey |year=1996 |title=एल्गोरिथम संख्या सिद्धांत|publisher=MIT Press |isbn=0-262-02405-5 |pages=volume 1 page 234 section 8.8 |no-pp=true}}</ref><ref name="mathworld_pcf">{{MathWorld |title=Prime Counting Function |urlname=PrimeCountingFunction}}</ref> इसे π(x) (संख्या π से असंबंधित) द्वारा दर्शाया जाता है। 

[[Image:PrimePi.svg|thumb|right|400px|के मूल्य {{pi}}(n) पहले 60 धनात्मक पूर्णांकों के लिए]]

==विकास दर==
{{main|अभाज्य संख्या प्रमेय}}
[[संख्या सिद्धांत]] में बहुत रुचि प्राइम-काउंटिंग फलन का एसिम्प्टोटिक विश्लेषण है।<ref name="Caldwell">{{cite web | publisher=Chris K. Caldwell | title=How many primes are there? | url=http://primes.utm.edu/howmany.shtml | access-date=2008-12-02 | archive-date=2012-10-15 | archive-url=https://web.archive.org/web/20121015002415/http://primes.utm.edu/howmany.shtml | url-status=dead }}</ref><ref name="Dickson">{{cite book |author-link=L. E. Dickson| first=Leonard Eugene | last=Dickson | year=2005 | title=History of the Theory of Numbers, Vol. I: Divisibility and Primality | publisher=Dover Publications | isbn=0-486-44232-2}}</ref> इसका [[अनुमान]] 18वीं शताब्दी के अंत में [[कार्ल फ्रेडरिक गॉस]] और [[एड्रियन मैरी लीजेंड्रे]] द्वारा लगाया गया था।
<math display=block> \frac x {\log(x)} </math>
जहां लॉग [[प्राकृतिक]] लघुगणक है, इस अर्थ में
<math display=block>\lim_{x\rightarrow\infty} \frac{\pi(x)}{x/\log(x)}=1. </math>
यह कथन [[अभाज्य संख्या प्रमेय]] है। समतुल्य कथन है                                                                                      

<math display=block>\lim_{x\rightarrow\infty}\pi(x) / \operatorname{li}(x)=1</math>
जहां ली [[लघुगणकीय अभिन्न]] फलन है। अभाज्य संख्या प्रमेय को पहली बार 1896 में [[जैक्स हैडामर्ड]] और चार्ल्स जीन डे ला वेली-पौसिन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया था, 1859 में [[बर्नहार्ड रीमैन]] द्वारा प्रारंभ किए गए [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन|रीमैन ज़ेटा]] फलन के गुणों का उपयोग करके। अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाण नहीं ज़ेटा फलन या [[जटिल विश्लेषण]] का उपयोग 1948 के आसपास [[एटले सेलबर्ग]] और पॉल एर्डोस (अधिकांश भाग स्वतंत्र रूप से) द्वारा किया गया था।<ref name="Ireland">{{cite book | first=Kenneth | last=Ireland |author2=Rosen, Michael | year=1998 | title=आधुनिक संख्या सिद्धांत का एक शास्त्रीय परिचय| edition=Second | publisher=Springer | isbn=0-387-97329-X }}</ref>
===अधिक स्पष्ट अनुमान===
1899 में, चार्ल्स जीन डे ला वेली पॉसिन|डे ला वेली पॉसिन ने सिद्ध किया गया कि <ref>See also Theorem 23 of {{cite book |author = A. E. Ingham |author-link = Albert Ingham |title = The Distribution of Prime Numbers |date=2000 |publisher = Cambridge University Press |isbn=0-521-39789-8}}</ref>
<math display=block>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x e^{-a\sqrt{\log x}}\right) \quad\text{as } x \to \infty</math>
कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए a. यहाँ, {{math|''O''(...)}} बड़ा {{mvar|O}}अंकन है।

<math>\pi(x)\!</math> का अधिक स्पष्ट अनुमान! अब ज्ञात हो गए हैं. उदाहरण के लिए, 2002 में केविन फोर्ड ने यह सिद्ध किया था<ref name="Ford">{{cite journal |author = Kevin Ford |title=रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए विनोग्रादोव का इंटीग्रल और बाउंड्स|journal=Proc. London Math. Soc. |date=November 2002 |volume=85 |issue=3 |pages=565–633 |url=https://faculty.math.illinois.edu/~ford/wwwpapers/zetabd.pdf |doi=10.1112/S0024611502013655 |arxiv=1910.08209 |s2cid=121144007 }}</ref> 
<math display=block>\pi(x) = \operatorname{li} (x) + O \left(x \exp \left( -0.2098(\log x)^\frac35 (\log \log x)^{-\frac 1 5} \right) \right).</math>
मॉसिंगहॉफ और ट्रुडजियन ने <math>\pi(x)</math> और <math>\operatorname{li}(x)</math>: के बीच अंतर के लिए एक स्पष्ट ऊपरी सीमा सिद्ध की है।<ref>{{cite journal | first1 = Michael J. | last1 = Mossinghoff  | first2 = Timothy S. | last2 = Trudgian | title = रीमैन ज़ेटा-फ़ंक्शन के लिए गैर-नकारात्मक त्रिकोणमितीय बहुपद और एक शून्य-मुक्त क्षेत्र| journal = J. Number Theory | volume = 157 | year = 2015 | pages = 329–349 | arxiv = 1410.3926 | doi = 10.1016/J.JNT.2015.05.010| s2cid = 117968965 }}</ref>
<math display=block>\big| \pi(x) - \operatorname{li}(x) \big| \le 0.2593 \frac{x}{(\log x)^{3/4}} \exp \left( -\sqrt{ \frac{\log x}{6.315} } \right)</math>
के लिए <math>x \ge 229</math>.

