View source for आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण

{{Short description|Field-equations in general relativity}}
{{Redirect|Einstein equation|the equation <math>E = mc^2</math>|Mass–energy equivalence}}
{{Use American English|date=January 2019}}
{{General relativity sidebar |equations}}
{{Technical|date=May 2021}}
[[सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत|आपेक्षिकता के सामान्य सिद्धांत]] में, '''आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण''' ('''EFE'''; जिसे आइंस्टीन के समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) [[समष्टि काल|दिक्काल]] की ज्यामिति को उसके भीतर [[द्रव्य]] के वितरण से जोड़ते हैं।<ref name="ein">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |title=सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत की नींव|journal=[[Annalen der Physik]] |volume=354 |issue=7 |pages=769 |year=1916 |url=http://www.alberteinstein.info/gallery/science.html |doi=10.1002/andp.19163540702 |format=[[PDF]] |bibcode=1916AnP...354..769E |archive-url=https://web.archive.org/web/20120206225139/http://www.alberteinstein.info/gallery/gtext3.html |archive-date=2012-02-06}}</ref>

समीकरणों को [[अल्बर्ट आइंस्टीन]] द्वारा 1915 में एक [[टेंसर समीकरण|प्रदिश समीकरण]] के रूप में प्रकाशित किया गया था<ref name="Ein1915">{{cite journal |last=Einstein |first=Albert |author-link=Albert Einstein |date=November 25, 1915 |title=गुरुत्वाकर्षण के क्षेत्र समीकरण|journal=Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin |pages=844–847 |url=http://echo.mpiwg-berlin.mpg.de/ECHOdocuView?url=/permanent/echo/einstein/sitzungsberichte/6E3MAXK4/index.meta |access-date=2017-08-21}}</ref> जो स्थानीय दिक्काल''वक्रता'' को उस दिक्काल के भीतर स्थानीय ऊर्जा, गति और प्रतिबल ([[प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर|प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश]] द्वारा प्रकट) से जोड़ते थे।

जिस प्रकार से [[मैक्सवेल के समीकरणों|मैक्सवेल की समीकरणों]] के माध्यम से विद्युत [[चुम्बकीय क्षेत्र]] [[आवेशों]] और [[धाराओं]] के वितरण से जुड़ते हैं, उसी प्रकार EFE [[समष्टि काल ज्यामिति|दिक्काल ज्यामिति]] को द्रव्यमान-ऊर्जा, गति और प्रतिबल के वितरण से जोड़ते है, अर्थात्, वे दिक्काल में प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग की दी गई व्यवस्था के लिए दिक्काल का [[मीट्रिक टेंसर|मात्रिक प्रदिश]] निर्धारित करते हैं | मात्रिक प्रदिश और आइंस्टीन प्रदिश के बीच का संबंध, इस प्रकार से उपयोग किए जाने पर EFE को अरैखिक [[आंशिक अवकल समीकरणों]] के एक सेट के रूप में लिखने की अनुमति देता है। EFE के समाधान मात्रिक प्रदिश के घटक हैं। परिणामी ज्यामिति में कण और विकिरण ([[सामान्य सापेक्षता में जियोडेसिक्स|जियोडेसिक्स]]) के [[जड़त्वीय]] प्रक्षेप पथ की गणना [[जियोडेसिक समीकरण]] का उपयोग करके की जाती है।

स्थानीय ऊर्जा-संवेग संरक्षण को लागू करने के साथ-साथ, EFE एक दुर्बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और वेग की सीमा में [[न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम]] को कम कर देता है जो [[प्रकाश की गति]] से बहुत कम है।<ref name="Carroll">{{cite book |last=Carroll |first=Sean |author-link=Sean M. Carroll |year=2004 |title=Spacetime and Geometry – An Introduction to General Relativity |pages=151–159 |isbn=0-8053-8732-3}}</ref>

EFE के लिए एक सटीक समाधान केवल [[सममिति]] जैसे सरलीकरण परिकलन के तहत ही पाया जा सकता है। [[सामान्य सापेक्षता में सटीक समाधान|सटीक समाधानों]] के लिए विशेष वर्गों का अधिकतर अध्ययन किया जाता है क्योंकि वे कई गुरुत्वाकर्षण परिघटनाओं का मॉडल बनाते हैं, जैसे कि [[घूमते हुए ब्लैक होल|घूर्णी ब्लैक होल]] और [[अंतरिक्ष का मीट्रिक विस्तार|प्रसारी विश्व]] है। [[फ्लैट समष्टि काल|फ्लैट दिक्काल]] से केवल छोटे विचलन के रूप में दिक्काल को सन्निकटन करने में और सरलीकरण प्राप्त किया जाता है, जिससे [[रैखिक EFE]] होता है। इन समीकरणों का उपयोग [[गुरुत्वाकर्षण तरंगों]] जैसी परिघटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है।

==गणितीय रूप==
{{Spacetime|cTopic=गणित}}
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण (EFE) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:<ref>{{cite book |title=Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology |edition=illustrated |first1=Øyvind |last1=Grøn |first2=Sigbjorn |last2=Hervik |publisher=Springer Science & Business Media |year=2007 |isbn=978-0-387-69200-5 |page=180 |url=https://books.google.com/books?id=IyJhCHAryuUC&pg=PA180}}</ref><ref name="ein"/>

:<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}</math>

[[File:EinsteinLeiden4.jpg|upright=1.35|thumb|लीडेन, नीदरलैंड में एक दीवार पर EFE]]जहाँ <math>G_{\mu \nu}</math> [[आइंस्टीन टेंसर|आइंस्टीन प्रदिश]] है, <math>g_{\mu \nu}</math> [[मात्रिक टेंसर|मात्रिक प्रदिश]] है, <math>T_{\mu \nu}</math> [[प्रतिबल-ऊर्जा टेंसर|प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश]] है, <math>\Lambda</math> [[ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक|ब्रह्मांडीकीय नियतांक]] है और <math>\kappa</math> आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक है |

