View source for संयोजित संबंध

{{short description|Property of a relation on a set}}
{{redirect|निकटता|तुलनात्मक शॉपिंग कंपनी|
कनेक्सिटी इंक.}}
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गणित में, सेट पर किसी समुच्चय संबंध को संयोजित या पूर्ण कहा जाता है यदि यह समुच्चय के अलग-अलग जोड़े को एक या दूसरे दिशा में जोड़ता है (या "तुलना करता है"), जबकि यदि यह तत्वों के सभी युग्मों को जोड़ता है तो इसे दृढ़ता से संयोजित किया जाता है। जैसा कि नीचे शब्दावली में वर्णित है, इन गुणों के लिए शब्दावली एक समान नहीं होती है। "कुल" की इस धारणा को सभी के लिए कुल गुणांक के साथ अस्पष्ट नहीं किया जाना चाहिए <math>x \in X</math> में एक है <math>y \in X</math> जिससे <math>x \mathrel{R} y</math> ( क्रमशः देखें)।

[[कुल ऑर्डर]] की परिभाषा में संयोजकता प्रमुखता से दिखाई देती है: कुल (या रैखिक) क्रम एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं; अर्थात् क्रम गुणांक संयोजित होता है। इसी प्रकार, पूर्णतः [[आंशिक आदेश]] जो की वह [[सख्त कुल आदेश|पूर्णतः कुल आदेश]] होता है। एक संबंध कुल आदेश है यदि यह आंशिक आदेश और दृढ़ता से संयोजित होता है। एक गुणांक पूर्णतः कुल आदेश है तो और अभी संयोजित होता है। एक पूर्णतः योग क्रम को कभी भी मजबूती से नहीं जोड़ा जा सकता (खाली डोमेन को छोड़कर) है।

== औपचारिक परिभाषा ==

एक संबंध समुच्चय पर <math>R</math> को  <math>X</math> को संयोजित तब किया जाता है जब सभी के लिए <math>x, y \in X,</math> 
<math display=block>\text{ if } x \neq y \text{ then } x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x,</math>
या, समकक्ष, जब सभी के लिए <math>x, y \in X,</math>
<math display=block>x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x \quad \text{or} \quad x = y.</math>
गुण से संबंधित सबके लिए <math>x, y \in X,</math> 
<math display=block>x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x</math>
{{em|दृढ़ता से संयोजित संबंध}} कहा जाता है। <ref>{{Cite book|publisher=Oxford University Press|isbn=978-0-19-967959-1|last1=Clapham|first1=Christopher|last2=Nicholson|first2=James|title=गणित का संक्षिप्त ऑक्सफोर्ड डिक्शनरी|chapter=connected|access-date=2021-04-12|date=2014-09-18|url=http://www.oxfordreference.com/view/10.1093/acref/9780199679591.001.0001/acref-9780199679591-e-598}}</ref><ref>{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-1-4939-3223-8|last=Nievergelt|first=Yves|title=Logic, Mathematics, and Computer Science: Modern Foundations with Practical Applications|date=2015-10-13|page=182|url=https://books.google.com/books?id=AInDCgAAQBAJ&pg=PA182}}</ref><ref>{{Cite book|publisher=Jones & Bartlett Learning|isbn=0-86720-463-X|last=Causey|first=Robert L.|title=तर्क, सेट और पुनरावर्तन|date=1994}}, p. 135</ref>
=== शब्दावली ===