<math>x</math> के मानों के लिए जो अनुचित रूप से बड़े नहीं हैं, <math>\operatorname{li}(x)</math> <math>\pi(x)</math> से बड़ा है। चूँकि ,<math> \pi(x) - \operatorname{li}(x)</math> को अनंत बार संकेत बदलने के लिए जाना जाता है। इस पर चर्चा के लिए स्केव्स का नंबर देखें।

===स्पष्ट रूप===


<math>x>1</math> के लिए मान लीजिए कि <math>\pi_0 (x)=\pi(x)-1/2</math> जब <math>x</math> एक अभाज्य संख्या है, और अन्यथा <math>\pi_0 (x)=\pi(x)</math> बर्नहार्ड रीमैन ने अपने काम ऑन द नंबर ऑफ़ प्राइम्स लेस दैन अ गिवेन मैग्निट्यूड में सिद्ध किया कि <math>\pi_0(x)</math>समान है<ref>{{Cite web|url=http://ism.uqam.ca/~ism/pdf/Hutama-scientific%20report.pdf|title=सेज में तर्कसंगत और गाऊसी अभाज्य के लिए रीमैन के स्पष्ट सूत्र का कार्यान्वयन|last=Hutama|first=Daniel|date=2017|website=Institut des sciences mathématiques}}</ref>
<math display="block">\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho),</math>
कहाँ
<math display=block>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}),</math>
{{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फलन है, {{math|li(''x'')}} लॉगरिदमिक इंटीग्रल फलन है, ρ रीमैन ज़ेटा फलन के प्रत्येक शून्य को अनुक्रमित करता है, और {{math|li(''x<sup>ρ/n</sup>'')}} का मूल्यांकन ब्रांच कट के साथ नहीं किया जाता है, चूँकि इसे {{math|Ei({{sfrac|''ρ''|''n''}} log ''x'')}} के रूप में माना जाता है x) जहां {{math|Ei(''x'')}} घातांकीय समाकलन है। यदि तुच्छ शून्य एकत्र किए जाते हैं और योग केवल रीमैन ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य ρ पर लिया जाता है, तो <math>\pi_0(x)</math> का अनुमान लगाया जा सकता है<ref name="RieselGohl">{{Cite journal | author1-link=Hans Riesel | last1=Riesel | first1=Hans | last2=Göhl | first2=Gunnar | title=रीमैन के अभाज्य संख्या सूत्र से संबंधित कुछ गणनाएँ| doi=10.2307/2004630 | mr=0277489  | year=1970 | journal=[[Mathematics of Computation]] | issn=0025-5718 | volume=24 | issue=112 | pages=969–983 | jstor=2004630 | publisher=American Mathematical Society |url=https://www.ams.org/journals/mcom/1970-24-112/S0025-5718-1970-0277489-3/S0025-5718-1970-0277489-3.pdf }}</ref>
<math display=block>\pi_0(x) \approx \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \frac{1}{\log{x}} + \frac{1}{\pi} \arctan{\frac{\pi}{\log{x}}} .</math>
रीमैन परिकल्पना से पता चलता है कि ऐसा प्रत्येक गैर-तुच्छ शून्य {{math|1=Re(''s'') = {{sfrac|1|2}}}} के अनुदिश होता है

