View source for बार्न्स जी-फ़ंक्शन

[[File:Plot of the Barnes G aka double gamma function G(z) in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the Barnes G aka double gamma function G(z) जटिल तल में -2-2i से 2+2i तक गणित 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3D|थंब|के साथ बनाए गए रंगों के साथ बार्न्स जी उर्फ डबल गामा फ़ंक्शन G(z) का प्लॉट -2-2i से लेकर जटिल तल में गणित 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट3डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ 2+2आई]]गणित में, बार्न्स जी-फ़ंक्शन ''जी''(''जेड'')   [[फ़ंक्शन (गणित)]] है जो [[जटिल संख्या]]ओं के लिए [[सुपरफैक्टोरियल]] का विस्तार है। यह [[गामा फ़ंक्शन]], [[K-फ़ंक्शन]] और ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक से संबंधित है, और इसका नाम [[गणितज्ञ]] [[अर्नेस्ट विलियम बार्न्स]] के नाम पर रखा गया था।<ref>E. W. Barnes, "The theory of the G-function", ''Quarterly Journ. Pure and Appl. Math.'' '''31''' (1900), 264–314.</ref> इसे दोहरे गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा जा सकता है।

औपचारिक रूप से, बार्न्स जी-फ़ंक्शन को निम्नलिखित [[वीयरस्ट्रैस उत्पाद]] रूप में परिभाषित किया गया है:

:<math> G(1+z)=(2\pi)^{z/2} \exp\left(- \frac{z+z^2(1+\gamma)}{2} \right) \, \prod_{k=1}^\infty \left\{ \left(1+\frac{z}{k}\right)^k \exp\left(\frac{z^2}{2k}-z\right) \right\}</math>
कहाँ <math>\, \gamma </math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, घातीय फलन(x) = e<sup>x</sup>घातांकीय फ़ंक्शन है, और Π गुणन ([[कैपिटल पाई नोटेशन]]) को दर्शाता है।

संपूर्ण समारोह के रूप में, ''G'' is of order two, and of infinite type. This can be deduced from the asymptotic expansion given below.[[File:2022-08-09 12 43 26-Barnes-G from -6 to 4.png|बार्न्स जी वास्तविक अक्ष के भाग के साथ कार्य करता है]]

==[[कार्यात्मक समीकरण]] और पूर्णांक तर्क==

बार्न्स जी-फ़ंक्शन कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है

:<math> G(z+1)=\Gamma(z)\, G(z) </math>
सामान्यीकरण जी(1)=1 के साथ। बार्न्स जी-फ़ंक्शन के कार्यात्मक समीकरण और यूलर गामा फ़ंक्शन के कार्यात्मक समीकरण के बीच समानता पर ध्यान दें:

:<math> \Gamma(z+1)=z \, \Gamma(z) .</math>
कार्यात्मक समीकरण का तात्पर्य है कि G [[पूर्णांक]] तर्कों पर निम्नलिखित मान लेता है:

:<math>G(n)=\begin{cases} 0&\text{if }n=0,-1,-2,\dots\\ \prod_{i=0}^{n-2} i!&\text{if }n=1,2,\dots\end{cases}</math>
(विशेष रूप से, <math>\,G(0)=0, G(1)=1</math>)

और इस तरह

:<math>G(n)=\frac{(\Gamma(n))^{n-1}}{K(n)}</math>
कहाँ <math>\,\Gamma(x)</math> गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है और K, K-फ़ंक्शन को दर्शाता है। कार्यात्मक समीकरण विशिष्ट रूप से जी फ़ंक्शन को परिभाषित करता है यदि उत्तलता की स्थिति,

