View source for घातीय भाज्य

{{Short description|Recursive mathematical formula}}
'''[[घातांक|घातीय]] भाज्य''' एक सकारात्मक [[पूर्णांक]] n घातांक है जिसे n - 1 की घात तक बढ़ाया जाता है, इस प्रकार जो बदले में n - 2 की घात तक बढ़ाया जाता है और इसी तरह एक सही-समूहन तरीके से। वह है,

: <math>n^{(n - 1)^{(n - 2) \cdots }}</math>
घातीय तथ्यात्मक को [[पुनरावृत्ति संबंध]] के साथ भी परिभाषित किया जा सकता है

: <math>a_1 = 1,\quad  a_n = n^{a_{n - 1}}</math>
पहले कुछ घातीय भाज्य हैं [[1 (संख्या)]], [[2 (संख्या)]], [[9 (संख्या)]], [[262144]], ... ({{OEIS2C|A049384}} या {{OEIS2C|A132859}}). उदाहरण के लिए, 262144 एक घातीय भाज्य है

: <math>262144 = 4^{3^{2^{1}}}</math>
पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करते हुए, पहले घातीय भाज्य हैं:
:1
:2<sup>1</sup>=2
:3<sup>2</sup>=9
:4<sup>9</sup>=262144
:5<sup>262144</sup> = 6206069878...8212890625 (183231 अंक)

घातांकीय [[ कारख़ाने का | फैक्टोरियल]] नियमित फैक्टोरियल या यहां तक कि [[हाइपरफैक्टोरियल]] की तुलना में बहुत तेजी से बढ़ते हैं। इस प्रकार 6 के घातांकीय भाज्य में अंकों की संख्या लगभग 5 × 10<sup>183 230</sup> है।

इस प्रकार 1 से आगे तक घातांकीय भाज्यों के गुणात्मक व्युत्क्रम का योग निम्नलिखित [[पारलौकिक संख्या]] है:

:<math>\frac{1}{1}+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{3^{2^1}}+\frac{1}{4^{3^{2^1}}}+\frac{1}{5^{4^{3^{2^1}}}}+\frac{1}{6^{5^{4^{3^{2^1}}}}}+\ldots=1.611114925808376736\underbrace{111111111111\ldots 111111111111}_{183212}272243682859\ldots</math>
यह योग पारलौकिक है क्योंकि यह एक लिउविले संख्या है।

[[tetration|टेट्रेशन]] की तरह, वर्तमान में फैक्टोरियल फ़ंक्शन के विपरीत, घातांकीय फैक्टोरियल फ़ंक्शन को [[वास्तविक संख्या]] और उसके तर्क के [[जटिल संख्या]] मानों तक विस्तारित करने की कोई स्वीकृत विधि नहीं है, इस प्रकार जिसके लिए [[गामा फ़ंक्शन]] द्वारा ऐसा विस्तार प्रदान किया जाता है। किन्तु इसका विस्तार करना संभव है यदि इसे 1 की पट्टी चौड़ाई में परिभाषित किया गया हो।

इसी प्रकार, 0 पर उचित मान के बारे में भी असहमति है; कोई भी मान पुनरावर्ती परिभाषा के अनुरूप होगा। इस प्रकार वास्तविकताओं का सहज विस्तार संतुष्ट करेगा <math>f(0) = f'(1)</math>, जो सख्ती से 0 और 1 के बीच का मान सुझाता है।

==संबंधित कार्य, अंकन और परंपराएँ==

==संदर्भ==
*Jonathan Sondow, "[http://mathworld.wolfram.com/ExponentialFactorial.html Exponential Factorial]" From [[Mathworld]], a Wolfram Web resource
[[Category: भाज्य और द्विपद विषय]] [[Category: पूर्णांक क्रम]] [[Category: बड़े पूर्णांक]] [[Category: घातांक]]
{{Numtheory-stub}}



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 05/07/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]