=={{pi}}(x), x / log x, और li(x) की तालिका==

तालिका दर्शाती है कि ये तीनों कैसे कार्य करते हैं {{pi}}(x), x / log x और li(x) की तुलना 10 की घात पर करें। यह भी देखें,<ref name="Caldwell" /><ref name="Silva">{{cite web |title=Tables of values of pi(x) and of pi2(x) |url=http://www.ieeta.pt/~tos/primes.html |publisher=Tomás Oliveira e Silva |access-date=2008-09-14}}</ref> <ref name="Gourdon">{{cite web |title=pi(x) के मानों की एक तालिका|url=http://numbers.computation.free.fr/Constants/Primes/pixtable.html |publisher=Xavier Gourdon, Pascal Sebah, Patrick Demichel |access-date=2008-09-14}}</ref>
:{| class="wikitable" style="text-align: right"
! ''x'' 
! {{pi}}(''x'')
! {{nowrap|{{pi}}(''x'') − ''x'' / log ''x''}}
! {{nowrap|li(''x'') − {{pi}}(''x'')}}
! {{nowrap|''x'' / {{pi}}(''x'')}}
!{{nowrap|''x'' / log ''x''  % Error}}
|-
| 10
| 4
| 0
| 2
| 2.500
| -8.57%
|-
| 10<sup>2</sup>
| 25
| 3
| 5
| 4.000
|13.14%
|-
| 10<sup>3</sup>
| 168
| 23
| 10
| 5.952
|13.83%
|-
| 10<sup>4</sup>
| 1,229
| 143
| 17
| 8.137
|11.66%
|-
| 10<sup>5</sup>
| 9,592
| 906
| 38
| 10.425
|9.45%
|-
| 10<sup>6</sup>
| 78,498
| 6,116
| 130
| 12.739
|7.79%
|-
| 10<sup>7</sup>
| 664,579
| 44,158
| 339
| 15.047
|6.64%
|-
| 10<sup>8</sup>
| 5,761,455
| 332,774
| 754
| 17.357
|5.78%
|-
| 10<sup>9</sup>
| 50,847,534
| 2,592,592
| 1,701
| 19.667
|5.10%
|-
| 10<sup>10</sup>
| 455,052,511
| 20,758,029
| 3,104
| 21.975
|4.56%
|-
| 10<sup>11</sup>
| 4,118,054,813
| 169,923,159
| 11,588
| 24.283
|4.13%
|-
| 10<sup>12</sup>
| 37,607,912,018
| 1,416,705,193
| 38,263
| 26.590
|3.77%
|-
| 10<sup>13</sup>
| 346,065,536,839
| 11,992,858,452
| 108,971
| 28.896
|3.47%
|-
| 10<sup>14</sup>
| 3,204,941,750,802
| 102,838,308,636
| 314,890
| 31.202
|3.21%
|-
| 10<sup>15</sup>
| 29,844,570,422,669
| 891,604,962,452
| 1,052,619
| 33.507
|2.99%
|-
| 10<sup>16</sup>
| 279,238,341,033,925
| 7,804,289,844,393
| 3,214,632
| 35.812
|2.79%
|-
| 10<sup>17</sup>
| 2,623,557,157,654,233
| 68,883,734,693,928
| 7,956,589
| 38.116
|2.63%
|-
| 10<sup>18</sup>
| 24,739,954,287,740,860
| 612,483,070,893,536
| 21,949,555
| 40.420
|2.48%
|-
| 10<sup>19</sup>
| 234,057,667,276,344,607
| 5,481,624,169,369,961
| 99,877,775
| 42.725
|2.34%
|-
| 10<sup>20</sup>
| 2,220,819,602,560,918,840
| 49,347,193,044,659,702
| 222,744,644
| 45.028
|2.22%
|-
| 10<sup>21</sup>
| 21,127,269,486,018,731,928
| 446,579,871,578,168,707
| 597,394,254
| 47.332
|2.11%
|-
| 10<sup>22</sup>
| 201,467,286,689,315,906,290
| 4,060,704,006,019,620,994
| 1,932,355,208
| 49.636
|2.02%
|-
| 10<sup>23</sup>
| 1,925,320,391,606,803,968,923
| 37,083,513,766,578,631,309
| 7,250,186,216
| 51.939
|1.93%
|-
| 10<sup>24</sup>
| 18,435,599,767,349,200,867,866
| 339,996,354,713,708,049,069
| 17,146,907,278
| 54.243
|1.84%
|-
| 10<sup>25</sup>
| 176,846,309,399,143,769,411,680
| 3,128,516,637,843,038,351,228
| 55,160,980,939
| 56.546
|1.77%
|-
| 10<sup>26</sup>
| 1,699,246,750,872,437,141,327,603
| 28,883,358,936,853,188,823,261
| 155,891,678,121
| 58.850
|1.70%
|-
|10<sup>27</sup>
|16,352,460,426,841,680,446,427,399
|267,479,615,610,131,274,163,365
|508,666,658,006
|61.153
|1.64%
|-
|10<sup>28</sup>
|157,589,269,275,973,410,412,739,598
|2,484,097,167,669,186,251,622,127
|1,427,745,660,374
|63.456
|1.58%
|-
|10<sup>29</sup>
|1,520,698,109,714,272,166,094,258,063
|23,130,930,737,541,725,917,951,446
|4,551,193,622,464
|65.759
|1.52%
|}
[[File:Prime number theorem ratio convergence.svg|thumb|300px|प्राइम-काउंटिंग फलन का अनुपात दिखाने वाला ग्राफ़ {{pi}}(x) इसके दो सन्निकटनों, x/log x और Li(x)। जैसे-जैसे x बढ़ता है (ध्यान दें कि x अक्ष लघुगणकीय है), दोनों अनुपात 1 की ओर बढ़ते हैं। x/log x का अनुपात ऊपर से बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होता है, जबकि Li(x) का अनुपात नीचे से अधिक तेज़ी से परिवर्तित होता है।]]पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में, {{pi}}(x) कॉलम अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A006880}}, {{nowrap| {{pi}}(''x'') − ''x''/log ''x''}} अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A057835}}, और {{nowrap|li(''x'') − {{pi}}(''x'')}} अनुक्रम है {{OEIS2C|id=A057752}}.

{{pi}}(10<sup>24</sup>) के मान की गणना मूल रूप से जे. ब्यूथे, जे. फ्रांके, ए. जोस्ट और टी. क्लेनजंग ने रीमैन परिकल्पना को मानते हुए की थी।<ref name="Franke">{{cite web |title=Conditional Calculation of pi(10<sup>24</sup>) |url=http://primes.utm.edu/notes/pi(10%5E24).html |publisher=Chris K. Caldwell |access-date=2010-08-03}}</ref> इसे बाद में डी. जे. प्लैट द्वारा एक गणना में बिना नियम सत्यापित किया गया। {{pi}}(10<sup>25</sup>) का मान जे. ब्यूथे, जे. फ्रांके, ए. जोस्ट, और टी. क्लेनजंग के कारण है।<ref name="Buethe">{{cite web |title=How Many Primes Are There? |url=http://www.math.uni-bonn.de/people/jbuethe/topics/AnalyticPiX.html |publisher=J. Buethe |access-date=2015-09-01}}</ref> {{pi}}(10<sup>26</sup>) के मान की गणना डी.बी. स्टेपल द्वारा की गई थी।<ref name="Staple">{{cite thesis |title=pi(x) की गणना के लिए कॉम्बिनेटोरियल एल्गोरिदम|date=19 August 2015 |url=http://dalspace.library.dal.ca/handle/10222/60524 |publisher=Dalhousie University |access-date=2015-09-01|type=Thesis |last1=Staple |first1=Douglas }}</ref> इस तालिका में अन्य सभी पूर्व प्रविष्टियों को भी उस कार्य के भाग के रूप में सत्यापित किया गया था।

