View source for हिल्बर्ट परिवर्तन

{{Short description|Integral transform and linear operator}}
गणित और सिग्नल प्रोसेसिंग में, हिल्बर्ट रूपांतरण एक विशिष्ट एकवचन अभिन्न अंग है जो एक वास्तविक चर का एक फलन, {{math|''u''(''t'')}} लेता है और एक वास्तविक चर {{math|H(''u'')(''t'')}} का एक और फलन उत्पन्न करता है। हिल्बर्ट रूपांतरण फलन <math>1/(\pi t)</math> के साथ [[कनवल्शन]] के [[कॉची प्रमुख मूल्य|कॉची प्रमुख]] मान द्वारा दिया गया है (देखें § परिभाषा)। हिल्बर्ट रूपांतरण का [[आवृत्ति डोमेन]] में एक विशेष रूप से सरल प्रतिनिधित्व है: यह किसी फलन के प्रत्येक आवृत्ति घटक को ±90° ({{frac|{{pi}}|2}} रेडियन) का एक चरण बदलाव प्रदान करता है, आवृत्ति के संकेत के आधार पर बदलाव का संकेत (देखें) § फूरियर रूपांतरण के साथ संबंध). हिल्बर्ट रूपांतरण सिग्नल प्रोसेसिंग में महत्वपूर्ण है, जहां यह वास्तविक-मूल्यवान सिग्नल {{math|''u''(''t'')}} के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व का एक घटक है। विश्लेषिक फलन के लिए रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के एक विशेष मामले को हल करने के लिए, हिल्बर्ट रूपांतरण को पहली बार [[डेविड हिल्बर्ट]] द्वारा इस सेटिंग में प्रस्तुत किया गया था।

== परिभाषा ==
{{mvar|u}} के हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म को फ़ंक्शन {{math|1=''h''(''t'') = {{sfrac|1| {{pi}} ''t''}}}} के साथ {{math|''u''(''t'')}} के कनवल्शन के रूप में माना जा सकता है, जिसे [[कॉची कर्नेल]] के रूप में जाना जाता है। क्योंकि {{frac|1|{{mvar|t}}}}, {{math|1=''t'' = 0 }} के पार समाकलनीय नहीं है, कनवल्शन को परिभाषित करने वाला अभिन्न अंग हमेशा अभिसरण नहीं करता है। इसके बजाय, हिल्बर्ट परिवर्तन को कॉची प्रिंसिपल वैल्यू (यहां पी.वी. द्वारा दर्शाया गया) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। स्पष्ट रूप से, किसी फ़ंक्शन (या सिग्नल) का हिल्बर्ट रूपांतरण {{math|''u''(''t'')}} द्वारा दिया जाता है।<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \frac{1}{\pi}\, \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{u(\tau)}{t - \tau}\;\mathrm{d}\tau ,</math>परन्तु यह अभिन्न एक प्रमुख मूल्य के रूप में उपस्तिथ हो। यह ठीक संयमित वितरण पी.वी. के साथ {{mvar|u}} का कनवल्शन है। {{math|p.v. {{sfrac|1|{{pi}} ''t''}}}}<ref>due to {{harvnb|Schwartz|1950}}; see {{harvnb|Pandey|1996|loc=Chapter 3}}.</ref> वैकल्पिक रूप से, चर को बदलकर, मुख्य मूल्य अभिन्न को स्पष्ट रूप से<ref>{{harvnb|Zygmund|1968|loc=§XVI.1}}</ref> के रूप में लिखा जा सकता है।<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \frac{2}{\,\pi\,}\,\lim_{\varepsilon \to 0} \, \int_\varepsilon^\infty \frac{\,u(t - \tau) - u(t + \tau)\,}{2\tau} \;\mathrm{d}\tau~ .</math>


जब हिल्बर्ट रूपांतरण को किसी फलन {{mvar|u}} पर लगातार दो बार लागू किया जाता है, तो परिणाम होता है:<math display="block">\operatorname{H}\bigl(\operatorname{H}(u)\bigr)(t) = -u(t) ,</math>

परन्तु दोनों पुनरावृत्तियों को परिभाषित करने वाले अभिन्न अंग एक उपयुक्त अर्थ में अभिसरण हों। विशेष रूप से, व्युत्क्रम रूपांतरण  <math>\operatorname{H}^3</math> है। इस तथ्य को {{math|''u''(''t'')}} के फूरियर रूपांतरण पर हिल्बर्ट रूपांतरण के प्रभाव पर विचार करके सबसे आसानी से देखा जा सकता है (§ फूरियर रूपांतरण के साथ संबंध, नीचे देखें)।

ऊपरी आधे तल में एक विश्लेषणात्मक फंक्शन के लिए, हिल्बर्ट रूपांतरण वास्तविक भाग और सीमा मूल्यों के काल्पनिक भाग के बीच संबंध का वर्णन करता है। अर्थात्, यदि {{math|''f''(''z'') }}ऊपरी आधे जटिल विमान {{math|1={''z'' : Im{''z''} > 0}<nowiki/>}} में विश्लेषणात्मक है, और {{math|1=''u''(''t'') = Re{''f'' (''t'' + 0·''i'')<nowiki>}</nowiki> }} तो {{math|1= Im{''f'' (''t'' + 0·''i'')} = H(''u'')(''t'')}} एक योगात्मक स्थिरांक तक, परन्तु यह हिल्बर्ट रूपांतरण उपस्थित हो।

===अंकन===
सिग्नल प्रोसेसिंग में {{math|''u''(''t'')}} के हिल्बर्ट रूपांतरण को आमतौर पर <math> \hat{u}(t) </math> द्वारा दर्शाया जाता है।<ref>e.g., {{harvnb|Brandwood|2003|loc=p. 87}}</ref> हालाँकि, गणित में, {{math|''u''(''t'')}} के फूरियर रूपांतरण को दर्शाने के लिए इस संकेतन का पहले से ही बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है।<ref>e.g., {{harvnb|Stein|Weiss|1971}}</ref> कभी-कभी, हिल्बर्ट रूपांतरण को <math> \tilde{u}(t) </math> द्वारा निरूपित किया जा सकता है। इसके अलावा, कई स्रोत हिल्बर्ट रूपांतरण को यहां परिभाषित ऋणात्मक रूप में परिभाषित करते हैं।<ref>e.g., {{harvnb|Bracewell|2000|loc=p. 359}}</ref>
== इतिहास ==
हिल्बर्ट रूपांतरण हिल्बर्ट के 1905 में रीमैन द्वारा विश्लेषिक फलन से संबंधित एक समस्या पर किए गए कार्य से उत्पन्न हुआ,{{sfn|Kress|1989}}{{sfn|Bitsadze|2001}} जिसे रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के रूप में जाना जाता है। हिल्बर्ट का फलन मुख्य रूप से वृत्त पर परिभाषित फलन के लिए हिल्बर्ट रूपांतरण से संबंधित था।{{sfn|Khvedelidze|2001}}{{sfn|Hilbert|1953}} डिस्क्रीट हिल्बर्ट रूपांतरण से संबंधित उनके पहले के कुछ कार्य गौटिंगेन में दिए गए उनके व्याख्यानों से मिलते हैं। परिणाम बाद में हरमन वेइल द्वारा अपने शोध प्रबंध में प्रकाशित किए गए।{{sfn|Hardy|Littlewood|Pólya|1952|loc=§9.1}} शूर ने असतत हिल्बर्ट रूपांतरण के बारे में हिल्बर्ट के परिणामों में सुधार किया और उन्हें अभिन्न मामले तक विस्तारित किया।{{sfn|Hardy|Littlewood|Pólya|1952|loc=§9.2}} ये परिणाम रिक्त स्थान {{math|''L''<sup>2</sup>}} और {{math|ℓ<sup>2</sup>}} तक ही सीमित थे। 1928 में, [[मार्सेल रिज़्ज़]] ने साबित किया कि हिल्बर्ट रूपांतरण को {{math|1 < ''p'' < ∞}}1 के लिए (''L<sup>p</sup>'' स्पेस) में u के लिए परिभाषित किया जा सकता है, कि हिल्बर्ट रूपांतरण {{math|1 < ''p'' < ∞}}1 के लिए <math>L^p(\mathbb{R})</math>पर एक बाउंडेड संकारक है। p < ∞, और समान परिणाम वृत्त पर हिल्बर्ट रूपांतरण के साथ-साथ असतत हिल्बर्ट रूपांतरण के लिए भी लागू होते हैं।{{sfn|Riesz|1928}} हिल्बर्ट रूपांतरण [[एंटोनी ज़िगमंड]] और अल्बर्टो काल्डेरोन के लिए एकवचन इंटीग्रल के अध्ययन के दौरान एक प्रेरक उदाहरण था।{{sfn|Calderón|Zygmund|1952}} उनकी जांचों ने आधुनिक हार्मोनिक विश्लेषण में एक मौलिक भूमिका निभाई है। हिल्बर्ट रूपांतरण के विभिन्न सामान्यीकरण, जैसे कि द्विरेखीय और त्रिरेखीय हिल्बर्ट रूपांतरण आज भी अनुसंधान के सक्रिय क्षेत्र हैं।

