View source for आंतरिक माप

गणित में, विशेष रूप से [[माप सिद्धांत]] में, एक आंतरिक माप किसी दिए गए [[सेट (गणित)|सम्मुच्चय (गणित)]] के [[ सत्ता स्थापित |घात समुच्चय]] पर एक [[फ़ंक्शन (गणित)|फलन (गणित)]] होता है, जिसमें [[विस्तारित वास्तविक रेखा]] में मान होते हैं, जो कुछ तकनीकी स्थितियों को संतुष्ट करते हैं। सहज रूप से, किसी सम्मुच्चय का आंतरिक माप उस सम्मुच्चय के आकार की निचली सीमा है।

== परिभाषा ==

आंतरिक माप एक निर्धारित फलन है 
<math display=block>\varphi : 2^X \to [0, \infty],</math>
एक समुच्चय <math>X</math> के सभी उपसमुच्चयों पर परिभाषित है जो निम्नलिखित परिस्थिति को पूरा करता है:

* शून्य [[खाली सेट|निरर्थक सम्मुच्चय]]: निरर्थक सम्मुच्चय में शून्य आंतरिक माप है (यह भी देखें: [[शून्य मापें]]); वह है, <math display=block>\varphi(\varnothing) = 0</math>
* [[सुपरएडिटिविटी|अतियोज्य]]: किसी भी [[असंयुक्त सेट|असंयुक्त सम्मुच्चय]] <math>A</math> और <math>B</math> के लिए  <math display="block">\varphi(A \cup B) \geq \varphi(A) + \varphi(B).</math>
* ह्वासमान स्तंभ की सीमाएँ: किसी भी क्रम के लिए <math>A_1, A_2, \ldots</math> <math> A_j \supseteq A_{j+1}</math> सम्मुच्चय ऐसे कि प्रत्येक <math>j</math> और <math>\varphi(A_1) < \infty</math> के लिए निम्न है  <math display=block>\varphi \left(\bigcap_{j=1}^\infty A_j\right) = \lim_{j \to \infty} \varphi(A_j)</math> 
* अनंत तक पहुंचना चाहिए: यदि <math>\varphi(A) = \infty</math> एक सम्मुच्चय <math>A</math> के लिए फिर प्रत्येक सकारात्मक [[वास्तविक संख्या]] <math>r</math> के लिए वहाँ कुछ <math>B \subseteq A</math> इस प्रकार उपस्थित है कि  <math display="block">r \leq \varphi(B) < \infty.</math>


== किसी माप से प्रेरित आंतरिक माप ==

मान लीजिये <math>\Sigma</math> σ-बीजगणित पर एक सम्मुच्चय <math>X</math> और <math>\mu</math>  <math>\Sigma</math> पर एक उपाय (गणित) हो। फिर भीतर का माप <math>\mu_*</math> प्रेरक <math>\mu</math> द्वारा परिभाषित किया गया है
<math display=block>\mu_*(T) = \sup\{\mu(S) : S \in \Sigma \text{ and } S \subseteq T\}.</math>
अनिवार्य रूप से <math>\mu_*</math> यह सुनिश्चित करके किसी भी सम्मुच्चय के आकार की निचली सीमा देता है कि वह कम से कम उतना बड़ा हो <math>\mu</math>-इसमें से किसी एक का माप <math>\Sigma</math>-मापने योग्य उपसमुच्चय है भले ही सम्मुच्चय फलन <math>\mu_*</math> सामान्यतः कोई माप नहीं है, <math>\mu_*</math> निम्नलिखित गुणों को उपायों के साथ साझा करता है:
# <math>\mu_*(\varnothing) = 0,</math>
# <math>\mu_*</math> गैर-नकारात्मक है,
# अगर <math>E \subseteq F</math> तब <math>\mu_*(E) \leq \mu_*(F)</math>


==पूर्णता माप ==
{{main|पूर्णता माप}}

किसी माप को बड़े σ-बीजगणित तक विस्तारित करने के लिए प्रेरित आंतरिक मापों का उपयोग प्रायः [[बाहरी माप]] के साथ संयोजन में किया जाता है। अगर <math>\mu</math> σ-बीजगणित पर परिभाषित  <math>\Sigma</math> ऊपर <math>X</math> एक सीमित माप है और <math>\mu^*</math> और <math>\mu_*</math> संगत प्रेरित बाहरी और आंतरिक उपाय हैं, फिर सम्मुच्चय <math>T \in 2^X</math> इस तरह कि <math>\mu_*(T) = \mu^*(T)</math> एक σ-बीजगणित <math>{\displaystyle {\hat {\Sigma }}}</math> के साथ <math>{\displaystyle \Sigma \subseteq {\hat {\Sigma }}}</math> निम्न है
<math display=block>\hat\mu(T) = \mu^*(T) = \mu_*(T)</math>
सभी <math>{\displaystyle T\in {\hat {\Sigma }}}</math> एक माप <math style="vertical-align:0%" पर="" एक="" माप="" है;="">\hat \Sigma</math> है जिसे <math>\mu </math> के पूरा होने के रूप में जाना जाता है।

== यह भी देखें ==

* {{annotated link|लेबेस्ग्यू परिमेय सम्मुच्चय}}

== संदर्भ ==
{{reflist}}

* हेल्मोस, पॉल आर., मेज़र थ्योरी, डी. वैन नॉस्ट्रैंड कंपनी, इंक, 1950, pp.&nbsp;58.
* ए. एन. कोलमोगोरोव और एस. वी. फ़ोमिन, रिचर्ड ए. सिल्वरमैन द्वारा अनुवादित, परिचयात्मक वास्तविक विश्लेषण, डोवर प्रकाशन, न्यूयॉर्क, 1970, {{ISBN|0-486-61226-0}} (Chapter 7)

{{Measure theory}}
[[Category: उपाय (माप सिद्धांत)]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 03/07/2023]]