View source for कैसिनी और कैटलन पहचान


{{short description|Mathematical identities for the Fibonacci numbers}}
'''कैसिनी की समरूपता''' (कभी-कभी इसे सिम्सन की समरूपता भी कहा जाता है) और '''कैटलन की समरूपता''' [[फाइबोनैचि संख्या|फाइबोनैचि संख्याओं]] के लिए गणितीय [[पहचान (गणित)|समरूपता (गणित)]] हैं। इस प्रकार से '''कैसिनी की समरूपता''', कैटलन की समरूपता की विशेष स्थिति, बताती है कि ''एन''वें फाइबोनैचि संख्या के लिए,
:<math> F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n</math> है।
अतः ध्यान दें यहां <math> F_0 </math> को 0माना गया है, और <math> F_1 </math> को 1 लिया गया है।

कैटलन की समरूपता इसे सामान्यीकृत करती है:
:<math>F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r} = (-1)^{n-r}F_r^2.</math>
इस प्रकार से वाजदा की समरूपता इसे पूर्ण रूप से सामान्यीकृत करती है:
:<math>F_{n+i}F_{n+j} - F_{n}F_{n+i+j} = (-1)^nF_{i}F_{j}.</math>
==इतिहास==
अतः कैसिनी का सूत्र 1680 में पेरिस वेधशाला के तत्कालीन निदेशक [[ जॉन डोमिनिक कैसिनी |'''जॉन डोमिनिक कैसिनी''']] द्वारा खोजा गया था, और स्वतंत्र रूप से [[रॉबर्ट सिमसन|'''रॉबर्ट सिमसन''']] (1753) द्वारा सिद्ध किया गया था।<ref name="Koshy"/> यद्यपि [[जोहान्स केप्लर|'''जोहान्स केप्लर''']] को संभवतः 1608 में ही इसकी समरूपता ज्ञात थी।<ref>Miodrag Petkovic: ''Famous Puzzles of Great Mathematicians''. AMS, 2009, {{ISBN|9780821848142}}, S. 30-31 </ref> यूजीन चार्ल्स कैटलन को 1879 में उनके नाम पर समरूपता मिली।<ref name="Koshy"/> इस प्रकार से ब्रिटिश गणितज्ञ स्टीवन वाजदा (1901-95) ने फाइबोनैचि संख्याओं (फाइबोनैचि और लुकास संख्या, और गोल्डन अनुभाग: सिद्धांत और अनुप्रयोग, 1989) पर पुस्तक प्रकाशित की थी जिसमें उनके नाम की समरूपता पूर्ण रूप से सम्मिलित है।<ref name="West">Douglas B. West: ''Combinatorial Mathematics''. Cambridge University Press, 2020, p. [https://books.google.com/books?id=doLoDwAAQBAJ&pg=PA61 61]</ref><ref>Steven Vadja: ''Fibonacci and Lucas Numbers, and the Golden Section: Theory and Applications''. Dover, 2008, {{ISBN|978-0486462769}}, p. 28 (original publication 1989 at Ellis Horwood)</ref> यद्यपि यह समरूपता पहले ही 1960 में डस्टन एवरमैन द्वारा [[अमेरिकी गणितीय मासिक|दि अमेरिकन मैथमेटिकल मंथली]] पत्रिका में समस्या 1396 के रूप में प्रकाशित की गई थी।<ref name="Koshy">Thomas Koshy: ''Fibonacci and Lucas Numbers with Applications''. Wiley, 2001, {{ISBN|9781118031315}}, pp. 74-75, 83, 88</ref>
==कैसिनी की समरूपता का प्रमाण==

===आव्यूह सिद्धांत द्वारा प्रमाण===
कैसिनी की समरूपता का शीघ्र प्रमाण समीकरण के बाईं ओर को फाइबोनैचि संख्याओं के '''2×2''' [[मैट्रिक्स (गणित)|'''आव्यूह (गणित)''']] के निर्धारक के रूप में पहचानकर पूर्ण रूप से दिया जा सकता है {{harv|नुथ|1997|p=81}}। अतः इस प्रकार से एक परिणाम लगभग तत्काल होता है जब आव्यूह को निर्धारक −1 के साथ आव्यूह की '''{{math|''n''}}'''वीं घात के रूप में देखा जाता है:
:'''<math>F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2
=\det\left[\begin{matrix}F_{n+1}&F_n\\F_n&F_{n-1}\end{matrix}\right]
=\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]^n
=\left(\det\left[\begin{matrix}1&1\\1&0\end{matrix}\right]\right)^n
=(-1)^n.</math>'''
===प्रेरण द्वारा प्रमाण===

अतः प्रेरण कथन पर विचार करें:

:<math>F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 = (-1)^n</math>
आधार स्थिति '''<math>n=1</math>''' सत्य है।

इस प्रकार से मान लें कि कथन <math>n</math> के लिए पूर्ण रूप से सत्य है। तब:

:<math>F_{n-1}F_{n+1} - F_n^2 + F_nF_{n+1} - F_nF_{n+1} = (-1)^n</math>
:<math>F_{n-1}F_{n+1} + F_nF_{n+1} - F_n^2 - F_nF_{n+1} = (-1)^n</math>
:<math>F_{n+1}(F_{n-1} + F_n) - F_n(F_n + F_{n+1}) = (-1)^n</math>
:<math>F_{n+1}^2 - F_nF_{n+2} = (-1)^n</math>
:<math>F_nF_{n+2} - F_{n+1}^2 = (-1)^{n+1}</math>
तो यह कथन सभी पूर्णांकों '''<math>n>0</math>''' के लिए सत्य है।

==कैटलन समरूपता का प्रमाण==

हम बिनेट के सूत्र का पूर्ण रूप से उपयोग करते हैं, वह <math>F_n=\frac{\phi^n-\psi^n}{\sqrt5}</math>, जहाँ <math>\phi=\frac{1+\sqrt5}{2}</math> और <math>\psi=\frac{1-\sqrt5}{2}</math>।

इस प्रकार, <math>\phi+\psi=1</math> और <math>\phi\psi=-1</math>।

तो,

:<math>5(F_n^2 - F_{n-r}F_{n+r})</math>
:<math>= (\phi^n-\psi^n)^2 - (\phi^{n-r}-\psi^{n-r})(\phi^{n+r}-\psi^{n+r})</math>
:<math>= (\phi^{2n} - 2\phi^{n}\psi^{n} +\psi^{2n}) - (\phi^{2n} - \phi^{n}\psi^{n}(\phi^{-r}\psi^{r}+\phi^{r}\psi^{-r}) + \psi^{2n})</math>
:<math>= - 2\phi^{n}\psi^{n} + \phi^{n}\psi^{n}(\phi^{-r}\psi^{r}+\phi^{r}\psi^{-r})</math>
<math>\phi\psi=-1</math> का उपयोग करना, और फिर

:<math>= -(-1)^n2 + (-1)^n(\phi^{-r}\psi^{r}+\phi^{r}\psi^{-r})</math>
<math>\phi=\frac{-1}{\psi}</math> के रूप में,

:<math>= -(-1)^n2 + (-1)^{n-r}(\psi^{2r}+\phi^{2r})</math>
इस प्रकार से लुकास संख्या <math>L_n</math>, <math>L_n=\phi^n+\psi^n</math> के रूप में परिभाषित किया गया है, इसलिए

:<math>= -(-1)^n2 + (-1)^{n-r}L_{2r}</math>
क्योंकि <math>L_{2n} = 5 F_n^2 + 2(-1)^n</math>
:<math>= -(-1)^n2 + (-1)^{n-r}(5 F_r^2 + 2(-1)^r)</math>
:<math>= -(-1)^n2 + (-1)^{n-r}2(-1)^r + (-1)^{n-r}5 F_r^2</math>
:<math>= -(-1)^n2 + (-1)^n2 + (-1)^{n-r}5 F_r^2</math>
:<math>= (-1)^{n-r}5 F_r^2</math>
<math>5</math> को काटने पर परिणाम मिलता है।

== टिप्पणियाँ ==
<references/>

==संदर्भ==
*{{Citation
| last = Knuth
| first = Donald Ervin
| title = The Art of Computer Programming, Volume 1: Fundamental Algorithms
| author-link = Donald Knuth
| publisher = Addison-Wesley
| place = Reading, Mass
| year = 1997
| edition = 3rd
| series = [[The Art of Computer Programming]]
| volume = 1
| isbn = 0-201-89683-4}}

*{{cite journal
| last1 = Simson
| first1 = R.
| authorlink1 = Robert Simson
| title = An Explication of an Obscure Passage in Albert Girard's Commentary upon Simon Stevin's Works
| journal = [[Philosophical Transactions of the Royal Society of London]]
| volume = 48
| year = 1753
| pages = 368–376
| doi = 10.1098/rstl.1753.0056| doi-access = free
}}

*{{cite journal
| last1 = Werman
| first1 = M.
| authorlink2 = Doron Zeilberger
| last2 = Zeilberger
| first2 = D.
| title = A bijective proof of Cassini's Fibonacci identity
| journal = [[Discrete Mathematics (journal)|Discrete Mathematics]]
| volume = 58
| issue = 1
| year = 1986
| pages = 109
| mr = 0820846
| doi = 10.1016/0012-365X(86)90194-9| doi-access = free
}}
==बाहरी संबंध==
*[https://planetmath.org/ProofOfCassinisIdentity Proof of Cassini's identity]
*[https://planetmath.org/ProofOfCatalansIdentity Proof of Catalan's Identity]
*[https://web.archive.org/web/20070206051231/http://milan.milanovic.org/math/english/pi/cassini.htm Cassini formula for Fibonacci numbers]
*[https://web.archive.org/web/20070124164349/http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fibFormulae.html Fibonacci and Phi Formulae]
[[Category: गणितीय पहचान]] [[Category: फाइबोनैचि संख्याएँ]] [[Category: प्रमाण युक्त लेख]] [[Category: जॉन डोमिनिक कैसिनी]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 18/07/2023]]