== फूरियर रूपांतरण के साथ संबंध ==
हिल्बर्ट रूपांतरण एक [[गुणक (फूरियर विश्लेषण)|गुणक]] संकारक है।{{sfn|Duoandikoetxea|2000|loc=Chapter 3}} {{math|H}} का गुणक {{math|1=''σ''<sub>H</sub>(''ω'') = −''i'' sgn(''ω'')}} है, जहां [[साइन फ़ंक्शन|ज्या फलन]] है। इसलिए:

<math display="block">\mathcal{F}\bigl(\operatorname{H}(u)\bigr)(\omega) = -i \sgn(\omega) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega) ,</math>



जहाँ <math>\mathcal{F}</math> [[फूरियर रूपांतरण]] को दर्शाता है। तब से {{math|1=sgn(''x'') = sgn(2{{pi}}''x'')}}, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि यह परिणाम <math> \mathcal{F}</math> की तीन सामान्य परिभाषाओं पर लागू होता है:

यूलर के सूत्र द्वारा,
<math display="block">\sigma_\operatorname{H}(\omega) = \begin{cases}
 ~~i = e^{+\frac{i\pi}{2}}, & \text{for } \omega < 0,\\
 ~~                      0, & \text{for } \omega = 0,\\
  -i = e^{-\frac{i\pi}{2}}, & \text{for } \omega > 0.
\end{cases}</math>
इसलिए, {{math|H(''u'')(''t'')}} के [[नकारात्मक आवृत्ति|ऋणात्मक आवृत्ति]] घटकों के चरण को स्थानांतरित करने का प्रभाव पड़ता है {{math|''u''(''t'')}}+90° ({{frac|{{pi}}|2}} रेडियन) और धनात्मक आवृत्ति घटकों का चरण -90°, और {{math|''i''·H(''u'')(''t'')}} में धनात्मक आवृत्ति घटकों को पुनर्स्थापित करने का प्रभाव होता है जबकि ऋणात्मक आवृत्ति वाले को अतिरिक्त +90° स्थानांतरित किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप उनका निषेध होता है (यानी, −1 से गुणा)।

जब हिल्बर्ट रूपांतरण को दो बार लागू किया जाता है, तो ऋणात्मक और धनात्मक आवृत्ति घटकों का चरण {{math|''u''(''t'')}} को क्रमशः +180° और -180° द्वारा स्थानांतरित किया जाता है, जो समतुल्य राशियाँ हैं। संकेत अस्वीकृत है; अर्थात।, {{math|1=H(H(''u'')) = −''u''}}, क्योंकि

<math display="block">\bigl(\sigma_\operatorname{H}(\omega)\bigr)^2 = e^{\pm i\pi} = -1 \quad \text{for } \omega \neq 0 .</math>
== चयनित हिल्बर्ट रूपांतरण की तालिका ==
निम्न तालिका में, [[आवृत्ति]] पैरामीटर <math>\omega</math> यह सचमुच का है।

{| class="wikitable"
|-
! संकेत <br/><math>u(t)</math>
! हिल्बर्ट रूपांतरण<ref group="fn">Some authors (e.g., Bracewell) use our {{math|−H}} as their definition of the forward transform. A consequence is that the right column of this table would be negated.</ref> <br/><math>\operatorname{H}(u)(t)</math>
|-
| align="center"| <math>\sin(\omega t + \phi)</math> <ref group="fn" name="ex02">The Hilbert transform of the sin and cos functions can be defined by taking the principal value of the integral at infinity.  This definition agrees with the result of defining the Hilbert transform distributionally.</ref> || align="center" |
<math>\begin{array}{lll}
\sin\left(\omega t + \phi - \tfrac{\pi}{2}\right)=-\cos\left(\omega t + \phi \right), \quad \omega > 0\\
\sin\left(\omega t + \phi + \tfrac{\pi}{2}\right)=\cos\left(\omega t + \phi \right), \quad \omega < 0
\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math> \cos(\omega t + \phi) </math> <ref group="fn" name="ex02"/> || align="center" |
<math>\begin{array}{lll}
\cos\left(\omega t + \phi - \tfrac{\pi}{2}\right)=\sin\left(\omega t + \phi\right), \quad \omega > 0\\
\cos\left(\omega t + \phi + \tfrac{\pi}{2}\right)=-\sin\left(\omega t + \phi\right), \quad \omega < 0
\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math> e^{i \omega t} </math> || align="center"|
<math>\begin{array}{lll}
e^{i\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right)}, \quad \omega > 0\\
e^{i\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right)}, \quad \omega < 0
\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math> e^{-i \omega t} </math> || align="center"|
<math>\begin{array}{lll}
e^{-i\left(\omega t - \tfrac{\pi}{2}\right)}, \quad \omega > 0\\
e^{-i\left(\omega t + \tfrac{\pi}{2}\right)}, \quad \omega < 0
\end{array}</math>
|-
| align="center"| <math> 1 \over t^2 + 1 </math> || align="center"| <math> t \over t^2 + 1 </math>
|-
| align="center"| <math> e^{-t^2} </math> || align="center"| <math> \frac{2}{\sqrt{\pi\,}} F(t) </math><br/>([[Dawson function|डॉसन फलन]] देखें)
|-
| align="center"| '''[[Sinc function|सिंक फलन]]'''  <br /> <math> \sin(t) \over t </math> || align="center" | <math> 1 - \cos(t)\over t </math>
|-
| align="center"| '''[[Dirac delta function|डिराक डेल्टा फलन]]''' <br /><math> \delta(t) </math> || align="center"| <math> {1 \over \pi t} </math>
|-
| align="center"| '''[[Indicator function|विश्लेषिक फलन]]''' <br /> <math> \chi_{[a,b]}(t) </math> ||  align="center"| <math>{ \frac{1}{\,\pi\,}\ln \left\vert \frac{t - a}{t - b}\right\vert }</math>
|}
टिप्पणियाँ
<references group="fn"/>हिल्बर्ट परिवर्तनों की एक विस्तृत तालिका उपलब्ध है।{{sfn|King|2009b}}
ध्यान दें कि किसी स्थिरांक का हिल्बर्ट रूपांतरण शून्य है।

==परिभाषा का क्षेत्र==
यह किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है कि हिल्बर्ट रूपांतरण बिल्कुल भी अच्छी तरह से परिभाषित है, क्योंकि इसे परिभाषित करने वाला अनुचित अभिन्न अंग एक उपयुक्त अर्थ में अभिसरण होना चाहिए। हालाँकि, हिल्बर्ट रूपांतरण फलन की एक विस्तृत श्रेणी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है, अर्थात् <math>L^p(\mathbb{R})</math> के लिए {{math|1 < ''p'' < ∞}}.