आइंस्टीन प्रदिश को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
:<math>G_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu},</math>
जहाँ {{mvar|R{{sub|μν}}}} [[रिक्की वक्रता टेंसर|रिक्की वक्रता प्रदिश]] है, और {{mvar|R}} [[अदिश वक्रता|स्केलर वक्रता]] है | यह एक सममित द्वितीय-कोटि प्रदिश है जो केवल मात्रिक प्रदिश और इसके पहले और दूसरे डेरिवेटिव पर निर्भर करता है।

आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण नियतांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है<ref>With the choice of the Einstein gravitational constant as given here, {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|4}}}}, the stress–energy tensor on the right side of the equation must be written with each component in units of energy density (i.e., energy per volume, equivalently pressure).  In Einstein's original publication, the choice is {{math|1=''κ'' = 8''πG''/''c''{{i sup|2}}}}, in which case the stress–energy tensor components have units of mass density.</ref><ref>{{Cite book|last1=Adler|first1=Ronald|last2=Bazin|first2=Maurice| last3=Schiffer|first3=Menahem| url=https://www.worldcat.org/oclc/1046135|title=सामान्य सापेक्षता का परिचय|date=1975|publisher=McGraw-Hill| isbn=0-07-000423-4| edition=2d |location=New York|oclc=1046135}}</ref>
:<math>\kappa = \frac{8 \pi G}{c^4} \approx 2.076647442844\times10^{-43} \, \textrm{N}^{-1} ,</math>
जहाँ {{mvar|G}} [[गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक|गुरुत्वाकर्षण न्यूटोनियन नियतांक]] है और {{mvar|c}} [[निर्वात में प्रकाश]] की गति है।

इस प्रकार EFE को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
:<math>R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu}.</math>
मानक इकाइयों में, बाईं ओर प्रत्येक पद की इकाइयाँ 1/length<sup>2</sup> होती हैं।

बाईं ओर के व्यंजक मात्रिक द्वारा निर्धारित दिक्काल की वक्रता को दर्शाते है; दाईं ओर के व्यंजक दिक्काल की प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग सामग्री को दर्शाते है। फिर EFE की व्याख्या समीकरणों के एक सेट के रूप में की जा सकती है जो यह निर्धारित करते है कि प्रतिबल-ऊर्जा-संवेग दिक्काल  की वक्रता को कैसे निर्धारित करते है।

ये समीकरण, [[जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता)|जियोडेसिक]] [[समीकरण]] के साथ,<ref name="SW1993">{{cite book| last=Weinberg |first=Steven|title=Dreams of a Final Theory: the search for the fundamental laws of nature| year=1993 | publisher=Vintage Press|pages=107, 233|isbn=0-09-922391-0}}</ref> जो यह निर्धारित करते है कि दिक्काल से द्रव कैसे स्वतंत्र रूप से गिरता है, [[सामान्य सापेक्षता|सामान्य]] [[आपेक्षिकता]] के [[गणितीय सूत्रीकरण]] का मूल बनाते हैं।

'''EFE सममित [[4 × 4 टेंसरों|4 × 4 प्रदिशों]] के एक सेट से संबंधित एक प्रदिश समीकरण है। प्रत्येक प्रदिश में 10 स्वतंत्र घटक होते हैं। चार बियांची सर्वसमिकाये स्वतं'''त्र समीकरणों की संख्या को 10 से घटाकर 6 कर देती हैं, जिससे मात्रिक में [[स्वतंत्रता]] की चार [[गेज-फिक्सिंग कोटि]] रह जाती हैं, जो एक समन्वय प्रणाली चुनने की स्वतंत्रता के अनुरूप होती हैं।

हालाँकि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण शुरू में चार-आयामी सिद्धांत के संदर्भ में तैयार किए गए थे, कुछ सिद्धांतकारों ने ''n'' आयामों में उनके परिणामों की खोज की है।<ref name="Stephani et al">{{cite book | last1 = Stephani | first1 = Hans |first2=D. |last2=Kramer |first3=M. |last3=MacCallum |first4=C. |last4=Hoenselaers |first5=E. |last5=Herlt | title = आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधान| publisher = [[Cambridge University Press]] | year = 2003 | isbn = 0-521-46136-7 }}</ref> सामान्य आपेक्षिकता के बाहर के संदर्भों में समीकरणों को अभी भी आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है। निर्वात क्षेत्र समीकरण (तब प्राप्त होते हैं जब {{math|''T''{{sub|''μν''}}}} हर जगह शून्य होता है) [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड|आइंस्टीन]] [[मैनिफोल्ड्स]] को परिभाषित करते हैं।

समीकरण जितने सरल दिखते हैं उससे कहीं अधिक जटिल हैं। प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के रूप में द्रव और ऊर्जा के एक निर्दिष्ट वितरण को देखते हुए, EFE को मात्रिक प्रदिश <math>g_{\mu \nu}</math> के लिए समीकरण समझा जाता है, क्योंकि रिक्की प्रदिश और स्केलर वक्रता दोनों जटिल अरैखिक तरीके से मात्रिक पर निर्भर करते हैं। जब पूर्ण प्रकार से लिखा जाता है, तो EFE दस युग्मित, अरैखिक, अतिपरवलिक-अण्डाकार [[आंशिक अवकल समीकरणों]] की एक प्रणाली है।<ref>{{cite journal |first=Alan D. |last=Rendall |title=आइंस्टीन समीकरणों के लिए अस्तित्व और वैश्विक गतिशीलता पर प्रमेय|journal=Living Rev. Relativ. |volume=8 |year=2005 |issue=1 |at=Article number: 6 |doi=10.12942/lrr-2005-6 |pmid=28179868 |pmc=5256071 |arxiv=gr-qc/0505133 |bibcode=2005LRR.....8....6R |doi-access=free }}</ref>
===चिह्न परिपाटी===
EFE का उपरोक्त रूप [[मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर]] (एमटीडब्ल्यू) द्वारा स्थापित मानक है।{{sfnp|Misner|Thorne|Wheeler|1973|p=501ff}} लेखकों ने उपस्थित कन्वेंशन का विश्लेषण किया और इन्हें तीन संकेतों ([एस1] [एस2] [एस3]) के अनुसार वर्गीकृत किया:

