View source for आंशिक रूप से आदेशित समूह

{{Short description|Group with a compatible partial order}}
{{redirect|क्रमबद्ध समूह|कुल या रैखिक क्रम वाले समूह|रैखिक रूप से क्रमबद्ध समूह}}

एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित में, आंशिक रूप से क्रमित समूह एक [[समूह (गणित)]] (''G'', +) है जो [[आंशिक आदेश|आंशिक क्रम]] "≤" से सुसज्जित है जो अनुवाद-अपरिवर्तनीय है; दूसरे शब्दों में, "≤" में वह गुण है कि, G में सभी a, b, और g के लिए, यदि a ≤ b है तो a + g ≤ b + g और g + a ≤ g + b है।

''G'' का अवयव ''x'' धनात्मक कहलाता है यदि 0 ≤ ''x''। अवयवो का समुच्चय 0 ≤ ''x'' को अधिकांशतः ''G<sup>+</sup>'' से दर्शाया जाता है, और ''G'' का धनात्मक शंकु कहलाता है।

अनुवाद अपरिवर्तनीयता से, हमारे पास ''a'' ≤ ''b'' यदि और केवल यदि 0 ≤ -''a'' + ''b'' है। तो हम आंशिक क्रम को मोनैडिक प्रोपर्टी में कम कर सकते हैं: {{nobreak|''a'' ≤ ''b''}} [[अगर और केवल अगर|यदि और केवल यदि]] {{nobreak|-''a'' + ''b'' ∈ ''G''<sup>+</sup>.}}

सामान्य समूह G के लिए, धनात्मक शंकु का अस्तित्व G पर क्रम निर्दिष्ट करता है। समूह G आंशिक रूप से क्रम देने योग्य समूह है यदि और केवल यदि उपसमूह H उपस्थित है (जो G है<sup>+</sup>) G का ऐसा है कि:
* 0 ∈ H
* यदि a ∈ H और b ∈ H तो a + b ∈ H
* यदि a ∈ H तो -x + a + x ∈ H G के प्रत्येक x के लिए
* यदि a ∈ H और -a ∈ H तो a = 0

धनात्मक शंकु G के साथ आंशिक रूप से क्रमित समूह G<sup>+</sup> यदि ''n'' · ''g'' ∈ ''G<sup>+</sup>'' है तो इसे अछिद्रित कहा जाता है किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए g ∈ G<sup>+</sup> का अर्थ है. अछिद्रित होने का अर्थ है धनात्मक शंकु G<sup>+</sup> में कोई अंतराल नहीं है.

यदि समूह पर क्रम रेखीय क्रम है, तो इसे [[रैखिक रूप से आदेशित समूह|रैखिक रूप से क्रमित समूह]] कहा जाता है। यदि समूह पर क्रम [[जाली क्रम|जालक क्रम]] है, अर्थात किसी भी दो अवयवो में कम से कम ऊपरी सीमा होती है, तो यह जालक-क्रमित समूह होता है (शीघ्र ही एल-समूह, चूँकि सामान्यतः [[स्क्रिप्ट टाइपफेस]] एल: ℓ-समूह के साथ टाइपसेट होता है)।

एक [[फ्रिगियस रिज्ज़]] समूह छिद्रित आंशिक रूप से क्रमित समूह है जिसकी प्रोपर्टी जालक-क्रमित समूह की तुलना में थोड़ी कमजोर है। अर्थात्, रिज़ समूह रिज़ इंटरपोलेशन प्रोपर्टी को संतुष्ट करता है: यदि ''x''<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, y<sub>1</sub>, y<sub>2</sub> G और ''x<sub>i</sub>'' ≤ ''y<sub>j</sub>'' के अवयव हैं, तो वहाँ z ∈ G का अस्तित्व है जैसे कि x<sub>i</sub>≤ z ≤ y<sub>j</sub>.

