View source for डेलानॉय नंबर

{{Short description|Number of paths between grid corners, allowing diagonal steps}}
{{ Infobox integer sequence
| named_after = Henri–Auguste Delannoy
| terms_number = [[infinity]]
| formula = <math>D(m,n) = \sum_{k=0}^{\min(m,n)} \binom{m}{k} \binom{n}{k} 2^k</math>
| OEIS = A008288
| OEIS_name = Square array of Delannoy
}}
गणित में, एक '''डेलानॉय संख्या''' <math>D</math> एक आयताकार ग्रिड के दक्षिण-पश्चिम कोण (0, 0) से उत्तर-पूर्व कोण (''m'', ''n'')) तक पथों की संख्या का वर्णन करता है, जिसमें उत्तर, उत्तर-पूर्व या पूर्व में केवल एक ही चरण का उपयोग किया जाता है। डेलानॉय नंबरों का नाम फ्रांसीसी सेना अधिकारी और अनुभवहीन गणितज्ञ [[हेनरी डेलानॉय]] के नाम पर रखा गया है।<ref>{{citation |last1=Banderier |first1=Cyril |last2=Schwer |first2=Sylviane |title=Why Delannoy numbers? |year=2005 |journal=Journal of Statistical Planning and Inference |volume=135 |issue=1 |pages=40–54 |arxiv=math/0411128 |doi=10.1016/j.jspi.2005.02.004|s2cid=16226115 |mr = 2202337}}</ref>

डेलानॉय संख्या <math> D(m,n) </math> लंबाई <math>m</math> और <math>n</math> के दो अनुक्रमों के वैश्विक संरेखण की संख्या की भी गणना करती है, <ref>{{citation |last=Covington |first=Michael A. |year=2004 |title=The number of distinct alignments of two strings |journal=Journal of Quantitative Linguistics |volume=11 |issue=3 |pages=173–182 |doi=10.1080/0929617042000314921|s2cid=40549706 }}</ref> <math>m</math>-आयामी [[पूर्णांक जाली|पूर्णांक लैटिस]] या [[क्रॉस पॉलीटोप]] में बिंदुओं की संख्या जो मूल से अधिकतम ''n'' चरण पर होते हैं,<ref>{{citation
 | last1 = Luther | first1 = Sebastian
 | last2 = Mertens | first2 = Stephan
 | arxiv = 1106.1078
 | issue = 9
 | journal = Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment
 | page = P09026
 | title = Counting lattice animals in high dimensions
 | url = http://stacks.iop.org/1742-5468/2011/i=09/a=P09026
 | volume = 2011
 | year = 2011| bibcode = 2011JSMTE..09..026L
 | doi = 10.1088/1742-5468/2011/09/P09026
 | s2cid = 119308823
 }}</ref> और, [[सेलुलर ऑटोमेटन]] में, त्रिज्या ''n'' के <math>m</math>-आयामी [[वॉन न्यूमैन पड़ोस|वॉन न्यूमैन निकटतम]] कोशिकाओं की संख्या<ref>{{citation
 | last1 = Breukelaar | first1 = R.
 | last2 = Bäck | first2 = Th.
 | contribution = Using a Genetic Algorithm to Evolve Behavior in Multi Dimensional Cellular Automata: Emergence of Behavior
 | doi = 10.1145/1068009.1068024
 | isbn = 1-59593-010-8
 | location = New York, NY, USA
 | pages = 107–114
 | publisher = ACM
 | title = Proceedings of the 7th Annual Conference on Genetic and Evolutionary Computation (GECCO '05)
 | year = 2005| s2cid = 207157009
 }}</ref> जबकि त्रिज्या ''n'' के एम-आयामी वॉन न्यूमैन द्वारा निकटतम की सतह पर कोशिकाओं की संख्या दी गई है {{OEIS|id=A266213}}

==उदाहरण==
डेलानॉय संख्या ''D''(3,3)) 63 के बराबर होता है। निम्नलिखित आंकड़ा (0, 0) से (3, 3) तक 63 डेलानॉय पथ दिखाता है:

