View source for गाऊसी द्विपद गुणांक

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{{Use American English|date = March 2019}}
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गणित में, गॉसियन [[द्विपद गुणांक]] (जिसे गॉसियन गुणांक, गॉसियन बहुपद, या ''q''-द्विपद गुणांक भी कहा जाता है) q-एनालॉग|''q''-द्विपद गुणांक के एनालॉग हैं। गॉसियन द्विपद गुणांक, के रूप में लिखा गया है <math> \binom nk_q</math> या <math>\begin{bmatrix}n\\ k\end{bmatrix}_q</math>, पूर्णांक गुणांक के साथ q में एक बहुपद है, जिसका मान जब q को एक अभाज्य शक्ति पर सेट किया जाता है, तो आयाम n के वेक्टर स्थान में आयाम k के उप-स्थानों की संख्या की गणना करता है <math>\mathbb{F}_q</math>, क्यू तत्वों के साथ एक सीमित क्षेत्र; यानी यह परिमित [[ग्रासमैनियन]] में अंकों की संख्या है <math>\mathrm{Gr}(k, \mathbb{F}_q^n)</math>.

==परिभाषा==

गाऊसी द्विपद गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:<ref>Mukhin, Eugene, chapter 3</ref>
:<math>{m \choose r}_q
= 
\frac{(1-q^m)(1-q^{m-1})\cdots(1-q^{m-r+1})} {(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^r)} </math>
जहाँ m और r गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं। अगर {{math|''r'' > ''m''}}, इसका मूल्यांकन 0 है {{math|''r'' {{=}} 0}}, मान 1 है क्योंकि अंश और हर दोनों [[खाली उत्पाद]] हैं।

हालाँकि शुरुआत में सूत्र एक [[तर्कसंगत कार्य]] प्रतीत होता है, यह वास्तव में एक बहुपद है, क्योंकि विभाजन Z<nowiki>[</nowiki>''q''<nowiki>]</nowiki> में सटीक है

अंश और हर के सभी गुणनखंड इससे विभाज्य हैं {{math|1 − ''q''}}, और भागफल Q-एनालॉग#परिचयात्मक उदाहरण|q-संख्या है:

:<math>[k]_q=\sum_{0\leq i<k}q^i=1+q+q^2+\cdots+q^{k-1}=
\begin{cases}
\frac{1-q^k}{1-q} & \text{for} & q \neq 1 \\
k & \text{for} & q = 1 
\end{cases},</math>
इन कारकों को विभाजित करने पर समतुल्य सूत्र प्राप्त होता है

:<math>{m \choose r}_q=\frac{[m]_q[m-1]_q\cdots[m-r+1]_q}{[1]_q[2]_q\cdots[r]_q}\quad(r\leq m).</math>
क्यू-एनालॉग#परिचयात्मक उदाहरणों के संदर्भ में <math>[n]_q!=[1]_q[2]_q\cdots[n]_q</math>, सूत्र को इस प्रकार कहा जा सकता है
:<math>{m \choose r}_q=\frac{[m]_q!}{[r]_q!\,[m-r]_q!}\quad(r\leq m).</math>
स्थानापन्न {{math|''q'' {{=}} 1}} में <math>\tbinom mr_q</math> साधारण द्विपद गुणांक देता है <math>\tbinom mr</math>.

गॉसियन द्विपद गुणांक के मान सीमित होते हैं <math>m\rightarrow \infty</math>:

:<math>{\infty \choose r}_q = \lim_{m\rightarrow \infty} {m \choose r}_q = \frac{1} {(1-q)(1-q^2)\cdots(1-q^r)} = \frac{1}{[r]_q!\,(1-q)^r}</math>