<math display="block">\begin{align}
g_{\mu \nu} & = [S1] \times \operatorname{diag}(-1,+1,+1,+1) \\[6pt]
{R^\mu}_{\alpha \beta \gamma} & = [S2] \times \left(\Gamma^\mu_{\alpha \gamma,\beta} - \Gamma^\mu_{\alpha \beta,\gamma} + \Gamma^\mu_{\sigma \beta}\Gamma^\sigma_{\gamma \alpha} - \Gamma^\mu_{\sigma \gamma}\Gamma^\sigma_{\beta \alpha}\right) \\[6pt]
G_{\mu \nu} & = [S3] \times \kappa T_{\mu \nu}
\end{align}</math>
उपरोक्त तीसरा चिन्ह रिक्की प्रदिश के लिए कन्वेंशन की चॉइस से संबंधित है:
<math display="block">R_{\mu \nu} = [S2] \times [S3] \times {R^\alpha}_{\mu\alpha\nu} </math>
इन परिभाषाओं के साथ [[मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर]] स्वयं को {{math|(+ + +)}} के रूप में वर्गीकृत करते हैं, जबकि वेनबर्ग (1972){{sfnp|Weinberg|1972}} {{math|(+ − −)}}, पीबल्स (1980)<ref>{{cite book |last=Peebles |first=Phillip James Edwin |title=ब्रह्मांड की बड़े पैमाने की संरचना|publisher=Princeton University Press |year=1980 |isbn=0-691-08239-1 }}</ref> और एफ़स्टैथिउ एट अल. (1990)<ref>{{cite journal |last1=Efstathiou |first1=G. |first2=W. J. |last2=Sutherland |first3=S. J. |last3=Maddox |s2cid=12988317 |title=ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और ठंडा डार्क मैटर|journal=[[Nature (journal)|Nature]] |volume=348 |issue=6303 |year=1990 |pages=705 |doi=10.1038/348705a0 |bibcode=1990Natur.348..705E }}</ref> {{math|(− + +)}}, रिंडलर (1977),{{citation needed|date=October 2014}} एटवाटर (1974),{{citation needed|date=October 2014}} कोलिन्स मार्टिन एंड स्क्वॉयर (1989)<ref>{{cite book |last1=Collins |first1=P. D. B. |last2=Martin |first2=A. D. |last3=Squires |first3=E. J. |year=1989 |title=कण भौतिकी और ब्रह्मांड विज्ञान|location=New York |publisher=Wiley |isbn=0-471-60088-1 }}</ref> और पीकॉक (1999){{sfnp|Peacock|1999}} {{math|(− + −)}} हैं | 

आइंस्टीन समेत लेखकों ने रिक्की प्रदिश के लिए अपनी परिभाषा में एक अलग चिन्ह का उपयोग किया है जिसके परिणामस्वरूप दाईं ओर नियतांक का चिन्ह नकारात्मक होता है:<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = -\kappa T_{\mu \nu}.</math>यदि यहां अपनाए गए MTW (- + + +) मीट्रिक [[चिन्ह कन्वेंशन]] की बजाय (+ − − −) मीट्रिक चिन्ह कन्वेंशन का उपयोग किया जाता है, तो ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का चिन्ह इन दोनों संस्करणों में बदल जाएगा।

===समतुल्य सूत्रीकरण===
EFE के दोनों पक्षों के मात्रिक के संबंध में ट्रेस लेने पर एक संबंध मिलता है<math display="block">R - \frac{D}{2} R + D \Lambda = \kappa T ,</math>जहाँ {{mvar|D}} दिक्काल  आयाम है।  {{math|''R''}} को हल करने और इसे मूल EFE में प्रतिस्थापित करने पर, निम्नलिखित समतुल्य "ट्रेस-रिवर्स" रूप प्राप्त होता है:
<math display="block">R_{\mu \nu} - \frac{2}{D-2} \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{D-2}Tg_{\mu \nu}\right) .</math>
{{math|1=''D'' = 4}} आयामों में यह कम हो जाता है
<math display="block">R_{\mu \nu} - \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa \left(T_{\mu \nu} - \frac{1}{2}T\,g_{\mu \nu}\right) .</math>
ट्रेस को फिर से उत्क्रमी करने से मूल EFE रिस्टोर हो जाता है। कुछ स्थितियों में ट्रेस-उत्क्रमी रूप अधिक आसान हो सकता है (उदाहरण के लिए, जब कोई दुर्बल-क्षेत्र सीमा में रुचि रखता है और उसे प्रतिस्थापित कर सकता है)।

== ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक==
{{Main|ब्रह्मांडीकीय नियतांक}}

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में<math display="block">G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \kappa T_{\mu \nu} \,,</math>[[ब्रह्मांडीकीय नियतांक]] {{math|Λ}} वाला शब्द उस संस्करण से अनुपस्थित था जिसमें उन्होंने मूल रूप से उन्हें प्रकाशित किया था। फिर आइंस्टीन ने एक ऐसे [[स्थिर ब्रह्मांड|ब्रह्मांड]] की अनुमति देने के लिए ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक के साथ इस शब्द सम्मिलित किया जो [[विस्तार या संकुचन]] नहीं कर रहा है। यह प्रयास असफल रहा क्योंकि:
* इस समीकरण द्वारा वर्णित कोई भी वांछित नियत अवस्था का समाधान अस्थिर है, और
*[[एडविन हबल]] के अवलोकनों से पता चला कि हमारा ब्रह्माण्ड एक विस्तारित ब्रह्माण्ड है।