10<sup>27</sup> का मान की घोषणा 2015 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web|website=Mersenne Forum|first=Kim |last=Walisch|title=New confirmed pi(10^27) prime counting function record|date=September 6, 2015|url=http://www.mersenneforum.org/showthread.php?t=20473}}</ref>

10<sup>28</sup> का मान की घोषणा 2020 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Oct 26, 2020 |title=New confirmed pi(10^28) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref>

10<sup>29</sup> का मान की घोषणा 2022 में डेविड बॉघ और किम वालिस्क द्वारा की गई थी।<ref>{{cite web |last=Baugh |first=David |date=Feb 28, 2022 |title=New confirmed pi(10^29) prime counting function record |url=https://oeis.org/A006880 |website=OEIS}}</ref>



== मूल्यांकन के लिए एल्गोरिदम {{pi}}(x) ==

<math>\pi(x)</math> को खोजने का एक आसान विधि यदि <math>x</math> बहुत बड़ा नहीं है, तो एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके <math>x</math> से कम या उसके समान अभाज्य प्राप्त करें और फिर उन्हें गिनना है.


<math>\pi(x)</math> को खोजने का एक अधिक विस्तृत विधि लीजेंड्रे (समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत का उपयोग करके) के कारण है: दिया गया <math>x</math>, यदि <math>p_1,p_2,\ldots,p_n</math> अलग-अलग अभाज्य संख्याएँ हैं, तो <math>x</math> से कम या उसके समान पूर्णांकों की संख्या जो किसी भी <math>p_i</math> से विभाज्य नहीं है

:<math>\lfloor x\rfloor - \sum_{i}\left\lfloor\frac{x}{p_i}\right\rfloor + \sum_{i<j} \left\lfloor\frac{x}{p_ip_j}\right\rfloor - \sum_{i<j<k}\left\lfloor\frac{x}{p_ip_jp_k}\right\rfloor + \cdots</math>
जहां <math>\lfloor{x}\rfloor</math> फ्लोर फलन को दर्शाता है)। इसलिए यह संख्या समान है

:<math>\pi(x)-\pi\left(\sqrt{x}\right)+1</math>


जब संख्याएँ <math>p_1, p_2,\ldots,p_n</math>, <math>x</math> के वर्गमूल से कम या उसके समान की अभाज्य संख्याएँ हों।

=== मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम ===

{{main|मीसेल-लेहमर एल्गोरिदम}}

1870 और 1885 के बीच प्रकाशित लेखों की एक श्रृंखला में, अर्न्स्ट मीसेल ने मूल्यांकन करने का एक व्यावहारिक संयोजनात्मक विधि बताया (और उपयोग किया) <math>\ \pi(x)\ :</math> मान लीजिए कि <math>\ p_1, p_2, \ldots, p_n\ </math>,<math>\ n\ </math>पहले <math>\Phi(m,n)</math> अभाज्य हैं और निरूपित करते हैं <math>\Phi(m,n)</math> से प्राकृतिक संख्याओं की संख्या <math>\ m\ </math> से अधिक नहीं है जो किसी भी <math>\ p_i\ </math> के लिए किसी भी <math>\ i \leq n\ .</math> से विभाज्य नहीं हैं

: <math>\Phi(m,n)=\Phi(m,n-1)-\Phi\left(\frac m {p_n},n-1\right).</math>
एक प्राकृत संख्या दी गई है <math>\ m\ ,</math>यदि <math>\ n = \pi\left(\sqrt[3]{m}\right)\ </math> और यदि<math>\ \mu = \pi\left(\sqrt{m}\right) - n\ ,</math> है तो

:<math>\pi(m) = \Phi(m,n)+n(\mu+1)+\frac{\mu^2-\mu} 2 - 1 - \sum_{k=1}^\mu\pi\left(\frac m {p_{n+k}}\right)\ .</math>



इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए, मीसेल ने <math>\ \pi(x)\ ,</math> के लिए <math>\ x\ </math> की गणना 5×{{10^|5}}, {{10^|6}}, {{10^|7}}, और {{10^|8}} के समान्य की।

1959 में, डेरिक हेनरी लेहमर ने मीसेल की पद्धति का विस्तार और सरलीकरण किया। परिभाषित करें, वास्तविक <math>\ m\ </math> के लिए और प्राकृतिक संख्याओं <math>\ n\ </math>और <math>\ k\ ,</math> के लिए <math>\ P_k(m,n)\ </math> बिल्कुल k अभाज्य कारकों के साथ m से अधिक नहीं होने वाली संख्याओं की संख्या, सभी <math>\ p_n\ .</math>से अधिक इसके अतिरिक्त सेट करें <math>\ P_0(m,n) = 1\ .</math> फिर