जुड़े हुए संबंध की धारणा का मुख्य उपयोग आदेशों के संदर्भ में है, जहां इसका उपयोग कुल, या रैखिक, आदेशों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, गुण को अधिकांशतः विशेष रूप से नाम नहीं दिया जाता है। जबकि, कुल आदेशों को आंशिक आदेशों के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होता हैं।<ref>
{{cite book|author=Paul R. Halmos|title=Naive Set Theory|location=Princeton|publisher=Nostrand|year=1968}} Here: Ch.14. Halmos gives the names of reflexivity, anti-symmetry, and transitivity, but not of connectedness.</ref><ref>
{{cite book|author=Patrick Cousot|chapter=Methods and Logics for Proving Programs|pages=841&ndash;993|isbn=0-444-88074-7|editor=Jan van Leeuwen|title=Formal Models and Semantics|publisher=Elsevier|series=Handbook of Theoretical Computer Science|volume=B|year=1990}} Here: Sect.6.3, p.878</ref> इस प्रकार, {{em|{{visible anchor|योग |योग relation}}}} का उपयोग सामान्यतः उन संबंधों के लिए किया जाता है जो जुड़े हुए हैं या दृढ़ता से संयोजित होते हैं।<ref name="Aliprantis">{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-3-540-32696-0|last1=Aliprantis|first1=Charalambos D.|last2=Border|first2=Kim C.|title=Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker's Guide|date=2007-05-02}}, p. 6</ref> चूँकि, "कुल संबंध" की इस धारणा को क्रमिक होने की संपत्ति से अलग किया जाना चाहिए, जिसे कुल भी कहा जाता है। इसी तरह, जुड़े हुए संबंधों को कभी-कभी पूर्ण कहा जाता है,<ref>{{Cite book|publisher=Springer|isbn=978-1-4471-2500-6|last=Makinson|first=David|title=कंप्यूटिंग के लिए सेट, तर्क और गणित|date=2012-02-27}}, p. 50</ref> चूँकि, इससे भी उत्पन्न हो सकता है: [[सार्वभौमिक संबंध]] को पूर्ण भी कहा जाता है,<ref>{{Cite book|last1=Whitehead|first1=Alfred North|author-link1=Alfred North Whitehead|last2=Russell|first2=Bertrand|author-link2=Bertrand Russell|url=http://archive.org/details/principiamathema01anwh|title=गणितीय सिद्धांत|date=1910|publisher=Cambridge University Press|year=1910|location=Cambridge|language=English}}</ref> और क्रम सिद्धांत में "पूर्ण" के कई अन्य अर्थ हैं। संयोजित संबंधों को {{em|{{visible anchor|कॉननेक्स|Connex relation}}}}  भी कहा जाता है<ref>{{Cite book|publisher=Prentice-Hall|last=Wall|first=Robert E.|title=गणितीय भाषाविज्ञान का परिचय|date=1974}} page 114.</ref><ref>
{{cite web|author=Carl Pollard|url=http://www.ling.ohio-state.edu/~pollard/680/chapters/relations.pdf|title=Relations and Functions|location=Ohio State University|accessdate=2018-05-28}} Page 7.</ref> या संतुष्ट करने के लिए कहा {{Em| त्रिभाजन}}<ref>{{Cite book|publisher=College Publications|isbn=978-1-904987-14-7|last=Kunen|first=Kenneth|title=गणित की नींव|date=2009}} p. 24</ref> (चूँकि [[ट्राइकोटॉमी (गणित)|ट्राइकोटॉमी]] ट्राइकोटॉमी की अधिक सामान्य परिभाषा {{em|तीन विकल्पों }} में से एक में अधिक मजबूत होता है  <math>x \mathrel{R} y, y \mathrel{R} x, x = y</math> अवश्य धारण करना चाहिए)।

जब विचार किए गए संबंध आदेश नहीं हैं, तो संयोजित और मजबूती से जुड़ा होना महत्वपूर्ण रूप से अलग-अलग गुण होते हैं। वे स्रोत जो दोनों को परिभाषित करते हैं, फिर शब्दों के जोड़े का उपयोग करते हैं जैसे {{em|कमजोर रूप से जुड़ा हुआ}} और {{Em|संयोजित }},<ref>{{Cite book|publisher=Princeton University Press|isbn=978-1-4008-6833-9|last=Fishburn|first=Peter C.|title=सामाजिक चयन का सिद्धांत|date=2015-03-08|page=72|url=https://books.google.com/books?id=m2V9BgAAQBAJ&pg=PA72}}</ref> {{Em|
पूर्ण}} और {{Em|दृढ़ता से पूर्ण}},<ref>{{Cite book|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-521-10243-8|last=Roberts|first=Fred S.|title=Measurement Theory: Volume 7: With Applications to Decisionmaking, Utility, and the Social Sciences|date=2009-03-12}} page 29</ref> {{Em|योग }} और {{Em|पूर्ण }},<ref name="Aliprantis" /> {{em|सेमीकोनेक्स संबंध}} और {{em|{{visible anchor|connex|Connex relation}}}},<ref name="Schmidt">{{cite book|last1=Schmidt|first1=Gunther|last2=Ströhlein|first2=Thomas|date=1993|title=Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists|url=https://books.google.com/books?id=ZgarCAAAQBAJ|location=Berlin|publisher=Springer|isbn=978-3-642-77970-1|author-link=Gunther Schmidt }}</ref> या {{em|कॉननेक्स संबंध}} और {{em|पूर्णता से संबंध }},<ref>{{Cite book|publisher=Springer Science & Business Media|isbn=978-3-642-59830-2|last1=Ganter|first1=Bernhard|last2=Wille|first2=Rudolf|title=Formal Concept Analysis: Mathematical Foundations|date=2012-12-06}} p. 86</ref> जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्रमशः जुड़े हुए और दृढ़ता से जुड़े हुए विचारों के लिए वैकल्पिक नाम के रूप में।