:<math>\, \frac{d^3}{dx^3}G(x)\geq 0</math> जोड़ दिया गया है।<ref>M. F. Vignéras, ''L'équation fonctionelle de la fonction zêta de Selberg du groupe mudulaire SL<math>(2,\mathbb{Z})</math>'', Astérisque '''61''', 235–249 (1979).</ref> इसके अतिरिक्त, बार्न्स जी फ़ंक्शन दोहराव सूत्र को संतुष्ट करता है,<ref>{{cite journal | url=https://koreascience.kr/article/JAKO199611919482150.page | title=A duplication formula for the double gamma function $Gamma_2$ | journal=Bulletin of the Korean Mathematical Society | year=1996 | volume=33 | issue=2 | pages=289–294 | last1=Park | first1=Junesang }}</ref>
:<math>G(x)G\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}G(x+1)=e^{\frac{1}{4}}A^{-3}2^{-2x^{2}+3x-\frac{11}{12}}\pi^{x-\frac{1}{2}}G\left(2x\right)</math>
== लक्षण वर्णन ==
गामा फ़ंक्शन के लिए बोहर-मोलेरुप प्रमेय|बोहर-मोलेरुप प्रमेय के समान,   स्थिरांक के लिए <math>c>0</math>, हमारे पास है <math>f(x)=cG(x)</math><ref>{{Cite book |last=Marichal |first=Jean Luc |title=A Generalization of Bohr-Mollerup’s Theorem for Higher Order Convex Functions |publisher=Springer |url=https://orbi.uliege.be/bitstream/2268/294009/1/Marichal-Zena%C3%AFdi2022_Book_AGeneralizationOfBohr-Mollerup.pdf |pages=218}}</ref>

<math>f(x+1)=\Gamma(x)f(x)</math>

और के लिए <math>x>0</math>

<math>f(x+n)\sim \Gamma(x)^nn^{{x\choose 2}}f(n) </math>

जैसा <math>n\to\infty</math>.

==1/2 पर मान==
:<math>G\left(\tfrac{1}{2}\right) = 2^{\frac{1}{24}} e^{\frac32 \zeta'(-1)}\pi^{-\frac14}.</math>

==परावर्तन सूत्र 1.0==

जी-फ़ंक्शन के लिए [[अंतर समीकरण]], गामा फ़ंक्शन के कार्यात्मक समीकरण के साथ, बार्न्स जी-फ़ंक्शन के लिए निम्नलिखित [[प्रतिबिंब सूत्र]] प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है (मूल रूप से [[हरमन किंकेलिन]] द्वारा सिद्ध):

:<math> \log G(1-z) = \log G(1+z)-z\log 2\pi+ \int_0^z \pi x \cot \pi x \, dx.</math>
दाहिनी ओर लॉगटैन्जेंट इंटीग्रल का मूल्यांकन [[क्लॉज़ेन फ़ंक्शन]] (क्रम 2 के) के संदर्भ में किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:

:<math>2\pi \log\left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right)= 2\pi z\log\left(\frac{\sin\pi z}{\pi} \right) + \operatorname{Cl}_2(2\pi z)</math>
इस परिणाम का प्रमाण कोटैंजेंट इंटीग्रल के निम्नलिखित मूल्यांकन पर निर्भर करता है: अंकन का परिचय <math>\operatorname{Lc}(z)</math> लॉगकोटैंजेंट इंटीग्रल के लिए, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए <math>\,(d/dx) \log(\sin\pi x)=\pi\cot\pi x</math>, भागों द्वारा   एकीकरण देता है

:<math>\begin{align}
\operatorname{Lc}(z) &= \int_0^z\pi x\cot \pi x\,dx \\
        &= z\log(\sin \pi z)-\int_0^z\log(\sin \pi x)\,dx \\
        &= z\log(\sin \pi z)-\int_0^z\Bigg[\log(2\sin \pi x)-\log 2\Bigg]\,dx \\
        &= z\log(2\sin \pi z)-\int_0^z\log(2\sin \pi x)\,dx .
\end{align}</math>
अभिन्न प्रतिस्थापन करना <math>\, y=2\pi x \Rightarrow dx=dy/(2\pi)</math> देता है

:<math>z\log(2\sin \pi z)-\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi z}\log\left(2\sin \frac{y}{2} \right)\,dy.</math>
क्लॉज़ेन फ़ंक्शन - दूसरे क्रम का - अभिन्न प्रतिनिधित्व है