[[Image:Delannoy3x3.svg]]पथों का उपसमुच्चय जो SW-NE विकर्ण से ऊपर नहीं उठता, उसे संख्याओं के संबंधित श्रेणी, श्रोडर संख्याओं द्वारा गिना जाता है।

==डेलनॉय सरणी==
डेलानॉय सरणी डेलानॉय संख्याओं का एक [[अनंत मैट्रिक्स|अनंत आव्यूह]] होता है:<ref>{{citation
 | last = Sulanke | first = Robert A.
 | title = Objects counted by the central Delannoy numbers
 | year = 2003
 | journal = Journal of Integer Sequences
 | volume = 6
 | issue = 1
 | page = Article 03.1.5
 | bibcode = 2003JIntS...6...15S
 | mr = 1971435
 | url = http://www.emis.de/journals/JIS/VOL6/Sulanke/delannoy.pdf}}</ref>
:{| class="wikitable" style="text-align:right;"
|-
! {{diagonal split header|''n''&nbsp;|&nbsp;''m''}}
! width="50" | 0
! width="50" | 1
! width="50" | 2
! width="50" | 3
! width="50" | 4
! width="50" | 5
! width="50" | 6
! width="50" | 7
! width="50" | 8
|-
! 0
| 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1 || 1
|-
! 1
| 1 || 3 || 5 || 7 || 9 || 11 || 13 || 15 || 17
|-
! 2
| 1 || 5 || 13 || 25 || 41 || 61 || 85 || 113 || 145
|-
! 3
| 1 || 7 || 25 || 63 || 129 || 231 || 377 || 575 || 833
|-
! 4
| 1 || 9 || 41 || 129 || 321 || 681 || 1289 || 2241 || 3649
|-
! 5
| 1 || 11 || 61 || 231 || 681 || 1683 || 3653 || 7183 || 13073
|-
! 6
| 1 || 13 || 85 || 377 || 1289 || 3653 || 8989 || 19825 || 40081
|-
! 7
| 1 || 15 || 113 || 575 || 2241 || 7183 || 19825 || 48639 || 108545
|-
! 8
| 1 || 17 || 145 || 833 || 3649 || 13073 || 40081 || 108545 || 265729
|-
! 9
| 1 || 19 || 181 || 1159 || 5641 || 22363 || 75517 || 224143 || 598417
|}
इस सरणी में, पहली पंक्ति की सभी संख्याएँ एक हैं, दूसरी पंक्ति की संख्याएँ [[विषम संख्या]]एँ हैं, तीसरी पंक्ति की संख्याएँ [[केन्द्रित वर्ग संख्या]]एँ हैं, और चौथी पंक्ति की संख्याएँ [[केन्द्रित अष्टफलकीय संख्या]]एँ हैं। वैकल्पिक रूप से, समान संख्याओं को पास्कल त्रिकोण के सदृश एक [[त्रिकोणीय सरणी]] में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसे ट्राइबोनाची त्रिकोण भी कहा जाता है,<ref>{{Cite OEIS|A008288|name=Square array of Delannoy numbers D(i,j) (i >= 0, j >= 0) read by antidiagonals}}</ref> जिसमें प्रत्येक संख्या अपने से ऊपर की तीन संख्याओं का योग है:

       1
      11
     1 3 1
    1 5 5 1
   1 7 13 7 1
  1 9 25 25 9 1
 1 11 41 63 41 11 1

==केंद्रीय डेलानॉय संख्या==
केंद्रीय डेलानॉय संख्याएँ ''D''(''n'') = ''D''(''n'',''n'') एक वर्ग ''n'' × ''n'' ग्रिड के लिए संख्याएँ होती हैं पहले कुछ केंद्रीय डेलानॉय नंबर (''n=0'' से प्रारंभ ) होते हैं:

:1, 3, 13, 63, 321, 1683, 8989, 48639, 265729, ... {{OEIS|id=A001850}}

==गणना==

===डेलानॉय संख्याएँ===
<math> k </math> विकर्ण (अर्थात उत्तर-पूर्व) चरणों के लिए, बिंदु <math> m-k </math> तक पहुंचने के लिए <math> x </math> दिशा और <math> n-k </math> चरण और <math> y </math> बिंदु तक पहुँचने के लिए <math> (m, n) </math> चरण होने चाहिए; चूँकि ये चरण किसी भी क्रम में किए जा सकते हैं, ऐसे पथों की संख्या [[बहुपद गुणांक]] द्वारा दी गई है<math> \binom{m+n-k}{k , m-k , n-k} = \binom{m+n-k}{m} \binom{m}{k} </math>. इसलिए, किसी को संवृत रूप अभिव्यक्ति मिलती है

:<math> D(m,n) = \sum_{k=0}^{\min(m,n)} \binom{m+n-k}{m} \binom{m}{k}  </math>
एक वैकल्पिक अभिव्यक्ति दी गई है

:<math> D(m,n) = \sum_{k=0}^{\min(m,n)} \binom{m}{k} \binom{n}{k} 2^k  </math>
या अनंत श्रृंखला द्वारा

:<math> D(m,n) = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{2^{k+1}} \binom{k}{n} \binom{k}{m} </math>
और भी

:<math> D(m,n) = \sum_{k=0}^{n} A(m,k), </math>
जहां {{OEIS|id=A266213}} के साथ <math> A(m,k) </math> दिया गया है

डेलानॉय संख्याओं के लिए मूल [[पुनरावृत्ति संबंध]] आसानी से देखा जा सकता है
:<math>D(m,n)=\begin{cases}1 &\text{if }m=0\text{ or }n=0\\D(m-1,n) + D(m-1,n-1) + D(m,n-1)&\text{otherwise}\end{cases}</math>
यह पुनरावृत्ति संबंध सीधे [[जनरेटिंग फ़ंक्शन|जनक फलन]] की ओर भी ले जाता है

:<math> \sum_{m,n = 0}^\infty D(m, n) x^m y^n = (1 - x - y - xy)^{-1} . </math>
===केंद्रीय डेलानॉय संख्या===
स्थानापन्न ऊपर दिए गए पहले संवृत रूप अभिव्यक्ति में <math> m = n </math> को प्रतिस्थापित करते हुए, <math> k \leftrightarrow n-k </math>, को प्रतिस्थापित करने पर और अल्प बीजगणित, देता है

:<math> D(n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} , </math>
जबकि उपरोक्त दूसरी अभिव्यक्ति उत्पन्न होती है 

:<math> D(n) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 2^k . </math>
केंद्रीय डेलानॉय संख्याएं आपस में तीन-अवधि के पुनरावृत्ति संबंध का भी समाधान करती हैं,<ref>{{cite journal |last1=Peart |first1=Paul |last2=Woan |first2=Wen-Jin |title=डेलानॉय पुनरावृत्ति का एक विशेषण प्रमाण|year=2002 |journal=Congressus Numerantium |volume=158 |pages=29–33 |issn=0384-9864 |zbl=1030.05003 |mr = 1985142}}</ref>
:<math> n D(n) = 3(2n-1)D(n-1) - (n-1)D(n-2) , </math>
और एक जनक फलन होता है

:<math> \sum_{n = 0}^\infty D(n) x^n = (1-6x+x^2)^{-1/2} . </math>
केंद्रीय डेलानॉय संख्याओं का प्रमुख उपगामी व्यवहार दिया गया है

:<math> D(n) = \frac{c \, \alpha^n}{\sqrt{n}} \, (1 + O(n^{-1})) </math>
जहाँ
 <math> \alpha = 3 + 2 \sqrt{2} \approx 5.828 </math>
और
 <math> c = (4 \pi (3 \sqrt{2} - 4))^{-1/2} \approx 0.5727 </math>.

==यह भी देखें==
*[[मोत्ज़किन संख्या]]
*[[नारायण संख्या]]

==संदर्भ==
{{reflist}}


==बाहरी संबंध==
*{{MathWorld|title=Delannoy Number|urlname=DelannoyNumber}}

{{Classes of natural numbers}}
[[Category: पूर्णांक क्रम]] [[Category: संख्याओं के त्रिकोण]] [[Category: साहचर्य]] 



[[Category: Machine Translated Page]]
[[Category:Created On 09/07/2023]]
[[Category:Vigyan Ready]]