View source for श्रृंखला नियम (संभावना)

{{Short description|Probability theory concept}}
{{distinguish|text=गणना में [[श्रृंखला नियम]]}}
प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम<ref>{{cite book|first=René L.|last=Schilling|title=माप, अभिन्न, संभाव्यता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम|location=Technische Universität Dresden, Germany |year=2021|ISBN=979-8-5991-0488-9|page=136ff.}}</ref> (जिसे सामान्य गुणनफल नियम भी कहा जाता है<ref>{{cite book|first=David A.|last=Schum|title=संभाव्य तर्क की साक्ष्यात्मक नींव|year=1994|publisher=Northwestern University Press|isbn=978-0-8101-1821-8|page=49}}</ref><ref>{{cite book|first=Henry E.|last=Klugh|title=Statistics: The Essentials for Research|year=2013|publisher=Psychology Press|isbn=978-1-134-92862-0|page=149|edition=3rd}}</ref>) यह वर्णन करता है कि सशर्त प्रायिकताओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र न होते हुए भी, यह निश्चित करता है कि घटनाओं या क्रमशः [[यादृच्छिक चर]] के [[संयुक्त वितरण]] के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत [[प्रसंभाव्यता प्रक्रिया]] के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए [[बायेसियन नेटवर्क]] का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में [[प्रायिकता वितरण]] का वर्णन करता है।

==घटनाओं के लिए श्रृंखला नियम==

===दो घटनाएँ===

दो [[घटनाओं]] <math>A</math> और <math>B</math> के लिए, श्रृंखला नियम यह बताता है कि

:<math>\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A)</math>,

जहां <math>\mathbb P(A \mid B)</math> दिए गए <math>B</math> में से <math>A</math> [[सप्रतिबंधप्रायिकता]] को दर्शाता है।

====उदाहरण====

एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना <math>A</math> कलश चुन रही है, अर्थात <math>\mathbb P(A) = \mathbb P(\overline{A}) = 1/2</math>, कहाँ <math>\overline A</math> <math>A</math> की [[पूरक घटना]] है। मान लीजिए कि घटना <math>B</math> वह संभावना है जब हम एक सफेद गेंद चुनते हैं। सफ़ेद गेंद चुनने की संभावना, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है, जो <math>\mathbb P(B|A) = 2/3.</math> है। प्रतिच्छेदन <math>A \cap B</math> फिर पहले कलश और उसमें से एक सफेद गेंद को चुनने का वर्णन करता है। प्रायिकता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है,

:<math>\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A) = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 13.</math>
===निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ===

उन घटनाओं के लिए <math>A_1,\ldots,A_n</math> जिनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता शून्य नहीं है, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा

:<math>\begin{align}
\mathbb P\left(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\right) 
&= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \\
&= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_{n-1} \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \mathbb P\left(A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \\
&= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_{n-1} \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_1)\\
&= \mathbb P(A_1) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})\\
&= \prod_{k=1}^n \mathbb P(A_k \mid A_1 \cap \dots \cap A_{k-1})\\
&= \prod_{k=1}^n \mathbb  P\left(A_k \,\Bigg|\, \bigcap_{j=1}^{k-1} A_j\right).
\end{align}</math>
====उदाहरण 1====
<math>n=4</math> के लिए, अर्थात चार घटनाएं हैं, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा

:<math>\begin{align}
\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4) &= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \cap A_2 \cap A_1) \\
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \cap A_1) \\
&= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \mid A_1)\mathbb P(A_1)
\end{align}</math>

==== उदाहरण 2 ====
हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?

सबसे पहले, हम <math display="inline">A_n := \left\{ \text{draw an ace in the } n^{\text{th}} \text{ try} \right\}</math>निर्धारित करते हैं। जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं

:<math>\mathbb P(A_1) = \frac 4{52}, 
\qquad
\mathbb P(A_2 \mid A_1) = \frac 3{51}, 
\qquad
\mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) = \frac 2{50}, 
\qquad
\mathbb P(A_4 \mid A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac 1{49}</math>.

श्रृंखला नियम लागू करने पर,

:<math>\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4) 
= \frac 4{52} \cdot \frac 3{51} \cdot \frac 2{50} \cdot \frac 1{49}</math>।

=== प्रमेय का कथन और उपपत्ति ===

मान लीजिए <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> एक प्रायिकता समष्टि है। 

याद रखें कि <math>A \in \mathcal A</math> दिए गए <math>B \in \mathcal A</math> की [[सशर्त संभाव्यता|सशर्त प्रायिकता]] को  
:<math>
\begin{align}
\mathbb P(A \mid B) := 
\begin{cases} \frac{\mathbb P(A \cap B)}{\mathbb P(B)}, & \mathbb P(B) > 0,\\ 0 & \mathbb P(B) = 0. \end{cases}
\end{align}
</math>
के रूप में परिभाषित किया गया है।

तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।{{math theorem|name = श्रृंखला नियम| मान लीजिए <math>(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)</math> एक प्रायिकता समष्टि है। तब <math>A_1, ..., A_n \in \mathcal A</math>. तब 