अधिक सटीक रूप से, यदि {{mvar|u}} में है <math>L^p(\mathbb{R})</math> के लिए {{math|1 < ''p'' < ∞}}, फिर अनुचित अभिन्न को परिभाषित करने वाली सीमा

<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \frac{2}{\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^\infty \frac{u(t - \tau) - u(t + \tau)}{2\tau}\,d\tau</math>
[[लगभग हर]] के लिए मौजूद है {{mvar|t}}. सीमा फलन भी में है <math>L^p(\mathbb{R})</math> और वास्तव में यह अनुचित अभिन्न के माध्य की भी सीमा है। वह है,

<math display="block">\frac{2}{\pi} \int_\varepsilon^\infty \frac{u(t - \tau) - u(t + \tau)}{2\tau}\,\mathrm{d}\tau \to \operatorname{H}(u)(t)</math>
{{mvar|L<sup>p</sup>}} मानदंड में {{math|''ε'' → 0}} के साथ-साथ टिचमार्श प्रमेय द्वारा लगभग हर जगह बिंदुवार।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Chapter 5}}

यदि {{math|1=''p'' = 1}}, हिल्बर्ट रूपांतरण अभी भी लगभग हर जगह बिंदुवार रूप से अभिसरण करता है, लेकिन स्थानीय स्तर पर भी, स्वयं एकीकृत होने में विफल हो सकता है।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=§5.14}} विशेष रूप से, इस मामले में माध्य में अभिसरण सामान्यतः नहीं होता है। एक का हिल्बर्ट रूपांतरण {{math|''L''<sup>1</sup>}हालाँकि, } फलन अभिसरण करता है {{math|''L''<sup>1</sup>}}-कमजोर, और हिल्बर्ट रूपांतरण एक सीमित संकारक है {{math|''L''<sup>1</sup>}} को {{math|''L''<sup>1,w</sup>}}.{{sfn|Stein|Weiss|1971|loc=Lemma V.2.8}} (विशेष रूप से, चूंकि हिल्बर्ट रूपांतरण भी एक गुणक संकारक है {{math|''L''<sup>2</sup>}}, [[मार्सिंकिविज़ इंटरपोलेशन|मार्सिंकिविज़ प्रक्षेप]] और एक द्वैत तर्क एक वैकल्पिक प्रमाण प्रस्तुत करता है {{mvar|H}} पर {{math|''L''<sup>''p''</sup>}} परिबद्ध है)

== गुण ==

===सीमा===
अगर {{math|1 < ''p'' < ∞}}, फिर हिल्बर्ट बदल जाता है <math>L^p(\mathbb{R})</math> एक [[परिबद्ध रैखिक संचालिका]] है, जिसका अर्थ है कि एक स्थिरांक {{mvar|C<sub>p</sub>}} मौजूद है। ऐसा है कि

<math display="block">\left\|\operatorname{H}u\right\|_p \le C_p \left\|u\right\|_p </math>
सभी के लिए {{nowrap|<math>u \isin L^p(\mathbb{R})</math>.}}<ref>This theorem is due to {{harvnb|Riesz|1928|loc=VII}}; see also {{harvnb|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 101}}.</ref>

सर्वोत्तम स्थिरांक <math>C_p</math> द्वारा दिया गया है।<ref>This result is due to {{harvnb|Pichorides|1972}}; see also {{harvnb|Grafakos|2004|loc=Remark 4.1.8}}.</ref>
<math display="block">C_p = \begin{cases}
  \tan \frac{\pi}{2p} & \text{for} ~ 1 < p \leq 2\\ 
  \cot \frac{\pi}{2p} & \text{for} ~ 2 < p < \infty
\end{cases}</math>
सर्वोत्तम खोजने का एक आसान तरीका <math>C_p</math> के लिए <math>p</math> 2 की शक्ति होना तथाकथित कोटलर की पहचान के माध्यम से है <math> (\operatorname{H}f)^2 =f^2 +2\operatorname{H}(f\operatorname{H}f)</math> सभी वास्तविक मूल्यवानों के लिए  {{mvar|f}}. आवधिक हिल्बर्ट रूपांतरण के लिए भी वही सर्वोत्तम स्थिरांक मौजूद हैं।

हिल्बर्ट रूपांतरण की सीमा का तात्पर्य है <math>L^p(\mathbb{R})</math> सममित आंशिक योग संकारक का अभिसरण
<math display="block">S_R f = \int_{-R}^R \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x\xi} \, \mathrm{d}\xi </math>
को {{mvar|f}} में {{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>.}}<ref>See for example {{harvnb|Duoandikoetxea|2000|p=59}}.</ref>



===स्व-विरोधी संयुक्तता===
हिल्बर्ट रूपांतरण, द्वैत युग्मन के सापेक्ष एक स्व-विरोधी सहायक संकारक है <math>L^p(\mathbb{R})</math> और दोहरी जगह {{nowrap|<math>L^q(\mathbb{R})</math>,}} जहाँ {{mvar|p}} और {{mvar|q}} होल्डर संयुग्म हैं और {{math|1 < ''p'', ''q'' < ∞}}. प्रतीकात्मक रूप से,

<math display="block">\langle \operatorname{H} u, v \rangle = \langle u, -\operatorname{H} v \rangle</math>
के लिए <math>u \isin L^p(\mathbb{R})</math> और {{nowrap|<math>v \isin L^q(\mathbb{R})</math>.}}{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 102}}

===व्युत्क्रम रूपांतरण ===
हिल्बर्ट रूपांतरण एक [[विरोधी आक्रमण]] है,{{sfn|Titchmarsh|1948|p=120}} मतलब है कि

<math display="block">\operatorname{H}\bigl(\operatorname{H}\left(u\right)\bigr) = -u</math>
बशर्ते प्रत्येक रूपांतरण अच्छी तरह से परिभाषित हो। तब से {{math|H}} स्थान सुरक्षित रखता है {{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>,}} इसका तात्पर्य विशेष रूप से यह है कि हिल्बर्ट रूपांतरण उलटा है {{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>,}} ओर वो

<math display="block">\operatorname{H}^{-1} = -\operatorname{H}</math>
===जटिल संरचना===
क्योंकि {{math|1=H<sup>2</sup> = −I}}  ({{math|I}} पहचान संकारक है) वास्तविक-मूल्यवान फलन के वास्तविक बानाच स्थान पर {{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>,}} हिल्बर्ट रूपांतरण इस बानाच स्थान पर एक [[रैखिक जटिल संरचना]] को परिभाषित करता है। विशेषकर, जब {{math|1=''p'' = 2}}, हिल्बर्ट रूपांतरण हिल्बर्ट को वास्तविक-मूल्यवान फलन का स्थान देता है <math>L^2(\mathbb{R})</math> एक जटिल हिल्बर्ट स्थान की संरचना हैं।

हिल्बर्ट के (जटिल) ईजेनस्टेट्स पाले-वीनर प्रमेय द्वारा [[हार्डी स्पेस]] {{math|H<sup>2</sup>}} में ऊपरी और निचले आधे-तलों में [[होलोमोर्फिक फ़ंक्शन|होलोमोर्फिक फलन]] के रूप में प्रतिनिधित्व को स्वीकार करते हैं।

===अवकलन===
औपचारिक रूप से, हिल्बर्ट रूपांतरण का व्युत्पन्न व्युत्पन्न का हिल्बर्ट रूपांतरण है, यानी ये दो रैखिक संकारक आवागमन करते हैं:

<math display="block">\operatorname{H}\left(\frac{ \mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}\operatorname{H}(u)</math>
इस पहचान को दोहराते हुए,

<math display="block">\operatorname{H}\left(\frac{\mathrm{d}^ku}{\mathrm{d}t^k}\right) = \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}\operatorname{H}(u)</math>
जैसा कि कहा गया है, यह पूरी तरह सत्य है {{mvar|u}} और यह पहला है {{mvar|k}} डेरिवेटिव का संबंध है {{nowrap|<math>L^p(\mathbb{R})</math>.}}{{sfn|Pandey|1996|loc=§3.3}} कोई इसे आवृत्ति डोमेन में आसानी से जांच सकता है, जहां {{mvar|ω}} विभेदन गुणा हो जाता है।

===संकल्प===
हिल्बर्ट रूपांतरण को औपचारिक रूप से वितरण (गणित) संस्कारित वितरण और फूरियर रूपांतरण के साथ एक कनवल्शन के रूप में स्पष्ट किया जा सकता है।{{sfn|Duistermaat|Kolk|2010|p=211}}

<math display="block">h(t) = \operatorname{p.v.} \frac{1}{ \pi \, t }</math>
इस प्रकार औपचारिक रूप से,

<math display="block">\operatorname{H}(u) = h*u</math>
हालाँकि, एक प्राथमिकता के लिए इसे केवल परिभाषित किया जा सकता है {{mvar|u}} [[कॉम्पैक्ट समर्थन]] का वितरण। इसके साथ कुछ हद तक कठोरता से कार्य करना संभव है क्योंकि कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलन {{math|''L<sup>p</sup>''}}( जो वितरण एक फोर्टियोरी हैं) घने (टोपोलॉजी) हैं। रूप से, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि h(t) फलन का {{math|1=log{{!}}''t''{{!}}/''π''}} [[वितरणात्मक व्युत्पन्न]] है; अर्थात

<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{\pi} \left(u*\log\bigl|\cdot\bigr|\right)(t)\right)</math>
अधिकांश परिचालन उद्देश्यों के लिए हिल्बर्ट रूपांतरण को एक कनवल्शन के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, औपचारिक अर्थ में, किसी कनवल्शन का हिल्बर्ट रूपांतरण हिल्बर्ट रूपांतरण का कनवल्शन है जो दोनों कारकों में से केवल एक पर लागू होता है:

<math display="block">\operatorname{H}(u*v) = \operatorname{H}(u)*v = u*\operatorname{H}(v)</math>
यह पूरी तरह सत्य है अगर {{mvar|u}} और {{mvar|v}} सघन रूप से समर्थित वितरण हैं, क्योंकि उस स्थिति में,

<math display="block"> h*(u*v) = (h*u)*v = u*(h*v)</math>
एक उचित सीमा तक जाने पर, यह इस प्रकार भी सत्य है यदि {{math|''u'' ∈ ''L<sup>p</sup>''}} और {{math|''v'' ∈ ''L<sup>q</sup>''}} उसे उपलब्ध कराया

<math display="block"> 1 < \frac{1}{p} + \frac{1}{q} </math>
टिचमर्श के कारण एक प्रमेय से।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 104}}

===अपरिवर्तनीय===
हिल्बर्ट परिवर्तन में <math>L^2(\mathbb{R})</math> पर निम्नलिखित अपरिवर्तनीय गुण हैं।
* यह अनुवाद के साथ चलता है। यानी यह संकारक के साथ आवागमन करता है {{math|1=''T''<sub>''a''</sub> ''f''(''x'') = ''f''(''x'' + ''a'')}} सभी के लिए {{mvar|a}} में <math>\mathbb{R}.</math>
* यह धनात्मक प्रसार के साथ संचार करता है। यानी यह संकारक के साथ आवागमन करता है {{math|1=''M<sub>λ</sub> f'' (''x'') = ''f'' (''λ x'')}} सभी के लिए {{math|''λ'' > 0}}.
* यह प्रतिबिम्ब के साथ [[प्रतिसंक्रामकता]] है {{math|1=''R f'' (''x'') = ''f'' (−''x'')}}.

गुणक स्थिरांक तक, हिल्बर्ट रूपांतरण एकमात्र परिबद्ध संचालिका है {{mvar|L}}<sup>2</sup>इन गुणों के साथ।{{sfn|Stein|1970|loc=§III.1}}

वास्तव में संकारक का एक व्यापक समूह है जो हिल्बर्ट रूपांतरण के साथ आवागमन करता है। समूह <math>\text{SL}(2,\mathbb{R})</math> एकात्मक संचालकों द्वारा फलन {{math|U<sub>''g''</sub>}} अंतरिक्ष पर <math>L^2(\mathbb{R})</math> सूत्र द्वारा

<math display="block">\operatorname{U}_{g}^{-1} f(x) = \frac{1}{ c x + d } \, f \left( \frac{ ax + b }{ cx + d } \right) \,,\qquad g = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ~,\qquad \text{ for }~ a d - b c = \pm 1 . </math><!-- ~~~ -->
यह एकात्मक प्रतिनिधित्व <math>~\text{SL}(2,\mathbb{R})~.</math> के प्रमुख श्रृंखला प्रतिनिधित्व का एक उदाहरण है, इस मामले में यह कम करने योग्य है, दो अपरिवर्तनीय उप-स्थानों, हार्डी स्पेस <math>H^2(\mathbb{R})</math>और इसके संयुग्म के ऑर्थोगोनल योग के रूप में विभाजित है। ये हैं ऊपरी और निचले आधे तलों पर होलोमोर्फिक फलन के {{math|''L''<sup>2</sup>}} सीमा मानों के स्थान। <math>H^2(\mathbb{R})</math> और इसके संयुग्म में वास्तव में वे {{math|''L''<sup>2</sup>}} फलन शामिल हैं जिनमें फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म क्रमशः वास्तविक अक्ष के नकारात्मक और सकारात्मक भागों पर गायब हो जाते हैं। चूंकि हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म है {{math|1=H = −''i'' (2''P'' − I)}} के बराबर, {{mvar|P}} <math>L^2(\mathbb{R})</math> से <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{R}),</math>पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है और {{math|I}} पहचान संकारक है, यह इस प्रकार है कि <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{R})</math> और इसका ऑर्थोगोनल पूरक आइगेनमान ±i के लिए {{math|H}} के आइगेनस्पेस हैं। दूसरे शब्दों में, {{math|H}}, संकारक के {{mvar|U<sub>g</sub>}} के साथ आवागमन करता है। संकारक {{mvar|U<sub>g</sub>}} के <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{R})</math> और इसके संयुग्म के प्रतिबंध <math>\text{SL}(2,\mathbb{R})</math> का अघुलनशील प्रतिनिधित्व देते हैं ,असतत श्रृंखला निरूपण की तथाकथित सीमा है।<ref>See {{harvnb|Bargmann|1947}}, {{harvnb|Lang|1985}}, and {{harvnb|Sugiura|1990}}.</ref> 
==परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार करना==

===वितरण का हिल्बर्ट रूपांतरण===
हिल्बर्ट परिवर्तन को वितरण के कुछ स्थानों तक विस्तारित करना और भी संभव है (पांडेय 1996, अध्याय 3)। चूँकि हिल्बर्ट परिवर्तन विभेदन के साथ आवागमन करता है, और {{mvar|L<sup>p</sup>}} पर एक परिबद्ध संचालिका है, {{mvar|H}} सोबोलेव रिक्त स्थान की व्युत्क्रम सीमा पर निरंतर परिवर्तन देने के लिए प्रतिबंधित करता है:

<math display="block">\mathcal{D}_{L^p} = \underset{n \to \infty}{\underset{\longleftarrow}{\lim}} W^{n,p}(\mathbb{R})</math>हिल्बर्ट परिवर्तन को तब के दोहरे स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है <math>\mathcal{D}_{L^p}</math> जिसे <math>\mathcal{D}_{L^p}'</math>दर्शाया गया है, जिसमें {{mvar|L<sup>p</sup>}} वितरण शामिल हैं। यह द्वंद्व युग्म द्वारा पूरा किया जाता है:


{{nowrap|<math> u\in \mathcal{D}'_{L^p} </math>,}} के लिए  परिभाषित करना:

<math display="block">\operatorname{H}(u)\in \mathcal{D}'_{L^p} = \langle \operatorname{H}u, v \rangle \ \triangleq \ \langle u, -\operatorname{H}v\rangle,\ \text{for all} \ v\in\mathcal{D}_{L^p} .</math>
गेलफैंड और शिलोव के दृष्टिकोण से टेम्पर्ड वितरण के क्षेत्र में हिल्बर्ट रूपांतरण को परिभाषित करना संभव है,{{sfn|Gel'fand|Shilov|1968}} लेकिन अभिन्नता में विलक्षणता के कारण काफी अधिक देखभाल की आवश्यकता है।

=== परिबद्ध फलन का हिल्बर्ट रूपांतरण ===
हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म को <math>L^\infty (\mathbb{R})</math> में फलन के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन इसके लिए कुछ संशोधन और चेतावनी की आवश्यकता होती है। ठीक से समझे जाने पर, हिल्बर्ट मानचित्रों को <math>L^\infty (\mathbb{R})</math>को बाउंडेड माध्य दोलन (बीएमओ) वर्गों के बनच स्थान में बदल देता है।

अकृत्रिमता से व्याख्या की जाए तो, एक परिबद्ध हुए फलन का हिल्बर्ट परिवर्तन स्पष्ट रूप से खराब परिभाषित है। उदाहरण के लिए, {{math|1=''u'' = sgn(''x'')}} के साथ, {{math|H(''u'')}} को परिभाषित करने वाला अभिन्न अंग लगभग हर जगह {{math|±∞}} तक विचलन करता है। ऐसी कठिनाइयों को कम करने के लिए, {{math|''L''<sup>∞</sup>}} फलन के हिल्बर्ट परिवर्तन को अभिन्न के निम्नलिखित नियमित रूप से परिभाषित किया गया है<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty u(\tau)\left\{h(t - \tau)- h_0(-\tau)\right\} \, \mathrm{d}\tau</math>जहां ऊपर बताया गया है {{math|1=''h''(''x'') = {{sfrac|1|''πx''}}}} और

<math display="block">h_0(x) = \begin{cases}
0                  & \text{for} ~ |x| < 1 \\
\frac{1}{\pi \, x} & \text{for} ~ |x| \ge 1
\end{cases}</math>
संशोधित रूपांतरण {{math|H}} काल्डेरोन और ज़िगमंड द्वारा एक सामान्य परिणाम से कॉम्पैक्ट समर्थन के फलन पर एक योगात्मक स्थिरांक तक मूल रूपांतरण से सहमत है।<ref>{{harvnb|Calderón|Zygmund|1952}}; see {{harvnb|Fefferman|1971}}.</ref> इसके अलावा, परिणामी अभिन्न अंग लगभग हर जगह, और बीएमओ मानदंड के संबंध में, परिबद्ध हुए माध्य दोलन के एक फलन में परिवर्तित होता है।