==उदाहरण==

:<math>{0 \choose 0}_q = {1 \choose 0}_q = 1</math>
:<math>{1 \choose 1}_q = \frac{1-q}{1-q}=1</math>
:<math>{2 \choose 1}_q = \frac{1-q^2}{1-q}=1+q</math>
:<math>{3 \choose 1}_q = \frac{1-q^3}{1-q}=1+q+q^2</math>
:<math>{3 \choose 2}_q = \frac{(1-q^3)(1-q^2)}{(1-q)(1-q^2)}=1+q+q^2</math>
:<math>{4 \choose 2}_q = \frac{(1-q^4)(1-q^3)}{(1-q)(1-q^2)}=(1+q^2)(1+q+q^2)=1+q+2q^2+q^3+q^4</math>
:<math>{6 \choose 3}_q = \frac{(1-q^6)(1-q^5)(1-q^4)}{(1-q)(1-q^2)(1-q^3)}=(1+q^2)(1+q^3)(1+q+q^2+q^3+q^4)=1 + q + 2 q^2 + 3 q^3 + 3 q^4 + 3 q^5 + 3 q^6 + 2 q^7 + q^8 + q^9</math>


==संयुक्त विवरण==

===विपरीत===

गॉसियन द्विपद गुणांकों के एक संयुक्त विवरण में व्युत्क्रम (असतत गणित) शामिल है।

साधारण द्विपद गुणांक <math>\tbinom mr</math> गिनती करता है {{math|''r''}}-ए से चुने गए [[संयोजन]] {{math|''m''}}-तत्व सेट. यदि कोई उन्हें लेता है {{math|''m''}} तत्व लंबाई के एक शब्द में विभिन्न वर्ण स्थिति होते हैं {{math|''m''}}, फिर प्रत्येक {{math|''r''}}-संयोजन लंबाई के एक शब्द से मेल खाता है {{math|''m''}} दो अक्षरों की वर्णमाला का उपयोग करते हुए, मान लीजिए {{math|{0,1},}} साथ {{math|''r''}} पत्र 1 की प्रतियां (चयनित संयोजन में पदों का संकेत) और {{math|''m'' − ''r''}}अक्षर 0 (शेष पदों के लिए)।

तो, उदाहरण के लिए, <math>{4 \choose 2} = 6</math> 0 और 1 का प्रयोग करने वाले शब्द हैं <math>0011, 0101, 0110, 1001, 1010, 1100</math>.

गाऊसी द्विपद गुणांक प्राप्त करने के लिए <math>\tbinom mr_q</math>, प्रत्येक शब्द एक कारक से जुड़ा है {{math|''q''<sup>''d''</sup>}}, कहाँ {{math|''d''}} शब्द के व्युत्क्रमों की संख्या है, जहां, इस मामले में, व्युत्क्रम स्थितियों की एक जोड़ी है जहां जोड़ी के बाईं ओर अक्षर 1 होता है और दाईं ओर अक्षर 0 होता है।

उपरोक्त उदाहरण के साथ, 0 व्युत्क्रम वाला एक शब्द है, <math>0011</math>, 1 व्युत्क्रम के साथ एक शब्द, <math>0101</math>, दो व्युत्क्रम वाले दो शब्द, <math>0110</math>, <math>1001</math>, 3 व्युत्क्रमों वाला एक शब्द, <math>1010</math>, और 4 व्युत्क्रमों वाला एक शब्द, <math>1100</math>. यह प्रारंभिक स्थिति से 1s की बाईं-शिफ्ट की संख्या भी है।

ये गुणांकों के अनुरूप हैं <math>{4 \choose 2}_q = 1+q+2q^2+q^3+q^4</math>.

इसे देखने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक शब्द को ऊंचाई के साथ एक आयताकार ग्रिड के पार पथ के साथ जोड़ा जाए  {{math|''r''}} और चौड़ाई {{math|''m'' − ''r''}}, निचले बाएँ कोने से ऊपरी दाएँ कोने तक जा रहा हूँ। पथ प्रत्येक 0 के लिए एक कदम दाएं और प्रत्येक 1 के लिए एक कदम ऊपर लेता है। एक व्युत्क्रमण एक चरण की दिशाओं को बदल देता है (दाएं+ऊपर ऊपर+दाएं हो जाता है और इसके विपरीत), इसलिए व्युत्क्रमों की संख्या पथ के नीचे के क्षेत्र के बराबर होती है।