इसके बाद आइंस्टीन ने {{math|Λ}} को त्याग दिया और [[जॉर्ज गामो]] से कहा, कि <nowiki>''ब्रह्माण्ड संबंधी शब्द का परिचय उनके जीवन की सबसे बड़ी भूल थी''</nowiki>।<ref name="gamow">{{cite book| last = Gamow| first = George| author-link = George Gamow| title = My World Line : An Informal Autobiography| publisher = [[Viking Adult]]| date = April 28, 1970| isbn = 0-670-50376-2| url = http://www.jb.man.ac.uk/~jpl/cosmo/blunder.html| access-date = 2007-03-14 }}</ref>

इस शब्द के सम्मिलित होने से विसंगतियाँ उत्पन्न नहीं होती हैं। कई वर्षों तक ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक को लगभग सार्वभौमिक रूप से शून्य माना गया था। हाल के [[खगोलीय]] अवलोकनों से पता चला है कि [[ह्मांड का तेजी से विस्तार|ब्रह्मांड का तेजी से विस्तार]] हो रहा है, और इसे समझाने के लिए {{math|Λ}} के सकारात्मक मान की आवश्यकता है।<ref name="wahl">{{cite news| last=Wahl| first=Nicolle| date=2005-11-22| title=Was Einstein's 'biggest blunder' a stellar success?| url=http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp |publisher =University of Toronto|work = News@UofT |archive-url = https://web.archive.org/web/20070307191343/http://www.news.utoronto.ca/bin6/051122-1839.asp <!-- Bot retrieved archive --> |archive-date = 2007-03-07}}</ref><ref name="turner">
{{cite journal
 |last=Turner |first=Michael S.
 |s2cid=16669258
 |date=May 2001
 |title=Making Sense of the New Cosmology
 |journal=Int. J. Mod. Phys. A
 |volume=17|issue=S1
 |pages=180–196
 |doi=10.1142/S0217751X02013113
 |arxiv=astro-ph/0202008|bibcode = 2002IJMPA..17S.180T }}</ref> किसी आकाशगंगा या उससे छोटी आकाशगंगा के पैमाने पर ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक नगण्य है।

आइंस्टीन ने ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक को एक स्वतंत्र पैरामीटर के रूप में सोचा था, लेकिन क्षेत्र समीकरण में इसके शब्द को बीजगणितीय रूप से दूसरी तरफ भी ले जाया जा सकता है और प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश के भाग के रूप में सम्मिलित किया जा सकता है:
<math display="block">T_{\mu \nu}^\mathrm{(vac)} = - \frac{\Lambda}{\kappa} g_{\mu \nu} \,.</math>
यह प्रदिश [[ऊर्जा घनत्व]] {{math|''ρ''{{sub|vac}}}} और समदैशिक दबाव {{math|''p''{{sub|vac}}}} के साथ एक [[निर्वात स्थिति]] का वर्णन करता है जो निश्चित नियतांक हैं और द्वारा दिए गए हैं<math display="block">\rho_\mathrm{vac} = - p_\mathrm{vac} = \frac{\Lambda}{\kappa},</math>जहाँ यह माना जाता है कि {{math|Λ}} की SI इकाई m<sup>−2</sup>  है और {{math|''κ''}} को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित किया गया है।


इस प्रकार ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक का अस्तित्व निर्वात ऊर्जा और विपरीत चिह्न के दबाव के अस्तित्व के समतुल्य है। इसके कारण सामान्य आपेक्षिकता में <nowiki>''ब्रह्मांडीकीय नियतांक'' और ''निर्वात ऊर्जा''</nowiki> शब्दों का परस्पर उपयोग किया जाने लगा है।

==लक्षण ==

===ऊर्जा और संवेग का संरक्षण===
सामान्य आपेक्षिकता ऊर्जा और संवेग के स्थानीय संरक्षण के अनुरूप है

<math display="block">\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = {T^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0.</math>

{{math proof|title=Derivation of local energy–momentum conservation|proof=
Contracting the [[Riemann curvature tensor#Symmetries and identities|differential Bianchi identity]]
<math display="block">R_{\alpha\beta[\gamma\delta;\varepsilon]} = 0</math>
with {{mvar|g{{sup|αβ}}}} gives, using the fact that the metric tensor is covariantly constant, i.e. {{math|1=''g{{sup|αβ}}{{sub|;γ}}'' = 0}},
<math display="block">{R^\gamma}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon} + {R^\gamma}_{\beta\varepsilon\gamma;\delta} + {R^\gamma}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} = 0</math>

The antisymmetry of the Riemann tensor allows the second term in the above expression to be rewritten:

<math display="block">{R^\gamma}_{\beta\gamma\delta;\varepsilon} - {R^\gamma}_{\beta\gamma\varepsilon;\delta} + {R^\gamma}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} = 0</math>
which is equivalent to
<math display="block">R_{\beta\delta;\varepsilon} - R_{\beta\varepsilon;\delta} + {R^\gamma}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma} = 0</math>
using the definition of the [[Ricci tensor]].