:<math>\ \Phi(m,n) = \sum_{k=0}^{+\infty} P_k(m,n)\ </math>
जहां योग में वास्तव में केवल सीमित रूप से कई गैर-शून्य पद होते हैं। होने देना <math>\ y\ </math> पूर्णांक को इस प्रकार निरूपित करें <math>\ \sqrt[3]{m\ } \le y \le \sqrt{m\ }\ ,</math> और सेट करें <math>\ n = \pi(y)\ .</math> तब <math>\ P_1(m,n) = \pi(m) - n\ </math> और <math>\ P_k(m,n) = 0\ </math> जब <math>\ k \geq 3\ .</math> इसलिए,

:<math>\ \pi(m) = \Phi(m,n) + n - 1 - P_2(m,n)\ </math>
की गणना <math>\ P_2(m,n)\ </math> इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है:

:<math>P_2(m,n) = \sum_{y < p \le \sqrt{m\ } } \left( \pi \left( \frac m p \right) - \pi(p) + 1\right)\ ,</math>
जहां योग अभाज्य संख्याओं से अधिक है।

दूसरी ओर, की गणना <math>\ \Phi(m,n)\ </math> निम्नलिखित नियमों का उपयोग करके किया जा सकता है:

#<math>\ \Phi(m,0) = \lfloor m\rfloor\ </math>
#<math>\ \Phi(m,b) = \Phi(m,b-1) - \Phi\left(\frac m{p_b},b-1\right)\ </math>


इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।<ref name="pix_comp">{{cite journal |author1 = Deléglise, Marc |author2 = Rivat, Joel |date=January 1996 |title=कंप्यूटिंग {{गणित|&pi;(''x'')}}: The Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko method  |journal=Mathematics of Computation |volume=65 |issue=213 |pages=235–245 |doi = 10.1090/S0025-5718-96-00674-6 |doi-access=free |url=https://www.ams.org/mcom/1996-65-213/S0025-5718-96-00674-6/S0025-5718-96-00674-6.pdf }}</ref>

अपनी विधि और आईबीएम 701 का उपयोग करके, लेहमर <math>\ \pi\left(10^{9}\right)\ </math>के सही मान की गणना करने में सक्षम था और <math>\pi\left(10^{10}\right)</math> के सही मान से चूक गया 1 से है <ref name="lehmer">{{cite journal |last=Lehmer |first=Derrick Henry |date=1 April 1958 |title=दी गई सीमा से कम अभाज्य संख्याओं की सटीक संख्या पर|journal=Illinois J. Math. |volume=3 |issue=3 |pages=381–388 |url=https://projecteuclid.org/download/pdf_1/euclid.ijm/1255455259 |access-date=1 February 2017 }}</ref>.इस पद्धति में और सुधार लैगरियास, मिलर, ओडलीज़को, डेलेग्लिज़ और रिवाट द्वारा किए गए।<ref name="pix_comp" />

==अन्य अभाज्य-गणना कार्य==

अन्य प्राइम-काउंटिंग कार्य का भी उपयोग किया जाता है क्योंकि उनके साथ काम करना अधिक सुविधाजनक होता है।

===रीमैन का प्राइम-पॉवर गिनती फ़ंक्शन===
रीमैन के प्राइम-पावर काउंटिंग फलन को सामान्यतः <math>\ \Pi_0(x)\ </math> <math>\ J_0(x)\ .</math>के रूप में दर्शाया जाता है, इसमें प्राइम पावर <math>\ \tfrac{1}{\ n\ }\ </math> पर <math>\ p^n\ ,</math> की छलांग होती है और यह <math>\ \pi(x)\ .</math> के असंततता पर दोनों पक्षों के बीच आधे रास्ते का मान लेता है, अतिरिक्त विवरण का उपयोग किया जाता है क्योंकि तब फलन को व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

औपचारिक रूप से, हम परिभाषित कर सकते हैं <math>\ \Pi_0(x)\ </math> द्वारा
:<math>\ \Pi_0(x) = \frac{1}{2} \left( \sum_{p^n < x} \frac{1}{n} ~ + ~ \sum_{p^n \le x} \frac{1}{n} \right)\ </math>
जहां चर {{mvar|p}} प्रत्येक योग में निर्दिष्ट सीमाओं के अंदर सभी अभाज्य संख्याओं पर सीमा होती है।

हम भी लिख सकते हैं
:<math>\ \Pi_0(x) = \sum_{n=2}^x \frac{\Lambda(n)}{\log n} - \frac{\Lambda(x)}{2\log x} = \sum_{n=1}^\infty \frac 1 n \pi_0\bigl(x^{1/n}\bigr)\ </math>
जहाँ <math>\ \Lambda(n)\ </math> [[मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा|मैंगोल्ड्ट फलन द्वारा]] है और

::::::::::::::::::::<math>\pi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\ \pi(x-\varepsilon) + \pi(x+\varepsilon)\ }{2}\ .</math>
मोबियस व्युत्क्रम सूत्र तब देता है
:<math>\pi_0(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{\ \mu(n)\ }{n}\ \Pi_0\bigl(x^{1/n}\bigr)\ ,</math>
जहाँ <math>\ \mu(n)\ </math> मोबियस फलन है।

रीमैन ज़ेटा फलन के लघुगणक और वॉन मैंगोल्ड फलन के बीच संबंध को जानना <math>\Lambda</math>, और हमारे पास उपस्थित [[पेरोन सूत्र]] का उपयोग कर रहे हैं
:<math>\ \log \zeta(s) = s \int_0^\infty \Pi_0(x) x^{-s-1}\ \mathrm{d}x\ </math>


