View source for डेलिग्ने कोहोमोलॉजी

गणित में, डेलिग्ने कोहोमोलॉजी एक [[ जटिल अनेक गुना ]] के डेलिग्ने कॉम्प्लेक्स की [[हाइपरकोहोमोलॉजी]] है। इसे पियरे डेलिग्ने द्वारा लगभग 1972 में अप्रकाशित कार्य में [[बीजगणितीय विविधता]] के लिए एक कोहोलॉजी सिद्धांत के रूप में पेश किया गया था जिसमें सामान्य कोहोलॉजी और [[मध्यवर्ती जैकोबियन]] दोनों शामिल हैं।

डेलिग्ने कोहोमोलॉजी के परिचयात्मक विवरण के लिए देखें {{harvtxt|Brylinski|2008|loc=section 1.5}}, {{harvtxt|Esnault|Viehweg|1988}}, और {{harvtxt|Gomi|2009|loc=section 2}}.

==परिभाषा==

विश्लेषणात्मक डेलिग्ने कॉम्प्लेक्स Z(''p'')<sub>D, an</sub> एक जटिल विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड पर X<blockquote> है<math>0\rightarrow \mathbf Z(p)\rightarrow \Omega^0_X\rightarrow \Omega^1_X\rightarrow\cdots\rightarrow \Omega_X^{p-1} \rightarrow 0 \rightarrow \dots</math></blockquote>जहाँ Z(''p'') = (2π i)<sup>प</sup>'Z'. संदर्भ के आधार पर, <math>\Omega^*_X</math> या तो चिकनी का जटिल है (यानी, सी<sup>∞</sup>) क्रमशः [[विभेदक रूप]] या होलोमोर्फिक रूप।
डेलिग्ने कोहोमोलॉजी {{nowrap|{{SubSup|''H''|D,an|''q''}}(''X'','''Z'''(''p''))}} डेलिग्ने कॉम्प्लेक्स की q-th हाइपरकोहोमोलॉजी है। इस कॉम्प्लेक्स की एक वैकल्पिक परिभाषा होमोटॉपी सीमा के रूप में दी गई है<ref name=":0">{{Cite journal|last1=Hopkins|first1=Michael J.|last2=Quick|first2=Gereon|date=March 2015|title=हॉज ने जटिल बोर्डिज़्म को फ़िल्टर किया|journal=Journal of Topology|volume=8|issue=1|pages=147–183|doi=10.1112/jtopol/jtu021|arxiv=1212.2173|s2cid=16757713 }}</ref> आरेख का<ब्लॉककोट><math>\begin{matrix}
& & \mathbb{Z} \\
 & & \downarrow \\
\Omega_X^{ \bullet \geq p} & \to & \Omega_X^\bullet
\end{matrix}</math></ब्लॉककोट>

==गुण==

डेलिग्ने कोहोमोलोजी समूह {{nowrap|{{SubSup|''H''|D|''q''}}(''X'','''Z'''(''p''))}} को ज्यामितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है, विशेषकर निम्न डिग्री में। पी = 0 के लिए, यह परिभाषा के अनुसार, क्यू-वें एकवचन कोहोलॉजी समूह ('जेड'-गुणांक के साथ) से सहमत है। क्यू = 2 और पी = 1 के लिए, यह चिकनी (या होलोमोर्फिक, संदर्भ के आधार पर) सर्कल बंडल के आइसोमोर्फिज्म वर्गों के समूह के लिए आइसोमोर्फिक है | प्रिंसिपल 'सी'<sup>×</sup>-X पर बंडल। p = q = 2 के लिए, यह 'C' के समरूपता वर्गों का समूह है<sup>×</sup>-कनेक्शन के साथ बंडल (फाइबर बंडल)। q = 3 और p = 2 या 3 के लिए, गेर्ब्स के संदर्भ में विवरण उपलब्ध हैं ({{harvtxt|Brylinski|2008}}). इसे बार-बार वर्गीकृत स्थानों और उन पर कनेक्शन के संदर्भ में उच्च डिग्री में विवरण के लिए सामान्यीकृत किया गया है ({{harvtxt|Gajer|1997}}).

