View source for सम्मिश्र-अभिविन्यस्त सह समरूपता सिद्धांत

[[बीजगणितीय टोपोलॉजी]] में, '''जटिल-उन्मुख सह-समरूपता सिद्धांत''' गुणात्मक सह-समरूपता सिद्धांत ''E'' है जैसे कि प्रतिबंध मानचित्र <math>E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) \to E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)</math> विशेषण है। तत्व <math>E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty)</math> को कम किए गए सिद्धांत के विहित जनरेटर तक सीमित है <math>\widetilde{E}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)</math> को जटिल अभिविन्यास कहा जाता है। यह धारणा [[औपचारिक समूह कानून|औपचारिक समूह नियमों]] के सह-समरूपता से संबंधित क्विलेन के कार्य के केंद्र में है।

यदि E सम-वर्गीकृत सिद्धांत का अर्थ है <math>\pi_3 E = \pi_5 E = \cdots</math>, तो E जटिल-उन्मुख है। यह अतियाह-हिर्ज़ेब्रुच वर्णक्रमीय अनुक्रम से अनुसरण करता है।

उदाहरण:
*किसी भी गुणांक वलय R के साथ सामान्य सह-समरूपता जटिल उन्मुख है, जैसे <math>\operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty; R) \simeq \operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1;R)</math>
*जटिल के-सिद्धांत, जिसे केयू कहा जाता है, जटिल-उन्मुख है, क्योंकि यह सम-वर्गीकृत है। ([[बॉट आवधिकता प्रमेय]])
*[[जटिल सह-बॉर्डिज्म]], जिसका स्पेक्ट्रम एमयू द्वारा दर्शाया गया है, जटिल-उन्मुख है।

जटिल अभिविन्यास, इसे t कहा जाता है, औपचारिक समूह नियम को इस प्रकार उत्पन्न करता है: कि मान लीजिए m गुणन है:
:<math>\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \to \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty, ([x], [y]) \mapsto [xy]</math>
जहाँ <math>[x]</math> अंतर्निहित सदिश स्थान में x से निकलने वाली रेखा को <math>\mathbb{C}[t]</math> का <math>\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty</math> दर्शाता है, यह यूनिवर्सल लाइन बंडल ओवर के टेंसर उत्पाद को वर्गीकृत करने वाला मानचित्र <math> \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty </math> है:
:<math>E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) = \varprojlim E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^n) = \varprojlim R[t]/(t^{n+1}) = R[\![t]\!], \quad R =\pi_* E </math>,
मान लीजिये <math>f = m^*(t)</math> m के अनुदिश t का पुलबैक में रहता है:
:<math>E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) = \varprojlim E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^n \times \mathbb{C}\mathbf{P}^m) = \varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1}) = R[\![x, y]\!]</math>
लाइन बंडलों E के टेंसर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है, यह औपचारिक समूह नियम है (उदाहरण के लिए, साहचर्य को संतुष्ट करता है)।

== यह भी देखें ==
*क्रोमैटिक होमोटॉपी सिद्धांत

== संदर्भ ==
*M. Hopkins, [https://web.archive.org/web/20150430203224/http://people.virginia.edu/~mah7cd/Foundations/coctalos.pdf Complex oriented cohomology theory and the language of stacks]
*J. Lurie, [http://www.math.harvard.edu/~lurie/252x.html Chromatic Homotopy Theory (252x)]
  

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