फ़ेफ़रमैन के कार्य का एक गहन परिणाम<ref>{{harvnb|Fefferman|1971}}; {{harvnb|Fefferman|Stein|1972}}</ref> यह है कि एक फलन सीमित माध्य दोलन का होता है यदि और केवल तभी जब इसमें कुछ {{nowrap|<math> f,g \isin L^\infty (\mathbb{R})</math>.}}के लिए {{nowrap| {{math|''f'' + H(''g'')}} }}का रूप हो।

==संयुग्मी फलन==
हिल्बर्ट रूपांतरण को फलन की एक जोड़ी के संदर्भ में समझा जा सकता है {{math|''f''(''x'')}} और {{math|''g''(''x'')}} ऐसा कि फलन
<math display="block">F(x) = f(x) + i\,g(x)</math>
एक होलोमोर्फिक फलन का सीमा मान है {{math|''F''(''z'')}} ऊपरी आधे तल में।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Chapter V}} इन परिस्थितियों में, यदि {{mvar|f}} और {{mvar|g}} पर्याप्त रूप से एकीकृत हैं, तो एक दूसरे का हिल्बर्ट रूपांतरण है।

लगता है कि <math>f \isin L^p(\mathbb{R}).</math> फिर, [[पॉइसन अभिन्न]] के सिद्धांत द्वारा, {{mvar|f}}  ऊपरी आधे तल में एक अद्वितीय हार्मोनिक विस्तार को स्वीकार करता है, और यह विस्तार किसके द्वारा दिया जाता है

<math display="block">u(x + iy) = u(x, y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(s)\;\frac{y}{(x - s)^2 + y^2} \; \mathrm{d}s</math>
जो का कनवल्शन है {{mvar|f}}  [[पॉइसन कर्नेल]] के साथ

<math display="block">P(x, y) = \frac{ y }{ \pi\, \left( x^2 + y^2 \right) }</math>
इसके अलावा, एक अद्वितीय हार्मोनिक फलन भी है {{mvar|v}} ऊपरी आधे तल में इस प्रकार परिभाषित किया गया है {{math|1=''F''(''z'') = ''u''(''z'') + ''i v''(''z'')}} होलोमोर्फिक है और
<math display="block">\lim_{y \to \infty} v\,(x + i\,y) = 0</math>
यह हार्मोनिक फलन से प्राप्त होता है {{mvar|f}}संयुग्मित पॉइसन कर्नेल के साथ एक कनवल्शन लेकर

<math display="block">Q(x, y) = \frac{ x }{ \pi\, \left(x^2 + y^2\right) } .</math>
इस प्रकार
<math display="block">v(x, y) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(s)\;\frac{x - s}{\,(x - s)^2 + y^2\,}\;\mathrm{d}s .</math>
दरअसल, कॉची कर्नेल के वास्तविक और काल्पनिक भाग हैं
<math display="block">\frac{i}{\pi\,z} = P(x, y) + i\,Q(x, y)</math>
ताकि {{math|1=''F'' = ''u'' + ''i v''}} कॉची के अभिन्न सूत्र द्वारा होलोमोर्फिक है।

कार्यक्रम {{mvar|v}} से प्राप्त {{mvar|u}} इस तरह से [[हार्मोनिक संयुग्म]] कहा जाता है {{mvar|u}}. की (गैर-स्पर्शरेखा) सीमा सीमा {{math|''v''(''x'',''y'')}} जैसा {{math|''y'' → 0}} का हिल्बर्ट रूपांतरण है {{mvar|f}}. इस प्रकार, संक्षेप में,
<math display="block">\operatorname{H}(f) = \lim_{y \to 0} Q(-, y) \star f</math>
=== टिचमर्श का प्रमेय ===

टिचमार्श का प्रमेय (एडवर्ड चार्ल्स टिचमार्श के नाम पर|ई.सी. टिचमार्श जिन्होंने इसे अपने 1937 के कार्य में शामिल किया था) ऊपरी आधे तल में होलोमोर्फिक फलन के सीमा मूल्यों और हिल्बर्ट रूपांतरण के बीच संबंध को सटीक बनाता है।{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 95}} यह एक जटिल-मूल्य वाले [[वर्ग-अभिन्न]] फलन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है {{math|''F''(''x'')}} वास्तविक रेखा पर हार्डी स्पेस में किसी फलन का सीमा मान होना चाहिए {{math|H<sup>2</sup>(''U'')}} ऊपरी आधे तल में होलोमोर्फिक फलन का {{mvar|U}}.

प्रमेय बताता है कि एक जटिल-मूल्य वाले वर्ग-अभिन्न फलन के लिए निम्नलिखित स्थितियाँ <math>F : \mathbb{R} \to \mathbb{C}</math> समतुल्य हैं:

* {{math|''F''(''x'')}} जैसी सीमा है {{math|''z'' → ''x''}} एक होलोमोर्फिक फलन का {{math|''F''(''z'')}} ऊपरी आधे तल में ऐसा कि <math display="block"> \int_{-\infty}^\infty |F(x + i\,y)|^2\;\mathrm{d}x < K </math>
* के वास्तविक और काल्पनिक भाग {{math|''F''(''x'')}} एक दूसरे के हिल्बर्ट रूपांतरण हैं।
* फूरियर रूपांतरण <math>\mathcal{F}(F)(x)</math> के लिए गायब हो जाता है {{math|''x'' < 0}}.

वर्ग के फलन के लिए कमजोर परिणाम सत्य है {{mvar|[[Lp space|L<sup>p</sup>]]}} के लिए {{math|''p'' > 1}}.{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 103}} विशेष रूप से, यदि {{math|''F''(''z'')}} एक होलोमोर्फिक फलन है जैसे कि

<math display="block">\int_{-\infty}^\infty |F(x + i\,y)|^p\;\mathrm{d}x < K </math>
सभी के लिए {{mvar|y}}, तो एक जटिल-मूल्यवान फलन है {{math|''F''(''x'')}} में <math>L^p(\mathbb{R})</math> ऐसा है कि {{math|''F''(''x'' + ''i y'') → ''F''(''x'')}} में {{mvar|L<sup>p</sup>}} मानक के रूप में {{math|''y'' → 0}} (साथ ही लगभग हर जगह प्वाइंट-टू-प्वाइंट कैप्चर)। आगे,

<math display="block">F(x) = f(x) - i\,g(x)</math>
जहाँ {{mvar|f}}  एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है <math>L^p(\mathbb{R})</math> और {{mvar|g}} हिल्बर्ट रूपांतरण {{mvar|L<sup>p</sup>}} वर्ग {{mvar|f}} का है.

इस मामले में यह सत्य नहीं है {{math|1=''p'' = 1}}. वास्तव में, एक का हिल्बर्ट रूपांतरण {{math|''L''<sup>1</sup>}} फलन {{mvar|f}}  दूसरे के मध्य में अभिसरित {{math|''L''<sup>1</sup>}} होने की आवश्यकता नहीं है। फिर भी,{{sfn|Titchmarsh|1948|loc=Theorem 105}} हिल्बर्ट रूपांतरण {{mvar|f}} लगभग हर जगह एक परिमित फलन {{mvar|g}} में परिवर्तित हो जाता है।