यदि G और H दो आंशिक रूप से क्रमित समूह हैं, तो G से H तक का रुपरेखा आंशिक रूप से क्रमित समूहों का रूपवाद है यदि यह [[समूह समरूपता]] और [[मोनोटोनिक फ़ंक्शन|मोनोटोनिक फलन]] दोनों है। आकृतिवाद की इस धारणा के साथ आंशिक रूप से क्रमित समूह, [[श्रेणी सिद्धांत]] बनाते हैं।

आंशिक रूप से क्रमित समूहों का उपयोग क्षेत्र (गणित) के [[मूल्यांकन (बीजगणित)]] की परिभाषा में किया जाता है।

== उदाहरण ==

* [[पूर्णांक]] अपने सामान्य क्रम के साथ
* एक क्रमित सदिश स्थान आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह है
* [[रिज स्पेस]] लैटिस-ऑर्डर्ड ग्रुप है
* आंशिक रूप से क्रमित समूह का विशिष्ट उदाहरण पूर्णांक है<sup>n</sup>, जहां समूह संचालन घटकवार जोड़ है, और हम लिखते हैं (a<sub>1</sub>,...,a<sub>''n''</sub>) ≤ (b<sub>1</sub>,...,b<sub>''n''</sub>) यदि और केवल यदि a<sub>''i''</sub> ≤ b<sub>''i''</sub> (पूर्णांकों के सामान्य क्रम में) सभी i = 1,..., n के लिए।
* अधिक सामान्यतः, यदि G आंशिक रूप से क्रमित समूह है और x कुछ समुच्चय है, तो x से G तक के सभी कार्यों का समुच्चय फिर से आंशिक रूप से क्रमित समूह है: सभी संचालन घटकवार किए जाते हैं। इसके अलावा, G का प्रत्येक [[उपसमूह]] आंशिक रूप से क्रमबद्ध समूह है: यह G से क्रम प्राप्त करता है।
* यदि A [[लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित]] है, या अधिक सामान्यतः, यदि A स्थायी रूप से परिमित इकाई C*-बीजगणित है, तो लगभग परिमित-आयामी C*-बीजगणित या K0 या K<sub>0</sub>(a) आंशिक रूप से क्रमित [[एबेलियन समूह]] है। (इलियट, 1976)

== गुण ==

=== आर्किमिडीज़ ===
आंशिक रूप से क्रमित समूहों के लिए वास्तविक संख्याओं की आर्किमिडीयन प्रोपर्टी को सामान्यीकृत किया जा सकता है।

:प्रोपर्टी: आंशिक रूप से क्रमित समूह G को 'आर्किमिडीयन' कहा जाता है जब a<sup>n</sup> ≤ b सभी प्राकृतिक n के लिए तो a = e. समान रूप से, जब a≠e, तो किसी भी b∈G के लिए कुछ <math>n\in \mathbb{Z}</math> होता है  ऐसा है कि b <a<sup>n</sup>.

=== एकीकृत रूप से संवृत ===
एक आंशिक रूप से क्रमित समूह G को 'पूर्ण रूप से संवृत' कहा जाता है यदि G के सभी अवयवो a और b के लिए, यदि a<sup>n</sup> ≤ b सभी प्राकृतिक n के लिए फिर a ≤ 1।<ref name=Glass>{{harvtxt|Glass|1999}}
</ref> यह प्रोपर्टी इस तथ्य से कुछ सीमा तक सशक्त है कि आंशिक रूप से क्रमित समूह आर्किमिडीयन प्रोपर्टी है, चूँकि [[जाली-आदेशित समूह|जालक-क्रमित समूह]] के लिए एकीकृत रूप से संवृत होना और आर्किमिडीज़ होना समतुल्य है।<ref>{{harvtxt|Birkhoff|1942}}</ref>

एक प्रमेय है कि प्रत्येक अभिन्न रूप से संवृत [[निर्देशित सेट|निर्देशित]] समुच्चय समूह पहले से ही एबेलियन समूह है। इसका इस तथ्य से लेना-देना है कि निर्देशित समूह [[पूर्ण जाली|पूर्ण जालक]] जालक-क्रमित समूह में एम्बेड करने योग्य है यदि और केवल यदि यह अभिन्न रूप से संवृत है।<ref name="Glass" />



