View source for उपश्रेणी

{{Short description|Category whose objects and morphisms are inside a bigger category}}गणित में, विशेष रूप से [[श्रेणी सिद्धांत]], [[श्रेणी (गणित)]] की उपश्रेणी C श्रेणी S है जिसका ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) C में ऑब्जेक्ट है और जिसका रूपवाद <nowiki>''</nowiki> ''C'' समान पहचान और आकारिकी की संरचना के साथ ''में रूपवाद है'' । सरल रूप से, C की उपश्रेणी C से उसकी कुछ ऑब्जेक्ट और एर्रो को "हटाकर" प्राप्त की गई श्रेणी है।

== औपचारिक परिभाषा ==
मान लीजिए C श्रेणी है। C की 'उपश्रेणी' S द्वारा दी गई है
*C की पिण्ड का उपसंग्रह, जिसे ob(S) कहा जाता है,
*C के आकारिकी का उपसंग्रह, होम (S) दर्शाया गया है।
ऐसा है कि
*ob(S) में प्रत्येक X के लिए, पहचान रूपवाद id<sub>''X''</sub>  होम (S) में है |
*होम (S) में प्रत्येक रूपवाद ''f'': X → Y के लिए, स्रोत X और लक्ष्य Y दोनों ob(S) में हैं|
*होम (S) में रूपवाद ''f'' और g की प्रत्येक जोड़ी के लिए समग्र f o g होम (S) में होता है जब भी इसे परिभाषित किया जाता है।

ये स्थितियाँ सुनिश्चित करती हैं कि S अपने आप में श्रेणी है: इसकी वस्तुओं का संग्रह ob(S) है, इसके आकारिकी का संग्रह होम (S) है, और इसकी पहचान और संरचना C के समान है। स्पष्ट पूर्ण और  विश्वसनीय प्रकार्यक I: S → C है, जिसे 'समावेशन प्रकार्यक' कहा जाता है जो ऑब्जेक्ट और आकारिकी को अपने पास ले जाता है।

मान लीजिए कि S, श्रेणी C की उपश्रेणी है। हम कहते हैं कि S, C की 'पूर्ण उपश्रेणी' है, यदि S की ऑब्जेक्ट X और Y के प्रत्येक जोड़े के लिए है। 
:<math>\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y).</math>
एक पूर्ण उपश्रेणी वह है जिसमें S की ऑब्जेक्ट के बीच C में सभी रूपवाद सम्मिलित हैं। C में ऑब्जेक्ट A के किसी भी संग्रह के लिए, C की अद्वितीय पूर्ण उपश्रेणी है जिसकी ऑब्जेक्ट A में हैं।

== उदाहरण ==
* परिमित समुच्चय की श्रेणी समुच्चयों की श्रेणी की पूर्ण उपश्रेणी बनाती है।
* वह श्रेणी जिसकी ऑब्जेक्ट समुच्चय हैं और जिसकी आकृतियाँ [[द्विभाजन]] हैं, समुच्चयों की श्रेणी की अपूर्ण उपश्रेणी बनाती हैं।
* एबेलियन [[समूहों की श्रेणी]] समूहों की श्रेणी की पूर्ण उपश्रेणी बनाती है।
* रिंग (गणित) की श्रेणी (जिसकी आकृतियाँ यूनिट (रिंग सिद्धांत) [[वलय समरूपता]] को संरक्षित करती हैं) Rng_(बीजगणित) की श्रेणी की अपूर्ण उपश्रेणी बनाती हैं।
* [[फ़ील्ड (गणित)|क्षेत्र (गणित)]] K के लिए, K-वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी (बाएँ या दाएँ) K-[[मॉड्यूल (गणित)]] की श्रेणी की पूर्ण उपश्रेणी बनाती है।

== एंबेडिंग ==
C की उपश्रेणी S को देखते हुए, समावेशन फ़ैक्टर I: S → C ऑब्जेक्ट पर विश्वसनीय प्रकार्यक और अंतः क्षेपक दोनों है। यह पूर्ण प्रकार्यक है यदि S पूर्ण उपश्रेणी है।

कुछ लेखक '''<nowiki/>'अंतःस्थापित'''' को [[पूर्ण और वफादार फ़नकार|पूर्ण और विश्वसनीय प्रकार्यक]] के रूप में परिभाषित करते हैं। ऐसा प्रकार्यक आवश्यक रूप से समरूपता तक की ऑब्जेक्ट पर अंतः क्षेपक होता है। उदाहरण के लिए, [[योनेडा एम्बेडिंग]] इस अर्थ में एम्बेडिंग है।

