View source for ऋणात्मक बहुपद वितरण

{{Probability distribution
  | box_width  = 350px
  | type       = mass
  | notation   = <math>\textrm{NM}(x_0,\,\mathbf{p})</math>
  | parameters = <math>x_0>0</math> — the number of failures before the experiment is stopped,<br/> <math>\mathbf{p}</math> ∈ '''R'''<sup>''m''</sup> — ''m''-vector of "success" probabilities,<br/><hr>''p''<sub>0</sub> = 1 − (''p''<sub>1</sub>+…+''p''<sub>''m''</sub>) — the probability of a "failure".
  | support    = <math>x_i \in \{0,1,2,\ldots\}, 1\leq i\leq m</math>
  | pdf        = <math>\Gamma\!\left(\sum_{i=0}^m{x_i}\right)\frac{p_0^{x_0}}{\Gamma(x_0)} \prod_{i=1}^m{\frac{p_i^{x_i}}{x_i!}},</math><br/> where Γ(''x'') is the [[Gamma function]].
  | cdf        =
  | mean       = <math> \tfrac{x_0}{p_0}\,\mathbf{p} </math>
  | variance   = <math> \tfrac{x_0}{p_0^2}\,\mathbf{pp}' + \tfrac{x_0}{p_0}\,\operatorname{diag}(\mathbf{p}) </math>
  | mode       =
  | entropy    =
  | mgf        = <math>\bigg(\frac{p_0}{1 - \sum_{j=1}^m p_j e^{t_j}}\bigg)^{\!x_0}</math>
  | cf         = <math>\bigg(\frac{p_0}{1 - \sum_{j=1}^m p_j e^{it_j}}\bigg)^{\!x_0}</math>
  }}


संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, नकारात्मक बहुपद वितरण दो से अधिक परिणामों के लिए नकारात्मक द्विपद वितरण (NB(''x''<sub>0</sub>, ''p'')) का एक सामान्यीकरण है।<ref name="LeGall">Le Gall, F. The modes of a negative multinomial distribution, Statistics & Probability Letters, Volume 76, Issue 6, 15 March 2006, Pages 619-624, ISSN 0167-7152, [http://www.sciencedirect.com/science/article/B6V1D-4H7T8P0-1/2/54b376fc96fdd6ad4331325a822df997 10.1016/j.spl.2005.09.009].</ref>

अविभाज्य नकारात्मक द्विपद वितरण के साथ, यदि पैरामीटर <math>x_0</math> एक सकारात्मक पूर्णांक है, तो नकारात्मक बहुपद वितरण में एक कलश मॉडल व्याख्या होती है। मान लीजिए कि हमारे पास एक प्रयोग है जो ''m''+1≥2 संभावित परिणाम, {''X''<sub>0</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} उत्पन्न करता है, प्रत्येक क्रमशः गैर-नकारात्मक संभावनाओं {''p''<sub>0</sub>,...,''p<sub>m</sub>''} के साथ होता है। यदि नमूनाकरण n अवलोकन किए जाने तक जारी रहता, तो {''X''<sub>0</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} को बहुपद रूप से वितरित किया गया होता। चूँकि , यदि ''X''<sub>0</sub> पूर्व निर्धारित मान ''X''<sub>0</sub> पर पहुँच जाता है (यह मानते हुए कि ''X''<sub>0</sub> एक धनात्मक पूर्णांक है) तो प्रयोग रोक दिया जाता है, तो m-tuple {''X''<sub>1</sub>,...,''X<sub>m</sub>''} का वितरण ऋणात्मक बहुपद है। ये चर बहुपद रूप से वितरित नहीं हैं क्योंकि उनका योग ''X''<sub>1</sub>+...+''X<sub>m</sub>'' निश्चित नहीं है, जो एक नकारात्मक द्विपद वितरण से लिया गया है।
==गुण                                                                                                                                                                                                                                 ==

===सीमांत वितरण===

यदि m-आयामी 'x' को निम्नानुसार विभाजित किया गया है
<math display="block">
\mathbf{X}
=
\begin{bmatrix}
 \mathbf{X}^{(1)} \\
 \mathbf{X}^{(2)}
\end{bmatrix}

\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}</math>
और इसलिए <math>\boldsymbol{p}</math> 
<math display="block">
\boldsymbol p
=
\begin{bmatrix}
 \boldsymbol p^{(1)} \\
 \boldsymbol p^{(2)}
\end{bmatrix}
\text{ with sizes }\begin{bmatrix} n \times 1 \\ (m-n) \times 1 \end{bmatrix}</math>
और जाने
<math display="block">q = 1-\sum_i p_i^{(2)} = p_0+\sum_i p_i^{(1)}</math><math>\boldsymbol X^{(1)}</math> का सीमांत वितरण <math>\mathrm{NM}(x_0,p_0/q, \boldsymbol p^{(1)}/q )</math> है। अथार्त सीमांत वितरण भी नकारात्मक बहुपद है जिसमें <math>\boldsymbol p^{(2)}</math> को हटा दिया गया है और शेष पी को उचित रूप से स्केल किया गया है जिससे एक में जोड़ा जा सकता है ।