Next, contract again with the metric
<math display="block">g^{\beta\delta}\left(R_{\beta\delta;\varepsilon} - R_{\beta\varepsilon;\delta} + {R^\gamma}_{\beta\delta\varepsilon;\gamma}\right) = 0</math>
to get
<math display="block">{R^\delta}_{\delta;\varepsilon} - {R^\delta}_{\varepsilon;\delta} + {R^{\gamma\delta}}_{\delta\varepsilon;\gamma} = 0</math>

The definitions of the Ricci curvature tensor and the scalar curvature then show that
<math display="block">R_{;\varepsilon} - 2{R^\gamma}_{\varepsilon;\gamma} = 0</math>
which can be rewritten as
<math display="block">\left({R^\gamma}_{\varepsilon} - \tfrac{1}{2}{g^\gamma}_{\varepsilon}R\right)_{;\gamma} = 0</math>

A final contraction with {{mvar|g{{sup|εδ}}}} gives
<math display="block">\left(R^{\gamma\delta} - \tfrac{1}{2}g^{\gamma\delta}R\right)_{;\gamma} = 0</math>
which by the symmetry of the bracketed term and the definition of the [[Einstein tensor]], gives, after relabelling the indices,
<math display="block"> {G^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0 </math>

Using the EFE, this immediately gives,
<math display="block">\nabla_\beta T^{\alpha\beta} = {T^{\alpha\beta}}_{;\beta} = 0</math>
}}

जो प्रतिबल-ऊर्जा के स्थानीय संरक्षण को व्यक्त करता है। यह संरक्षण नियम की एक भौतिक आवश्यकता है। अपने क्षेत्र समीकरणों से आइंस्टीन ने यह सुनिश्चित किया कि सामान्य आपेक्षिकता इस संरक्षण स्थिति के अनुरूप है।

===अरैखिकता===

EFE की अरैखिकता सामान्य आपेक्षिकता को कई अन्य मौलिक भौतिक सिद्धांतों से अलग करती है। उदाहरण के लिए, [[विद्युत|मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व के समीकरण]] [[विद्युत क्षेत्र|विद्युत]] और [[चुंबकीय क्षेत्र|चुंबकीय क्षेत्रों]] में रैखिक हैं (अर्थात दो समाधानों का योग भी एक समाधान है); एक अन्य उदाहरण [[श्रोडिंगर का क्वांटम यांत्रिकी का समीकरण]] है, जो [[तरंग फ़ंक्शन]] में रैखिक है।

===संगति नियम===
EFE [[दुर्बल-क्षेत्र सन्निकटन]] और [[धीमी गति सन्निकटन]] दोनों का उपयोग करके [[न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम]] को कम करता है। वास्तव में, EFE में प्रदर्शित होने वाला नियतांक {{mvar|G}} इन दो सन्निकटनों को बनाकर निर्धारित किया जाता है।

{{math proof|title=Derivation of Newton's law of gravity | proof=
Newtonian gravitation can be written as the theory of a scalar field, {{math|Φ}}, which is the gravitational potential in joules per kilogram of the gravitational field {{math|1=''g'' = −∇Φ}}, see [[Gauss's law for gravity#Poisson's equation and gravitational potential|Gauss's law for gravity]]
<math display="block">\nabla^2 \Phi \left(\vec{x},t\right) = 4 \pi G \rho \left(\vec{x},t\right)</math>
where {{mvar|ρ}} is the mass density. The orbit of a [[free-fall]]ing particle satisfies
<math display="block">\ddot{\vec{x}}(t) = \vec{g} = - \nabla \Phi \left(\vec{x} (t),t\right) \,.</math>

In tensor notation, these become
<math display="block">\begin{align}
\Phi_{,i i} &= 4 \pi G \rho \\
\frac{d^2 x^i}{d t^2} &= - \Phi_{,i} \,.
\end{align}</math>

In general relativity, these equations are replaced by the Einstein field equations in the trace-reversed form
<math display="block">R_{\mu \nu} = K \left(T_{\mu \nu} - \tfrac{1}{2} T g_{\mu \nu}\right)</math>
for some constant, {{mvar|K}}, and the [[geodesic equation]]
<math display="block">\frac{d^2 x^\alpha}{d \tau^2} = - \Gamma^\alpha_{\beta \gamma} \frac{d x^\beta}{d \tau} \frac{d x^\gamma}{d \tau} \,.</math>

To see how the latter reduces to the former, we assume that the test particle's velocity is approximately zero
<math display="block">\frac{d x^\beta}{d \tau} \approx \left(\frac{dt}{d \tau}, 0, 0, 0\right) </math>
and thus
<math display="block">\frac{d}{d t} \left( \frac{dt}{d \tau} \right) \approx 0 </math>
and that the metric and its derivatives are approximately static and that the squares of deviations from the [[Minkowski metric]] are negligible. Applying these simplifying assumptions to the spatial components of the geodesic equation gives
<math display="block">\frac{d^2 x^i}{d t^2} \approx - \Gamma^i_{0 0} </math>
where two factors of {{math|{{sfrac|''dt''|''dτ''}}}} have been divided out. This will reduce to its Newtonian counterpart, provided
<math display="block">\Phi_{,i} \approx \Gamma^i_{0 0} = \tfrac{1}{2} g^{i \alpha} \left(g_{\alpha 0 , 0} + g_{0 \alpha , 0} - g_{0 0 , \alpha}\right) \,.</math>

Our assumptions force {{math|1=''α'' = ''i''}} and the time (0) derivatives to be zero. So this simplifies to
<math display="block">2 \Phi_{,i} \approx g^{i j} \left(- g_{0 0 , j}\right) \approx - g_{0 0 , i} \,</math>
which is satisfied by letting
<math display="block">g_{0 0} \approx - c^2 - 2 \Phi \,.</math>

Turning to the Einstein equations, we only need the time-time component
<math display="block">R_{0 0} = K \left(T_{0 0} - \tfrac{1}{2} T g_{0 0}\right)</math>
the low speed and static field assumptions imply that
<math display="block">T_{\mu \nu} \approx \operatorname{diag} \left(T_{0 0}, 0, 0, 0\right) \approx \operatorname{diag} \left(\rho c^4, 0, 0, 0\right) \,.</math>