===डिब्बे में गेंदें===

होने देना <math>B(n,m,r)</math> फेंकने के तरीकों की संख्या हो  <math>r</math> अविभाज्य गेंदों में <math>m</math> अविभाज्य डिब्बे, जहां प्रत्येक डिब्बे में तक हो सकता है <math>n</math> गेंदें.
गॉसियन द्विपद गुणांक का उपयोग लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है <math>B(n,m,r)</math>.
वास्तव में,

:<math>B(n,m,r)= [q^r] {n+m \choose m}_q. </math>
कहाँ <math>[q^r]P</math> के गुणांक को दर्शाता है <math>q^r</math> बहुपद में <math>P</math> (नीचे एप्लिकेशन अनुभाग भी देखें)।

==गुण==

===प्रतिबिंब===

सामान्य द्विपद गुणांकों की तरह, गाऊसी द्विपद गुणांक केंद्र-सममित होते हैं, अर्थात, प्रतिबिंब के तहत अपरिवर्तनीय होते हैं <math> r \rightarrow m-r </math>:

:<math>{m \choose r}_q = {m \choose m-r}_q. </math>
विशेष रूप से,

:<math>{m \choose 0}_q ={m \choose m}_q=1 \, ,</math>
:<math>{m \choose 1}_q ={m \choose m-1}_q=\frac{1-q^m}{1-q}=1+q+ \cdots + q^{m-1} \quad m \ge 1 \, .</math>


===q पर सीमा = 1===

गाऊसी द्विपद गुणांक का मूल्यांकन {{nowrap|''q'' {{=}} 1}} है

:<math>\lim_{q \to 1} \binom{m}{r}_q = \binom{m}{r}</math>
यानी गुणांकों का योग संगत द्विपद मान देता है।

===बहुपद की डिग्री===

की डिग्री <math>\binom{m}{r}_q</math> है <math>\binom{m+1}{2}-2\binom{r+1}{2}</math>.

==क्यू पहचान==

===पास्कल की पहचान के अनुरूप===

गाऊसी द्विपद गुणांक के लिए पास्कल की पहचान के अनुरूप हैं:<ref>Mukhin, Eugene, chapter 3</ref>
:<math>{m \choose r}_q = q^r {m-1 \choose r}_q + {m-1 \choose r-1}_q</math>
और

:<math>{m \choose r}_q = {m-1 \choose r}_q + q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_q.</math>
कब <math>q=1</math>, ये दोनों सामान्य द्विपद पहचान देते हैं। हम इसे ऐसे देख सकते हैं <math>m\to\infty</math>, दोनों समीकरण वैध रहते हैं।

पहला पास्कल एनालॉग प्रारंभिक मानों का उपयोग करके गॉसियन द्विपद गुणांक की पुनरावर्ती (एम के संबंध में) गणना की अनुमति देता है

:<math>{m \choose m}_q ={m \choose 0}_q=1 </math>
और यह भी दर्शाता है कि गॉसियन द्विपद गुणांक वास्तव में बहुपद (क्यू में) हैं।

दूसरा पास्कल एनालॉग प्रतिस्थापन का उपयोग करते हुए पहले से अनुसरण करता है <math> r \rightarrow m-r </math> और प्रतिबिंब के तहत गाऊसी द्विपद गुणांक का अपरिवर्तनीयता <math> r \rightarrow m-r </math>.

इन सर्वसमिकाओं की रैखिक बीजगणित के संदर्भ में स्वाभाविक व्याख्याएँ हैं। याद करें कि <math>\tbinom{m}{r}_q</math> आर-आयामी उप-स्थानों की गणना करता है <math>V\subset \mathbb{F}_q^m</math>, और जाने <math>\pi:\mathbb{F}_q^m \to \mathbb{F}_q^{m-1} </math> एक-आयामी नलस्पेस के साथ एक प्रक्षेपण बनें <math>E_1 </math>. पहली पहचान उस आक्षेप से आती है जो लेता है <math>V\subset \mathbb{F}_q^m </math> उपस्थान के लिए <math>V' = \pi(V)\subset \mathbb{F}_q^{m-1}</math>; यदि <math>E_1\not\subset V</math>, अंतरिक्ष <math>V'</math> आर-आयामी है, और हमें रैखिक फ़ंक्शन का भी ध्यान रखना चाहिए <math>\phi:V'\to E_1</math> जिसका ग्राफ है <math>V</math>; लेकिन मामले में <math>E_1\subset V</math>, अंतरिक्ष <math>V'</math> (r−1)-आयामी है, और हम पुनर्निर्माण कर सकते हैं <math>V=\pi^{-1}(V')</math> बिना किसी अतिरिक्त जानकारी के. दूसरी पहचान की भी ऐसी ही व्याख्या है, लेना <math>V</math> को <math>V' = V\cap E_{n-1}</math> (m−1)-आयामी स्थान के लिए <math>E_{m-1}</math>, फिर से दो मामलों में विभाजित।