<math display="block">\int_{-\infty}^\infty \frac{ |g(x)|^p }{ 1 + x^2 } \; \mathrm{d}x < \infty</math>
यह परिणाम डिस्क में हार्डी फलन के लिए [[एंड्री कोलमोगोरोव]] द्वारा सीधे अनुरूप है।{{sfn|Duren|1970|loc=Theorem 4.2}} हालांकि आमतौर पर इसे टिचमार्श प्रमेय कहा जाता है, परिणाम में हार्डी, पैली और वीनर (पेली-वीनर प्रमेय देखें) सहित अन्य लोगों के बहुत से कार्य शामिल हैं, साथ ही रिज़, हिले और टैमरकिन का कार्य भी शामिल है।<ref>see {{harvnb|King|2009a|loc=§&nbsp;4.22}}.</ref>
=== रीमैन-हिल्बर्ट समस्या ===
रीमैन-हिल्बर्ट समस्या का एक रूप फलन के जोड़े की पहचान करना चाहता है {{math|''F''<sub>+</sub>}} और {{math|''F''<sub>−</sub>}} ऐसा है कि {{math|''F''<sub>+</sub>}} ऊपरी आधे तल पर होलोमोर्फिक फलन है और {{math|''F''<sub>−</sub>}} निचले आधे तल पर होलोमोर्फिक है, जैसे कि {{mvar|x}} वास्तविक अक्ष के अनुदिश,
<math display="block">F_{+}(x) - F_{-}(x) = f(x)</math>
जहाँ {{math|''f''(''x'')}} का कुछ वास्तविक-मूल्यवान फलन दिया गया है {{nowrap|<math>x \isin \mathbb{R}</math>.}} इस समीकरण के बाएँ पक्ष को या तो सीमा के अंतर के रूप में समझा जा सकता है {{math|''F''<sub>±</sub>}} उपयुक्त अर्ध-तलों से, या [[ हाइपरफ़ंक्शन ]] वितरण के रूप में। इस फॉर्म के दो फलन रीमैन-हिल्बर्ट समस्या का समाधान हैं।

औपचारिक रूप से, यदि {{math|''F''<sub>±</sub>}} रीमैन-हिल्बर्ट समस्या का समाधान करें
<math display="block">f(x) = F_{+}(x) - F_{-}(x)</math>
फिर हिल्बर्ट का रूपांतरण {{math|''f''(''x'')}} द्वारा दिया गया है{{sfn|Pandey|1996|loc=Chapter 2}}
<math display="block">H(f)(x) = -i \bigl( F_{+}(x) + F_{-}(x) \bigr) .</math>
== हिल्बर्ट वृत्त पर रूपांतरण ==
{{see also|हार्डी स्पेस}}

आवधिक फलन के लिए {{mvar|f}}  वृत्ताकार हिल्बर्ट रूपांतरण परिभाषित किया गया है:

<math display="block">\tilde f(x) \triangleq \frac{1}{ 2\pi } \operatorname{p.v.} \int_0^{2\pi} f(t)\,\cot\left(\frac{ x - t }{2}\right)\,\mathrm{d}t</math>
परिपत्र हिल्बर्ट रूपांतरण का उपयोग हार्डी स्पेस का लक्षण वर्णन देने और फूरियर श्रृंखला में संयुग्म फलन के अध्ययन में किया जाता है। गिरी,
<math display="block">\cot\left(\frac{ x - t }{2}\right)</math>
इसे हिल्बर्ट कर्नेल के रूप में जाना जाता है क्योंकि इसी रूप में हिल्बर्ट रूपांतरण का मूल रूप से अध्ययन किया गया था।{{sfn|Khvedelidze|2001}}

हिल्बर्ट कर्नेल (गोलाकार हिल्बर्ट रूपांतरण के लिए) कॉची कर्नेल बनाकर प्राप्त किया जा सकता है {{frac|1|{{mvar|x}}}} आवधिक. अधिक सटीक रूप से, के लिए {{math|''x'' ≠ 0}}

<math display="block">\frac{1}{\,2\,}\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{x + 2n\pi} + \frac{1}{\,x - 2n\pi\,} \right)</math>
वृत्ताकार हिल्बर्ट रूपांतरण के बारे में कई परिणाम इस पत्राचार से हिल्बर्ट रूपांतरण के संगत परिणामों से प्राप्त किए जा सकते हैं।

एक और अधिक सीधा कनेक्शन केली रूपांतरण द्वारा प्रदान किया गया है {{math|1=''C''(''x'') = (''x'' – ''i'') / (''x'' + ''i'')}}, जो वास्तविक रेखा को वृत्त पर और ऊपरी आधे तल को यूनिट डिस्क पर ले जाता है। यह एकात्मक मानचित्र को प्रेरित करता है

<math display="block"> U\,f(x) = \frac{1}{(x + i)\,\sqrt{\pi}} \, f\left(C\left(x\right)\right) </math>
{{math|''L''<sup>2</sup>('''T''')}}को <math>L^2 (\mathbb{R}).</math> पर ले जाता है। संकारक {{mvar|U}} हार्डी स्पेस {{math|''H''<sup>2</sup>('''T''')}} को हार्डी स्पेस <math>H^2(\mathbb{R})</math>पर ले जाता है।{{sfn|Rosenblum|Rovnyak|1997|p=92}}

== सिग्नल प्रोसेसिंग में हिल्बर्ट रूपांतरण ==

=== बेड्रोसियन का प्रमेय ===
बेड्रोसियन के प्रमेय में कहा गया है कि गैर-अतिव्यापी स्पेक्ट्रा के साथ कम-पास और उच्च-पास सिग्नल के उत्पाद का हिल्बर्ट रूपांतरण कम-पास सिग्नल के उत्पाद और उच्च-पास सिग्नल के हिल्बर्ट रूपांतरण द्वारा दिया जाता है, या

<math display="block">\operatorname{H}\left(f_\text{LP}(t)\cdot f_\text{HP}(t)\right) = f_\text{LP}(t)\cdot \operatorname{H}\left(f_\text{HP}(t)\right),</math>
जहाँ {{math|''f''<sub>LP</sub>}} और {{math|''f''<sub>HP</sub>}} क्रमशः निम्न- और उच्च-पास सिग्नल हैं।{{sfn|Schreier|Scharf|2010|loc=14}} संचार संकेतों की एक श्रेणी जिस पर यह लागू होता है उसे नैरोबैंड सिग्नल मॉडल कहा जाता है। उस श्रेणी का एक सदस्य उच्च-आवृत्ति साइनसॉइडल वाहक का आयाम मॉड्यूलेशन है:

<math display="block">u(t) = u_m(t) \cdot \cos(\omega t + \phi),</math>
जहाँ {{math|''u''<sub>''m''</sub>(''t'')}} संकीर्ण बैंडविड्थ संदेश तरंग है, जैसे आवाज या संगीत। फिर बेड्रोसियन के प्रमेय द्वारा:{{sfn|Bedrosian|1962}}

<math display="block">\operatorname{H}(u)(t) = 
\begin{array}{lll}
u_m(t) \cdot \sin(\omega t + \phi), \quad \omega > 0\\
-u_m(t) \cdot \sin(\omega t + \phi), \quad \omega < 0
\end{array}
.</math>
=== विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व ===
{{main article|विश्लेषणात्मक संकेत}}

एक विशिष्ट प्रकार का संयुग्म फलन है:

<math display="block">u_a(t) \triangleq u(t) + i\cdot H(u)(t),</math>
के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है <math>u(t).</math> यह नाम इसकी गणितीय सुगमता को दर्शाता है, जिसका मुख्य कारण यूलर का सूत्र है। बेडरोसियन के प्रमेय को नैरोबैंड मॉडल पर लागू करने पर, विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व है:<ref>{{harvnb|Osgood|page=320}}</ref>

{{Equation box 1
|cellpadding= 0 |border= 0 |background colour=white
|indent=: |equation={{NumBlk|| <math>\begin{align}
  u_a(t) & = u_m(t) \cdot \cos(\omega t + \phi) + i\cdot u_m(t) \cdot \sin(\omega t + \phi), \quad \omega > 0 \\
         & = u_m(t) \cdot \left[\cos(\omega t + \phi) + i\cdot \sin(\omega t + \phi)\right], \quad \omega > 0 \\
         & = u_m(t) \cdot e^{i(\omega t + \phi)}, \quad \omega > 0.\,
\end{align}</math>
 | {{EquationRef|Eq.1}}
 }}
}}

फूरियर रूपांतरण गुण इंगित करता है कि यह जटिल [[Heterodyne|हेटेरोडाइन]] संचालन सभी ऋणात्मक आवृत्ति घटकों को स्थानांतरित कर सकता है {{math|''u''<sub>''m''</sub>(''t'')}} 0 हर्ट्ज से ऊपर। उस स्थिति में, परिणाम का काल्पनिक भाग वास्तविक भाग का हिल्बर्ट रूपांतरण है। यह हिल्बर्ट रूपांतरण उत्पन्न करने का एक अप्रत्यक्ष तरीका है।

=== कोण (चरण/आवृत्ति) मॉड्यूलेशन ===
फार्म:<ref>{{harvnb|Osgood|page=320}}</ref>

<math display="block">u(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_m(t))</math>
[[कोण मॉड्यूलेशन]] कहा जाता है, जिसमें [[चरण मॉड्यूलेशन]] और आवृत्ति मॉड्यूलेशन दोनों शामिल हैं। तात्कालिक चरण तात्कालिक <math>\omega + \phi_m^\prime(t).</math>आवृत्ति है

