View source for स्थानीय समतलता

{{Short description|Property of topological submanifolds}}
[[टोपोलॉजी|सांस्थितिकी]] में, गणित की एक शाखा, '''स्थानीय समतलता''' निष्कोणता की स्थिति है जिसे सांस्थितिक [[सबमैनिफोल्ड|उपबहुरूपताओं]] पर लगाया जा सकता है। सांस्थितिक बहुरूपता की [[श्रेणी (गणित)|श्रेणी]] में, स्थानीय रूप से समतल [[ चिकनी कई गुना |उपबहुरूपताएँ निष्कोण]] बहुरूपताओं की श्रेणी में अंतःस्थापित उपबहुरूपताओं के समान भूमिका निभाती हैं। स्थानीय समतलता का उल्लंघन सामग्री प्रसंस्करण और [[मैकेनिकल इंजीनियरिंग]] के अनुप्रयोगों के साथ रिज नेटवर्क और [[क्रम्प्लिंग|टूटी हुई]] संरचनाओं का वर्णन करता है।

== परिभाषा ==
मान लीजिए कि ''d'' विमीय बहुरूपता ''N'' ''n'' विमीय बहुरूपता ''M'' (जहां ''d'' < ''n'') में अंतः स्थापित है। यदि <math>x \in N,</math> तो हम कहते हैं कि ''N'', ''x'' पर '''स्थानीय रूप से समतल''' है यदि ''x'' का क्षेत्र <math> U \subset M</math> इस प्रकार है कि [[टोपोलॉजिकल जोड़ी|सांस्थितिक युग्म]] <math>(U, U\cap N)</math> <math>\mathbb{R}^d\to\mathbb{R}^n</math> के मानक समावेशन के साथ, युग्म <math>(\mathbb{R}^n,\mathbb{R}^d)</math> के लिए [[होम्योमॉर्फिक|समरूपी]] है। अर्थात्, समरूपता <math>U\to \mathbb{R}^n</math> इस प्रकार उपस्थित है जैसे कि <math>U\cap N</math> का [[छवि (गणित)|चित्र]] [[छवि (गणित)|<math>\mathbb{R}^d</math>]] के साथ मेल खाता है। आरेखीय शब्दों में, निम्नलिखित वर्ग को स्थानांतरित करना होगा-

[[File:Locally flat.svg|alt=Commutative diagram: {{math|''U''&amp;cap;''N''}} में एक एकरूपता है {{mvar|U}}, जिनमें से दोनों में समरूपताएं हैं <math>\mathbb{R}^d</math> और <math>\mathbb{R}^n</math> (क्रमशः), और <math>\mathbb{R}^d</math> के लिए एक एकरूपता है <math>\mathbb{R}^n.</math>|केंद्र|फ्रेमरहित|सीधा]]

यदि ''N'' प्रत्येक बिंदु पर '''स्थानीय रूप से समतल''' है तो हम ''N'' को ''M'' में '''स्थानीय रूप से समतल''' कहते हैं। इसी प्रकार, मानचित्र <math>\chi\colon N\to M</math> को '''स्थानीय रूप से समतल''' कहा जाता है, भले ही यह अंतःस्थापन न हो, यदि ''N'' में प्रत्येक ''x'' का क्षेत्र ''U'' है जिसका चित्र <math>\chi(U)</math> स्थानीय रूप से ''M'' में समतल है।

=== सीमा सहित बहुरूपता में ===
उपरोक्त परिभाषा मानती है कि, यदि ''M'' की कोई [[सीमा (टोपोलॉजी)|सीमा]] है, तो ''x'', ''M'' का सीमा बिंदु नहीं है। यदि ''x'', ''M'' की सीमा पर एक बिंदु है तो परिभाषा को निम्नानुसार संशोधित किया गया है। हम कहते हैं कि N, M के सीमा बिंदु x पर '''स्थानीय रूप से समतल''' है यदि ''x'' का क्षेत्र <math>U\subset M</math> इस प्रकार है कि सांस्थितिक युग्म <math>(U, U\cap N)</math> युग्म <math>(\mathbb{R}^n_+,\mathbb{R}^d)</math> के लिए समरूप है, जहां <math>\mathbb{R}^n_+</math> मानक [[अर्ध-स्थान (ज्यामिति)|अर्ध-स्थान]] है और <math>\mathbb{R}^d</math> को इसकी सीमा के मानक उप-अंतराल के रूप में सम्मिलित किया गया है।

== परिणाम ==
अंतःस्थापन की स्थानीय समतलता का तात्पर्य उन दृढ़ गुणों से है जो सभी अंतःस्थापन द्वारा साझा नहीं किए जाते हैं। ब्राउन (1962) ने सिद्ध किया कि यदि ''d'' = ''n'' − 1, तो ''N'' कॉलर है अर्थात्, इसका क्षेत्र है जो ''N'' × [0,1] के समरूप है, जबकि ''N'' स्वयं ''N'' × 1/2 (यदि ''N'', ''M'' के आंतरिक भाग में है) के अनुरूप है या ''N'' × 0 (यदि ''N'', ''M'' की सीमा में है)।

==यह भी देखें==
*[[यूक्लिडियन स्थान|यूक्लिडियन अंतराल]]
*[[साफ़ सबमैनिफोल्ड|अमिश्रित उपबहुरूपता]]

==संदर्भ==
* Brown, Morton (1962), Locally flat imbeddings{{sic}} of topological manifolds. ''Annals of Mathematics'', Second series, Vol. 75 (1962), pp.&nbsp;331–341.
* Mazur, Barry. On embeddings of spheres. ''Bulletin of the American Mathematical Society'', Vol. 65 (1959), no. 2, pp.&nbsp;59–65. http://projecteuclid.org/euclid.bams/1183523034.
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