कुछ लेखक '''<nowiki/>'अंतःस्थापित'''' को पूर्ण और [[पूर्ण और वफादार फ़नकार|विश्वसनीय प्रकार्यक]] के रूप में परिभाषित करते हैं जो ऑब्जेक्ट पर अंतः क्षेपक होता है।<ref>{{cite web|author=Jaap van Oosten|title=मूल श्रेणी सिद्धांत|url=http://www.staff.science.uu.nl/~ooste110/syllabi/catsmoeder.pdf}}</ref> अन्य लेखक प्रकार्यक को '''अंतःस्थापित''' के रूप में परिभाषित करते हैं यदि वह है | विश्वसनीय ऑब्जेक्ट पर अंतः क्षेपक समान रूप से, F अंतःस्थापित है यदि यह आकारिकी पर अंतः क्षेपक है। प्रकार्यक A को तब पूर्ण अंतःस्थापित कहा जाता है यदि यह पूर्ण प्रकार्यक और अंतःस्थापित है।

पिछले पैराग्राफ की परिभाषाओं के साथ, किसी भी (पूर्ण) अंतःस्थापित F के लिए: B → C F की [[छवि (गणित)|चित्र (गणित)]] पूर्ण उपश्रेणी ''है  | C का S, और  F  B और  S के बीच श्रेणियों की समरूपता उत्पन्न करता है। यदि  F ऑब्जेक्ट्स पर अंतः क्षेपक नहीं है तो  F की चित्र  B की श्रेणियों के समतुल्य है।''

कुछ श्रेणियों में, श्रेणी के आकारिकी के बारे में भी बात की जा सकती है, जो श्रेणी सिद्धांत को अंतःस्थापित कर रहा है।

== उपश्रेणियों के प्रकार ==
C की उपश्रेणी S को '''<nowiki/>'समरूप-बंद उपश्रेणी'<nowiki/>''' या '''<nowiki/>'परिपूर्ण'<nowiki/>''' कहा जाता है यदि C में प्रत्येक समरूप K: X→ Y इस प्रकार है कि S में Y भी S से संबंधित है। बंद-समरूप पूर्ण उपश्रेणी ' '''जटिलता से पूर्ण'''' कहा जाता है।

C की उपश्रेणी '<nowiki/>'''वाइड'''<nowiki/>' या '<nowiki/>'''लुफ़'''' है (यह शब्द सबसे पहले [[पीटर फ्रायड]] द्वारा प्रस्तुत किया गया था)।<ref>{{cite book |last= Freyd|first= Peter|authorlink=Peter J. Freyd  |year= 1991|pages=95–104 |chapter= Algebraically complete categories|series=Lecture Notes in Mathematics |volume= 1488|publisher=Springer|title=Proceedings of the International Conference on Category Theory, Como, Italy (CT 1990)|doi=10.1007/BFb0084215|isbn= 978-3-540-54706-8}}</ref>) यदि इसमें C की सभी ऑब्जेक्ट्स सम्मिलित हैं।<ref>{{nlab|id=wide+subcategory|title=Wide subcategory}}</ref> विस्तृत उपश्रेणी सामान्यतौर पर पूर्ण नहीं होती है: किसी श्रेणी की एकमात्र विस्तृत पूर्ण उपश्रेणी वह श्रेणी ही होती है।

सेरे उपश्रेणी [[एबेलियन श्रेणी]] C की अरिक्त पूर्ण उपश्रेणी S है, जैसे कि सभी छोटे सटीक अनुक्रमों के लिए होता है। 

:<math>0\to M'\to M\to M''\to 0</math>
C में, M, S से संबंधित है, यदि दोनों <math>M'</math> और  <math>M''</math> करना है। यह धारणा श्रेणी के सेरे का सी-सिद्धांत स्थानीयकरण से उत्पन्न होती है।

== यह भी देखें ==
* [[चिंतनशील उपश्रेणी|परवर्तनीय  उपश्रेणी]]
*[[सटीक श्रेणी]], वृद्धि के अंतर्गत बंद पूर्ण उपश्रेणी।

== संदर्भ ==
<references />
[[Category: श्रेणी सिद्धांत]] [[Category: पदानुक्रम]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 30/06/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]