=== चेबीशेव का कार्य ===
चेबीशेव कार्य {{math|log(''p'')}}द्वारा अभाज्य संख्याओं या अभाज्य शक्तियों {{mvar| p{{sup|n}} }} का वजन करता है:

:<math>\ \theta(x) = \sum_{p\le x} \log p\ </math>
:<math>\ \psi(x)\ =\ \sum_{p^n \le x} \log p
\ =\ \sum_{n=1}^\infty \theta \bigl( x^{1/n} \bigr)
\ =\ \sum_{n \le x}\Lambda(n)\ .</math>
के लिए <math>x\geq 2</math>,
:<math>\ \vartheta(x) = \pi(x)\ \log x\ - \ \int_2^x \frac{\ \pi(t)\ }{t}\ \mathrm{d} t\ </math>
और
:<math>\ \pi(x)=\frac{\vartheta(x)}{\ \log x\ } + \int_2^x \frac{\vartheta(t)}{\ t\ \log^{2}(t)\ }\ \mathrm{d} t\ .</math><ref>{{cite book |last=Apostol |first=Tom M. |year=2010 |title=विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत का परिचय|publisher=Springer}}</ref>


==अभाज्य-गणना कार्यों के लिए सूत्र==

अभाज्य-गणना कार्यों के सूत्र दो प्रकार के होते हैं: अंकगणितीय सूत्र और विश्लेषणात्मक सूत्र। अभाज्य-गणना के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र सबसे पहले अभाज्य संख्या प्रमेय को सिद्ध करने के लिए उपयोग किए गए थे। वे रीमैन और [[हंस कार्ल फ्रेडरिक वॉन मैंगोल्ड्ट]] के काम से उपजे हैं, और सामान्यतः [[स्पष्ट सूत्र (एल-फ़ंक्शन)]] के रूप में जाने जाते हैं।<ref name="Titchmarsh">{{cite book |first=E.C. |last=Titchmarsh |year=1960 |title=The Theory of Functions, 2nd ed. |publisher=Oxford University Press}}</ref>

हमारे पास ψ के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति है:

:<math>\psi_0(x) = x - \sum_\rho \frac{x^\rho}{\rho} - \log 2\pi - \frac{1}{2} \log\left(1-x^{-2}\right),</math>
कहाँ

: <math>\psi_0(x) = \lim_{\varepsilon \to 0} \frac{\psi(x - \varepsilon) + \psi(x + \varepsilon)}{2}.</math>
यहां ρ क्रिटिकल स्ट्रिप में रीमैन ज़ेटा फलन के शून्य हैं, जहां ρ का वास्तविक भाग शून्य और के बीच है। सूत्र से अधिक x के मानों के लिए मान्य है, जो रुचि का क्षेत्र है। जड़ों पर योग सनियम रूप से अभिसरण है, और इसे काल्पनिक भाग के पूर्ण मूल्य में वृद्धि के क्रम में लिया जाना चाहिए। ध्यान दें कि तुच्छ जड़ों पर समान योग सूत्र में अंतिम उपप्रकार देता है।

के लिए <math>\Pi_0(x)</math> हमारे पास अधिक जटिल सूत्र है

:<math>\Pi_0(x) = \operatorname{li}(x) - \sum_{\rho} \operatorname{li}(x^\rho) - \log 2 + \int_x^\infty \frac{dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}.</math>

[[File:Riemann Explicit Formula.gif|thumb|ज़ेटा फलन के पहले 200 गैर-तुच्छ शून्य का उपयोग करते हुए रीमैन का स्पष्ट सूत्र]]पुनः, सूत्र x > 1 के लिए मान्य है, जबकि ρ उनके निरपेक्ष मान के अनुसार क्रमित ज़ेटा फलन के गैर-तुच्छ शून्य हैं। अभिन्न तुच्छ शून्यों पर श्रृंखला के समान है:

:<math>\int_x^\infty \frac{\mathrm dt}{t \left(t^2 - 1\right) \log t}=\int_x^\infty \frac{1}{t\log t}
\left(\sum_{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm dt=\sum_{m}\int_x^\infty \frac{t^{-2m}}{t\log t}
\,\mathrm dt \,\,\overset{(u=t^{-2m})}{=}-\sum_{m} \operatorname{li}(x^{-2m})
</math>
पहला पद li(''x'') सामान्य लघुगणकीय अभिन्न फलन है; दूसरे पद में अभिव्यक्ति li(''x<sup>ρ</sup>'') को Ei(''ρ'' log ''x'') के रूप में माना जाना चाहिए, जहां Ei सकारात्मक वास्तविकताओं के साथ शाखा कट के साथ नकारात्मक वास्तविकताओं से जटिल विमान तक घातीय अभिन्न फलन की विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

इस प्रकार, मोबियस व्युत्क्रम सूत्र हमें देता है<ref name="RieselGohl" />

:<math>\pi_0(x) = \operatorname{R}(x) - \sum_{\rho}\operatorname{R}(x^\rho) - \sum_{m} \operatorname{R}(x^{-2m})</math>
x > 1 के लिए मान्य, जहाँ