:<math>\operatorname{Cl}_2(\theta) = -\int_0^{\theta}\log\Bigg|2\sin \frac{x}{2} \Bigg|\,dx.</math>
हालाँकि, अंतराल के भीतर <math>\, 0 < \theta < 2\pi </math>, [[ एकीकृत |एकीकृत]] के भीतर पूर्ण मूल्य चिह्न को छोड़ा जा सकता है, क्योंकि सीमा के भीतर इंटीग्रल में 'अर्ध-साइन' फ़ंक्शन सख्ती से सकारात्मक है, और सख्ती से गैर-शून्य है। लॉगटैन्जेंट इंटीग्रल के लिए उपरोक्त परिणाम के साथ इस परिभाषा की तुलना करने पर, निम्नलिखित संबंध स्पष्ट रूप से सामने आता है:

:<math>\operatorname{Lc}(z)=z\log(2\sin \pi z)+\frac{1}{2\pi} \operatorname{Cl}_2(2\pi z).</math>
इस प्रकार, शब्दों की थोड़ी सी पुनर्व्यवस्था के बाद, प्रमाण पूरा हो गया है:

:<math>2\pi \log\left( \frac{G(1-z)}{G(1+z)} \right)= 2\pi z\log\left(\frac{\sin\pi z}{\pi} \right)+\operatorname{Cl}_2(2\pi z)\, . \, \Box </math>
संबंध का उपयोग करना <math>\, G(1+z)=\Gamma(z)\, G(z) </math> और प्रतिबिंब सूत्र को   कारक से विभाजित करना <math>\, 2\pi </math> समतुल्य रूप देता है:

:<math> \log\left( \frac{G(1-z)}{G(z)} \right)= z\log\left(\frac{\sin\pi z}{\pi}
\right)+\log\Gamma(z)+\frac{1}{2\pi}\operatorname{Cl}_2(2\pi z) </math>
संदर्भ: प्रतिबिंब सूत्र के समतुल्य रूप के लिए नीचे एडमचिक देखें, लेकिन   अलग प्रमाण के साथ।

==परावर्तन सूत्र 2.0==

पिछले प्रतिबिंब सूत्र में ''z'' को (1/2) - ''z'' से बदलने पर, कुछ सरलीकरण के बाद, नीचे दिखाया गया समतुल्य सूत्र मिलता है ([[बर्नौली बहुपद]]ों को शामिल करते हुए):

:<math>\log\left( \frac{ G\left(\frac{1}{2}+z\right) }{ G\left(\frac{1}{2}-z\right) } \right) = \log \Gamma \left(\frac{1}{2}-z \right) + B_1(z) \log 2\pi+\frac{1}{2}\log 2+\pi \int_0^z B_1(x) \tan \pi x \,dx</math>


==टेलर श्रृंखला विस्तार==

टेलर के प्रमेय द्वारा, और बार्न्स फ़ंक्शन के लघुगणकीय व्युत्पन्न पर विचार करते हुए, निम्नलिखित श्रृंखला विस्तार प्राप्त किया जा सकता है:

:<math>\log G(1+z) = \frac{z}{2}\log 2\pi -\left( \frac{z+(1+\gamma)z^2}{2} \right) + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\zeta(k)}{k+1}z^{k+1}.</math>
यह के लिए मान्य है <math>\, 0 < z < 1 </math>. यहाँ, <math>\, \zeta(x) </math> [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन]] है:

:<math> \zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^s}. </math>
टेलर विस्तार के दोनों पक्षों का प्रतिपादन करने पर यह मिलता है:

:<math>\begin{align} G(1+z) &= \exp \left[ \frac{z}{2}\log 2\pi -\left( \frac{z+(1+\gamma)z^2}{2} \right) + \sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\zeta(k)}{k+1}z^{k+1} \right] \\
&=(2\pi)^{z/2}\exp\left[ -\frac{z+(1+\gamma)z^2}{2} \right] \exp \left[\sum_{k=2}^{\infty}(-1)^k\frac{\zeta(k)}{k+1}z^{k+1} \right].\end{align}</math>
इसकी तुलना बार्न्स फ़ंक्शन के वीयरस्ट्रैस उत्पाद रूप से करने पर निम्नलिखित संबंध मिलता है:

:<math>\exp \left[\sum_{k=2}^\infty (-1)^k\frac{\zeta(k)}{k+1}z^{k+1} \right] = \prod_{k=1}^{\infty} \left\{ \left(1+\frac{z}{k}\right)^k \exp \left(\frac{z^2}{2k}-z\right) \right\}</math>