===एनालॉग के प्रमाण===

दोनों एनालॉग्स को पहले उस परिभाषा से नोट करके सिद्ध किया जा सकता है <math>\tbinom{m}{r}_q</math>, अपने पास:

{{NumBlk|:|<math>\binom{m}{r}_q = \frac{1-q^m}{1-q^{m-r}} \binom{m-1}{r}_q</math>|{{EquationRef|1}}}}

{{NumBlk|:|<math>\binom{m}{r}_q = \frac{1-q^m}{1-q^r} \binom{m-1}{r-1}_q</math>|{{EquationRef|2}}}}

{{NumBlk|:|<math>\frac{1-q^r}{1-q^{m-r}}\binom{m-1}{r}_q = \binom{m-1}{r-1}_q</math>|{{EquationRef|3}}}}

जैसा

:<math>\frac{1-q^m}{1-q^{m-r}}=\frac{1-q^r+q^r-q^m}{1-q^{m-r}}=q^r+\frac{1-q^r}{1-q^{m-r}}</math>
समीकरण ({{EquationNote|1}}) बन जाता है:

:<math>\binom{m}{r}_q = q^r\binom{m-1}{r}_q + \frac{1-q^r}{1-q^{m-r}}\binom{m-1}{r}_q</math>
और समीकरण प्रतिस्थापित करना ({{EquationNote|3}}) पहला एनालॉग देता है।

एक समान प्रक्रिया, का उपयोग कर

:<math>\frac{1-q^m}{1-q^r}=q^{m-r}+\frac{1-q^{m-r}}{1-q^r}</math>
इसके बजाय, दूसरा एनालॉग देता है।

===q-[[द्विपद प्रमेय]]===

क्यू-द्विपद गुणांक के लिए द्विपद प्रमेय का एक एनालॉग है, जिसे कॉची द्विपद प्रमेय के रूप में जाना जाता है:

:<math>\prod_{k=0}^{n-1} (1+q^kt)=\sum_{k=0}^n q^{k(k-1)/2} 
{n \choose k}_q t^k .</math>
सामान्य द्विपद प्रमेय की तरह, इस सूत्र में कई सामान्यीकरण और विस्तार हैं; ऐसा ही एक, नकारात्मक शक्तियों के लिए न्यूटन के सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय के अनुरूप है

:<math>\prod_{k=0}^{n-1} \frac{1}{1-q^kt}=\sum_{k=0}^\infty  
{n+k-1 \choose k}_q t^k. </math>
सीमा में <math>n\rightarrow\infty</math>, ये सूत्र उपज देते हैं

:<math>\prod_{k=0}^{\infty} (1+q^kt)=\sum_{k=0}^\infty \frac{q^{k(k-1)/2}t^k}{[k]_q!\,(1-q)^k}</math>
और

:<math>\prod_{k=0}^\infty \frac{1}{1-q^kt}=\sum_{k=0}^\infty  
\frac{t^k}{[k]_q!\,(1-q)^k}</math>.