=== हॉज वर्गों के साथ संबंध ===
याद रखें कि एक उपसमूह है <math>\text{Hdg}^p(X) \subset H^{p,p}(X)</math> इंटीग्रल कोहोमोलॉजी कक्षाओं में <math>H^{2p}(X)</math> हॉज कक्षाओं के समूह को कहा जाता है। डेलिग्ने-कोहोमोलॉजी, उनके इंटरमीडिएट जैकोबियन और हॉज कक्षाओं के इस समूह से संबंधित एक सटीक अनुक्रम एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम<ब्लॉककोट> के रूप में है।<math>0 \to J^{2p-1}(X) \to H^{2p}_\mathcal{D}(X,\mathbb{Z}(p)) \to \text{Hdg}^{2p}(X) \to 0</math> </ब्लॉककोट>

==अनुप्रयोग==
डेलिग्ने कोहोमोलॉजी का उपयोग एल-फ़ंक्शंस के विशेष मूल्यों पर बीलिन्सन अनुमान तैयार करने के लिए किया जाता है।

== एक्सटेंशन ==
किसी भी [[सममित स्पेक्ट्रम]] के लिए डेलिग्ने-कोहोमोलॉजी का विस्तार परिभाषित किया गया है <math>E</math><ref name=":0" />कहाँ <math>\pi_i(E)\otimes \mathbb{C} = 0</math> के लिए <math>i</math> विषम जिसकी तुलना जटिल विश्लेषणात्मक किस्मों पर सामान्य डेलिग्ने कोहोमोलॉजी से की जा सकती है।

== यह भी देखें ==

* [[पुलिंदा बंडल]]
* [[मोटिविक कोहोमोलॉजी]]
*[[हॉज संरचना]]
*इंटरमीडिएट जैकोबियन

==संदर्भ==
{{Reflist}}

* [http://page.mi.fu-berlin.de/esnault/preprints/ec/deligne_beilinson.pdf Deligne-Beilinson cohomology]
* [[arxiv:alg-geom/9601025|Geometry of Deligne cohomology]]
* [https://archive.today/Ga3Ln Notes on differential cohomology and gerbes]
* [[arxiv:1706.02742|Twisted smooth Deligne cohomology]]
*[[arxiv:math/9910113v10|Bloch's Conjecture, Deligne Cohomology and Higher Chow Groups]]
*{{Citation | last1=Brylinski | first1=Jean-Luc | title=Loop spaces, characteristic classes and geometric quantization | orig-year=1993 | publisher=Birkhäuser Boston | location=Boston, MA | series=Modern Birkhäuser Classics | isbn=978-0-8176-4730-8 | doi=10.1007/978-0-8176-4731-5 | mr=2362847 | year=2008}}
*{{Citation | last1=Esnault | first1=Hélène | last2=Viehweg | first2=Eckart | title=Beĭlinson's conjectures on special values of L-functions | url=https://books.google.com/books?id=CwTvAAAAMAAJ | publisher=[[Academic Press]] | location=Boston, MA | series=Perspect. Math. | mr=944991 | year=1988 | volume=4 | chapter=Deligne-Beĭlinson cohomology | chapter-url=http://www.uni-due.de/~mat903/preprints/ec/deligne_beilinson.pdf | pages=43–91 | isbn=978-0-12-581120-0}}
*{{Citation | last1=Gajer | first1=Pawel | title=Geometry of Deligne cohomology | doi=10.1007/s002220050118 | year=1997 | journal=[[Inventiones Mathematicae]] | issn=0020-9910 | volume=127 | issue=1 | pages=155–207| arxiv=alg-geom/9601025 | bibcode=1996InMat.127..155G | s2cid=18446635 }}
*{{Citation | last1=Gomi | first1=Kiyonori | title=Projective unitary representations of smooth Deligne cohomology groups | doi=10.1016/j.geomphys.2009.06.012 | mr=2541824 | year=2009 | journal=Journal of Geometry and Physics | issn=0393-0440 | volume=59 | issue=9 | pages=1339–1356 | arxiv=math/0510187| bibcode=2009JGP....59.1339G | s2cid=17437631 }}
[[Category: शीफ सिद्धांत]] [[Category: सजातीय बीजगणित]] [[Category: सहसंगति सिद्धांत]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 08/07/2023]]