कहा जाता है कि अविभाज्य सीमांत <math>m=1</math> का ऋणात्मक द्विपद वितरण होता है।

===नियमित वितरण===

नियमित _संभावना_वितरण <math>\mathbf{X}^{(1)}</math> दिया गया <math>\mathbf{X}^{(2)}=\mathbf{x}^{(2)}</math> है <math display="inline">\mathrm{NM}(x_0+\sum{x_i^{(2)}},\mathbf{p}^{(1)}) </math>. वह है,
<math display="block">
\Pr(\mathbf{x}^{(1)}\mid \mathbf{x}^{(2)}, x_0, \mathbf{p} )= \Gamma\!\left(\sum_{i=0}^m{x_i}\right)\frac{(1-\sum_{i=1}^n{p_i^{(1)}})^{x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)}}}{\Gamma(x_0+\sum_{i=1}^{m-n}x_i^{(2)})}\prod_{i=1}^n{\frac{(p_i^{(1)})^{x_i}}{(x_i^{(1)})!}}.
</math>


===स्वतंत्र योग===
यदि <math>\mathbf{X}_1 \sim \mathrm{NM}(r_1, \mathbf{p})</math> और यदि <math>\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_2, \mathbf{p})</math> तो [[स्वतंत्रता (संभावना सिद्धांत)]] हैं जो की <math>\mathbf{X}_1+\mathbf{X}_2 \sim \mathrm{NM}(r_1+r_2, \mathbf{p})</math>. इसी तरह और इसके विपरीत, विशेषता फलन से यह देखना आसान है कि नकारात्मक बहुपद [[अनंत विभाज्यता (संभावना)]] है।

===एकत्रीकरण===
यदि 
<math display="block">\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM}(x_0, (p_1,\ldots,p_m))</math>
फिर, यदि सबस्क्रिप्ट i और j वाले यादृच्छिक चर को वेक्टर से हटा दिया जाता है और उनके योग से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है,
<math display="block">\mathbf{X}' = (X_1, \ldots, X_i + X_j, \ldots, X_m)\sim\operatorname{NM} (x_0, (p_1, \ldots, p_i + p_j, \ldots, p_m)).</math>
इस एकत्रीकरण गुण का उपयोग ऊपर उल्लिखित <math>X_i</math> के सीमांत वितरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

===सहसंबंध आव्यूह ===
सहसंबंध आव्यूह या सहसंबंध आव्यूह की प्रविष्टियाँ हैं
<math display="block">\rho(X_i,X_i) = 1.</math>
<math display="block">\rho(X_i,X_j) = \frac{\operatorname{cov}(X_i,X_j)}{\sqrt{\operatorname{var}(X_i)\operatorname{var}(X_j)}} = \sqrt{\frac{p_i  p_j}{(p_0+p_i)(p_0+p_j)}}.</math>


==पैरामीटर अनुमान==

===क्षणों की विधि===

यदि हम ऋणात्मक बहुपद का माध्य सदिश होने दें
<math display="block">\boldsymbol{\mu}=\frac{x_0}{p_0}\mathbf{p}</math>
और सहप्रसरण आव्यूह 
<math display="block">\boldsymbol{\Sigma}=\tfrac{x_0}{p_0^2}\,\mathbf{p}\mathbf{p}' + \tfrac{x_0}{p_0}\,\operatorname{diag}(\mathbf{p}),</math>
फिर [[निर्धारकों]] के गुणों के माध्यम से यह दिखाना आसान है <math display="inline"> |\boldsymbol{\Sigma}| = \frac{1}{p_0}\prod_{i=1}^m{\mu_i}</math>. इससे तो यही पता चलता है
<math display="block">x_0=\frac{\sum{\mu_i}\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}</math>
और
<math display="block"> \mathbf{p}= \frac{|\boldsymbol{\Sigma}|-\prod{\mu_i}}{|\boldsymbol{\Sigma}|\sum{\mu_i}}\boldsymbol{\mu}. </math>
नमूना क्षणों को प्रतिस्थापित करने से क्षणों (सांख्यिकी) अनुमान की विधि प्राप्त होती है
<math display="block">\hat{x}_0=\frac{(\sum_{i=1}^{m}{\bar{x_i})}\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}{|\mathbf{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x_i}}}</math>
और
<math display="block">
\hat{\mathbf{p}}=\left(\frac{|\boldsymbol{S}|-\prod_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}{|\boldsymbol{S}|\sum_{i=1}^{m}{\bar{x}_i}}\right)\boldsymbol{\bar{x}}
</math>


==संबंधित वितरण==
* नकारात्मक द्विपद वितरण
* बहुपद वितरण
* व्युत्क्रम डिरिक्लेट वितरण, नकारात्मक बहुपद के लिए एक संयुग्म पूर्व
* [[डिरिचलेट नकारात्मक बहुपद वितरण]]

==संदर्भ==
<references />
Waller LA and Zelterman D. (1997). Log-linear modeling with the negative multi-
nomial distribution. Biometrics 53: 971–82.


==अग्रिम पठन==
{{cite book | last1=Johnson | first1= Norman L. | last2=Kotz | first2=Samuel | last3= Balakrishnan | first3=N.| title=Discrete Multivariate Distributions | chapter=Chapter 36: Negative Multinomial and Other Multinomial-Related Distributions | year=1997 | publisher=Wiley | isbn=978-0-471-12844-1}}

{{ProbDistributions|multivariate}}

{{DEFAULTSORT:Negative Multinomial Distribution}}[[Category: भाज्य और द्विपद विषय]] [[Category: बहुभिन्नरूपी असतत वितरण]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 07/07/2023]]