View source for सातत्य (समुच्चय सिद्धांत)

{{Short description|The real numbers or their cardinality}}
{{Other uses|सातत्य (असंबद्धता){{!}} सातत्य}}

सेट सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, '''सातत्य''' का अर्थ [[वास्तविक संख्या]]एं, या संबंधित (अनंत) कार्डिनल संख्या है, जिसे <math>\mathfrak{c}</math> के द्वारा दर्शाया जाता है।<ref name=":0">{{Cite web|last=Weisstein|first=Eric W.|title=सातत्य|url=https://mathworld.wolfram.com/सातत्य.html|access-date=2020-08-12|website=mathworld.wolfram.com|language=en}}</ref><ref>{{Cite web|title=Transfinite number {{!}} mathematics|url=https://www.britannica.com/science/transfinite-number|access-date=2020-08-12|website=Encyclopedia Britannica|language=en}}</ref> [[जॉर्ज कैंटर]] ने सिद्ध किया कि कार्डिनैलिटी <math>\mathfrak{c}</math> सबसे छोटी अनंतता, अर्थात् <math>\aleph_0</math>से बड़ी है। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि <math>\mathfrak{c}</math> <math> 2^{\aleph_0}\!</math> के बराबर है, जो [[प्राकृतिक संख्या]]ओं के घात सेट की प्रमुखता है।

''सातत्य की प्रमुखता'' वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का आकार है। सातत्य परिकल्पना को कभी-कभी यह कहकर कहा जाता है कि सातत्य और प्राकृतिक संख्याओं <math>\aleph_0</math>, या वैकल्पिक रूप से, <math>\mathfrak{c} = \aleph_1</math>के बीच कोई प्रमुखता नहीं है।<ref name=":0" />
==रेखीय सातत्य ==
 {{Main|Linear continuum}}
[[रेमंड वाइल्डर]] (1965) के अनुसार, चार स्वयंसिद्ध हैं जो एक सेट सी और संबंध < को एक 'रैखिक सातत्य' में बनाते हैं:
* C को केवल < के संबंध में सेट करने का आदेश दिया गया है।
* यदि [ए,बी] सी का कट है, तो या तो ए में अंतिम तत्व है या बी में पहला तत्व है। ([[डेडेकाइंड कट]] की तुलना करें)
* C का एक गैर-रिक्त, [[गणनीय]] उपसमुच्चय S मौजूद है, जैसे कि यदि x,y ∈ C ऐसा है कि x < y, तो z ∈ S मौजूद है जैसे कि x < z < y। (वियोज्य स्थान)
* C का कोई पहला तत्व और कोई अंतिम तत्व नहीं है। ([[बंधा हुआ सेट]])
ये अभिगृहीत [[वास्तविक संख्या रेखा]] के क्रम प्रकार की विशेषता बताते हैं।

== यह भी देखें ==
* [[aleph-अशक्त]]
*सुसलिन की समस्या
* [[अनंत संख्या]]

== संदर्भ ==
<references />


== ग्रन्थसूची ==
* Raymond L. Wilder (1965) ''The Foundations of Mathematics'', 2nd ed., page 150, [[John Wiley & Sons]].[[Category: समुच्चय सिद्धान्त]] [[Category: अनंतता]] 
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