== यह भी देखें ==

* {{annotated link|चक्रीय रूप से क्रमबद्ध समूह}}
* {{annotated link|रैखिक रूप से क्रमबद्ध समूह}}
* {{annotated link|क्रमबद्ध फ़ील्ड}}
* {{annotated link|क्रमबद्ध वलय}}
* {{annotated link|क्रमबद्ध टोपोलॉजिकल सदिश समिष्ट}}
* {{annotated link|क्रमबद्ध सदिश समिष्ट}}
* {{annotated link|आंशिक रूप से क्रमबद्ध वलय}}
* {{annotated link|आंशिक रूप से क्रमबद्ध समिष्ट}}


== नोट                                                                                                                                                                                                                                ==
{{reflist}}


==संदर्भ==

*M. Anderson and T. Feil, ''Lattice Ordered Groups: an Introduction'', D. Reidel, 1988.
*{{Cite journal |last=Birkhoff |first=Garrett |date=1942|title=Lattice-Ordered Groups |url=http://dx.doi.org/10.2307/1968871 |journal=The Annals of Mathematics |volume=43 |issue=2 |page=313 |doi=10.2307/1968871 |issn=0003-486X}}
*M. R. Darnel, ''The Theory of Lattice-Ordered Groups'', Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 187, Marcel Dekker, 1995.
*L. Fuchs, ''Partially Ordered बीजगणितic Systems'', Pergamon Press, 1963.
*{{cite book |doi=10.1017/CBO9780511721243|title=Ordered Permutation Groups|year=1982|last1=Glass|first1=A. M. W.|isbn=9780521241908}}
*{{cite book |isbn=981449609X|title=Partially Ordered Groups|last1=Glass|first1=A. M. W.|year=1999|url={{Google books|5oTVCgAAQBAJ|Partially Ordered Groups|page=191|plainurl=yes}}}}
*V. M. Kopytov and A. I. Kokorin (trans. by D. Louvish), ''Fully Ordered Groups'', Halsted Press (John Wiley & Sons), 1974.
*V. M. Kopytov and N. Ya. Medvedev, ''Right-ordered groups'', Siberian School of बीजगणित and Logic, Consultants Bureau, 1996.
*{{cite book |doi=10.1007/978-94-015-8304-6|title=The Theory of Lattice-Ordered Groups|year=1994|last1=Kopytov|first1=V. M.|last2=Medvedev|first2=N. Ya.|isbn=978-90-481-4474-7}}
*R. B. Mura and A. Rhemtulla, ''Orderable groups'', Lecture Notes in Pure and Applied Mathematics 27, Marcel Dekker, 1977.
*{{cite book |doi=10.1007/b139095|title=Lattices and Ordered Algebraic Structures|series=Universitext|year=2005|isbn=1-85233-905-5}}, chap. 9.
*{{cite journal |doi=10.1016/0021-8693(76)90242-8|title=On the classification of inductive limits of sequences of semisimple finite-dimensional algebras|year=1976|last1=Elliott|first1=George A.|journal=Journal of Algebra|volume=38|pages=29–44}}


== आगे की पढाई ==
{{cite journal |doi=10.2307/1990202|jstor=1990202|title=On Ordered Groups|last1=Everett|first1=C. J.|last2=Ulam|first2=S.|journal=Transactions of the American Mathematical Society|year=1945|volume=57|issue=2|pages=208–216}}


== बाहरी कड़ियाँ ==
*{{Eom| title = Partially ordered group | author-last1 =Kopytov| author-first1 = V.M.| oldid = 48137}}
* {{Eom| title = Lattice-ordered group | author-last1 =Kopytov| author-first1 = V.M.| oldid = 47589}}
*{{PlanetMath attribution
 |urlname=PartiallyOrderedGroup |title=partially ordered group
}}
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