View source for सम्मिश्र लाई समूह

{{Short description|Lie group whose manifold is complex and whose group operation is holomorphic}}

[[ज्यामिति]] में, '''सम्मिश्र लाई समूह या''' '''सम्मिश्र लाई समूह''' सम्मिश्र संख्याओं पर [[झूठ समूह|लाई समूह]] है; अर्थात, यह सम्मिश्र विविधता है | सम्मिश्र-एनालिटिक मैनिफोल्ड जो इस तरह से समूह (गणित) भी है इस प्रकार <math>G \times G \to G, (x, y) \mapsto x y^{-1}</math> [[ होलोमार्फिक |होलोमार्फिक]] है. मूल उदाहरण <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math> हैं , [[जटिल संख्या|सम्मिश्र संख्या]]ओं पर [[सामान्य रैखिक समूह]] जुड़ा हुआ सघन सम्मिश्र लाई समूह वास्तव में [[जटिल टोरस|सम्मिश्र टोरस]] है (सम्मिश्र लाई समूह <math>\mathbb C^*</math> के साथ अस्पष्ट नहीं होना चाहिए ). किसी भी परिमित समूह को सम्मिश्र लाई समूह की संरचना दी जा सकती है। सम्मिश्र अर्धसरल लाई समूह [[रैखिक बीजगणितीय समूह]] है। सम्मिश्र लाई समूह का लाई बीजगणित सम्मिश्र लाई बीजगणित है।

== उदाहरण ==
{{see also|लाई समूहों की सारणी}}
*संमिश्र संख्याओं (विशेष रूप से, सम्मिश्र लाई बीजगणित) पर परिमित-आयामी सदिश समिष्ट स्पष्ट रूप से सम्मिश्र लाई समूह है।
*आयाम g का जुड़ा हुआ सघन सम्मिश्र लाई समूह A <math>\mathbb{C}^g/L</math> के रूप का है , सम्मिश्र टोरस, जहां L रैंक 2g का अलग उपसमूह है। वास्तव में, यह लाई बीजगणित <math>\mathfrak{a}</math> कों एबेलियन और फिर दिखाया जा सकता है और फिर <math>\operatorname{exp}: \mathfrak{a} \to A</math> सम्मिश्र लाई समूहों का आक्षेप रूपवाद है, जो दर्शाता है कि A वर्णित रूप का है।
* <math>\mathbb{C} \to \mathbb{C}^*, z \mapsto e^z</math> सम्मिश्र लाई समूहों के विशेषण समरूपता का उदाहरण है जो बीजगणितीय समूहों के रूपवाद से नहीं आता है। तब से <math>\mathbb{C}^* = \operatorname{GL}_1(\mathbb{C})</math>, यह सम्मिश्र लाई समूह के प्रतिनिधित्व का उदाहरण भी है जो बीजगणितीय नहीं है।
* मान लीजिए कि X सघन सम्मिश्र मैनिफोल्ड है। फिर, वास्तविक स्थिति के अनुरूप, <math>\operatorname{Aut}(X)</math> सम्मिश्र लाई समूह है जिसका लाई बीजगणित X पर होलोमोर्फिक सदिश क्षेत्र का समिष्ट <math>\Gamma(X, TX)</math> है।
*मान लीजिए K जुड़ा हुआ [[सघन झूठ समूह|सघन लाई समूह]] है। फिर अद्वितीय जुड़ा हुआ सम्मिश्र लाई समूह G उपस्थित है जैसे कि (i) <math>\operatorname{Lie} (G) = \operatorname{Lie} (K) \otimes_{\mathbb{R}} \mathbb{C}</math>, और (ii) K, G का अधिकतम सघन उपसमूह है। इसे K का सम्मिश्रिफिकेशन (लाई समूह) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, <math>\operatorname{GL}_n(\mathbb{C})</math> [[एकात्मक समूह]] का सम्मिश्रीकरण है। यदि K सघन काहलर मैनिफोल्ड X पर कार्य कर रहा है, जिससे K की क्रिया G तक विस्तारित हो जाती है।<ref>{{cite journal|last1=Guillemin|first1=Victor|last2=Sternberg|first2=Shlomo|title=ज्यामितीय परिमाणीकरण और समूह अभ्यावेदन की बहुलताएँ|journal=Inventiones Mathematicae|date=1982|volume=67|issue=3|pages=515–538|doi=10.1007/bf01398934|bibcode=1982InMat..67..515G |s2cid=121632102 }}</ref>
== सम्मिश्र अर्धसरल लाई समूह से संबद्ध रैखिक बीजगणितीय समूह                                                                                                           ==
मान लीजिए G एक समष्टि अर्धसरल लाई समूह है। तब G एक रैखिक बीजगणितीय समूह की प्राकृतिक संरचना को इस प्रकार स्वीकार करता है: <ref>{{harvnb|Serre|1993|p=Ch. VIII. Theorem 10.}}</ref> इस प्रकार <math>A</math> को G पर होलोमोर्फिक फलन f की वलय होने दें, जैसे कि <math>G \cdot f</math> G पर होलोमोर्फिक फलन की वलय के अंदर एक परिमित-आयामी सदिश समिष्ट को फैलाता है (यहां G बाएं अनुवाद द्वारा कार्य करता है: <math>g \cdot f(h) = f(g^{-1}h)</math>। फिर <math>\operatorname{Spec}(A)</math> रैखिक बीजगणितीय समूह है, जब एक समष्टि मैनिफोल्ड के रूप में देखा जाता है, मूल G है। इस प्रकार अधिक ठोस रूप से, G का एक सही प्रतिनिधित्व <math>\rho : G \to GL(V)</math> चुनें। फिर <math>\rho(G)</math> ज़ारिस्की-संवृत <math>GL(V)</math> में है

== संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                                                                                                      ==
{{Reflist}}
*{{citation
 | last = Lee
 | first = Dong Hoon
 | isbn = 1-58488-261-1
 | mr = 1887930
 | publisher = Chapman & Hall/CRC
 | location = Boca Raton, Florida
 | title = The Structure of Complex Lie Groups
 | url = http://cs5517.userapi.com/u133638729/docs/55b6923279e2/c2611apb.pdf
 | year = 2002
 }}
*{{citation | last=Serre | first=Jean-Pierre | title=Gèbres | url=https://www.e-periodica.ch/digbib/view?pid=ens-001:1993:39::15#232 | year=1993 }}
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