:<math>\operatorname{R}(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n} \operatorname{li}(x^{1/n}) = 1 + \sum_{k=1}^\infty \frac{(\log x)^k}{k! k \zeta(k+1)}</math>
रीमैन का आर-फलन है<ref name="mathworld_r">{{MathWorld |title=Riemann Prime Counting Function |urlname=RiemannPrimeCountingFunction}}</ref> और {{math|''μ''(''n'')}} मोबियस फलन है। इसके लिए बाद वाली श्रृंखला को ग्राम श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।<ref name="Riesel94">{{cite book | title=गुणनखंडन के लिए अभाज्य संख्याएँ और कंप्यूटर विधियाँ| edition=2nd | first=Hans | last=Riesel | author-link=Hans Riesel | series=Progress in Mathematics | volume=126 | publisher=Birkhäuser | year=1994 | isbn=0-8176-3743-5 | pages=50–51 }}</ref><ref name="mathworld_gram">{{MathWorld |title=Gram Series |urlname=GramSeries}}</ref> क्योंकि सभी <math>x > 0</math> के लिए<math>\log(x) < x</math>, यह श्रृंखला <math>e^x</math> की श्रृंखला की तुलना में सभी सकारात्मक x के लिए अभिसरण करती है। गैर-तुच्छ शून्य योगदान पर योग की ग्राम श्रृंखला में लघुगणक का मूल्यांकन <math>\log x^\rho
</math> के रूप में नहीं किंतु <math>\rho\log x 
</math> के रूप में किया जाना चाहिए।

फ़ोकमर बोर्नमैन ने परीक्षण किया<ref>{{cite web |last=Bornemann | first=Folkmar |title=Solution of a Problem Posed by Jörg Waldvogel |url=http://www-m3.ma.tum.de/bornemann/RiemannRZero.pdf }}</ref> जब यह अनुमान लगाया गया कि रीमैन ज़ेटा फलन के सभी शून्य सरल हैं, <ref group="note">[[Hugh Lowell Montgomery|Montgomery]] showed that (assuming the Riemann hypothesis) at least 2/3 of all zeros are simple.</ref> कि
:<math>\operatorname{R}(e^{-2\pi t})=\frac{1}{\pi}\sum_{k=1}^\infty\frac{(-1)^{k-1}t^{-2k-1}}{(2k+1)\zeta(2k+1)}+\frac12\sum_{\rho}\frac{t^{-\rho}}{\rho\cos(\pi\rho/2)\zeta'(\rho)}</math>
जहाँ <math>\rho</math> रीमैन ज़ेटा फलन और <math>t>0</math> के गैर-तुच्छ शून्य पर चलता है।

सूत्र में गैर-तुच्छ जीटा शून्य से अधिक का योग <math>\pi_0(x)</math> के उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है <math>\pi_0(x),</math> जबकि शेष पद अभाज्य-गणना कार्य का सुचारू भाग देते हैं,<ref name="Watkins">{{cite web |title=जीटा शून्य द्वारा प्राइम वितरण की एन्कोडिंग|url=http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/mrwatkin/zeta/encoding1.htm |publisher=Matthew Watkins |access-date=2008-09-14}}</ref> तो कोई भी उपयोग कर सकता है

:<math>\operatorname{R}(x) - \sum_{m=1}^\infty \operatorname{R}(x^{-2m})</math>
x > 1 के लिए <math>\pi(x)</math>के एक अच्छे अनुमानक के रूप में। वास्तव में, चूंकि दूसरा पद 0 के पास <math>x\to\infty</math> के रूप में पहुंचता है, जबकि "ध्वनि" भाग का आयाम अनुमानित रूप से<math>\sqrt{x}/\log x,</math> <math>\pi(x)</math> केवल <math>\operatorname{R}(x)</math> द्वारा ही उतना ही अच्छा है, और अभाज्य संख्याओं के वितरण में उतार-चढ़ाव को फलन के साथ स्पष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है

:<math>\bigl( \pi_0(x) - \operatorname{R}(x)\bigr) \frac{\log x}{\sqrt x}.</math>


==असमानताएं==
यहां {{pi}}(''x'') कुछ उपयोगी असमानताएं दी गई हैं 

:<math> \frac x {\log x} < \pi(x) < 1.25506 \frac x {\log x} </math>
x ≥ 17 के लिए.

बायीं असमानता x ≥ 17 के लिए है और दाहिनी असमानता x > 1 के लिए है। स्थिरांक 1.25506 है <math display="inline">\frac{30 \log 113}{113}</math> 5 दशमलव स्थानों तक, जैसे <math display="inline">\frac{\pi(x) \log x}{x}</math> इसका अधिकतम मान x = 113 पर है।<ref>{{Cite journal | author-link = J. Barkley Rosser | last1 = Rosser | first1 = J. Barkley | last2 = Schoenfeld | first2 = Lowell | title = अभाज्य संख्याओं के कुछ कार्यों के लिए अनुमानित सूत्र| journal = Illinois J. Math. | year = 1962 | volume = 6 | pages = 64–94 | doi = 10.1215/ijm/1255631807 | zbl = 0122.05001 | issn = 0019-2082 | url = https://projecteuclid.org/euclid.ijm/1255631807 | doi-access = free }}</ref>

[[पियरे डुसार्ड]] ने 2010 में सिद्ध किया:

:<math> \frac {x} {\log x - 1} < \pi(x)</math> के लिए <math>x \ge 5393</math>, और