==गुणन सूत्र==

गामा फ़ंक्शन की तरह, जी-फ़ंक्शन का भी   गुणन सूत्र है:<ref>I. Vardi, ''Determinants of Laplacians and multiple gamma functions'', SIAM J. Math. Anal. '''19''', 493–507 (1988).</ref>
:<math>
G(nz)= K(n) n^{n^{2}z^{2}/2-nz} (2\pi)^{-\frac{n^2-n}{2}z}\prod_{i=0}^{n-1}\prod_{j=0}^{n-1}G\left(z+\frac{i+j}{n}\right)
</math>
कहाँ <math>K(n)</math> द्वारा दिया गया   स्थिरांक है:

:<math> K(n)= e^{-(n^2-1)\zeta^\prime(-1)} \cdot
n^{\frac{5}{12}}\cdot(2\pi)^{(n-1)/2}\,=\,
(Ae^{-\frac{1}{12}})^{n^2-1}\cdot n^{\frac{5}{12}}\cdot (2\pi)^{(n-1)/2}.</math>
यहाँ <math>\zeta^\prime</math> [[रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन]] का व्युत्पन्न है और <math>A</math> ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक है।

==पूर्ण मान==

यह सच है <math>G(\overline z)=\overline{G(z)}</math>, इस प्रकार <math>|G(z)|^2=G(z)G(\overline z)</math>. इस संबंध से और ऊपर प्रस्तुत वीयरस्ट्रैस उत्पाद प्रपत्र से कोई यह दिखा सकता है
:<math>
|G(x+iy)|=|G(x)|\exp\left(y^2\frac{1+\gamma}{2}\right)\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}\sqrt{\prod_{k=1}^\infty\left(1+\frac{y^2}{(x+k)^2}\right)^{k+1}\exp\left(-\frac{y^2}{k}\right)}.
</math>
यह संबंध मनमाने ढंग से मान्य है <math>x\in\mathbb{R}\setminus\{0,-1,-2,\dots\}</math>, और <math>y\in\mathbb{R}</math>. अगर <math>x=0</math>, तो इसके बजाय नीचे दिया गया सूत्र मान्य है:
:<math>
|G(iy)|=y\exp\left(y^2\frac{1+\gamma}{2}\right)\sqrt{\prod_{k=1}^\infty\left(1+\frac{y^2}{k^2}\right)^{k+1}\exp\left(-\frac{y^2}{k}\right)}
</math>
मनमाने ढंग से वास्तविक y के लिए।

==स्पर्शोन्मुख विस्तार==

G(z + 1) के लघुगणक में निम्नलिखित स्पर्शोन्मुख विस्तार है, जैसा कि बार्न्स द्वारा स्थापित किया गया है:

:<math>\begin{align}
\log G(z+1) = {} & \frac{z^2}{2} \log z - \frac{3z^2}{4} + \frac{z}{2}\log 2\pi -\frac{1}{12} \log z \\
            & {} + \left(\frac{1}{12}-\log A \right)
            +\sum_{k=1}^N \frac{B_{2k + 2}}{4k\left(k + 1\right)z^{2k}}~+~O\left(\frac{1}{z^{2N + 2}}\right).
\end{align}</math>
यहां ही <math>B_k</math> [[बर्नौली संख्या]]एँ हैं और <math>A</math> ग्लैशर-किंकलिन स्थिरांक है। (ध्यान दें कि बार्न्स के समय यह कुछ हद तक भ्रमित करने वाला था <ref>[[E. T. Whittaker]] and [[G. N. Watson]], "[[A Course of Modern Analysis]]", CUP.</ref> [[बर्नौली संख्या]] <math>B_{2k}</math> के रूप में लिखा गया होगा <math>(-1)^{k+1} B_k </math>, लेकिन यह परिपाटी अब प्रचलित नहीं है।) यह विस्तार इसके लिए मान्य है <math>z </math> किसी भी ऐसे सेक्टर में जिसमें नकारात्मक वास्तविक अक्ष न हो <math>|z|</math> बड़ा।