पर्याप्त रूप से बड़े {{mvar|ω}} के लिए {{nowrap|<math>\phi_m^\prime</math>:}} की तुलना में <math display="block">\operatorname{H}(u)(t) \approx A \cdot \sin(\omega t + \phi_m(t))</math>
और:<math display="block">u_a(t) \approx A \cdot e^{i(\omega t + \phi_m(t))}.</math>

=== सिंगल साइडबैंड मॉड्यूलेशन (एसएसबी) ===
{{Main article|सिंगल साइडबैंड मॉड्यूलेशन}}

जब {{math|''u''<sub>''m''</sub>(''t'')}} में {{EquationNote|Eq.1}} यह एक विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व (संदेश तरंग का) भी है, अर्थात:

<math display="block">u_m(t) = m(t) + i \cdot \widehat{m}(t)</math>
परिणाम [[ एकल साइडबैंड |एकल साइडबैंड]] मॉड्यूलेशन है:

<math display="block">u_a(t) = (m(t) + i \cdot \widehat{m}(t)) \cdot e^{i(\omega t + \phi)}</math>
जिसका संचरित घटक है:<ref>{{harvnb|Franks|1969|p=88}}</ref><ref>{{harvnb|Tretter|1995|p=80 (7.9)}}</ref>

<math display="block">\begin{align}
  u(t) &= \operatorname{Re}\{u_a(t)\}\\
       &= m(t)\cdot \cos(\omega t + \phi) - \widehat{m}(t)\cdot \sin(\omega t + \phi)
\end{align}</math>
===करणीय संबंध===
कार्यक्रम <math>h(t) = 1/(\pi t)</math> एक कनवल्शन में व्यावहारिक कार्यान्वयन के लिए दो फलन-कारण-आधारित चुनौतियाँ प्रस्तुत करता है (0 पर इसके अपरिभाषित मान के अतिरिक्त):
* इसकी अवधि अनंत (तकनीकी रूप से अनंत [[समर्थन (गणित)]]) है। परिमित-लंबाई [[विंडो फ़ंक्शन|विंडो फलन]] रूपांतरण की प्रभावी आवृत्ति सीमा को कम कर देता है; छोटी खिड़कियों के परिणामस्वरूप कम और उच्च आवृत्तियों पर अधिक नुकसान होता है। [[चतुर्भुज फ़िल्टर]] भी देखें।
* यह एक कारणात्मक फ़िल्टर|गैर-[[कारण फ़िल्टर]] है। तो एक विलंबित संस्करण, <math>h(t-\tau),</math> आवश्यक है। इसके बाद संबंधित आउटपुट में देरी हो जाती है <math>\tau.</math> विश्लेषणात्मक संकेत का काल्पनिक भाग बनाते समय, स्रोत <math>\tau</math> (वास्तविक भाग) में भी देरी होनी चाहिए।

== असतत हिल्बर्ट रूपांतरण ==
एक अलग फ़ंक्शन के लिए, {{nowrap|<math>u[n]</math>,}} [[असतत-समय फूरियर रूपांतरण]] (डीटीएफटी), {{nowrap|<math>U(\omega)</math>,}} और असतत हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म {{nowrap|<math>\hat u[n]</math>,}} के साथ, डीटीएफटी <math>\hat u[n]</math> क्षेत्र में {{math|1=−''π'' < ω < ''π''}} द्वारा दिया गया है:

फ़ाइल:हाईपास डिस्क्रीट हिल्बर्ट रूपांतरण फ़िल्टर.चित्र 2: हाईपास आवृत्ति प्रतिक्रिया के साथ हिल्बर्ट रूपांतरण फ़िल्टर
[[File:DFT approximation to Hilbert filter.png|thumb|400px|right|चित्र तीन।]]
[[File:Effect of circular convolution on discrete Hilbert transform.png|thumb|400px|right|चित्र 4. हिल्बर्ट रूपांतरण {{math|cos(''ωt'')}} है {{math|sin(''ωt'')}}. यह आंकड़ा दर्शाता है {{math|sin(ωt)}} और मैटलैब लाइब्रेरी फलन द्वारा गणना किए गए दो अनुमानित हिल्बर्ट रूपांतरण, {{mono|hilbert()}}]]
[[File:Discrete Hilbert transforms of a cosine function, using piecewise convolution.svg|thumb|400px|right|चित्र 5. टुकड़े-टुकड़े कनवल्शन का उपयोग करके कोसाइन फलन के असतत हिल्बर्ट रूपांतरण]]
:<math>\operatorname{DTFT} (\hat u) = U(\omega)\cdot (-i\cdot \sgn(\omega)).</math>
एक असतत चर (अनुक्रम) के कन्वोल्यूशन प्रमेय#फलन का उपयोग करते हुए उलटा डीटीएफटी है:<ref>{{harvnb|Rabiner|1975}}</ref>
:<math>
\begin{align}
\hat u[n] &= {\scriptstyle \mathrm{DTFT}^{-1}} (U(\omega))\ *\ {\scriptstyle \mathrm{DTFT}^{-1}} (-i\cdot \sgn(\omega))\\
&= u[n]\ *\ \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} (-i\cdot \sgn(\omega))\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega\\
&= u[n]\ *\ \underbrace{\frac{1}{2 \pi}\left[\int_{-\pi}^0 i\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega - \int_0^\pi i\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega \right]}_{h[n]},
\end{align}
</math>
जहाँ

:<math>h[n]\ \triangleq \ 
\begin{cases}
             0, & \text{for }n\text{ even}\\
\frac 2 {\pi n} & \text{for }n\text{ odd},
\end{cases}</math>
जो एक अनंत आवेग प्रतिक्रिया (आईआईआर) है। जब कनवल्शन को संख्यात्मक रूप से निष्पादित किया जाता है, तो एक सीमित आवेग प्रतिक्रिया सन्निकटन को प्रतिस्थापित किया जाता है {{math|''h''[''n'']}}, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। विषम संख्या में एंटी-सिमेट्रिक गुणांक वाले एक एफआईआर फिल्टर को टाइप III कहा जाता है, जो स्वाभाविक रूप से आवृत्तियों 0 और नाइक्विस्ट पर शून्य परिमाण की प्रतिक्रियाओं को प्रदर्शित करता है, जिसके परिणामस्वरूप यह मामला एक बैंडपास फिल्टर आकार में होता है। टाइप IV डिज़ाइन (एंटी-सिमेट्रिक गुणांक की सम संख्या) को चित्र 2 में दिखाया गया है। चूंकि नाइक्विस्ट आवृत्ति पर परिमाण प्रतिक्रिया कम नहीं होती है, यह ऑड-टैप फिल्टर की तुलना में एक आदर्श हिल्बर्ट ट्रांसफार्मर का थोड़ा बेहतर अनुमान लगाता है। हालाँकि
* एक विशिष्ट (यानी ठीक से फ़िल्टर किया गया और नमूना लिया गया) {{math|''u''[''n'']}} अनुक्रम में नाइक्विस्ट आवृत्ति पर कोई उपयोगी घटक नहीं है।
* टाइप IV आवेग प्रतिक्रिया के लिए एक की आवश्यकता होती है {{frac|1|2}} में नमूना बदलाव {{math|''h''[''n'']}} अनुक्रम। इसके कारण शून्य-मूल्य वाले गुणांक गैर-शून्य हो जाते हैं, जैसा कि चित्र 2 में देखा गया है। इसलिए टाइप III डिज़ाइन संभावित रूप से टाइप IV की तुलना में दोगुना कुशल है।
* टाइप III डिज़ाइन का समूह विलंब नमूनों की एक पूर्णांक संख्या है, जो संरेखित करने की सुविधा प्रदान करता है <math>\hat u[n]</math> साथ <math>u[n],</math> एक विश्लेषणात्मक संकेत बनाने के लिए. टाइप IV का समूह विलंब दो नमूनों के बीच आधा है।

[[MATLAB|मैटलैब]] फलन, {{mono|hilbert(u,N)}},<ref>{{cite web |author= MathWorks |title= hilbert – Discrete-time analytic signal using Hilbert transform |work= MATLAB Signal Processing Toolbox Documentation |url= http://www.mathworks.com/help/toolbox/signal/ref/hilbert.html |access-date= 2021-05-06 }}</ref> [[आवधिक योग]] के साथ एक u[n] अनुक्रम को सम्मिलित करता है:{{efn-ua
|see {{slink|Convolution_theorem#Periodic_convolution|nopage=y}}, Eq.4b}}