:<math> \pi(x) <  \frac {x} {\log x - 1.1}</math> के लिए <math>x \ge 60184</math>.<ref name="Dusart2010">{{cite arXiv  |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |eprint=1002.0442v1 |title = आर.एच. के बिना अभाज्यों पर कुछ कार्यों का अनुमान|class = math.NT |date = 2 Feb 2010 }}</ref>
यहां nवें अभाज्य, ''p<sub>n</sub>'' पृष्ठ के लिए कुछ असमानताएं दी गई हैं ऊपरी सीमा रोसेर (1941) के कारण है,<ref>{{cite journal
| author-link=J. Barkley Rosser
| last       = Rosser
| first      = Barkley
| date       = 1941
| title      = Explicit bounds for some functions of prime numbers
| jstor        = 2371291
| journal    = American Journal of Mathematics
| volume     = 63
| issue      = 1
| pages      = 211–232
| doi        = 10.2307/2371291
}}</ref> निचली सीमा डुसार्ट (1999) के कारण है:<ref>{{cite journal
| author-link=Pierre Dusart
| last       = Dusart
| first      = Pierre
| date       = 1999
| title      = The <math>k</math>th prime is greater than <math>k(\ln k+\ln\ln k-1)</math> for <math>k\ge 2</math>

| journal    = Mathematics of Computation
| volume     = 68
| issue      = 225
| pages      = 411–415
| doi        =  10.1090/S0025-5718-99-01037-6
| doi-access= free
}}</ref>

<math> n (\log (n \log n) - 1) < p_n < n {\log (n \log n)} </math> n ≥ 6 के लिए.है।

बायीं असमानता n ≥ 2 के लिए है और दाहिनी असमानता n ≥ 6 के लिए है।

nवें अभाज्य संख्या के लिए अनुमान है
:<math> p_n = n (\log (n \log n) - 1) + \frac {n (\log \log n - 2)} {\log n} + 
O\left( \frac {n (\log \log n)^2} {(\log n)^2}\right). </math>


रामानुजन<ref>{{Cite book|url=https://books.google.com/books?id=QoMHCAAAQBAJ|title=रामानुजन की नोटबुक, भाग IV|last=Berndt|first=Bruce C.|date=2012-12-06|pages=112–113|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=9781461269328|language=en}}</ref> ने असमानता को सिद्ध किया
:<math>\pi(x)^2 < \frac{ex}{\log x} \pi\left( \frac{x}{e} \right)</math>
<math>x</math> के सभी पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए धारण करता है 

डुसार्ट ने सिद्ध किया (प्रस्ताव 6.6) कि <math>n \ge 688383</math> के लिए।<ref name="Dusart2010" />
:<math>p_n \le n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2}{\log n} \right),</math> और (प्रस्ताव 6.7) कि, के लिए <math>n \ge 3</math>,
:<math>p_n \ge n \left( \log n + \log \log n - 1 + \frac{\log \log n - 2.1}{\log n} \right) .</math>
अभी वर्तमान ही में, डुसार्ट<ref>{{cite journal |last = Dusart |first = Pierre |author-link = Pierre Dusart |title = अभाज्य संख्याओं पर कुछ कार्यों का स्पष्ट अनुमान|journal = Ramanujan Journal |volume = 45 |issue = 1 |pages=225–234 |date = January 2018 |doi = 10.1007/s11139-016-9839-4|s2cid = 125120533 }}</ref>

सिद्ध कर दिया है (प्रमेय 5.1) कि, के लिए <math>x > 1</math>,
:<math>\pi(x) \le \frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} + \frac{7.59}{\log^3 x} \right)</math> ,
और वह, के लिए <math>x \ge 88789</math>,
:<math> \pi(x) > \frac{x}{\log x} \left( 1 + \frac{1}{\log x} + \frac{2}{\log^2 x} \right) .</math>


==रीमैन परिकल्पना==

रीमैन परिकल्पना का तात्पर्य <math>\pi(x)</math> के अनुमान में त्रुटि पर बहुत सख्त बंधन से है, और इसलिए अभाज्य संख्याओं का अधिक नियमित वितरण है,

:<math>\pi(x) = \operatorname{li}(x) + O(\sqrt{x} \log{x}).</math>
विशेष रूप से,<ref>{{Cite journal | last1=Schoenfeld | first1=Lowell |author-link=Lowell Schoenfeld| title=Sharper bounds for the Chebyshev functions ''θ''(''x'') and ''ψ''(''x''). II | doi=10.2307/2005976 | mr=0457374  | year=1976 | journal=[[Mathematics of Computation]] | issn=0025-5718 | volume=30 | issue=134 | pages=337–360 | jstor=2005976 | publisher=American Mathematical Society}}</ref>
:<math>|\pi(x) - \operatorname{li}(x)| < \frac{\sqrt{x}}{8\pi} \, \log{x}, \qquad \text{for all } x \ge 2657. </math>


== यह भी देखें ==
*फ़ोइया स्थिरांक
* बर्ट्रेंड का अभिधारणा
* ओपरमैन का अनुमान
* [[रामानुजन प्राइम]]

==संदर्भ==
{{Reflist}}



===टिप्पणियाँ===
{{reflist|group=note}}


==बाहरी संबंध==
*Chris Caldwell, [http://primes.utm.edu/nthprime/ ''The Nth Prime Page''] at The [[Prime Pages]].
*Tomás Oliveira e Silva, [http://sweet.ua.pt/tos/primes.html Tables of prime-counting functions].

{{DEFAULTSORT:Prime-Counting Function}}[[Category: विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत]] [[Category: प्रमुख संख्या]] [[Category: अंकगणितीय कार्य]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 01/07/2023]]