==लॉगगामा इंटीग्रल से संबंध==

पैरामीट्रिक लॉगगामा का मूल्यांकन बार्न्स जी-फ़ंक्शन के संदर्भ में किया जा सकता है (संदर्भ: यह परिणाम नीचे एडमचिक में पाया गया है, लेकिन बिना सबूत के बताया गया है):

:<math> \int_0^z \log \Gamma(x)\,dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi +z\log\Gamma(z) -\log G(1+z) </math>
प्रमाण कुछ हद तक अप्रत्यक्ष है, और इसमें पहले गामा फ़ंक्शन और बार्न्स जी-फ़ंक्शन के लघुगणकीय अंतर पर विचार करना शामिल है:

:<math>z\log \Gamma(z)-\log G(1+z)</math>
कहाँ

:<math>\frac{1}{\Gamma(z)}= z e^{\gamma z} \prod_{k=1}^\infty \left\{ \left(1+\frac{z}{k}\right)e^{-z/k} \right\}</math>
और <math>\,\gamma</math> यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।

बार्न्स फ़ंक्शन और गामा फ़ंक्शन के वीयरस्ट्रैस उत्पाद रूपों का लघुगणक लेने पर यह मिलता है:

:<math>
\begin{align}
& z\log \Gamma(z)-\log G(1+z)=-z \log\left(\frac{1}{\Gamma (z)}\right)-\log G(1+z) \\[5pt]
= {} & {-z} \left[ \log z+\gamma z +\sum_{k=1}^\infty \Bigg\{ \log\left(1+\frac{z}{k} \right) -\frac{z}{k} \Bigg\} \right] \\[5pt]
& {} -\left[ \frac{z}{2}\log 2\pi -\frac{z}{2}-\frac{z^2}{2} -\frac{z^2 \gamma}{2} + \sum_{k=1}^\infty \Bigg\{k\log\left(1+\frac{z}{k}\right) +\frac{z^2}{2k} -z \Bigg\} \right]
\end{align}
</math>
शब्दों का थोड़ा सरलीकरण और पुनः क्रम लगाने से श्रृंखला का विस्तार होता है:

:<math>
\begin{align}
& \sum_{k=1}^\infty \Bigg\{ (k+z)\log \left(1+\frac{z}{k}\right)-\frac{z^2}{2k}-z \Bigg\} \\[5pt]
= {} & {-z}\log z-\frac{z}{2}\log 2\pi +\frac{z}{2} +\frac{z^2}{2}- \frac{z^2 \gamma}{2}- z\log\Gamma(z) +\log G(1+z)
\end{align}
</math>
अंत में, गामा फ़ंक्शन के वीयरस्ट्रैस उत्पाद रूप का लघुगणक लें, और अंतराल पर एकीकृत करें <math>\, [0,\,z]</math> प्राप्त करने के लिए:

:<math>
\begin{align}
& \int_0^z\log\Gamma(x)\,dx=-\int_0^z \log\left(\frac{1}{\Gamma(x)}\right)\,dx \\[5pt]
= {} & {-(z\log z-z)}-\frac{z^2 \gamma}{2}- \sum_{k=1}^\infty \Bigg\{ (k+z)\log \left(1+\frac{z}{k}\right)-\frac{z^2}{2k}-z \Bigg\}
\end{align}
</math>
दोनों मूल्यांकनों को बराबर करने से प्रमाण पूरा हो जाता है:

:<math> \int_0^z \log \Gamma(x)\,dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi +z\log\Gamma(z) -\log G(1+z)</math>
और तबसे <math>\, G(1+z)=\Gamma(z)\, G(z) </math> तब,

:<math> \int_0^z \log \Gamma(x)\,dx=\frac{z(1-z)}{2}+\frac{z}{2}\log 2\pi -(1-z)\log\Gamma(z) -\log G(z)\, .</math>


==संदर्भ==
<references/>

*{{dlmf|first=R.A. |last=Askey|first2=R.|last2=Roy|id=5.17}}
{{DEFAULTSORT:Barnes G-Function}}[[Category: संख्या सिद्धांत]] [[Category: विशेष कार्य]] 

*{{cite arXiv|last=Adamchik|first=Viktor S.|title=Contributions to the Theory of the Barnes function|year=2003|eprint=math/0308086}}



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 05/07/2023]]