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{{Short description|Generalizations of Nyquist-Shannon sampling theorem for reconstructing signals}}
'''गैर-समान प्रतिदर्श''' प्रतिदर्श सिद्धांत की एक शाखा है जिसमें नाइक्विस्ट-शैनन प्रतिदर्श प्रमेय से संबंधित परिणाम सम्मिलित हैं। गैर-समान प्रतिदर्श [[लैग्रेंज इंटरपोलेशन]] और स्वयं और (समान) प्रतिदर्श प्रमेय के बीच संबंध पर आधारित है। गैर-समान प्रतिदर्श व्हिटेकर-शैनन-कोटेलनिकोव (डब्ल्यूएसके) प्रतिदर्श प्रमेय का एक सामान्यीकरण है।

शैनन के प्रतिदर्श सिद्धांत को गैर-समान प्रतिदर्श के मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, अर्थात समय में समान दूरी पर नहीं लिए गए नमूने। गैर-समान नमूने के लिए शैनन प्रतिदर्श सिद्धांत बताता है कि एक बैंड-सीमित सिग्नल को उसके प्रतिदर्श से पूरी तरह से पुनर्निर्माण किया जा सकता है यदि औसत प्रतिदर्श दर नाइक्विस्ट स्थिति को संतुष्ट करती है।<ref>Nonuniform Sampling, Theory and Practice (ed. F. Marvasti), Kluwer Academic/Plenum Publishers, New York, 2000</ref> इसलिए, हालांकि समान रूप से दूरी वाले प्रतिदर्श के परिणामस्वरूप आसान पुनर्निर्माण एल्गोरिदम हो सकता है, यह सही पुनर्निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त नहीं है।

गैर-बेसबैंड और गैर-समान प्रतिदर्श के लिए सामान्य सिद्धांत 1967 में हेनरी लैंडौ द्वारा विकसित किया गया था।<ref>H. J. Landau, “Necessary density conditions for sampling and interpolation of certain entire functions,” Acta Math., vol. 117, pp. 37–52, Feb. 1967.</ref> उन्होंने सिद्ध किया कि औसत प्रतिदर्श दर (समान या अन्यथा) सिग्नल के कब्जे वाले बैंडविड्थ से दोगुना होना चाहिए, यह मानते हुए कि यह पहले से ज्ञात है कि स्पेक्ट्रम के किस हिस्से पर कब्जा कर लिया गया था। 1990 के दशक के उत्तरार्ध में, इस कार्य को आंशिक रूप से उन सिग्नलों को कवर करने के लिए बढ़ाया गया था जिनके लिए व्याप्त बैंडविड्थ की मात्रा ज्ञात थी, लेकिन स्पेक्ट्रम का वास्तविक व्याप्त भाग अज्ञात था।<ref>see, e.g., P. Feng, “Universal minimum-rate sampling and spectrum-blind reconstruction for multiband signals,” Ph.D. dissertation, University
of Illinois at Urbana-Champaign, 1997.</ref> 2000 के दशक में, संपीड़ित संवेदन का उपयोग करके एक संपूर्ण सिद्धांत विकसित किया गया था (नीचे नाइक्विस्ट से परे अनुभाग देखें)। विशेष रूप से, सिग्नल प्रोसेसिंग भाषा का उपयोग करते हुए सिद्धांत का वर्णन इस 2009 के पेपर में किया गया है।[4] अन्य बातों के अलावा, वे दिखाते हैं कि यदि आवृत्ति स्थान अज्ञात हैं, तो कम से कम दो बार नाइक्विस्ट मानदंड का प्रतिदर्श लेना आवश्यक है; दूसरे शब्दों में [[स्पेक्ट्रम]] का स्थान न जानने के लिए आपको कम से कम 2 का कारक चुकाना होगा। ध्यान दें कि न्यूनतम प्रतिदर्श आवश्यकताएँ आवश्यक रूप से [[संख्यात्मक स्थिरता]] की गारंटी नहीं देती हैं।

==लैग्रेंज (बहुपद) प्रक्षेप==

किसी दिए गए फलन के लिए, घात n का एक बहुपद बनाना संभव है जिसका मान n + 1 बिंदुओं पर फलन के साथ समान हो।<ref>Marvasti 2001, p. 124.</ref>

मान लीजिए कि n + 1 अंक <math>z_0, z_1, \ldots , z_n</math> हैं, और n + 1 मान <math>w_0, w_1, \ldots, w_n</math> हैं इस प्रकार, एक अद्वितीय बहुपद मौजूद है <math>p_n(z)</math> ऐसा है कि

:<math>p_n(z_i) = w_i, \text{ where }i = 0, 1, \ldots, n.</math><ref>Marvasti 2001, pp. 124–125.</ref>
इसके अलावा, लैग्रेंज इंटरपोलेशन के इंटरपोलिंग बहुपदों का उपयोग करके <math>p_n(z)</math> के प्रतिनिधित्व को सरल बनाना संभव है:

:<math>I_k(z) = \frac{(z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots(z-z_n)}{(z_k-z_0)(z_k-z_1)\cdots(z_k-z_{k-1})(z_k-z_{k+1})\cdots(z_k-z_n)}</math><ref>Marvasti 2001, p. 126.</ref>
उपरोक्त समीकरण से:

:<math>
I_k(z_j) = \delta_{k,j} = 
\begin{cases}
 0, & \text{if }k\ne j \\
 1, & \text{if }k = j
\end{cases}
</math>
नतीजतन,

:<math>p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_kI_k(z)</math>
:<math>p_n(z_j) = w_j, j = 0, 1, \ldots, n</math>
बहुपद रूप को अधिक उपयोगी बनाने के लिए:

:<math>G_n(z) = (z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_n)</math>
इस प्रकार, लैग्रेंज इंटरपोलेशन फॉर्मूला प्रकट होता है:

:<math>p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_k\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}</math><ref>Marvasti 2001, p. 127.</ref>
ध्यान दें कि यदि <math>f(z_j)=p_n(z_j), j=0, 1, \ldots, n,</math>, तो उपरोक्त सूत्र बन जाता है:

:<math>f(z) = \sum_{k=0}^n f(z_k)\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}</math>


==व्हिटेकर-शैनन-कोटेलनिकोव (डब्लूएसके) प्रतिदर्श प्रमेय==

व्हिटेकर ने लैग्रेंज इंटरपोलेशन को बहुपदों से संपूर्ण कार्यों तक विस्तारित करने का प्रयास किया। उन्होंने दिखाया कि संपूर्ण फ़ंक्शन का निर्माण करना संभव है<ref>Marvasti 2001, p. 132.</ref>
:<math>C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(a+nW)\frac{\sin[\pi(z-a-nW)/W]}{[\pi(z-a-nW)/W]}</math>
जिसका मान समान है <math>f(z)</math> बिंदुओं पर <math>z_n = a + nW</math>
इसके अतिरिक्त, <math>C_f(z)</math> पिछले भाग में अंतिम समीकरण के समान रूप में लिखा जा सकता है:

:<math>C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(z_n)\frac{G(z)}{G'(z_n)(z-z_n)},\text{ where }G(z)=\sin[\pi(z-z_n)/W]\text{ and }z_n=a+nW</math>
जब a = 0 और W = 1, तो उपरोक्त समीकरण लगभग WSK प्रमेय के समान हो जाता है:<ref>Marvasti 2001, p. 134.</ref>
यदि किसी फ़ंक्शन f को फॉर्म में दर्शाया जा सकता है
:<math>f(t) = \int_{-\sigma}^\sigma e^{jxt}g(x)\, dx \qquad (t\in \mathbb{R}), \qquad \forall g\in L^2(-\sigma,\sigma),</math>
फिर f को इसके प्रतिदर्श से निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है:

:<math>f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f\left(\frac{k\pi}{\sigma}\right)\frac{\sin(\sigma t-k\pi)}{\sigma t-k\pi} \qquad (t\in \mathbb{R})</math>


==गैर-समान प्रतिदर्श==
एक क्रम के लिए <math>\{t_k\}_{k\in \mathbb{Z}}</math> संतुष्टि देने वाला<ref>Marvasti 2001, p. 137.</ref>
:<math>D=\sup_{k\in\mathbb{Z}}|t_k-k|<\frac{1}{4},</math>
तब
:<math>f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f(t_k)\frac{G(t)}{G'(t_k)(t-t_k)},\qquad \forall{}f\in B^2_\pi,\qquad (t\in \mathbb{R}),</math>
कहाँ
*<math>\textstyle G(t)=(t-t_0)\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{t}{t_k}\right)\left(1-\frac{t}{t_{-k}}\right),</math> *<math>B^2_\sigma</math> [[बर्नस्टीन स्थान]] है, और
*<math>f(t)</math> कॉम्पैक्ट सेट पर समान रूप से अभिसरण होता है।<ref>Marvasti 2001, p. 138.</ref>
उपरोक्त को पैली-वीनर-लेविंसन प्रमेय कहा जाता है, जो डब्ल्यूएसके प्रतिदर्श प्रमेय को समान प्रतिदर्श से गैर-समान प्रतिदर्श तक सामान्यीकृत करता है। ये दोनों क्रमशः उन प्रतिदर्श से एक बैंड-सीमित सिग्नल का पुनर्निर्माण कर सकते हैं।

==संदर्भ==
{{Reflist}}
*F. Marvasti, Nonuniform sampling: Theory and Practice. Plenum Publishers Co., 2001, pp.&nbsp;123–140.
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