So
<math display="block">T = g^{\alpha \beta} T_{\alpha \beta} \approx g^{0 0} T_{0 0} \approx -\frac{1}{c^2} \rho c^4 = - \rho c^2 \,</math>
and thus
<math display="block">K \left(T_{0 0} - \tfrac{1}{2} T g_{0 0}\right) \approx K \left(\rho c^4 - \tfrac{1}{2} \left(- \rho c^2\right) \left(- c^2\right)\right) = \tfrac{1}{2} K \rho c^4 \,.</math>

From the definition of the Ricci tensor
<math display="block">R_{0 0} = \Gamma^\rho_{0 0 , \rho} - \Gamma^\rho_{\rho 0 , 0}
+ \Gamma^\rho_{\rho \lambda} \Gamma^\lambda_{0 0}
- \Gamma^\rho_{0 \lambda} \Gamma^\lambda_{\rho 0}.</math>

Our simplifying assumptions make the squares of {{mvar|Γ}} disappear together with the time derivatives
<math display="block">R_{0 0} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \,.</math>

Combining the above equations together
<math display="block">\Phi_{,i i} \approx \Gamma^i_{0 0 , i} \approx R_{0 0} = K \left(T_{0 0} - \tfrac{1}{2} T g_{0 0}\right) \approx \tfrac{1}{2} K \rho c^4 </math>
which reduces to the Newtonian field equation provided
<math display="block">\tfrac{1}{2} K \rho c^4 = 4 \pi G \rho \,</math>
which will occur if
<math display="block">K = \frac{8 \pi G}{c^4} \,.</math>
}}

==निर्वात क्षेत्र समीकरण==
[[Image:Swiss-Commemorative-Coin-1979b-CHF-5-obverse.png|thumb|1979 का एक स्विस स्मारक सिक्का, शून्य ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक(शीर्ष) के साथ निर्वात क्षेत्र समीकरण दर्शाता है।]]यदि विचाराधीन क्षेत्र में ऊर्जा-संवेग प्रदिश Tμν शून्य है, तो क्षेत्र समीकरणों को [[निर्वात क्षेत्र समीकरण]] भी कहा जाता है। ट्रेस-उत्कर्मी क्षेत्र समीकरणों में Tμν = 0 सेट करके, निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिसे 'आइंस्टीन निर्वात समीकरण' (EVE) के रूप में भी जाना जाता है, को इस प्रकार लिखा जा सकता है<math display="block">R_{\mu \nu} = 0 \,.</math>शून्येतर ब्रह्माण्ड संबंधी नियतांक की स्थिति में, समीकरण इस प्रकार हैं<math display="block">R_{\mu \nu} = \frac{\Lambda}{\frac{D}{2} -1} g_{\mu \nu} \,.</math>निर्वात क्षेत्र समीकरणों के समाधानों को [[निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता)|निर्वात समाधान]] कहा जाता है। फ़्लैट [[मिन्कोव्स्की समष्टि]] निर्वात समाधान का सबसे सरल उदाहरण है। निरर्थक उदाहरणों में [[श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान]] और [[केर समाधान]] सम्मिलित हैं।

लुप्यमान हो रहे [[रिक्की टेंसर|रिक्की प्रदिश]], {{math|1=''R{{sub|μν}}'' = 0}} वाले [[मैनिफोल्ड्स]] को [[रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड|रिक्की-फ्लैट]] [[मैनिफोल्ड्स]] कहा जाता है और [[आइंस्टीन मैनिफोल्ड्स]] के रूप में मात्रिक के आनुपातिक रिक्की प्रदिश वाले मैनिफोल्ड्स को भी रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड्स कहा जाता है।
==आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण==
{{See also|वक्रित दिक्काल में मैक्सवेल के समीकरण}}

यदि ऊर्जा-संवेग प्रदिश {{mvar|T{{sub|μν}}}} [[मुक्त स्थान|मुक्त समष्टि]] में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का है, अर्थात यदि विद्युत चुम्बकीय प्रतिबल-ऊर्जा प्रदिश<math display="block">T^{\alpha \beta} = \, -\frac{1}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right) </math>का प्रयोग किया जाता है, तो आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों को आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरण कहा जाता है (ब्रह्मांडीकीय नियतांक Λ के साथ, पारंपरिक आपेक्षिकता सिद्धांत में शून्य माना जाता है):<math display="block">G^{\alpha \beta} + \Lambda g^{\alpha \beta} = \frac{\kappa}{\mu_0} \left( {F^\alpha}^\psi {F_\psi}^\beta + \tfrac{1}{4} g^{\alpha \beta} F_{\psi\tau} F^{\psi\tau}\right).</math>