== विशेषताएँ ==

होने देना <math>R</math> एक [[सजातीय संबंध]] हो. निम्नलिखित समतुल्य हैं:<ref name="Schmidt" />* <math>R</math> मजबूती से संयोजित होते है;
* <math>U \subseteq R \cup R^\top</math>;
* <math>\overline{R} \subseteq R^\top</math>;
* <math>\overline{R}</math> [[असममित संबंध]] होते है,
जहाँ <math>U</math> सार्वभौमिक संबंध है और <math>R^\top</math> का [[विपरीत संबंध]] है <math>R.</math>

निम्नलिखित समतुल्य हैं:<ref name="Schmidt" />* <math>R</math> जुड़ा है;
* <math>\overline{I} \subseteq R \cup R^\top</math>;
* <math>\overline{R} \subseteq R^\top \cup I</math>;
* <math>\overline{R}</math> [[एंटीसिमेट्रिक संबंध]] है,
कहाँ <math>\overline{I}</math> बाइनरी संबंध विशेष सजातीय संबंधों का [[पूरक (सेट सिद्धांत)|पूरक (समुच्चय सिद्धांत)]] होता है <math>I</math> और <math>R^\top</math> का विपरीत संबंध होता है <math>R.</math>

प्रगति का परिचय देते हुए, रसेल ने संयोजित सिद्धांत का आह्वान किया:

{{blockquote|text=जब भी कोई श्रृंखला मूल रूप से एक सकर्मक असममित संबंध द्वारा दी जाती है, तो हम इस शर्त से संबंध व्यक्त कर सकते हैं कि हमारी श्रृंखला के किन्हीं दो पदों में [[क्रमिक संबंध|उत्पन्न संबंध]] होना चाहिए।|author=[[बर्ट्रेंड रसेल]]|title=''[[गणित के सिद्धांत]]'', पृष्ठ 239}}

== गुण ==

* {{em|किनारों } का }} संबंध<ref group="note">Defined formally by <math>v E w</math> if a graph edge leads from vertex <math>v</math> to vertex <math>w</math></ref> <math>E</math> टूर्नामेंट ग्राफ़ का <math>G</math> के समुच्चय पर सदैव युग्मित हुआ होता है <math>G</math>{{'}}s शीर्ष।
* यदि दृढ़ता से संयोजित [[सममित संबंध]] है, तो यह सार्वभौमिक संबंध होता है।
* कोई भी संबंध मजबूती से तभी जुड़ा होता है, जब वह संयोजित और प्रतिवर्ती होता है।<ref group="proof">For the {{em|only if}} direction, both properties follow trivially. &mdash; For the {{em|if}} direction: when <math>x \neq y,</math> then <math>x\mathrel{R}y \lor y\mathrel{R}x</math> follows from connectedness; when <math>x = y,</math>  <math>x \mathrel{R} y</math> follows from reflexivity.</ref>
* समुच्चय पर युग्मित संबंध होता है, <math>X</math> को , [[प्रतिसंक्रमणीय]] नहीं हो सकता <math>X</math> मे कम से कम 4 तत्व होते हैं।<ref>
{{cite report|arxiv=1806.05036|author=Jochen Burghardt|title=Simple Laws about Nonprominent Properties of Binary Relations|type=Technical Report|date=Jun 2018|bibcode=2018arXiv180605036B}} Lemma 8.2, p.8.</ref> 3-तत्व समुच्चय पर <math>\{ a, b, c \},</math> उदाहरण के लिए, संबंध <math>\{ (a, b), (b, c), (c, a) \}</math> दोनों गुण होते हैं।
* यदि <math>R</math> पर एक संयोजित संबंध है <math>X,</math> फिर सभी, या एक को छोड़कर सभी, तत्व <math>X</math> रेंज के द्विआधारी संबंधों का सामान्यीकरण <math>R.</math><ref group="proof">If <math>x, y \in X \setminus \operatorname{ran}(R),</math> then <math>x \mathrel{R} y</math> and <math>y \mathrel{R} x</math> are impossible, so <math>x = y</math> follows from connectedness.</ref> इसी तरह, ससभी, या एक को छोड़कर सभी, <math>R</math> के तत्व <math>X</math> के क्षेत्र में होते है। 
== टिप्पणियाँ ==

{{reflist|group=note}}

;Proofs

{{reflist|group=proof}}
==संदर्भ==

{{reflist}}

{{Order theory}}
[[Category: द्विआधारी संबंध]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 30/06/2023]]