सेटिंग <math>t=q</math> क्रमशः विशिष्ट और किसी भी भाग के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन देता है। ([[बुनियादी हाइपरज्यामितीय श्रृंखला]] भी देखें।)

===केंद्रीय q-द्विपद पहचान===

सामान्य द्विपद गुणांकों के साथ, हमारे पास है:

:<math>\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n}</math>
क्यू-द्विपद गुणांक के साथ, एनालॉग है:

:<math>\sum_{k=0}^n q^{k^2}\binom{n}{k}_q^2 = \binom{2n}{n}_q</math>


==अनुप्रयोग==

गाऊसी द्विपद गुणांक [[सममित बहुपद]]ों की गिनती और विभाजन के सिद्धांत (संख्या सिद्धांत) में होते हैं। q का गुणांक<sup>र</sup>में

:<math>{n+m \choose m}_q</math>
m या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या है, जिनमें से प्रत्येक n से कम या उसके बराबर है। समान रूप से, यह n या उससे कम भागों वाले r के विभाजनों की संख्या भी है, जिनमें से प्रत्येक भाग m से कम या उसके बराबर है।

गाऊसी द्विपद गुणांक भी एक परिमित क्षेत्र पर परिभाषित [[प्रक्षेप्य स्थान]]ों के गणनात्मक सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमित क्षेत्र F के लिए<sub>''q''</sub> क्यू तत्वों के साथ, गाऊसी द्विपद गुणांक

:<math>{n \choose k}_q</math>
F पर n-आयामी [[सदिश स्थल]] के k-आयामी वेक्टर उप-स्थानों की संख्या की गणना करता है<sub>''q''</sub> (एक ग्रासमैनियन)। जब q में एक बहुपद के रूप में विस्तारित किया जाता है, तो यह शूबर्ट कोशिकाओं में ग्रासमैनियन के प्रसिद्ध अपघटन को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, गाऊसी द्विपद गुणांक

:<math>{n \choose 1}_q=1+q+q^2+\cdots+q^{n-1}</math>
(एफ) में एक-आयामी उप-स्थानों की संख्या है<sub>''q''</sub>)<sup>n</sup> (समकक्ष रूप से, संबंधित प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं की संख्या)। इसके अलावा, जब q 1 (क्रमशः −1) होता है, तो गॉसियन द्विपद गुणांक संबंधित कॉम्प्लेक्स (क्रमशः वास्तविक) ग्रासमैनियन की [[यूलर विशेषता]] उत्पन्न करता है।

F के k-आयामी एफ़िन उप-स्थानों की संख्या<sub>''q''</sub><sup>n</sup>के बराबर है

:<math>q^{n-k} {n \choose k}_q</math>.

यह पहचान की एक और व्याख्या की अनुमति देता है

:<math>{m \choose r}_q = {m-1 \choose r}_q + q^{m-r}{m-1 \choose r-1}_q</math>
एक हाइपरप्लेन को ठीक करके (आर - 1)-आयामी प्रक्षेप्य स्थान के (आर - 1)-आयामी उप-स्थानों की गिनती करना, उस हाइपरप्लेन में निहित ऐसे उप-स्थानों की गिनती करना, और फिर हाइपरप्लेन में शामिल नहीं होने वाले उप-स्थानों की गिनती करना; ये बाद वाले उप-स्थान इस निश्चित हाइपरप्लेन को अनंत पर हाइपरप्लेन के रूप में मानकर प्राप्त किए गए स्थान के (आर - 1)-आयामी एफ़िन उप-स्थान के साथ विशेषण पत्राचार में हैं।

[[क्वांटम समूह]]ों के अनुप्रयोगों में आम सम्मेलनों में, थोड़ी अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है; वहाँ क्वांटम द्विपद गुणांक है
:<math>q^{k^2 - n k}{n \choose k}_{q^2}</math>.
क्वांटम द्विपद गुणांक का यह संस्करण विनिमय के तहत सममित है <math>q</math> और <math>q^{-1}</math>.

== संदर्भ ==
{{Reflist}}

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|first1=Eugene
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|title= Symmetric Polynomials and Partitions
|archive-url=https://web.archive.org/web/20160304041707/http://mathcircle.berkeley.edu/BMC3/SymPol.pdf
|archive-date=March 4, 2016
|url-status=dead
}} (undated, 2004 or earlier).
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|first1=Henry
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|first1=George E.
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|first1=John
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|first1=Henry
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|journal=Amer. Math. Monthly
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|url=http://ghmath.files.wordpress.com/2010/06/mobius.pdf
|title= Recursive Formula Related To The Mobius Function
}} (2009).
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