इसके अतिरिक्त, सहपरिवर्ती मैक्सवेल समीकरण भी मुक्त समष्टि में लागू होते हैं:
<math display="block">\begin{align}
{F^{\alpha\beta}}_{;\beta} &= 0 \\
F_{[\alpha\beta;\gamma]}&=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta;\gamma} + F_{\beta\gamma;\alpha}+F_{\gamma\alpha;\beta}\right)=\tfrac{1}{3}\left(F_{\alpha\beta,\gamma} + F_{\beta\gamma,\alpha}+F_{\gamma\alpha,\beta}\right)= 0.
\end{align}</math>
जहां अर्धविराम एक [[सहसंयोजक व्युत्पन्न|सहपरिवर्ती अवकलज]] का निरूपण करता है, और कोष्ठक [[विरोधी-सममितिकरण|प्रति-सममितिकरण]] को दर्शाता है। पहला समीकरण दावा करता है कि [[2-रूप]] {{mvar|F}} का 4-[[अपसरण]] शून्य है, और दूसरा यह कि इसका [[बाहरी|बाह्य]] [[सहसंयोजक व्युत्पन्न|अवकलज]] शून्य है। उत्तरार्द्ध से, यह पोंकारे लेम्मा का अनुसरण करता है कि एक निर्देशांक चार्ट में एक विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र क्षमता Aα को प्रस्तुत करना संभव है जैसे कि<math display="block">F_{\alpha\beta} = A_{\alpha;\beta} - A_{\beta;\alpha} = A_{\alpha,\beta} - A_{\beta,\alpha}</math>जिसमें अल्पविराम आंशिक अवकलज को दर्शाता है। इसे अधिकतर सहपरिवर्ती मैक्सवेल समीकरण के समतुल्य माना जाता है जिससे यह प्राप्त होता है।<ref>{{Cite book|last=Brown|first=Harvey|url=https://books.google.com/books?id=T6IVyWiPQksC&q=Maxwell+and+potential+and+%22generally+covariant%22&pg=PA164| title=भौतिक सापेक्षता|page=164|publisher=Oxford University Press|year=2005 | isbn=978-0-19-927583-0}}</ref> हालाँकि, समीकरण के वैश्विक समाधान हैं जिनमें विश्व स्तर पर परिभाषित क्षमता का अभाव हो सकता है।<ref>{{Cite journal | last1=Trautman | first1=Andrzej | s2cid=123364248 | author-link = Andrzej Trautman| title=Solutions of the Maxwell and Yang–Mills equations associated with Hopf fibrings | year=1977 | journal=[[International Journal of Theoretical Physics]] | volume=16 | issue=9|pages=561–565 | doi=10.1007/BF01811088|bibcode = 1977IJTP...16..561T }}.</ref>

==समाधान==
{{Main|आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान}}

आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान दिक्काल के [[मैट्रिक्स]] हैं। ये मेट्रिक्स दिक्काल में वस्तुओं की जड़त्वीय गति सहित दिक्काल की संरचना का वर्णन करते हैं। चूंकि क्षेत्र समीकरण अरैखिक होते हैं, इसलिए उन्हें पूर्ण प्रकार से हल नहीं किया जा सकता है (अर्थात सन्निकटन के बिना)। उदाहरण के लिए, दो विशाल पिंडों वाले दिक्काल के लिए कोई ज्ञात पूर्ण समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए, जो बाइनरी स्टार निकाय का एक सैद्धांतिक मॉडल है)। हालाँकि, आमतौर पर इन स्थितियों में सन्निकटन का उपयोग किया जाता है। इन्हें आमतौर पर [[पोस्ट-न्यूटोनियन सन्निकटन]] के रूप में जाना जाता है। फिर भी, ऐसी कई स्थितियाँ हैं जहां क्षेत्र समीकरण पूर्ण प्रकार से हल हो गए हैं, और उन्हें [[सटीक समाधान]] कहा जाता है।<ref name="Stephani et al" />

आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों के सटीक समाधानों का अध्ययन [[ब्रह्मांड]] विज्ञान की गतिविधियों में से एक है। यह [[ब्लैक होल]] की भविष्यवाणी और ब्रह्मांड के विकास के विभिन्न मॉडलों की ओर ले जाता है।

एलिस और मैक्कलम द्वारा प्रवर्तित ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम की विधि के माध्यम से आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के नए समाधान भी खोजे जा सकते हैं।<ref>{{cite journal|last1=Ellis|first1=G. F. R.|last2=MacCallum|first2=M.|s2cid=122577276|title=सजातीय ब्रह्माण्ड संबंधी मॉडलों का एक वर्ग|journal=Comm. Math. Phys.|volume=12|issue=2|date=1969|pages=108–141|bibcode=1969CMaPh..12..108E |doi=10.1007/BF01645908|url=http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103841345}}</ref> इस दृष्टिकोण में, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, अरेखीय, साधारण अवकल समीकरणों के एक सेट में बदल जाते हैं। जैसा कि Hsu और वेनराइट द्वारा चर्चा की गई है,<ref>{{cite journal|last1=Hsu|first1=L.|last2=Wainwright|first2=J|title=Self-similar spatially homogeneous cosmologies: orthogonal perfect fluid and vacuum solutions|journal=Class. Quantum Grav.|volume=3|date=1986|issue=6|pages=1105–1124|doi=10.1088/0264-9381/3/6/011 |bibcode=1986CQGra...3.1105H|s2cid=250907312 }}</ref> आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के स्व-समान समाधान परिणामी [[गतिशील प्रणाली|गतिकीय तंत्र]] के निश्चित बिंदु हैं। लेब्लांक और कोहली और हसलाम द्वारा इन विधियों का उपयोग करके नए समाधान खोजे गए हैं| <ref>{{cite journal|last=LeBlanc|first=V. G.|title=चुंबकीय बियांची I ब्रह्माण्ड विज्ञान की स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ|date=1997|journal=Class. Quantum Grav.| volume=14|issue=8 |page=2281 |doi=10.1088/0264-9381/14/8/025|bibcode=1997CQGra..14.2281L|s2cid=250876974 }}</ref><ref>{{cite journal|last1=Kohli |first1=Ikjyot Singh|last2=Haslam|first2=Michael C.|title=डायनामिकल सिस्टम बियांची प्रकार I चिपचिपा मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक मॉडल के लिए दृष्टिकोण करते हैं|journal=Phys. Rev. D|volume=88|page=063518|date=2013|issue=6|doi=10.1103/physrevd.88.063518| arxiv=1304.8042| bibcode=2013PhRvD..88f3518K|s2cid=119178273}}</ref>
==रखीयकृत EFE==
{{Main|रैखिक गुरुत्वाकर्षण}}

EFE अरैखिकता का सटीक समाधान खोजना कठिन बना देता है। क्षेत्र समीकरणों को हल करने का एक तरीका सन्निकटन है, अर्थात्, गुरुत्वाकर्षण द्रव्य के स्रोत (स्रोतों) से दूर, और दिक्काल  मिन्कोव्स्की दिक्स्थान के पास है। फिर मात्रिक को मिन्कोव्स्की मात्रिक के योग के रूप में लिखा जाता है और उच्च-घातांक पदों को अनदेखा करते हुए, [[मिन्कोव्स्की मात्रिक]] से वास्तविक मात्रिक के अवकलन का निरूपण करने वाला एक पद होता है। इस रैखिकीकरण प्रक्रिया का उपयोग [[गुरूत्वीय विकिरण]] की परिघटनाओं की जांच के लिए किया जा सकता है।