:<math>h_N[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^\infty h[n - mN]</math>{{spaces|3}}{{efn-ua
|1=A closed form version of <math>h_N[n]</math> for even values of <math>N</math> is:<ref>{{harvnb|Johansson|p=24}}</ref>
<math display="block">
h_N[n] = \begin{cases}
  \frac{2}{N} \cot(\pi n/N) & \text{for }n\text{ odd},\\
  0 & \text{for }n\text{ even}.
\end{cases}
</math>
}}{{efn-ua
|A closed form version of <math>h_N[n]</math> for odd values of <math>N</math> is:<ref>{{harvnb|Johansson|p=25}}</ref>
<math display="block">h_N[n] = \frac{1}{N} \left(\cot(\pi n/N) - \frac{\cos(\pi n)}{\sin(\pi n/N)}\right).</math>
}}
और एक चक्र लौटाता है ({{mvar|N}} नमूने) एक जटिल-मूल्य वाले आउटपुट अनुक्रम के काल्पनिक भाग में आवधिक परिणाम देते हैं। कनवल्शन को आवृत्ति डोमेन में सरणी के उत्पाद के रूप में कार्यान्वित किया जाता है<math>{\scriptstyle \mathrm{DFT}} \left(u[n]\right)</math>के नमूनों के साथ {{math|−''i'' sgn(''ω'')}} वितरण (जिसके वास्तविक और काल्पनिक घटक सभी केवल 0 या हैं{{math|±1}}). चित्र 3 आधे-चक्र की तुलना करता है {{math|''h<sub>N</sub>''[''n'']}} के बराबर लंबाई वाले हिस्से के साथ {{math|''h''[''n'']}}. के लिए एक एफआईआर सन्निकटन दिया गया <math>h[n],</math> द्वारा चिह्नित <math>\tilde{h}[n],</math> प्रतिस्थापन <math>{\scriptstyle\mathrm{DFT}} \left(\tilde{h}[n]\right)</math> के लिए {{math|−''i'' sgn(''ω'')}} नमूनों से कनवल्शन का एफआईआर संस्करण प्राप्त होता है।

आउटपुट अनुक्रम का वास्तविक भाग मूल इनपुट अनुक्रम है, ताकि जटिल आउटपुट एक विश्लेषणात्मक संकेत हो {{math|''u''[''n'']}}. जब इनपुट शुद्ध कोसाइन का एक खंड होता है, तो दो अलग-अलग मानों के लिए परिणामी कनवल्शन होता है {{mvar|N}} को चित्र 4 (लाल और नीले प्लॉट) में दर्शाया गया है। एज प्रभाव परिणाम को शुद्ध ज्या फलन (हरा प्लॉट) होने से रोकते हैं। तब से {{math|''h''<sub>''N''</sub>[''n'']}} एक एफआईआर अनुक्रम नहीं है, प्रभावों की सैद्धांतिक सीमा संपूर्ण आउटपुट अनुक्रम है। लेकिन ज्या फलन के अंतर किनारों से दूरी के साथ कम होते जाते हैं। पैरामीटर {{mvar|N}} आउटपुट अनुक्रम लंबाई है। यदि यह इनपुट अनुक्रम की लंबाई से अधिक है, तो शून्य-मूल्य वाले तत्वों को जोड़कर इनपुट को संशोधित किया जाता है। अधिकांश मामलों में, इससे मतभेदों का परिमाण कम हो जाता है। लेकिन उनकी अवधि अंतर्निहित उत्थान और पतन के समय पर हावी होती है {{math|''h''[''n'']}} आवेग प्रतिक्रिया।

जब [[ओवरलैप-सेव विधि|अतिव्यापी सेव कार्यप्रणाली]], अतिव्यापी सेव नामक विधि का उपयोग लंबे समय तक कनवल्शन करने के लिए किया जाता है, तो किनारे के प्रभावों की सराहना महत्वपूर्ण होती है {{math|''u''[''n'']}} अनुक्रम। लंबाई के खंड {{mvar|N}} आवधिक फलन के साथ जुड़े हुए हैं:

:<math>\tilde{h}_N[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^\infty \tilde{h}[n - mN].</math>
जब गैर-शून्य मानों की अवधि <math>\tilde{h}[n]</math> है <math>M < N,</math> आउटपुट अनुक्रम शामिल है {{math| {{mvar|N}} − {{mvar|M}} + 1}} के नमूने <math>\hat u.</math> {{math|{{mvar|M}} − 1}} आउटपुट को प्रत्येक ब्लॉक से हटा दिया जाता है {{mvar|N}}, और अंतराल को रोकने के लिए इनपुट ब्लॉक को उस मात्रा से ओवरलैप किया जाता है।

चित्र 5 आईआईआर हिल्बर्ट(·) फलन और एफआईआर सन्निकटन दोनों का उपयोग करने का एक उदाहरण है। उदाहरण में, एक कोसाइन फलन के असतत हिल्बर्ट रूपांतरण की गणना करके एक ज्या फलन बनाया जाता है, जिसे चार अतिव्यापी खंडों में संसाधित किया गया था, और वापस एक साथ जोड़ दिया गया था। जैसा कि एफआईआर परिणाम (नीला) दिखाता है, आईआईआर परिणाम (लाल) में स्पष्ट विकृतियां बीच के अंतर के कारण नहीं होती हैं {{math|''h''[''n'']}} और {{math|''h<sub>N</sub>''[''n'']}} (चित्र 3 में हरा और लाल)। यह तथ्य कि {{math|''h<sub>N</sub>''[''n'']}} टेपर्ड (विंडोड) वास्तव में इस संदर्भ में सहायक है। वास्तविक समस्या यह है कि इसमें पर्याप्त खिड़कियां नहीं हैं। प्रभावी रूप से, {{math|1=''M'' = ''N''}}, जबकि अतिव्यापी सेव{{math|''M'' < ''N''}} विधि की आवश्यकता है।

== संख्या-सैद्धांतिक हिल्बर्ट रूपांतरण ==
संख्या सिद्धांतिक हिल्बर्ट रूपांतरण एक उपयुक्त अभाज्य संख्या मॉड्यूलो पूर्णांकों के लिए असतत हिल्बर्ट रूपांतरण का एक विस्तार है।{{sfn|Kak|1970}} इसमें यह [[असतत फूरियर रूपांतरण]] के सामान्यीकरण को संख्या सैद्धांतिक परिवर्तनों में परिवर्तित करता है। संख्या सिद्धांत संबंधी हिल्बर्ट रूपांतरण का उपयोग ऑर्थोगोनल असतत अनुक्रमों के सेट उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।{{sfn|Kak|2014}}

== यह भी देखें ==
* विश्लेषणात्मक संकेत
* हार्मोनिक संयुग्म
* [[हिल्बर्ट स्पेक्ट्रोस्कोपी]]
* [[जटिल तल में हिल्बर्ट परिवर्तन|जटिल तल में हिल्बर्ट रूपांतरण]]
* हिल्बर्ट-हुआंग रूपांतरण
* क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध
* रिज़्ज़ रूपांतरण
*सिंगल-साइडबैंड सिग्नल
* कनवल्शन प्रकार के एकल अभिन्न संकारक

== टिप्पणियाँ ==
{{notelist-ua}}

== पृष्ठ उद्धरण ==
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== संदर्भ ==
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== अग्रिम पठन ==
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== बाहरी संबंध ==
{{Commons category}}
* [https://arxiv.org/abs/0909.1426 Derivation of the boundedness of the Hilbert transform]
* [http://mathworld.wolfram.com/HilbertTransform.html Mathworld Hilbert transform] — Contains a table of transforms
* {{MathWorld |title = Titchmarsh theorem |urlname = TitchmarshTheorem}}
* {{cite web |url = http://www.geol.ucsb.edu/faculty/toshiro/GS256_Lecture3.pdf |title = GS256 Lecture 3: Hilbert Transformation |archive-url = https://web.archive.org/web/20120227061333/http://www.geol.ucsb.edu/faculty/toshiro/GS256_Lecture3.pdf |archive-date = 2012-02-27 }} an entry level introduction to Hilbert transformation.

{{DEFAULTSORT:Hilbert Transform}}[[Category: हार्मोनिक कार्य]] [[Category: अभिन्न परिवर्तन]] [[Category: संकेत आगे बढ़ाना]] [[Category: एकवचन अभिन्न]] [[Category: श्वार्ट्ज वितरण]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 04/07/2023]]