:<math>\begin{align}
\mathbb P\left(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\right) 
&= \mathbb P(A_1) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})\\
&= \mathbb P(A_1) \prod_{j=2}^n \mathbb P(A_j \mid A_1 \cap \dots \cap A_{j-1}).
\end{align}</math>}}

{{Math proof|सूत्र प्रत्यावर्तन द्वारा तुरंत अनुसरण करता है
:<math>
\begin{align}
(1) && &\mathbb P(A_1) \mathbb P(A_2 \mid A_1) &=&\qquad \mathbb P(A_1 \cap A_2) \\
(2) && &\mathbb P(A_1) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) &=&\qquad \mathbb P(A_1 \cap A_2) \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \\
&&&&=&\qquad \mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3),
\end{align}
</math>
जहां हमने पहले चरण में सप्रतिबंधप्रायिकता की परिभाषा का उपयोग किया।}}

==असतत यादृच्छिक चर के लिए श्रृंखला नियम ==

===दो यादृच्छिक चर===

दो असतत यादृच्छिक चर <math>X,Y</math> के लिए, हम उपरोक्त परिभाषा में घटनाओं<math>A := \{X = x\}</math>और <math>B := \{Y = y\}</math>का उपयोग करते हैं, और संयुक्त वितरण को 

:<math>\mathbb P(X = x,Y = y) = \mathbb P(X = x\mid Y = y) \mathbb P(Y = y),</math>
:के रूप में निर्धारित करते हैं 
या 

:<math>\mathbb P_{(X,Y)}(x,y) = \mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y) \mathbb P_Y(y),</math> जहां  <math>\mathbb P_X(x) := \mathbb P(X = x)</math> <math>X</math> का [[प्रायिकता वितरण]] है और  <math>\mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y)</math> दिए गए <math>X</math> का [[सशर्त संभाव्यता वितरण|सशर्त प्रायिकता वितरण]] <math>Y</math> है।
===बहुत सारे यादृच्छिक चर===

माना कि <math>X_1, \ldots , X_n</math> और <math>x_1, \dots, x_n \in \mathbb R</math> यादृच्छिक चर है। सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,

:<math>\mathbb P\left(X_n=x_n, \ldots , X_1=x_1\right) = \mathbb P\left(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right) \mathbb P\left(X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right)</math>
और श्रृंखला नियम का उपयोग करके, हम <math>A_k := \{X_k = x_k\}</math> को निर्धारित करते हैं और फिर हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार निर्धारित कर सकते हैं

:<math>\begin{align}
\mathbb P\left(X_1 = x_1, \ldots X_n = x_n\right) 
&= \mathbb P\left(X_1 = x_1 \mid X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n\right) \mathbb P\left(X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n\right) \\
&= \mathbb P(X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2 \mid X_1 = x_1) \mathbb P(X_3 = x_3 \mid X_1 = x_1, X_2 = x_2) \cdot \ldots \\
&\qquad \cdot \mathbb P(X_n = x_n \mid X_1 = x_1, \dots, X_{n-1} = x_{n-1})\\
\end{align}</math>
===उदाहरण===

<math>n=3</math> के लिए, अर्थात तीन यादृच्छिक चर को ध्यान में रखते हुए। श्रृंखला नियम को निम्नलिखित रूप में लिखा जा सकता है,

:<math>\begin{align}
\mathbb P_{(X_1,X_2,X_3)}(x_1,x_2,x_3)
&= \mathbb P(X_1=x_1, X_2 = x_2, X_3 = x_3)\\ 
&= \mathbb P(X_3=x_3 \mid X_2 = x_2, X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2, X_1 = x_1) \\
&= \mathbb P(X_3=x_3 \mid X_2 = x_2, X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2 \mid X_1 = x_1) \mathbb P(X_1 = x_1) \\
&= \mathbb P_{X_3\mid X_2, X_1}(x_3 \mid x_2, x_1) \mathbb P_{X_2\mid X_1}(x_2 \mid x_1) \mathbb P_{X_1}(x_1).
\end{align}</math>
==यह भी देखें==

* {{annotated link|स्वतंत्रता (प्रायिकता सिद्धांत)
}}-  जब एक घटना की घटना दूसरे की संभावना को प्रभावित नहीं करती है

==ग्रन्थसूची==

* {{citation|author=[[रेने एल. शिलिंग]]|date=2021|edition=1|isbn=979-8-5991-0488-9|location=टेक्नीश यूनिवर्सिटेट ड्रेसडेन, जर्मनी|title=माप, अभिन्न, प्रायिकता और प्रक्रियाएं - संभवतः सैद्धांतिक न्यूनतम}}
* {{citation|author=[[विलियम फेलर]]|date=1968|edition=3|isbn=978-0-471-25708-0|location=न्यूयॉर्क/लंदन/सिडनी|publisher=विले|title=प्रायिकता सिद्धांत और उसके आवेदन के लिए एक परिचय|volume=I}}
* {{Russell Norvig 2003}}, p. 496.


==संदर्भ==

{{reflist}}
[[Category: बायेसियन अनुमान]] [[Category: बायेसियन आँकड़े]] [[Category: गणितीय पहचान]] [[Category: सिद्धांत संभावना]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 07/07/2023]]