==बहुपद रूप==
EFE के लिखित रूप में मात्रिक प्रदिश के व्युत्क्रम के बावजूद, उन्हें ऐसे रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है जिसमें मात्रिक प्रदिश बहुपद रूप में और इसके व्युत्क्रम के बिना होते है। सबसे पहले, 4 आयामों में मात्रिक के सारणिक को लिखा जा सकता है<math display="block">\det(g) = \tfrac{1}{24} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\alpha\kappa} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu}</math>[[लेवी-सिविटा प्रतीक]] का उपयोग करना; और 4 आयामों में मात्रिक का व्युत्क्रम इस प्रकार लिखा जा सकता है:<math display="block">g^{\alpha\kappa} = \frac{\tfrac{1}{6} \varepsilon^{\alpha\beta\gamma\delta} \varepsilon^{\kappa\lambda\mu\nu} g_{\beta\lambda} g_{\gamma\mu} g_{\delta\nu} }{ \det(g)}\,.</math>मात्रिक के व्युत्क्रम की इस परिभाषा को समीकरणों में प्रतिस्थापित करने के बाद इसे हर से विलोप करने के लिए दोनों पक्षों को det(g) की उपयुक्त घात से गुणा करने पर मात्रिक प्रदिश और इसके पहले और दूसरे अवकलज में बहुपद समीकरण बनते हैं। जिस क्रिया से समीकरण प्राप्त होते हैं उसे क्षेत्रों की उपयुक्त पुनर्परिभाषाओं द्वारा बहुपद रूप में भी लिखा जा सकता है।<ref>{{cite journal|last=Katanaev|first=M. O.|s2cid=6263993|year=2006|title=Polynomial form of the Hilbert–Einstein action|journal=Gen. Rel. Grav.|volume=38|issue=8|pages=1233–1240|arxiv=gr-qc/0507026|doi=10.1007/s10714-006-0310-5 | bibcode=2006GReGr..38.1233K}}</ref>
==यह भी देखें==
{{Div col|colwidth=25em}}
*कंफर्मैस्टैटिक दिक्काल
*आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया 
*तुल्यता सिद्धांत
*सामान्य आपेक्षिकता में सटीक समाधान
*सामान्य आपेक्षिकता संसाधन
*सामान्य आपेक्षिकता का इतिहास
*हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
*सामान्य आपेक्षिकता का गणित
*संख्यात्मक आपेक्षिकता 
*रिक्की कैल्कुलस
{{Div col end}}

==टिप्पणियाँ==
{{Reflist|30em}}


==संदर्भ==
See [[General relativity resources]].
*{{cite book|author1-link=Charles Misner|first1=Charles W.|last1=Misner|author2-link=Kip S. Thorne|first2=Kip S.|last2=Thorne |author3-link=John Archibald Wheeler|first3=John Archibald|last3=Wheeler|title=[[Gravitation (book)|Gravitation]] |location=San Francisco|publisher=[[W. H. Freeman]]|year=1973|isbn=978-0-7167-0344-0}}
*{{cite book|last=Weinberg|first=Steven|year=1972|title=Gravitation and Cosmology|isbn=0-471-92567-5|publisher=John Wiley & Sons |author-link=Steven Weinberg|url-access=registration|url=https://archive.org/details/gravitationcosmo00stev_0}}
*{{cite book|last=Peacock|first=John A.|year=1999|title=Cosmological Physics|url=https://archive.org/details/cosmologicalphys0000peac |url-access=registration|isbn=978-0521410724|publisher=Cambridge University Press|author-link=John A. Peacock}}


==बाहरी संबंध==
{{Wikibooks | General Relativity}}
{{Wikiversity | General Relativity}}
* {{springer|title=Einstein equations|id=p/e035210}}
* [https://web.archive.org/web/20110621005940/http://www.black-holes.org/relativity6.html Caltech Tutorial on Relativity] — A simple introduction to Einstein's Field Equations.
* [http://math.ucr.edu/home/baez/einstein/einstein.html The Meaning of Einstein's Equation] — An explanation of Einstein's field equation, its derivation, and some of its consequences
*[https://www.youtube.com/watch?v=8MWNs7Wfk84&feature=PlayList&p=858478F1EC364A2C&index=2 Video Lecture on Einstein's Field Equations] by [[MIT]] Physics Professor Edmund Bertschinger.
*[http://scitation.aip.org/content/aip/magazine/physicstoday/article/68/11/10.1063/PT.3.2979 Arch and scaffold: How Einstein found his field equations] Physics Today November 2015, History of the Development of the Field Equations




===बाहरी छवियाँ===
*[https://web.archive.org/web/20180226091926/https://www.ilorentz.org/history/wallformulas/images/pages/page_2.html डाउनटाउन में संग्रहालय बोएरहावे की दीवार पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण लीडेन]
*[[सुज़ैन इम्बर]], [https://imagegeo.egu.eu/view/886/ अटाकामा रेगिस्तान पर सामान्य आपेक्षिकताका प्रभाव], बोलीविया में एक ट्रेन के किनारे पर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण।

{{Einstein}}
{{Relativity}}
{{Authority control}}

{{DEFAULTSORT:Einstein Field Equations}}
श्रेणी:अल्बर्ट आइंस्टीन
श्रेणी:भौतिकी के समीकरण
श्रेणी:सामान्य सापेक्षता
श्रेणी:आंशिक अंतर समीकरण


[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 30/06/2023]]